皮件下料问题
摘要
本问题研究的是二维不规则的皮料优化排样问题。问题的优化目标为牛皮总利用率最大。容易判断出，这是一个NP完全的问题。通常的做法是寻求启发式近似算法，凭借以往的加工经验确定相关参数，从而得出牛皮原料的裁剪方式。
首先我们对给定模板的数据进行预处理，在这部分中我们统一各皮件模版的比例尺。此外，鉴于牛皮原料和皮件模板均为不规则图形，我们利用matlab，裁出两张牛皮的最大内接矩形，将牛皮原料分成“矩形部分”和“非矩形部分”。最后通过求各不规则模板的包络矩形，对不规则图形进行矩形近似。
问题要求在订单确定的情况下，以利用率最大为优化目标，提出一种对N 张牛皮的排料算法。我们借鉴钢管下料模型的思想，以利用率、模板位置、完备性、可调性、均衡性为裁剪原则，人工列举了31种牛皮的裁剪方式。然后，利用LINGO，进行整数规划，以2010年1月的定单为例可求得牛皮利用率为58.23%，并且详细列举出了各张牛皮的裁剪方式。
根据上述研究，我们认为我们的模型简单易懂，可操作性强。但是，牛皮的利用率不高，且未考虑到实际的加工难度，会造成人力资源的大量消耗。
因此，在模型的改进中，我们进一步提出了不规则图形的离散化处理和批量生产两种解题思路。有效地克服了结果利用率不高和实际加工难度大的问题。
关键词：包络矩形，matlab，LINGO, 整数规划
一、问题重述
在实际生产生活中裁剪是必不可少的，裁剪的好坏，利用率的高低，直接影响到生产厂家的经济利益。首先定义以下三个定义：
牛皮：整张，未裁剪的牛皮原料。经由人工检查，对不同品质的部分进行分级后，经过数码取像技术转化成CAD文件格式的二维区域。
皮板：最终产品的模板，一般由硬纸板做成，由于裁剪。产品设计完后，确定不同皮板部位的等级，经过数码取像技术转化成CAD文件格式的二维区域。
皮件：由皮革缝制成的皮套，再通过其他工艺加工成的最终产品（例如皮包，皮鞋，皮沙发等）。
根据以上定义，本问题研究的对象是数码二维区域（含等级）。
附件提供了两张牛皮模板，沙发模板和椅子模板，根据制造沙发的各个部位的皮模板可以制造一把皮沙发和一把餐椅。
在实际生产中，要求最后一张牛皮的利用率尽可能大。并且能够对牛皮和皮板进行分级运算，排料需要满足牛皮的等级大于等于皮板上的等级。
假设N张牛皮的模板都和提供的两张一样，试建立数学模型，在厂家皮件订单确定的情况下，针对N张牛皮的排料算法，要求牛皮的利用率最大化。
二、问题假设
2.1、不考虑切割时的刀口宽度问题
2.2、比例尺是像素点关于实际尺寸的比例
2.3、椅子模板的比例和沙发模板中出现次数最多的比例尺相同
三、符号说明
；
3.1 大牛皮数目------N
1
3.2 小牛皮数目------N
；
2
；
3.3 第i种裁剪方式的数目------X
i
3.4 第i种裁剪方式裁剪出第j种模板的数目------M i,j；
；
3.5 一张沙发或一把椅子需要第j种模板的数目------num
j
3.6 订单中沙发数目------m1；
3.7订单中椅子数目---------m2；
四、问题分析
此问题涉及到皮革制造业中皮料的优化排样。排样问题是典型的NP 难问题。因此普通的优化排样算法是难以求解的。在工程上，通常采用遗传或者神经网络等智能优化算法，或者是启发式的近似算法。具体到这道题，所给的牛皮原料和皮件模板都是不规则的，沙发有46 个模板，椅子有10 个模板，在订单确定的情况下，设计以利用率最大为目标的排料算法。我们提出了以下思路：
首先裁剪出两张牛皮原料最大内接矩形，并求出各个模板的包络矩形。再借鉴钢管下料模型【1】的思想，依据利用率最大这一优化目标，设计一定的裁剪原则，从而列举两张牛皮原料可能的几种裁剪方式，将问题简化为整数规划问题。
五、模型建立与求解
5.1数据预处理
1)比例尺
在沙发皮件模板中，有几张图的比例尺不同，我们采用其中数目最多的比例尺统一每个图的比例尺。最后将比例尺统一为 98 个像素点代表 210mm。
2)皮件模板的矩形包络
我们将沙发模板从 1 到 46 进行编号，椅子的模板以“椅 1 椅 10”编号。其中，椅子模板的面积和比例尺并未提供，我们假设 98 个像素点代表 210mm，然后利用图像处理和 MATLAB 得出了各个模板的面积。
3)牛皮原料最大内接矩形
同样利用matlab 求得牛皮原料最大的内接矩形。分割结果如下图，其中红点表示切点。
大牛皮的矩形尺寸：1262mm ? 1063mm=1.342 m2
小牛皮的矩形尺寸：1146mm ? 1063mm=1.218 m2
5.2
1)裁剪方式的列举
在此问题中，我们受文献【1】中钢管下料问题的启发，提出一种追求利用率最大的近似算法。
给定以下约束条件：
● 利用率。各裁剪方式中，牛皮原料的利用率必须较大；
● 模板位置。各裁剪方式中，每个模板都是垂直或者水平摆放；
● 完备性。列举的所有裁剪方式，必须包括所有的模板；
● 可调性。每一个模板不能只出现在一种或者两种裁剪方式中； ● 均衡性。列举的所有裁剪方式中，每种模板的数量不能相差太大 按照上述约束条件，手工列举两张牛皮的裁剪方式。示意如下：
2) 整数规划模型的建立
决策变量：各种剪裁方法的数量
决策目标：利用率最大,订单一定时转化为所用牛皮面积最小
(1) 约束条件：每种牛皮各部位利用总次数应相等，即
(2)
(3)
沙发和椅子每个模板数分别不小于沙发和椅子数模：
为整数
N 1——大牛皮数目 N 2——小牛皮数目
x i
——第 i 种裁剪方式的数目
M i,j
——第 i 种裁剪方式裁剪出第 j 种模板的数目
131x x 12
m i n2.41.9N N =?+?6
15
18
20
23
1113161921
i i i i i i i i i i N x x x x x ==========∑∑∑∑∑12
26
28
30
27
24
27
29
i i i i i i i i N x x x x ========∑∑∑∑,
1
,126ij i
j
i
M x n u m m j ≥≤≤∑
,2
,2736ij i
j
i
M x n u m m j ≥≤≤∑
x
num j——一张沙发或一把椅子需要第j 种模板的数目
5.2模型求解
根据以上模型，利用LINGO进行规划，以2010年1月份的订单为例，可知m1 =140, m2 =450,因此得到的排料结果如下：
七、评价与推广
模型简单易懂，容易想到。除此之外，此算法还考虑了实际生产工程中的加工难度。订单数量庞大时，裁剪方式的高重复率更有利于实际中的剪裁或机械化运作。但由于列举的裁剪方式有限，故未能得到全局最优解，再加上采取了矩形近似，故最后得到的利用率不算太高。
八、参考文献
【1】谢金星，薛毅，优化建模与LINDO/LINGO 软件，北京：清华大学出版社，2005
九、附录
程序
1)包络矩形MATLAB程序实现：
%找模板的最佳包络矩形
%返回re1:包络矩形的长和宽，record：带包络矩形的模板二值图矩阵
%angle：图像旋转的角度；re4:包络矩形的面积
function [re1,record,angle,re4]=baoluo(x)
t=linspace(0,pi/2,91);
area=1000*1000;
for i=1:91
y=myro(x,t(i));
[n1,n2]=size(y);
for j=1:n1
if sum(y(j,:))>0
up=j;
break
end
end
for j=1:n1
k=n1+1-j;
if sum(y(k,:))>0
down=k;
break
end
end
for j=1:n2
if sum(y(:,j))>0
left=j;
break
end
end
for j=1:n2
k=n2+1-j;
if sum(y(:,k))>0
right=k;
break
end
end
area1=(down-up)*(right-left);
if area1 area=area1; point=[up down left right]; record=y; angle=i; end end re4=area*0.21^2/98^2;%按比例尺换算面积record(point(1),point(3):point(4))=1; record(point(2),point(3):point(4))=1; record(point(1):point(2),point(3))=1; record(point(1):point(2),point(4))=1; re1=[point(2)-point(1),point(4)-point(3)]; end %% %旋转矩阵任意角度 function [re,num]=myro(x,delt) [n,d]=find(x==1); location=[n,d]; [n1,n2]=size(x); center1=[n1/2,n2/2]; m1=uint32(n1*cos(delt)+n2*sin(delt));%新矩阵行数 m2=uint32(n1*sin(delt)+n2*cos(delt));%新矩阵列数 num=length(n);%一点的个数 center2=[m1/2,m2/2]; matrix=zeros(m1,m2); %对每个一点进行重新定位 for i=1:num temp=(location(i,2)-center1(2))+j*(location(i,1)-center1(1)); l=abs(temp); an=angle(temp)+delt; p1=uint32(center2(1)+l*sin(an)); p2=uint32(center2(2)+l*cos(an)); matrix(p1,p2)=1; end re=matrix; end 2）第一问优化问题的lingo 实现： sets: big/1..31/:x; small/1..36/:nu,nnum; link(small,big):m; endsets min=2.4*n1+1.9*n2; n1=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6); n1=x(13)+x(14)+x(15); n1=x(16)+x(17)+x(18); n1=x(19)+x(20); n1=x(21)+x(22)+x(23); n2=x(7)+x(8)+x(9)+x(10)+x(11)+x(12); n2=x(24)+x(25)+x(26); n2=x(27)+x(28); n2=x(29)+x(30)+x(31); @for(small(i):nnum(i)=@sum(big(j):m(i,j)*x(j))); @for(small(i)|i#le#26:nnum(i)>num1*nu(i)); @for(small(i)|i#ge#27:nnum(i)>num2); @for(big:@gin(x)); data: nu=@ole('data.xls',a2:a37); m=@ole('data.xls',b2:af37); num1=69; num2=320; @text('d:\result1.txt')=x; @text('d:\result2.txt')=nnum; enddata 钢管下料 摘要 在生活中常遇到通过切割、剪裁、等手段，将原材料加工成所需尺寸的工艺过程，称为原料下料问题。按照进一步工艺要求，确定下料方案，使用料最省或利润最大。本文研究的是钢管下料问题。用数学规划模型确定切割方案，使其既能满足顾客需求，又能用料最省。 对于问题(1)，以按照第i 种模式(1,2,,7i =)切割的原料钢管的根数为研究对象，确定下料方案，使其用料最省。 ①以切割后剩余的总余料量最小为目标建立整数线性规划模型如下： 7 17 1min ,1,2,3..0,1,2,,7i i i ji i j i i z c x a x b j s t x i ===?≥=???≥=?∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割27根原料钢管。总余料量为27m 。 ②以切割原料钢管的总根数最少为目标建立整数线性规划模型同上。 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割25根原料钢管。总余料量为35m 。 在余料没有什么用途的情况下，通常选择使用原料钢管的总根数最少为目标。 对于问题(2)，以所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4m ，5m ，6m ，和8m 的钢管数量为研究对象(1,2,3i =)，此处仅以切割原料钢管的总根数最少为目标，建立整数非线性规划模型如下： 3 13 1 41 41min ,1,2,3,4 ,1,2,3..,1,2,30,1,2,3i i ji i j i j ji j j ji j i z y r y b j c r m i s t c r n i y i =====?≥=???≥=????≤=??≥=?∑∑∑∑ 利用LINGO 软件进行求解得到一共需要切割28根原料钢管。 此整数非线性规划模型的解并不唯一，本文仅给出其中一组解。 关键字：钢管下料，用料最省，切割模式，整数线性规划，整数非线性规划 第一题：生产计划安排 2）产品ABC的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变 3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜 4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产 答： max3x1+x2+4x3! 利润最大值目标函数x1,x2,x3分别为甲乙丙的生产数量 st!限制条件 6x1+3x2+5x3<45! 劳动力的限制条件 3x1+4x2+5x3<30! 材料的限制条件 End！结束限制条件 得到以下结果 1.生产产品甲5件，丙3件，可以得到最大利润，27元 2.甲利润在—元之间变动，最优生产计划不变 3. max3x1+x2+4x3 st 6x1+3x2+5x3<45 end 可得到生产产品乙9件时利润最大，最大利润为36元，应该购入原材料扩大生产，购入15个单位 4. max3x1+x2+4x3+3x4 st 6x1+3x2+5x3+8x4<45 3x1+4x2+5x3+2x4<30 end ginx1 ginx2 ginx3 ginx4 利润没有增加，不值得生产 第二题：工程进度问题 某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样，下表提供了这些项目的基本数据。 工程1和工程4必须在规定的周期内全部完成，必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。然而，每个工程在他的规定时间内必须至少完成25%。每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是*50（第二年）+*50（第三年）+（+）*50（第四年）+（+）*50（第五年）=（4*+2*）*50（单位：万元）。试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。 答： 假设某年某工程的完成量为Xij, i表示工程的代号，i=1,2,3，j表示年数，j=1,2,3，如第一年工程1完成X11，工程3完成X31，到第二年工程已完成X12，工程3完成X32。 另有一个投入与完成的关系，即第一年的投入总费用的40%，该工程在年底就完成40%，工程1利润： 50*X11+50*(X11+X12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13) 工程2利润： 70*X22+70*(X22+X23)+70*(X22+X23+X24) 工程3利润： 20*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34) 工程4利润： 20*X43+20*（X43+X44） max(50*X11+50*(x11+x12)+50*(X11+X12+X13)+50*(X11+X12+X13))+(70*X22+70*(X22+X23) )+70*(X22+X23+X24)+(150*X31+150*(X31+X32)+150*(X31+X32+X33)+150*(X31+X32+X33+X34)) +(20*X43+20*(X43+X44)) st 5000*X11+15000*X31=3000 5000*X12+8000*X22+15000*X32=6000 5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43=7000 8000*X24+15000*X34+12000*X44=7000 8000*X25+15000*X35=7000 X11+X12+X13=1 X22+X23+X24+X25≥ X22+X23+X24+X25≤1 X31+X32+X33+X34+X35≥ X31+X32+X33+X34+X35≤1 X43+X44=1 全为大于零的数 重庆交通大学 学生实验报告 实验课程名称数学建模 ^ 开课实验室数学实验室 学院信息院11 级软件专业班 1 班 学生姓名 学号 ￥ 开课时间2013 至2014 学年第 1 学期 ！ 】 ) / 实验一 钢管下料问题 摘要 ( 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料 ` 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通 过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . 》 （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下 每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?+2x ?+3x ?+4x ?）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) ( 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850 钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819 k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++ 123672567346432503220..215,1,2,,7 i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥??++≥??=? 取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 15根钢管采用切割模式6：1根4m ，1根6m ，1根8m ，余料1m 。 切割模式只采用了2种，余料为27m ，使用钢管27根。 LINGO 程序： model: sets: model/1..7/:x; endsets min=x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)+x(6)+x(7); 4*x(1)+3*x(2)+2*x(3)+x(6)+x(7)>=50; x(2)+3*x(5)+x(6)+2*x(7)>=20; x(3)+2*x(4)+x(6)>=15; @for(model(i):@gin(x(i))); end 问题（2）模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 、5m 的钢管的模式，所有模式相当 数学建模第三次作业 下料问题 摘要 本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。 生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。 本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。 关键词：切割模式LINGO软件线性整数 一、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0. 6、假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 7、每一根钢管的费用都一样，为一常值。 三、符号说明 数学建模钢管下料问题 实验一 钢管下料问题 摘要 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成规定大小的某种,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题.下面我们采用数学规划模型建立线性规划模型并借助LINGO 9.0来解决这类问题. 关键词线性规划最优解钢管下料 一，问题重述 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm，28根315 mm，21根350 mm和30根455 mm的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm，为了使总费用最小，应该如何下料？ 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 二，基本假设与符号说明 1、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 2、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 三、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2， i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?1.1+2x ?1.2+3x ?1.3+4x ?1.4）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 1750≦290?11r +315?21r +350?31r +455?41r ≦1850 （6） 1750≦290?12r +315?22r +350?32r +455?42r ≦1850 （7） 1750≦290?13r +315?23r +350?33r +455?43r ≦1850 （8） 1750≦290?14r +315?24r +350?34r +455?44r ≦1850 （9） 由于排列顺序无关紧要因此有 1x ≧2x ≧3x ≧4x (10) 又由于总根数不能少于 （15?290+28?315+21?350+30?455）/1850≧18.47 (11) 也不能大于 （15?290+28?315+21?350+30?455）/1750≦19.525 (12) 由于一根原钢管最多生产5根产品，所以有 i r 1+i r 2+i r 3+i r 4≦5 (13) 3.下料问题 班级：计科0901班姓名：徐松林学号：2009115010130 摘要： 本文建立模型，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费来满足客户的需求。主要考虑到两方面的问题。钢管零售商是短时间内出售钢管，则应该以最少原材料根数为目标函数来建模模型；钢管零售商是长时间内出售钢管，则应该以最少余料浪费为目标函数。有效地使用背包问题及线性规划、非线性规划等算法，算出最优解。特别是钢管零售商是短时间内出售钢管，需要分析切割模式的种类1到4种的各个情况的整数最优解，再依次比较每个情况的最优解得出总的最优解。 关键词：余料、原材料、加工费、总费用。 一、问题背景 工厂在实际生产中需要对标准尺寸的原材料进行切割，以满足进一步加工的需要，成为下料问题。 相关数据表明，原材料成本占总生产成本的百分比可以高达45%～60%，而下料方案的优劣直接影响原材料的利用率，进而影响原材料成本。因此需要建立优化的下料方案，以最少数量的原材料以及最少的余料浪费，尽可能按时完成需求任务。 二．问题描述及提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出.从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm 和30根455mm的钢管.为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 在该目标下要求考虑下面两个问题： 1.若钢管零售商是短时间内出售钢管（即每次将钢管按照顾客的要求切割后售 出，多余的零件不准备下次售出），则每次应该以最少原材料根数为目标函数。 钢管下料问题 摘要: 如何建立整数规划模型并得出整数规划模型的求解方法是本实验要点, 本题建立最常见的线性整数规划,利用分支定界法和Lingo 软件进行求解原料下料类问题，即生产中通过切割、剪裁、冲压等手段，将原材料加工成所需大小；按照工艺要求，确定下料方案，使所用材料最省，或利润最大。分支定界法可用于解纯整数或混合的整数规划问题，此方法灵活且便于用计算机求解，所以现在它已是解整数规划的重要方法。Lingo 软件的功能是可以求解非线性规划(也可以做线性规划,整数规划等)，特点是运算速度快，允许使用集合来描述大规模的优化问题。 大规模数学规划的描述分为四个部分： model: 1．集合部分（如没有，可省略） SETS: 集合名/元素1，元素2，…，元素n/：属性1，属性2，… ENDSETS 2．目标函数与约束部分 3．数据部分（如没有，可省略） 4．初始化部分（如不需要初始值，可省略） end 关键字：材料 Lingo 软件 整数规划 问题描述： 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料都是19米。 （1）现有一顾客需要50根4米、20根6米和15根8 米的钢管。应如何下料最节省？ （2）零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5米的钢管。应如何下料最节省。 （1）问题简化： 问题1. 如何下料最节省 ? 节省的标准是什么？ 原料钢管:每根19米 4米50根 6米20根 8米15根 防盗窗下料问题 摘要 本文针对寻找经济效果最优的钢管下料方案，建立了优化模型。问题中的圆形管下料设定目标为切割原料圆形管数量尽可能少且在使用一定数量圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，故设目标为使截得后剩余方形管总余量最小。模型的建立过程中，首先运用了C语言程序，利用逐层分析方法，罗列出针对一根钢材的截取模式；然后根据条件得出约束关系，写出函数关系并对圆形管下料建立了线性模型，对方形管下料建立了非线性模型；接着，在对模型按实际情况进行简化后，借助lingo程序对模型求解，得出了模型的最优解，并给出了最符合经济效果最优原则的截取方案。 关键词：钢管下料；最优化；lingo； 问题提出 某不锈钢装饰公司承接了一住宅小区的防盗窗安装工程，为此购进了一批型号为304的不锈钢管，分为方形管和圆形管两种，方管规格为25×25×1.2(mm),圆管规格Φ19×1.2(mm)。每种管管长有4米和6米两种，其中4米圆形管5000根，6米圆形管9000根，4米方形管2000根，6米方形管2000根。 根据小区的实际情况，需要截取1.2m圆管8000根， 1.5m圆管16500根，1.8m圆管12000根，1.4m方形管6000根，1.7m方形管4200根，3m方形管2800根。 请根据上述的实际情况建立数学模型，寻找经济效果最优的下料方案。 基本假设和符号说明 1、假设钢管切割过程中无原料损耗或损坏； 2、假设余料不可焊接； 3、假设同种钢材可采用的切割模式数量不限； 4、假设不同长度钢管运费、存储资源价值没有区别； 5、假设该304型号不锈钢管未经切割则价值不变，可在其它地方使用。 为便于描述问题，文中引入一些符号来代替基本变量，如表一所示： 问题分析与模型建立 问题中的圆形管原料足够，寻找经济效果最优的下料方案，即目标为切割原料圆形管数量尽可能少。考虑到6米圆形管与4米圆形管的采购价格应该是不同的，所以我们寻求的是在使用一定数量6米圆形管与4米圆形管的过程中使被切割利用过的原料总进价尽可能低。 首先要确定针对6米和4米不同规格的圆形管合理的截取模式各有哪几种。然后我们从所有截取模式中选取若干种截取模式，并设计出最佳的截取方案。 问题中的方形管原料不足以提供所需截得的所用钢管，所用的原料必然都要用于切割，不存在使用总钢管数量最少的说法，故我们可建立模型使截得后剩余方形管总余量最小。 中级职称_工程系列电气装备专业技术人员继续教育线上学习_答案 数学建模1 1.在敏感问题调查中，为了减轻被调查者的抵触情绪，瓦纳设计了一种随机问答法，这种方法需要向调查者提几个问题（6.0分） A.1 B.2 C.3 D.4 我的答案：B √答对 2.如果原料钢管的长度为19米，当客户的需求为4米、6米、8米有几种合理的切割模式？（6.0分） A.6 B.7 C.8 D.不确定 我的答案：B √答对 3.原料钢管的长度为19米，客户的需求为4米50根、6米20根、8米15根，则需要的最少原料钢管数为（6.0分） A.24 B.25 C.26 D.27 我的答案：B ×答错 4.在合理切割模式下，余料的长度应该（6.0分） A.小于客户需要钢管的最小长度 B.小于客户需要钢管的最大长度 C.大于客户需要钢管的最小长度 D.大于客户需要钢管的大长度 我的答案：A √答对 5.为调查大学中某一年级学生参加外语考试作弊的比例，用随机问答法进行调查。设计的两个问题为：问题1：你在这次考试中有作弊行为；问题2：你在这次考试中无作弊行为。设计的题号卡共100张，其中75张标有数字1，25张标有数字2。请200名学生根据任意抽得的卡上的标号对问题1或问题2用“是”或“否”回答（抽出的卡再放回），结果有60名回答为“是”，则该年级学生外语考试作弊的比例约为（ 6.0分） A.1% B.5% C.10% D.15% 我的答案：C √答对 1.钢管下料问题中，对于大规模问题，用模型的约束条件界定合理模式时采用的做法是（8.0分）） A.增加约束 B.缩小可行域 C.减小约束 D.增大可行域 我的答案：AB √答对 2.利用瓦纳的随机问答法进行敏感问题调查时,调查结果与下列哪些量有关（8.0分）） A.调查的人数 B.回答“是”的人数 C.标有不同数字的题号卡所占的比例 D.进行调查的时间 我的答案：ABC √答对 3.钢管下料问题2中，在客户增加了需求之后，客户需求的钢管米数为（8.0分）） A.4 B.5 C.6 D.8 我的答案：ABCD √答对 4.钢管下料问题中，在合理切割模式下，余料的米数可以为（8.0分）） B题钢管下料问题 摘要 应客户要求，某钢厂用两类同规格但不同长度的钢管切割出四种不同长度的成品钢管。故该原料下料问题为典型的优化模型。钢厂在切割钢管时，又要求每种钢管的切割模式都不能超过5种，故我们先分别列出两种原料钢管出现频率较高的切割模式，每一问都需要针对不同钢管节约要求分别求出5种切割模式的最佳组合。 第一问要求余料最少，在切割模式的选择方面，我们尽量要求余料为零，并在此基础上要求切割得成品钢管除满足客户要求外，多余客户要求的钢管数也要尽可能的少，运用Lingo软件求出余料最少时，需要65根A类钢管采用4种切割模式切割，需要40根B类钢管采用2种切割模式切割，总余料为20米。 第二问要求总根数最少，故我们只要求总根数最少，在这里我们分了两种情况：有余料时，需A类钢管65根，采用5种切割模式，需B类钢管38根，采用4种切割模式，余料各为2米；无余料时，需A类钢管75根，采用3种切割模式，需B类钢管39根，采用4种切割模式。 第三问我们运用Lingo软件求出较优解为当m=0.4时最大收益h=a-159，具体切割模式见模型求解部分。为了找到替代比例与最大收益的关系，我们分别给m赋值为0、10%、20%、30%、40%时，用Lingo解得各自的最大收益，并用四次拟合的方法大致算出了最大收益z和替代比例m的关系，为432 3 1 3 8 1 5 . 7 m = +-+-- m m h a m 6 6 . 1 1 3 8 2 4 3 1 . 7 9 . 7 2 （a为总售出额）。 第四问就是将钢厂下料问题一般化，将本文中模型进行推广，得出了可普遍应用的一般化模型。 关键词：优化模型、整数规划模型、线性规划模型、非线性规划模型、Lingo、四次拟合 数学建模之规划问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 一、线性规划 1.简介 适用情况 用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。如： （1）资源的合理利用 （2）投资的风险与利用问题 （3）合理下料问题 （4）合理配料问题 （5）运 输 问 题 （6）作物布局问题 （7）多周期生产平滑模型 （8）公交车调度安排 建立线性规划的条件 （1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； （2）要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述。 线性规划模型的构成 决策变量、目标函数、约束条件。 2、一般线性规划问题 数学标准形式： 目标函数： 1 max == ∑n j j j z c x 约束条件：1 ,1,2,...,,..0,1,2,...,.=?==???≥=?∑n ij j i j j a x b i m s t x j n matlab 标准形式： 3、可以转化为线性规划的问题 例：求解下列数学规划问题 解：作変量変换1||||,,1,2,3,4,22 +-= ==i i i i i x x x x u v i 并把新变量重新排序成一维变量[]1414, ,,, ,?? ==???? T u y u u v v v ，则可把模型转化为线性规划模型 其中：[]1,2,3,4,1,2,3,4;=T c 12,1,;2??=---??? ?T b 111111131 - - ?? ??= - -???? -1 -1 3??A 。 利用matlab 计算得最优解：12342,0,=-===x x x x 最优值z=2。 程序如下： 略 二、整数规划 1.简介 数学规划中的变量(部分或全部)限制为整数时称为整数规划。目前流行求解整数规划的方法一般适用于整数线性规划。 整数规划特点 1）原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，出现的情况有 ①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。 ②整数规划无可行解。 ③有可行解（存在最优解），但最优解值变差。 2）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整获得。 求解方法分类 （1）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。 （2）隔平面法—可求纯或混合整数线性规划。 （3）隐枚举法—可求“0-1”整数规划。 （4）匈牙利法—解决指派问题。 （5）蒙特卡洛法—求解各种类型规划. 整数规划的应用模型 （1）固定费用的问题。 （2）指派问题。 （3）合理下料问题。 （4）流动推销员问题。 （5）生产与销售计划问题。 有关说明 2004年全国部分高校研究生数学建模竞赛组织委员会、评审委员会热烈欢迎广大研究生参加竞赛，接受挑战，真心预祝你们在竞赛中充分发挥自己的聪明才智，团结协作，顽强拼搏，赛出风格，赛出水平。衷心希望你们通过竞赛增长才干，提高能力。 本次竞赛共有A、B、C、D四道赛题，每队可任选一题参赛，只要在九月二十日十八时之前寄出参赛论文都可以参加评奖。但是由于赛题的难度不可能完全相同，差异在所难免。因此，在评奖中既要考虑四条题目之间的大致平衡，也会考虑到题目的难易程度，向选择难度较大题目的参赛队有所倾斜，特此说明。 由于各种原因，参赛队也有可能对题目有疑问，可以在 https://www.doczj.com/doc/b7884936.html,的网页上贴出疑问，我们将请命题人在同一网页尽快作出回答，以提高效率。但绝对不应借此进行讨论，请各参赛队 自觉遵守竞赛纪律。 竞赛仅仅是个手段，不是目的。因此，我们真诚欢迎广大研究生竞赛后对赛题继续进行深入的讨论，中国数学建模网页将为大家提供交流的平台。在评奖中可能参考这里的结果，更重要的是争取把这些真刀真枪的实际问题解决得更好，扩大数学建模活动的影响，同时也进一步提高我国数学建模活动的水平。评审委员会将选择讨论中出现的优秀成果（包括少量的竞赛优秀论文）在核心期刊上发表。 研究生和教师是数模活动的主体，我们真诚地盼望能经常听到你们的意见与建议，让我们共同努力把这一活动办得既扎实又有成效。 补充通知 各参赛队： 关于竞赛的几个具体问题通知如下： 1、竞赛采用统一封面，请与题目一同下载。 2、参赛队号已正式通知各校，为防止通信出现差错， 各校的参赛队号表也与题目公布在一起备查。 3、鉴于有部分学校分几次报名，有的学校对报名表的 顺序没有足够地重视，也有参赛队的成员已发生变化，同时防 止组委会登记工作中出现错误，请每个参赛队务必重填报名表， 并由学校竞赛负责人分配属于本校的队号，不要发生本单位内 或本单位与外单位重号现象。重填后的报名表应装订于论文的 封面前。 易拉罐形状和尺寸的最优设计模型 【摘要】本模型是易拉罐形状和尺寸的最优设计问题。其关键问题是如何优化易拉罐形状和尺寸比例以达到节省生产成本的目的。根据最优化理论，根据给出的不同的易拉罐形状，利用算数几何平均值不等式求极小值的方法，以易拉罐表面积为目标函数的数学模型，求出盖直径和罐高之比为1：1，这与所测量的顶盖到底的高度约为顶盖直径的2倍这一关系不相符合。这是由于易拉罐顶盖的厚度与其他部分材料的厚度不同而造成的，为此文中以易拉罐所用材料的体积最少来建立优化模型，将圆柱体基本模型进一步改造，且求出在易拉罐制作方面所用材料最省前提下盖直径和罐高之比为1:2。进而证实利用Lingo编程所得的理论数据与实际测量易拉罐所得数据基本相符。 【关键词】易拉罐材料最优化模型 一．问题重述 我们只要稍加留意就会发现现在销量很大的饮料（例如饮料量为355ml的可口可乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，这是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。因此，我们着手研究什么样的形状和尺寸是易拉罐的最优设计。 现针对以下问题，研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。 问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明。 问题二：设易拉罐是一个正圆柱体，那么它的最优设计是什么？其结果是否可以合理地说明 所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。 问题三：设易拉罐的中心纵断面如图1所示，即上面部分是一个正圆台， 下面部分是一个正圆柱。它的最优设计是什么？其结果是否可以合理地说明 所测量的易拉罐的形状和尺寸。 问题四：利用所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺 寸的最优设计。图1 同时，以做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。 二．问题分析 钢管下料问题 摘要 生产中常会遇到通过切割、剪裁、冲压等手段,将原材料加工成所需大小这种工艺过程,称为原料下料问题.按照进一步的工艺要求,确定下料方案,使用料最省,或利润最大是典型的优化问题. 针对钢管下料问题，我们采用数学中的线性规划模型.对模型进行了合理的理论证明和推导，然后借助于解决线性规划的专业软件Lingo 11.0，对题目所提供的数据进行计算，从而得出最优解. 关键词线性规划最优解钢管下料 1、问题的提出 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割出售．从钢管厂进货得到的原材料的钢管的长度都是1850mm ，现在一顾客需要15根290 mm ，28根315 mm ，21根350 mm 和30根455 mm 的钢管．为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，以此类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原钢管最多生产5根产品），此外为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100 mm ，为了使总费用最小，应该如何下料？ 2、问题的分析 首先确定合理的切割模式，其次对于不同的分别进行计算得到加工费用，通过不同的切割模式进行比较，按照一定的排列组合，得最优的切割模式组，进而使工加工的总费用最少. 3、基本假设 假设每根钢管的长度相等且切割模式理想化.不考虑偶然因素导致的整个切割过程无法进行. 4、定义符号说明 （1）设每根钢管的价格为a ，为简化问题先不进行对a 的计算. （2）四种不同的切割模式：1x 、2x 、3x 、4x . （3）其对应的钢管数量分别为：i r 1、i r 2、i r 3、i r 4（非负整数）. 5、模型的建立 由于不同的模式不能超过四种，可以用i x 表示i 按照第种模式（i =1,2,3,4）切割的原料钢管的根数，显然它们应当是非负整数.设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产290mm ，315mm,,350mm 和455mm 的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）. 决策目标 切割钢管总费用最小，目标为： Min=（1x ?1.1+2x ?1.2+3x ?1.3+4x ?1.4）?a (1) 为简化问题先不带入a 约束条件 为满足客户需求应有 11r ?1x +12r ?2x +13r ?3x +14r ?4x ≧15 (2) 21r ?1x +22r ?2x +23r ?3x +24r ?4x ≧28 (3) 31r ?1x +32r ?2x +33r ?3x +34r ?4x ≧21 (4) 41r ?1x +42r ?2x +43r ?3x +44r ?4x ≧15 (5) 每一种切割模式必须可行、合理，所以每根钢管的成品量不能大于1850mm 也不能小于1750mm.于是： 实验三钢管下料问题 摘要：本文研究了原料钢管如何下料（切割）使得其总费用最小的问题，建模时主要考虑如何根据顾客的不同需求对原料钢管下料（切割）使得其总费用及余料浪费最少。根据题意，本文为关于钢管下料的优化问题，因此本文建立了整数非线性规划模型，运用LINGO软件求解模型，获得对原料钢管的最佳下料方案。 一、问题重述 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出。从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是1850mm.现有一客户需要15根290mm,28根315mm,21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根原料钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不能超过100mm.为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设和符号说明 基本假设： （1）在加工钢管时机器正常工作，且能按要求的规格切割; （2）加工的钢管不考虑因摩擦或加热而引起的变形，即所加工的钢管都是满足要求的; （3）余额不进行循环加工使用； （4）每根原料钢管的价格稳定； （5）忽略钢管切割处的废屑； （6）每根钢管都是合格的产品，不会再切割过程中产生多余的浪费。 符号说明 （1） x:按照第i种模式，原料钢管被切割的根数; i （2） r:第i种模式下，每根原料钢管中被切割为290mm规格的钢管根数; 1i （3） r:第i种模式下，每根原料钢管中被切割为315mm规格的钢管根数; 2i （4） r:第i种模式下，每根原料钢管中被切割为350mm规格的钢管根数; 3i （5） r:第i种模式下，每根原料钢管中被切割为455mm规格的钢管根数. 4i 三、问题分析 在分体的解决过程中，第一步我们要根据客户的要求选择切割模式，并且选择的模式中使用料最省，同时钢管在进行切割后出售，不能只考虑材料的问题，还要考虑切割成本，因此本题应该是在切割模式选定中选择出浪费材料和成本的最优解，即本题建立一个优化的数学模型。 四、模型建立 因为规格所使用的切割模式不超过4种，额外切割费用根据切割模式所使用的频率发生变化。 数学建模之钢管下料问题案例分析 钢管下料问题 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后售出，从钢管厂进货时得到的原料钢管都是19m 。 (1）现在一客户需要50根4m 、20根6m 和15根8m 的钢管。应如何下料最节省？ (2) 零售商如果采用的不同切割模式太多，将会导致生产过程的复杂化，从而增加生产和管理成本，所以该零售商规定采用的不同切割模式不能超过3种。此外，该客户除需要（1）中的三种钢管外，还需要10根5m 的钢管。应如何下料最节省。 问题（1）分析与模型建立 首先分析1根19m 的钢管切割为4m 、6m 、8m 的钢管的模式，所有模式相当于求解不等式方程： 12346819k k k ++≤ 的整数解。但要求剩余材料12319(468)4r k k k =-++<。 容易得到所有模式见表1。 表1 钢管切割模式 决策变量 用i x 表示按照第i 种模式(i=1,2,…，7)切割的原料钢管的根数。 以切割原料钢管的总根数最少为目标，则有 1234567min z x x x x x x x =++++++ 约束条件 为满足客户的需求，4米长的钢管至少50根，有 1236743250x x x x x ++++≥ 6米长的钢管至少20根，有 25673220x x x x +++≥ 8米长的钢管至少15根，有 346215x x x ++≥ 因此模型为： 1234567min z x x x x x x x =++++++ 123672567 346432503220..215,1,2,,7i x x x x x x x x x s t x x x x i ++++≥??+++≥?? ++≥??=?取整 解得： 12345670,12,0,0,0,15,0x x x x x x x ======= 目标值z=27。 即12根钢管采用切割模式2：3根4m ，1根6m ，余料1m 。 《数学建模》论文 原料钢管下料的非线性优化模型 学院：数学与信息科学学院 专业：信息与计算科学 组员：09102114 吴珍 09102109 董晓旭 指导老师：熊思灿 日期：2011 年 4 月 20 日 原料钢管下料非线性优化模型 摘要 本文研究了原料钢管如何下料（切割）使得其总费用最少的问题，建模时主要考虑如何根据顾客的不同需求对原料钢管下料（切割）使得其总费用及余料浪费最少。在一段时期内，每根原料钢管的购价稳定，不妨假设每根原料钢管的价值为1。根据题意，本文为关于钢管下料的优化问题，因此本文建立了整数非线性规划模型，运用LINGO软件求解模型，获得对原材料钢管的最佳下料方案。 通过求解获得了最优方案，结果表明，只需使用三种切割模式切割原料钢管，共需原料钢管19根。模式一所需原料钢管为14根，模式二所需原料钢管为4根，模式三所需原料钢管为1根。每种切割模式下切割成290mm、315mm、350mm、455mm的钢管根数如下表所示： 关键词：钢管下料总费用最少整数非线形规划切割模式 1问题重述 钢管零售商从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是一定的，而顾客需求的钢管长度多样，因此零售商必须将钢管按顾客的需求切割后售出。现有一零售商从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都为1850mm，有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依此类推，且每种切割模式下切割次数不能太多，规定一根原料钢管最多生产5根产品，此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料浪费不超过100mm。根据以上约束条件，求解一个最优下料模型，使得总费用最少。 2 问题分析 对于下料问题首先要确定采用哪些切割模式，所谓切割模式，是指按照顾客要求的长度在原料钢管上安排切割的一种组合。于是问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪几种合理的模式，每种模式切割多少根原料钢管最为节省。而所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。如果按照以上的办法处理，首先要通过枚举法确定哪些切割模式是合理的，并从中选出不超过4种模式，但是这种方法比较复杂。所以我们选择建立整数非线性规划模型分析求解，同时确定切割模式和切割数量，。 钢管进行切割后售出，为取得最大的经济效益要求总费用最少，而在进行切割时，一个合理的切割模模型应尽可能地减少余料浪费（题中给出要求为每根原料钢管浪费量不能超过100mm）。 对要求的四种切割模式进行假设（为缩小可行解的搜索范围可直接假设x1>=x2>=x3>=x4）,根据题目对模型中提出的各种要求将假设的数据进行约束，用LINGO11程序求出最优解，并将求出的最优解代入问题进行验证。 3 模型假设 1.在加工钢管时机器正常工作，垂直切割且按所要求的规格切割。 2.零售商从钢管厂进货时所获得的钢管均为合格品。 3.加工的钢管不考虑因摩擦或加热而引起的变形，即所加工的钢管都是令 人满意的。 4.余额不进行循环加工使用。 5.忽略钢管切割处的废屑。 6.每根原料钢管的价值稳定。 4 符号假设 ①Xi：按照第i种模式，原料钢管被切割的根数。 ②Ai：第i种模式下，每根原料钢管中切割为290mm规格的钢管根数。 ③Bi：第i种模式下，每根原料钢管中切割为315mm规格的钢管根数。钢管下料问题
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