一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）
1．同学们都知道，表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）求＝________．
（2）若，则 =________
（3）同理表示数轴上有理数x所对应的点到－1和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是
________(直接写答案)
【答案】（1）7
（2）7或-3
（3）-1，0，1，2.
【解析】【解答】（1）|5-（-2）|=7，
故答案为：7；
（ 2 ）|x-2|=5，
x-2=5或x-2=-5，
x=7或-3，
故答案为：7或-3；
（ 3 ）如图，
当x+1=0时x=-1，
当x-2=0时x=2，
如数轴，通过观察：-1到2之间的数有-1，0，1，2，
都满足|x+1|+|x-2|=3，这样的整数有-1，0，1，2，
故答案为： -1，0，1，2．
【分析】（1）化简符号求出式子的值；（2）根据绝对值的性质得到x-2=5或x-2=-5，求出x的值；（3）根据题意画出数轴，得到-1到2之间的整数有-1，0，1，2，得到满足方程的整数值有-1，0，1，2.
2．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
（1）阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将化成分数．
设．
由，可知，
即．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得，即．填空：将写成分数形式为________ ．
（2）请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程. 【答案】（1）
（2）解：设 =m，方程两边都乘以100，可得100× =100x
由=0.7373…，可知100× =73.7373…=73+0.73
即73+x=100x
可解得x= ，
即 =
【解析】【分析】解：(1)设0.4˙=x，则4+x=10x，
∴x= .
故答案是：；
（2）理解该材料的关键在于：将循环小数扩大的倍数在于循环小数的循环节，释放一个循环节后，循环小数的大小仍不变.
3．已知关于的方程的解也是关于的方程的解．（1）求、的值；
（2）若线段，在直线AB上取一点P，恰好使，点Q是PB的中点，求线段AQ的长．
【答案】（1）解：(m?14)=?2，
m?14=?6m=8，
∵关于m的方程的解也是关于x的方程的解.
∴x=8，
将x=8,代入方程得：
解得：n=4，
故m=8，n=4；
（2）解：由(1)知：AB=8, =4，
①当点P在线段AB上时，如图所示：
∵AB=8, =4，
∴AP= ,BP= ，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=BQ= BP= ，
∴AQ=AP+PQ= + = ；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图所示：
∵AB=8, =4，
∴PB= ，
∵点Q为PB的中点，
∴PQ=BQ= ，
∴AQ=AB+BQ=8+ =
故AQ= 或 .
【解析】【分析】（1）先解求得m的值，然后把m的值代入方程，即可求出n的值；（2）分两种情况讨论：①点P在线段AB上，②点P在线段AB的延长线上，画出图形，根据线段的和差定义即可求解；
4．元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x>300）．
（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠．
（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．
【答案】（1）解：在甲超市购物所付的费用是：元，
在乙超市购物所付的费用是：元；
当时，在甲超市购物所付的费用是：，
在乙超市购物所付的费用是：，
所以到乙超市购物优惠
（2）解：根据题意由得：，
解得：，
答：当时，两家超市所花实际钱数相同
【解析】【分析】（1）甲超市费用：利用300元+超出300元部分×0.8即得；乙超市费用：利用200元+超出200元部分×0.85即得；然后将x=400分别代入甲乙超市费用的代数式中计算即可.
（2）由甲超市费用=乙超市费用建立方程，求出x值即可.
5．对于三个数a，b，c，用 b，表示a，b，c这三个数的平均数，用 b，表示a，b，c这三个数中最小的数，如： 2，， 2， .
（1）若，求x的值；
（2）已知， 0，，是否存在一个x值，使得
0，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意：，
，
解得： .
（2）解：由题意：，
若，则 .
解得 .
此时与条件矛盾；
若，则 .
解得 .
此时与条件矛盾；
不存在.
【解析】【分析】（1）由，结合题意得，解之可得；（2）由，再分和两种情况分别求解可得.
6．阅读理解：一部分同学围在一起做“传数”游戏, 我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传数”.游戏规则是: 同学1心里先想好一个数, 将这个数乘以2再加1后传给同学
2，同学2把同学1告诉他的数除以2再减后传给同学3，同学3把同学2传给他的数乘
以2再加1后传给同学4，同学4把同学3告诉他的数除以2再减后传给同学5，同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学6，……，按照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1为止.
（1）若只有同学1，同学2，同学3做“传数”游戏.
①同学1心里想好的数是2, 则同学3的“传数”是________；
②这三个同学的“传数”之和为17，则同学1心里先想好的数是________.
（2）若有个同学（n为大于1的偶数）做“传数”游戏，这个同学的“传数”之和为，求同学1心里先想好的数是多少.
【答案】（1）5；3
（2）解：设同学1心里先想好的数为x，由题意得：
同学1的“传数”是2x+1
同学2的“传数”是
同学3的“传数”是2x+1
同学4的“传数”是x
……
同学n（n为大于1的偶数）的“传数”是x
于是
∵n为大于1的偶数
∴n≠0
∴
解得：
故同学1心里先想好的数是13.
【解析】【解答】解：（1）①由题意得：
故同学3的“传数”是5；②设同学1想好的数是a，则
解得：
故答案为：3
【分析】（1）根据题意分别计算出同学1和同学2、同学3的传数即可；（2）设同学1想好的数是a，由题意列出方程，再解方程求得a的值即可；（3）设同学1心里先想好的数为x，根据题意分别表示同学2、同学3、同学4的传数，找出规律，即可知同学n（n
为大于1的偶数）的“传数”是x，得，化简得，根据n为大于1的偶数，即可得出答案.
7．某服装厂计划购进某种布料做服装，已知米布料能做件上衣，米布料能做件裤子.
（1）一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍；
（2）这种布料是按匹购买的，每匹布料是将这种厚度为布料卷在直径为的圆柱形轴上，卷完布后的圆柱直径为D=20cm，其形状和尺寸如图所示，为使一匹布料所做的上衣和裤子刚好配成套，应分别用多少米的布料生产上衣和裤子(π取3)? （3）在(2)的条件下，一件上衣用料1米，服装厂要生产1000套，则需采购这样的布料多少匹?
【答案】（1）解：由题意可得：? 1.5.
答：一件上衣的用料是一条裤子用料的1.5倍
（2）解：一匹布的长度=100π+100.8π+101.6π+...+200π≈3×（100+100.8+101.6+...+200）=3× =56700mm=56.7m.
设应用x米的布料生产上衣，则用（56.7-x）米的布料生产裤子，根据题意得：
x=1.5 (56.7-x)
解得：x=34.02(米)≈34（米）
当x=34时，56.7－x=22.7（米）
答：应用34米的布料生产上衣，则用22.7米的布料生产裤子.
（3）解：1000÷34≈29.4≈30（匹）
答：需采购这样的布料30匹.
【解析】【分析】（1）求一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍，应先把各自的用料多
少表示出来.一件上衣的用料是：；一条裤子用料是：；将两个式子相除即可；（2）先求出一匹布的长度，然后根据一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5倍列方程求解即可；（3）由（2）可得一匹布生产衣服裤子的套数，用总套数÷一匹布生产衣服裤子的套数即可得到答案.
8．已知数轴上有A、B、C三个点,分别表示有理数-12、-5、5,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为秒。
（1）用含的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=________。
（2）当点P从点A出发,向点C移动,点Q以每秒3个单位从点C出发,向终点A移动,请求出经过几秒点P与点Q两点相遇?
（3）当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,Q点到达C 点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A,在点Q开始运动后,P、Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数；如果不能,请说明理由。
【答案】（1）t；17-t
（2）依题可得：
PA=t，CQ=3t，
∵P、Q两点相遇，
∴t+3t=5-（-12），
解得：t==4.25，
答：经过4.25秒点P与点Q两点相遇.
（3）依题可得：
AP=t，AC=5+12=17，
∵动点P的速度是每秒1个单位,
∴点P运动到B点时间为：（-5+12）÷1=7（秒），
①当点P在点Q右侧，且Q点还没有追上P点时（如图1），
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AQ=3（t-7），
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AP=AQ+PQ，
即3（t-7）+2=t，
解得：t=；
∴OP=OA-AP=12-=，
∴点P表示的数为：-.
②当点P在点Q左侧，且Q点追上了P点时（如图2），
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AQ=3（t-7），
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AQ=AP+PQ，
即3（t-7）=2+t，
解得：t=；
∴OP=OA-AP=12-=，
∴点P表示的数为：-.
③当点Q到达C点后，且P点在Q点左侧时（如图3），
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AC+CQ=3（t-7），
∵AC=17，
∴CQ=3（t-7）-17，
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AP+PQ+CQ=AC，
即t+2+3（t-7）-17=17，
解得：t=；
∴OP=AP-OA=-12=，
∴点P表示的数为：.
④当点Q到达C点后，且P点在Q点右侧时（如图4），
∵AP=t，PQ=2，
∴AQ=AP-PQ=t-2，
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AC+CQ=3（t-7），
∵AC=17，
∴CQ=3（t-7）-17，
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AQ+CQ=AC，
即t-2+3（t-7）-17=17，
解得：t=；
∴OP=AP-OA=-12=，
∴点P表示的数为：.
综上所述：点P表示的数为-， -，，.
【解析】【解答】解：（1）∵动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒，
∴P到A点的距离为：t，
又∵数轴上有A、B、C三个点,分别表示有理数-12、-5、5，
∴PC=CA-PA=（5+12）-t=27-t，
故答案为：t，27-t.
【分析】（1）根据题意得出PA=t，再由数轴上两点间的距离求出PC.
（2）根据题意表示出PA=t，CQ=3t，再由P点走过的路程+Q点走过的路程=CA，解之即可得出答案.
（3）根据题意分情况讨论：①当点P在点Q右侧，且Q点还没有追上P点时，②当点P 在点Q左侧，且Q点追上了P点时，
③当点Q到达C点后，且P点在Q点左侧时，④当点Q到达C点后，且P点在Q点右侧时，分别列出方程，解之即可得出答案.
9．点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为。数轴上A、B 两点之间的距离。
回答下列问题：
（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是 ________ ，如果＝2，那么x 的值是________ ；
（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=________ ；
（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是________.
【答案】（1）3
（2）2；或
（3）4
（4）x1
【解析】【解答】解：(1) 数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是：
( 2 ) 数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是：|x?(?1)|=|x+1|；
如果＝2，
或
( 3 )∵?1 ∴x?3<0，x+1>0， ∴|x?3|+|x+1|=3?x+x+1=4； ( 4 )∵|x?1|+|x+2|>3表示数轴上到?2和1的距离之和大于3的数， ∴x1. 故答案为：(1)3；(2)|x+1|，或；(3)4；(4)x1. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可直接算出答案； （2）根据两点间的距离公式得出，又＝2 ，从而列出方程，根据绝对值的意义去绝对值符号，再求解即可； （3）根据有理数的加减法法则，当?1 （4）根据两点间的距离公式可知|x?1|+|x+2|>3表示数轴上到?2和1的距离之和大于3的数，根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案。 10．（阅读理解）如果点M，N在数轴上分别表示实数m，n，在数轴上M，N两点之间的距离表示为或或 . 利用数形结合思想解决下列问题：已知数轴上点A与点B的距离为12个单位长度，点A 在原点的左侧，到原点的距离为24个单位长度，点B在点A的右侧，点C表示的数与点B 表示的数互为相反数，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒. （1）点A表示的数为________，点B表示的数为________. （2）用含t的代数式表示P到点A和点C的距离： ________， ________. （3）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒4个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后，P、Q两点之间的距离能否为2个单位？如果能，请求出此时点P表示的数；如果不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）2t； （3）解：设点Q运动了m秒，则m秒后点P表示的数是 . 当，m秒后点Q表示的数是，则 ，解得或7， 当m=5时，-12+2m=-2， 当m=7时，-12+2m=2， ∴此时P表示的是或2； 当时，m秒后点Q表示的数是， 则， 解得， 当m= 时，-12+2m= ， 当m= 时，-12+2m= ， 此时点P表示的数是 . 答：P、Q两点之间的距离能为2，此时点P点Q表示的数分别是，2， . 【解析】【解答】解：设A表示的数为x，设B表示的数是y. ， ∴ 又 故答案为：； . （ 2 ）由题意可知：秒后点P表示的数是，点A表示数，点C表示数12 ， . 故答案为：2t；。 【分析】（1）因为点A在原点左侧且到原点的距离为24个单位长度，所以点A表示数?24；点B在点A右侧且与点A的距离为12个单位长度，故点B表示：?24＋12＝?12； （2）因为点P从点A出发，以每秒运动2两个单位长度的速度向终点C运动，则t秒后点P表示数?24＋2t（0≤t≤18，令?24＋2t＝12，则t＝18时点P运动到点C），而点A表示数?24，点C表示数12，根据两点间的距离公式即可表示出PA,PC的长； （3）以点Q作为参考，则点P可理解为从点B出发，设点Q运动了m秒，那么m秒后点Q表示的数是?24＋4m，点P表示的数是?12＋2m，再分两种情况讨论：①点Q运动到点C之前；②点Q运动到点C之后根据两点间的距离公式列出方程求解即可解决问题。 11．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义： 数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|.如：|a+6|表示数a和﹣6在数轴上对应的两点之间的距离.|a﹣1|表示数a和1在数轴上对应的两点之间的距离. （1）若a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，b与3a互为相反数，直接写出点A对应的数，点B对应的数. （2）在（1）的条件下，已知点E从点A出发以1单位/秒的速度向右运动，同时点F从点B出发以2单位/秒的速度向右运动，FO的中点为点P，则下列结论：①PO+AE的值不变；②PO﹣AE的值不变，其中有且只有一个是正确的，选出来并求其值. （3）在（1）的条件下，已知动点M从A点出发以1单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以3单位/秒的速度向左运动，动点T从原点的位置出发以x单位/秒的速度向左运动，三个动点同时出发，若运动过程中正好先后出现两次TM＝TN的情况，且两次间隔的时间为4秒，求满足条件的x的值. 【答案】（1）解：a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小， ∴a＝﹣4，b＝12 ∴点A对应的数﹣4，点B对应的数12 （2）解：PO﹣AE的值不变 设运动时间为t秒，根据题意可得：BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t ∵FO的中点为点P ∴OP＝6+t ∴PO﹣AE＝6+t﹣t＝6 PO﹣AE的值不变 （3）解：设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t 根据第一次TM＝TN得：xt+12﹣3t＝4+t﹣xt 根据第二次TM＝TN得：x（t+4）﹣{3（t+4）﹣12}＝4+（4+t）﹣x（4+t） 两式联立得：x＝2 ∴满足条件的x的值为2 【解析】【分析】（1）a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a 和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小，据此求出a、b的值即可. （2）设运动时间为t秒，从而可得BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t，利用线段的中点求出OP的长，求出PO-AE的值即可求出结论. （3）设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t，根据两次TM＝TN，分别列出方程组，求出x的值即可. 12．数轴上，A、B两点表示的数a，b满足|a﹣6|+（b+12）2=0 （1）a=________，b=________； （2）若小球M从A点向负半轴运动、小球N从B点向正半轴运动，两球同时出发，小球M运动的速度为每秒2个单位，当M运动到OB的中点时，N点也同时运动到OA的中点，则小球N的速度是每秒________个单位； （3）若小球M、N保持（2）中的速度，分别从A、B两点同时出发，经过________秒后两个小球相距两个单位长度． 【答案】（1）6；-12 （2）2.5 （3）或或32或40 【解析】【解答】（1）∵|a﹣6|+（b+12）2=0， ∴a﹣6=0，b+12=0， ∴a=6，b=﹣12． 故答案为：6，﹣12； ⑵设M运动到OB的中点时所用的时间为t秒， 根据题意，得6﹣2t=﹣6，解得t=6． 设小球N的速度是每秒x个单位， 根据题意，得﹣12+6x=3，解得x=2.5， 答：小球N的速度是每秒2.5个单位． 故答案为：2.5； ⑶若小球M、N保持（2）中的速度，分别从A、B两点同时出发，设经过y秒后两个小球相距两个单位长度． ∵A、B两点表示的数分别是6、﹣12， ∴A、B两点间的距离为6﹣（﹣12）=18． 如果小球M向负半轴运动、小球N向正半轴运动， ①相遇前：2y+2.5y=18﹣2，解得y= ； ②相遇后：2y+2.5y=18+2，解得y= ； 如果小球M、小球N都向正半轴运动， ①追上前：2.5y﹣2y=18﹣2，解得y=32； ②追上后：2.5y﹣2y=18+2，解得y=40． 答：若小球M、N保持（2）中的速度，分别从A、B两点同时出发，经过或或32或40秒后两个小球相距两个单位长度． 故答案为：或或32或40． 【分析】（1）根据原式中a-6=0，b+12=0求出a和b的值即可； （2）可设小球运动的时间为x，根据题意，结合路程的等量关系式即可求出x的数值；（3）根据题意可知，两个球相距两个单位长度，可有两种可能的情况，求出符合条件的值即可。
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