![2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练(江苏专用)：4 导数的简单应用 Word版含解析]](https://img.doczj.com/imgb0/05arf3fl5qs6iux91z6l-01.webp)
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常考问题4 导数的简单应用
(建议用时：50分钟)
1．函数f (x )＝1
2x 2－ln x 的单调递减区间为________．
解析 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f ′(x )＝x －1
x ≤0，解得0 2．(2013·扬州质量检测)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x ＋1)(x －a )，若f (x )在x ＝a 处取到极大值，则a 的取值范围是________． 解析 根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f (x )在x ＝a 处取到极大值，所以x ＝a 为f ′(x )的一个零点，且在x ＝a 的左边f ′(x )＞0，右边f ′(x )＜0，所以导函数f ′(x )的开口向下，且a ＞－1，即a 的取值范围是(－1,0)． 答案 (－1,0) 3．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为________． 解析 xf ′(x )<0???? x >0，f ′(x )<0或??? x <0，f ′(x )>0. 当x ∈? ???? 12，2时，f (x )单调递减，此时f ′(x )<0. 当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递增，此时f ′(x )>0. 答案 ()－∞，0∪? ????12，2 4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x ＋2(a >0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a 的取值范围是______． 解析 由题意可知f ′(x )＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，所以根据导函数图象可得 又a >0，解得3 5．(2013·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________． 解析 因为函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，所以函数g (x )＝ax 3＋bx 在[0,1]上的最大值为2，而g (x )是奇函数，所以g (x )在[－1,0]上的最小值为－2，故f (x )在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－32. 答案 －3 2 6．设P 为曲线C ：f (x )＝x 2－x ＋1上的点，曲线C 在点P 处的切线斜率的取值范围是[－1,3]，则点P 的纵坐标的取值范围是________． 解析 设P (x 0，y 0)，则f ′(x )＝2x －1. ∴－1≤2x 0－1≤3，即0≤x 0≤2. ∵y 0＝f (x 0)＝x 2 0－x 0＋1＝? ?? ??x 0－122＋34 ， ∵x 0∈[0,2]，∴3 4≤y 0≤3， 故点P 的纵坐标的取值范围是?????? 34，3. 答案 ???? ?? 34，3 7．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 在区间[2,3]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 解析 ∵f (x )＝a ln x ＋x .∴f ′(x )＝a x ＋1. 又∵f (x )在[2,3]上单调递增，∴a x ＋1≥0在x ∈[2,3]上恒成立，∴a ≥(－x )max ＝－2，∴a ∈[－2，＋∞)． 答案 [－2，＋∞) 8．(2013·盐城调研)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值为________． 解析 依题意知f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， ∴f ′(1)＝0，即12－2a －2b ＝0，∴a ＋b ＝6. 又a >0，b >0，∴ab ≤? ????a ＋b 22 ＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴ab 的最大值为9. 答案 9 9．已知f (x )＝e x －ax －1. (1)求f (x )的单调增区间； (2)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解 (1)∵f (x )＝e x －ax －1(x ∈R )，∴f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )≥0，得e x ≥a .当a ≤0时，f ′(x )>0在R 上恒成立；当a >0时，有x ≥ln a ．综上，当a ≤0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调增区间为(ln a ，＋∞)． (2)由(1)知f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增， ∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x 在R 上恒成立． ∵x ∈R 时，e x >0，∴a ≤0， 即a 的取值范围是(－∞，0]． 10．(2013·西安五校二次联考)已知函数f (x )＝12ax 2－(2a ＋1)x ＋2ln x ，a ∈R . (1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1和x ＝3处的切线互相平行，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解 f ′(x )＝ax －(2a ＋1)＋2 x (x >0)． (1)由题意得f ′(1)＝f ′(3)，解得a ＝2 3. (2)f ′(x )＝ (ax －1)(x －2) x (x >0)． ①当a ≤0时，x >0，ax －1<0.在区间(0,2)上，f ′(x )>0；在区间(2，＋∞)上，f ′(x )<0，故f (x )的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)． ②当02.在区间(0,2)和? ????1a ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间? ? ???2，1a 上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(0,2)和? ????1a ，＋∞，单调递减区间是? ? ???2，1a . ③当a ＝1 2时，f ′(x )＝(x －2)2 2x ≥0， 故f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)． ④当a >12时，0<1a <2，在区间? ????0，1a 和(2，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间? ???? 1a ，2上， f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是? ????0，1a 和(2，＋∞)，单调递减区间是? ???? 1a ，2. 11．(2013·重庆卷)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解 (1)因f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6 x . 令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为 y －16a ＝(6－8a )(x －1)， 由点(0,6)在切线上可得6－16a ＝8a －6，故a ＝1 2. (2)由(1)知，f (x )＝1 2(x －5)2＋6ln x (x >0)， f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3) x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝2或3. 当0 故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数； 当2 由此可知f(x)在x＝2处取得极大值f(2)＝9 2＋6ln 2，在x＝3处取得极小值f(3) ＝2＋6ln 3. 备课札记： 计数原理与二项式定理 A组——大题保分练 1．设集合A,B是非空集合M的两个不同子集,满足：A不是B的子集,且B也不是A的子集． (1)若M＝{a1,a2,a3,a4},直接写出所有不同的有序集合对(A,B)的个数； (2)若M＝{a1,a2,a3,…,a n},求所有不同的有序集合对(A,B)的个数． 解：(1)110. (2)集合M有2n个子集,不同的有序集合对(A,B)有2n(2n－1)个． 当A?B,并设B中含有k(1≤k≤n,k∈N*)个元素, 则满足A?B的有序集合对(A,B)有n∑ k＝1C k n(2k－1)＝ n ∑ k＝0 C k n2k－ n ∑ k＝0 C k n＝3n－2n个． 同理,满足B?A的有序集合对(A,B)有3n－2n个． 故满足条件的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n－1)－2(3n－2n)＝4n＋2n－2×3n. 2．记1,2,…,n满足下列性质T的排列a1,a2,…,a n的个数为f(n)(n≥2,n∈ N*)．性质T：排列a1,a2,…,a n中有且只有一个a i ＞a i＋1 (i∈{1,2,…,n－1})． (1)求f(3)； (2)求f(n)． 解：(1)当n＝3时,1,2,3的所有排列有(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2), (3,2,1),其中满足仅存在一个i∈{1,2,3},使得a i＞a i＋1的排列有(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1), (3,1,2),所以f(3)＝4. (2)在1,2,…,n的所有排列(a1,a2,…,a n)中, 若a i＝n(1≤i≤n－1),从n－1个数1,2,3,…,n－1中选i－1个数按从小到大的顺序排列为a1,a2,…,a i－1,其余按从小到大的顺序排列在余下位置,于是满足题意的排列个数为C i－1 n－1. 若a n＝n,则满足题意的排列个数为f(n－1)． 综上,f(n)＝f(n－1)＋n－1 ∑ i＝1 C i－1 n－1＝f(n－1)＋2n－1－1. 第1讲 三角函数与平面向量 A 组 基础达标 1.若点? ????sin 5π 6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． 2.已知α∈? ????0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，那么sin α＝________. 3.(2019·榆林模拟)若sin ? ????A ＋π4＝7210，A ∈? ?? ??π4，π，则sin A ＝________． 4.若函数f (x )＝2sin ? ????2x ＋φ－π6(0<φ<π)是偶函数，则φ＝________． 5.已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π 2)的部分图象如图所示，那 么φ＝________． (第5题) 6.已知sin ? ????α＋π3＝1213，那么cos ? ?? ??π6－α＝________． 7.在距离塔底分别为80m ，160m ，240m 的同一水平面上的A ，B ，C 处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m. 8.(2019·湖北百校联考)设α∈? ????0，π3，且6sin α＋2cos α＝ 3. (1) 求cos ? ????α＋π6的值； (2) 求cos ? ????2α＋π12的值． B 组 能力提升 1.计算：3cos10°－1 sin170°＝________． 2.(2019·衡水模拟改编)设函数f (x )＝2cos (ωx ＋φ)对任意的x ∈R ，都有f ? ????π3－x ＝f ? ????π3＋x ，若函数g (x )＝3sin (ωx ＋φ)＋cos (ωx ＋φ)＋2，则g ? ?? ??π3的值是________． 3.已知函数f (x )＝sin (ωx ＋φ)(ω＞0)的图象的一个对称中心为? ????π2，0，且f ? ?? ? ?π4＝1 2 ，那么ω的最小值为________． 4.已知函数f (x )＝sin ? ????ωx ＋π5(ω>0)，f (x )在[0，2π]上有且仅有5个零点，给出以下四个结论： ①f (x )在(0，2π)上有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)上有且仅有2个极小值点； ③f (x )在? ????0，π10上单调递增； ④ω的取值范围是???? ??125，2910. 其中正确的结论是________．(填序号) 5.(2019·浙江卷)已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1) 当θ∈[0，2π)时，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值； (2) 求函数y ＝??????f ? ????x ＋π122＋??????f ? ????x ＋π42 的值域． 6.(2019·临川一中)已知函数f (x )＝M sin (ωx ＋π 6)(M >0，ω>0)的大致图象如图所示， 其中A (0，1)，B ，C 为函数f (x )的图象与x 轴的交点，且BC ＝π. (1) 求M ，ω的值； 第 1 页 共 28 页 2021年江苏省高考数学二轮解答题专项复习：数列 1．在数列{a n }中a 1＝1，且3a n +1＝a n +13n （n ∈N +）． （1）求证：数列{3n ?a n }为等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（1）证明：由a 1＝1，3a n +1＝a n + 13n ，可得3n +1a n +1＝3n a n +1， 即3n +1a n +1﹣3n a n ＝1， 可得数列{3n ?a n }是以3为首项，1为公差的等差数列； （2）由（1）可得3n ?a n ＝3+n ﹣1＝n +2， 则a n ＝（n +2）?（13）n ， 可得前n 项和S n ＝3?13+4?（13）2+5?（13）3+…+（n +2）?（13 ）n ， 13S n ＝3?（13）2+4?（13）3+5?（13）4+…+（n +2）?（13 ）n +1， 两式相减可得23S n ＝1+（13）2+（13）3+…+（13）n ﹣（n +2）? （13）n +1 ＝1+19(1?13n?1)1?13 ?（n +2）?（13）n +1， 化简可得S n =74?2n+74?（13 ）n ． 2．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n ＝（n +1）a n （n ∈N ）且a 1＝2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n ＝（a n ﹣1）2a n ．求数列{b n }的前n 项和T n ． 【解答】解：（1）由题意，2S n ＝（n +1）a n ，n ∈N *． 则2S n +1＝（n +2）a n +1，n ∈N *． 两式相减，得2a n +1＝（n +2）a n +1﹣（n +1）a n ， 整理，得 na n +1＝（n +1）a n ． 即a n+1n+1= a n n ，n ∈N *． ∴数列{a n n }为常数列． ∴a n n =a 11=2， ∴数列{a n }的通项公式为：a n ＝2n ． 学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（四） 11．什么是高阶导数？ 我们知道函数2x y =的导数是x 2y ='．而导数x 2y ='仍是可导的，它的导数是()2y =''．这种导数的导数()''y 就称为对y 对x 的二阶导数．一般地我们有： 函数y ＝f （x ）的导数()x f y '='仍是x 的函数，若函数()x f y '='的导数存在，则称 ()x f y '='的导数为y ＝f （x ）的二阶导数．记作即或22dx y d y '' ().dx dy dx d dx y d y y 22??? ??=' '=''或 相应地，把y ＝f （x ）的导数()x f '叫作函数y ＝f （x ）的一阶导数． 同样，若二阶导数()x f y ''=''的导数存在，则称其导数为y ＝f （x ）的三阶导数．记作 ()即或,dx y d x y 33''' ()()()()().dx y d dx d dx y d y y ,x f x f ,y y 22333???? ??=''''''=''''''='''或又记作 …… 一般地，若n －1阶导数()()()x f y 1n 1n --=的导数存在，则称其导数为y ＝f （x ）的n 阶 导数．记作()()即或n n n n dx y d x f ,y ()()()()()()()().dx y d dx d dx y d x f x f ,y y 1n 1n n n n 1n 1n n ??? ? ??==''=----或 这里的n 称为导数()x f n 的阶数．二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数． 若y ＝f （x ）具有n 阶导数，也常说成函数f （x ）为n 阶可导． 由以上高阶导数的定义可以看出，要求n 阶导数，需要求出n －1阶导数，要求n －1 2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意. 综合仿真练(一) 1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________. 解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}． 答案：{0,3} 2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________. 解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)， 所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1. 答案：1 3．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________． 解析：由题意知????? x >0，1－2log 6x ≥0，解得0 高三数学应用题专题 1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满 足u ＝? ??100v ＋23，0 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法” 例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F → 的最小值为 ________． (例1) 变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π 3，点M 是边AB 的中点， 点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN → ，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________． 变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________． 处理平面向量问题一般可以从两个角度进行： 切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算． 切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的． 1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F → ＝________． 2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________． 3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE → ＝33 32 ，则AB 的长为________． (第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________． 5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC → ⊥AB → ，则实数m n ＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13 AC →，则|BQ → |的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12 PC → ，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC → ，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________． (第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE → ＝λBA →＋μBD → (λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________． 9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1， 动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD → (m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n 的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC → 且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3. (1) 求AB →·AC →的值； (2) 求λ＋μ的值． 常考问题9 等差数列、等比数列 (建议用时：50分钟) 1．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12 ＋a 13＝________. 解析 a 1＋a 2＋a 3＝15?3a 2＝15?a 2＝5，a 1a 2a 3＝80?(a 2－d )a 2(a 2＋d )＝80，将a 2＝5代入，得d ＝3(舍去d ＝－3)，从而a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 2＋10d )＝3×(5＋30)＝105. 答案 105 2．(2013·泰州期中)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 3＋a 7＝3，a 2a 8＝2，则a 13 a 11 ＝________. 解析 根据等比数列的性质建立方程组求解．因为数列{a n }是递增等比数列，所以a 2a 8＝a 3a 7＝2，又a 3＋a 7＝3，且a 3＜a 7，解得a 3＝1，a 7＝2，所以q 4＝2，故a 13 a 11 ＝q 2＝ 2. 答案 2 3．(2013·南京二模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6 ＝13，则S 6 S 7 ＝________. 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 3S 6＝3a 1＋3d 6a 1＋15d ＝13?a 1＝2d ，所以S 6 S 7＝ 6a 1＋15d 7a 1＋21d ＝27 35. 答案 27 35 4．数列{a n }为正项等比数列，若a 2＝1，且a n ＋a n ＋1＝6a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则此数列的前4项和S 4＝________. 解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，当n ＝2时，a 2＋a 3＝6a 1，从而1＋q ＝6 q ，∴q ＝2或q ＝－3(舍去)，a 1＝12，代入可有S 4＝12×(1－24)1－2 ＝15 2. 江苏高考数学专题复习专题一函数与导数1 第1课时函数的图象与性质1 第2课时导数及其应用5 第3课时函数与方程8 第4课时函数与导数的综合应用10 专题二三角函数与平面向量14 第1课时三角函数的图象与性质14 第2课时平面向量、解三角形17 第3课时三角函数与向量的综合问题21 专题三不等式25 第1课时基本不等式及其应用25 第2课时不等式的解法与三个“二次”的关系29 专题四数列31 第1课时等差、等比数列31 第2课时数列的求和34 第3课时数列的综合应用38 专题五立体几何42 第1课时平行与垂直42 第2课时面积与体积47 专题六平面解析几何52 第1课时直线与圆52 第2课时圆锥曲线56 第3课时圆锥曲线的定点、定值问题60 第4课时圆锥曲线的范围问题64 专题七应用题67 专题八理科选修72 第1课时空间向量72 第2课时离散型随机变量的概率分布76 第3课时二项式定理80 第4课时数学归纳法84 专题九思想方法88 第1课时函数与方程思想88 第2课时数形结合思想92 第3课时分类讨论思想95 第4课时等价转化思想98 专题一 函数与导数 考情分析 函数与导数问题在高考中通常有两个小题和一个大题，主要考点有：一是函数的性质及其应用；二是分段函数的求值问题；三是函数图象的应用；四是方程根与函数零点转化问题；五是导数的几何意义及应用.函数与导数问题属中等难度以上，对考生的理解能力、计算能力、数学思想等方面要求较高. 第1课时 函数的图象与性质 考点展示 1.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2 的定义域是________. 2.(2016·江苏)设f ()x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)－1，1上，f ()x ＝?????x ＋a ，－1≤x <0? ????? 25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ? ????－52＝f ? ????92，则f ()5a 的值是________. 3.(17苏北三市三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和 C 分别在函数y 1＝3log a x ，y 2＝2log a x 和y 3＝log a x (a >1)的图象上，则实数a 的值为________. 第3题图 4.(17无锡一调)已知f ()x ＝? ??2x －3，x >0 g ()x ，x <0是奇函数，则f ()g ()－2＝________. 5.(17无锡一调)若函数f ()x 在[]m ，n ()m 高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 江苏省2013届高考数学（苏教版）二轮复习专题10 数__列(Ⅱ) 回顾2008～2012年的高考题，数列是每一年必考的内容之一.其中在填空题中，会出现等差、等比数列的基本量的求解问题.在解答题中主要考查等差、等比数列的性质论证问题，只有2009年难度为中档题，其余四年皆为难题. 预测在2013年的高考题中，数列的考查变化不大： 1填空题依然是考查等差、等比数列的基本性质. 2在解答题中，依然是考查等差、等比数列的综合问题，可能会涉及恒等关系论证和不等关系的论证. 1．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，a 1＋a 100＝9 10 ， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25 . a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝50 2 (a 1＋a 99)＝502×25 ＝10. 答案：10 2．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N * 满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝________. 解析：由已知得a 4＝a 2＋a 2＝－12，a 8＝a 4＋a 4＝－24，a 10＝a 8＋a 2＝－30. 答案：－30 3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝ S 1＋S 2＋…＋S n n ，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理 想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为2 004，那么数列12，a 1，a 2，…，a 500的“理想数”为________． 解析：根据理想数的意义有， 2 004＝500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 500， ∴501×12＋500a 1＋499a 2＋498a 3＋…＋a 500 501 ＝ 501×12＋2 004×500 501 ＝2 012. 答案：2 012 4．函数y ＝x 2 (x >0)的图象在点(a k ，a 2 k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数， a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________. 解析：函数y ＝x 2 (x >0)在点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0得a 2 ＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)，令y ＝0得a 3＝4；依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21. 答案：21 5．将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 高考理科数学数学导数专 题复习 Last revision date: 13 December 2020. 高考数学导数专题复习 考试内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数． 利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．证明不等式恒成立 考试要求： （1）了解导数概念的某些实际背景． （2）理解导数的几何意义． （3）掌握常用函数导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． （6）会利用导数证明不等式恒成立问题及相关问题 知识要点 在0x 处有增 称为函数，即 f 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ ).()(0)()(lim lim ) ()(lim )]()()([ lim 000'0000000000 x f x f x f x f x x f x x f x f x x x f x x f x x x x =+?=+??-?+=+???-?+=→?→?→?→?⑵如果 )(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 填空题专练(一) 1.(2018南京高三学情调研)若集合P={-1,0,1,2},Q={0,2,3},则P∩Q= . 2.(2018江苏南京高三期中)若复数z满足z(1-i)=2i,其中i是虚数单位,则复数z= . 3.(2017无锡普通高中高三期末)某高中共有学生2 800人,其中高一年级960人,高三年级900人,现采用分层抽样的方法,抽取140人进行体育达标检测,则抽取高二年级学生的人数为. 4.(2017江苏泰州姜堰模拟)甲、乙两名同学下棋,若甲获胜的概率为0.3,甲、乙下成和棋的概率为0.4,则乙获胜的概率为. 5.(2018江苏南京高三上学期期中)下面是一个算法的伪代码.如果输出的y值是30,那么输入的x值是. ,8a6+2a4=a2,则{a n}的前6项和S6的值为________. 6.(2019江苏高三模拟)在等差数列{a n}中,若a5=1 2 7.(2018南京第一学期期末调研)已知角α的终边经过点P(12,5),则sin(π+α)+cos(-α) 的值 是. 8.(2018江苏泰州姜堰高三上学期期中)曲线y=2x-ln x在点(1,2)处的切线方程是. 9.(2018江苏溧水中学月考)已知直线l:y=ax+2和A(1,4),B(3,1)两点,当直线l 与线段AB 有公共点时,实数a 的取值范围为 . 10.(2017徐州王杰中学高三月考)在三棱锥S-ABC 中,平面SAB,平面SBC,平面SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC 的表面积是 . 11.(2018江苏南京调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2 a +y 2 b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点,直线AF 2与椭圆的另一个交点为C,若AF 2??????? =2F 2C ?????? ,则该椭圆的离心率为 . 12.(2018南京高三学情调研)已知函数f (x)={2x 2,x ≤0,-3|x -1|+3,x >0.若存在唯一的整数x,使得f (x )-a x >0成 立,则实数a 的取值范围为 . 13.在△ABC 中,D 是BC 的中点,AD=8,BC=20,则AB ????? ·AC ????? 的值为 . 14.(2019江苏高三下学期期初联考)已知实数x,y,z 满足x+y+z=0,xyz=-3,则|x|+|y|+|z|的最小值是 . 答案精解精析 1.答案 {0,2} 解析 本题考查交集.集合P ∩Q={0,2}. 2.答案 -1+i 江苏省高考数学综合专题1－集合及其应用部分 高考命题规律： 从考查内容上，高考命题仍以考查概念和计算为主，考查两个集合的交集与并集、补集。 形式上以填空题为主。 从能力要求上看，注重基础知识和基本技能的教材，要求具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合问题。 知识的综合联系上看，本考点会纵横关系数学各个方面的知识体系，如不等式的解集与不等关系，方程与曲线，函数的图象性质，三角函数等。 重难点： 集合的三个基本特征：确定性，互异性，无序性。 集合中三种语言的互化是解决集合问题的关键，即：文字语言、符号语言、图象语言的互化。 方法技巧： 一、数形结合：把题设条件有效转化成图形或图象类型，利用几何的直观性，以“形”助“数” ，形象、直观、方便快捷。特别是韦恩图法、数轴法、函数图象法。 二、补集思想：对正面求解困难的问题，则可考虑先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略。具体地说，就是将研究的对象的全体视为全集，求了使问题反面成立的集合A ，则A 的补集即所求结论。 【2011年考题精选】 1。（2011江苏）已知集合{1,1,2,4},{1,0,2},A B =-=- 则_______,=?B A . 2．（2011安徽科）设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ?且?≠?B S 的集合S 为__________个. 3. （2011北京理科）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是____ 4. （2011广东理科）已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ?的元素个数为 ______ 5. （2011江西理科）若集合}02|{},3121|{≤-=≤+≤-=x x x B x x A ,则B A ?= _____ 6. （2011山东理科）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =_______ 7. （2011湖北理科）已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ? ?==>==>??? ?,则U C P =____ 8. （2011上海理科）若全集U R =，集合{|1}{|0}A x x x x =≥≤，则U C A = 【2010年考题精选】 导数专题复习（基础精心整理）学生版 【基础知识】 1.导数定义：在点处的导数记作k = 相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=- 2.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 3.导数的四则运算法则： （1） （2） （3） 4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性： ①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。 （3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】 一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率 ()()00f x x f x y x x +?-?=?V ；（3）取极限，得导数()00lim x y f x x →?'=?V 。 例1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1)(0则的值是（ ） A. 41- B. 2 C. 4 1 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430 --='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 二、导数的几何意义 ()f x 0x x x f x x f x f x x y x ?-?+='=='→?) ()(lim )(|000 00'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a =x x 1 )(ln '= )()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f ' -'=' ??? ? ??' ?'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ?>')(0)(x f x f ?<')(0)(x f x f ?≡')(x f '0)(='x f 江苏南通市2018届高三数学第二次调研 试卷（含答案） 南通市2018届高三第二次调研测试 数学Ⅰ 参考公式：柱体的体积公式，其中为柱体的底面积，为高． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．已知集合，则▲． 2．已知复数，其中为虚数单位．若为纯虚数，则实数a 的值为▲． 3．某班40名学生参加普法知识竞赛，成绩都在区间上，其频率分布直方图如图所示， 则成绩不低于60分的人数为▲． 4．如图是一个算法流程图，则输出的的值为▲． 5．在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC 为邻边作矩形，则该矩形的面积 大于32cm2的概率为▲． 6．在中，已知，则的长为▲． 7．在平面直角坐标系中，已知双曲线与双曲线有公共的 渐近线，且经过点 ，则双曲线的焦距为▲． 8．在平面直角坐标系xOy中，已知角的始边均为x轴的非负半轴，终边分别经过点 ，，则的值为▲． 9．设等比数列的前n项和为．若成等差数列，且，则的值为▲． 10．已知均为正数，且，则的最小值为▲． 11．在平面直角坐标系xOy中，若动圆上的点都在不等 式组表示的平面区域 内，则面积最大的圆的标准方程为▲． 12．设函数（其中为自然对数的底数）有3个不同的零点，则实数 的取值范围是▲． 13．在平面四边形中，已知，则的值为▲． 14．已知为常数，函数的最小值为，则的所有值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值；江苏省高考数学二轮复习专题八二项式定理与数学归纳法(理)8.1计数原理与二项式定理达标训练(含解析)
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