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2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(文科)

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)【2015年湖北,文1,5分】i 为虚数单位,607i =( )

(A )i - (B )i (C )1- (D )1 【答案】A

【解析】60741513i i i i ?=?=-,故选A . (2)【2015年湖北,文2,5分】我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米

1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( ) (A )134石 (B )169石 (C )338石 (D )1365石 【答案】B

【解析】依题意,这批米内夹谷约为28

1534169254

?=石,故选B .

(3)【2015年湖北,文3,5分】命题“0(0,)x ?∈+∞,00ln 1x x =-”的否定是( ) (A )0(0,)x ?∈+∞,00ln 1x x ≠- (B )0(0,)x ??+∞,00ln 1x x =-

(C )(0,)x ?∈+∞,ln 1x x ≠- (D )(0,)x ??+∞,ln 1x x =-

【答案】C

【解析】由特称命题的否定为全称命题可知,所求命题的否定为()0,x ?∈+∞,ln 1x x ≠-,故选C .

(4)【2015年湖北,文4,5分】已知变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,变量y 与z 正相关.下列结论中正确的

是( )

(A )x 与y 负相关,x 与z 负相关 (B )x 与y 正相关,x 与z 正相关 (C )x 与y 正相关,x 与z 负相关 (D )x 与y 负相关,x 与z 正相关 【答案】A 【解析】因为变量x 和y 满足关系0.11y x =-+,其中0.10-<,所以x 与y 成负相关;又因为变量y 与z 正相关,

不妨设()0z ky b k =+>,则将0.11y x =-+代入即可得到:()()0.110.1z k x b kx k b =-++=-++,所以x 与

z 负相关,综上可知,故选A . (5)【2015年湖北,文5,5分】12,l l 表示空间中的两条直线,若p :12,l l 是异面直线;q :12,l l 不相交,则( )

(A )p 是q 的充分条件,但不是q 的必要条件 (B )p 是q 的必要条件,但不是q 的充分条件 (C )p 是q 的充分必要条件 (D )p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件 【答案】A

【解析】若p :12,l l 是异面直线,由异面直线的定义知,12,l l 不相交,所以q :12,l l 不相交成立,即p 是q 的充分

条件;反过来,若q :12,l l 不相交,则12,l l 可能平行,也可能异面,所以不能推出12,l l 是异面直线,即p 不是q 的必要条件,故选A .

(6)【2015年湖北,文6,5

分】函数256

()lg 3

x x f x x -+-的定义域为( )

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(A )(2,3) (B )(2,4] (C )(2,3)(3,4] (D )(1,3)(3,6]- 【答案】C

【解析】由函数()y f x =的表达式可知,函数()f x 的定义域应满足条件:40x -≥,256

03

x x x -+>-,解之得

22x -≤≤,2x >,3x ≠,即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4] ,故选C . (7)【2015年湖北,文7,5分】设x ∈R ,定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >??

==??-

,则( )

(A )|||sgn |x x x = (B )||sgn ||x x x = (C )||||sgn x x x = (D )||sgn x x x =

【答案】D

(2,3)(3,4]

【解析】对于选项A ,右边,0sgn 0,0x x x x x ≠?==?=?,而左边,0

,0x x x x x ≥?==?-

,显然不正确;对于选项B ,右边

,0sgn 0,0x x x x x ≠?==?=?,而左边,0,0x x x x x ≥?==?-

sgn 0,0,0

x x x x x x x >??

===??

而左边,0,0x x x x x ≥?==?-

sgn 0,0,0

x x x x x x x >??

===??-

,而左边,0,0x x x x x ≥?==?-

显然正确,故选D .

(8)【2015年湖北,文8,5分】在区间[0,1]上随机取两个数,x y ,记1p 为事件“1

2

x y +≤”的概率,2p 为事件

“1

2

xy ≤” 的概率,则( )

(A )1212p p << (B )1212p p << (C )2112p p << (D )211

2

p p <<

【答案】B

【解析】由题意知,事件“12x y +≤”的概率为11111222118p ??

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=

=?,事件“12

xy ≤”的概率 02S

p S =,其中()110211111ln 2222S dx x

=?+=+?,111S =?=,所以

()()021

1ln 21121ln 21122

S p S +===+>?,故选B .

(9)【2015年湖北,文9,5分】将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >

个单位长度,得到离心率为2e 的双曲线2C ,则( )

(A )对任意的,a b ,12e e > (B )当a b >时,12e e >;当a b <时,12e e <

(C )对任意的,a b ,12e e < (D )当a b >时,12e e <;当a b <时,12e e > 【答案】D

【解析】依题意,1e =,

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2e = 因为()()()

m b a b b m ab bm ab am a a m a a m a a m -++---==+++,由于0m >,0a >,0b >, 当a b >时,01b a <<,01b m a m +<<+,b b m a a m +<+,22

b b m a a m +????< ? ?+????

,所以12e e <;

当a b <时,1b a >,1b m a m +>+,而b b m a a m +>+,所以22

b b m a a m +????

> ? ?+????

,所以12e e >.

所以当a b >时,12e e <,当a b <时,12e e >,故选D .

(10)【2015年湖北,文10,5分】已知集合22{(,)1,,}A x y x y x y =+≤∈Z ,{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z ,

定义集合12121122{(,)(,),(,)}A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈,则A B ⊕中元素的个数为( )

(A )77 (B )49 (C )45 (D )30 【答案】C

【解析】因为集合(){}

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2

2,1,,A x y x

y x y =

+≤∈Z ,

所以集合A 中有9个元素(即9个点),即、 图中圆中的整点,集合{(,)||2,||2,,}B x y x y x y =≤≤∈Z 中有25个元素(即25个点): 即图中正方形ABCD 中的整点,集合12121122{(,)(,),(,)}

A B x x y y x y A

x

y B ⊕=++∈∈

的元素可看作正方形1111A B C D 中的整点(除去四个顶点),即77445?-=个,故选C .

二、填空题:共7小题,每小题5分,共35分.请将答案填在答题卡对应题号.......的位置上....

答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

(11)【2015年湖北,文11,5分】已知向量OA AB ⊥ ,||3OA =

,则OA OB ?= . 【答案】9

【解析】因为OA AB ⊥ ,3OA = ,()

22

239OA OB OA OA OB OA OA OB OA ?=?+=+?=== .

(12)【2015年湖北,文12,5分】若变量满足约束条件 则

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的最大值是 . 【答案】10

【解析】首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示,然后

根据图像可得: 目标函数3z x y =+过点()3,1B 取得最大值,即

max 33110z =?+=,故应填10.

(13)【2015年湖北,文13,5分】函数的零点个数为 .

【答案】2

【解析】函数()22sin sin 2f x x x π??=+- ???的零点个数等价于方程22sin sin 02x x x π?

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?+-= ??

?

的根的个数,即函数()2sin sin 2sin cos sin 22g x x x x x π?

?=+== ??

?与()2h x x =的

图像交点个数.于是,分别画出其函数图像如下图所示,由图可知,函数()g x

与()h x 的图像有2个交点.

(14)【2015年湖北,文14,5分】某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计,发

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现消费金额(单位:万元)都在区间内,其频率分布直方图如图所示. (Ⅰ)直方图中的_________; (Ⅱ)在这些购物者中,消费金额在区间内的购物者的人数为_________. 【答案】(Ⅰ)3;(Ⅱ)6000

【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得

0.20.10.80.1 1.50.120.1 2.50.10.11a ?-?-?+?+?+?=,解之

的3a =.于是消费金额在区间[]0.5,0.9内频率为0.20.10.80.120.130.10.6?-?+?+?=,所以消费金

额在区间[]0.5,0.9内的购物者的人数为:0.6100006000?=.

(15)【2015年湖北,文15,5分】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A 处

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时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30 的方向上,行驶600m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75 的方向上,仰角为30 ,则此山的高度CD = m .

【答案】【解析】依题意,30BAC ∠=?,105ABC ∠=?,在ABC ?中,由180ABC BAC ACB ∠+∠+∠=?,

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所以45ACB ∠=?,因为600AB =,由正弦定理可得600sin 45sin30BC

-=

??,

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即300BC =m ,在Rt BCD ?中, 因为30CBD ∠=?

,BC =

,所以tan30CD BC ?=

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,所以CD =m . (16)【2015年湖北,文16,5分】如图,已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ,与y 轴正半轴

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交于两点A ,B (B 在A 的上方),且2AB =. (Ⅰ)圆C 的标准..

方程为_________; (Ⅱ)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.

,x y 4,2,30,x y x y x y +≤??

-≤??-≥?

3x y +2π

()2sin sin()2

f x x x x =+-[0.3,0.9]a =[0.5,

0.9]

【答案】(Ⅰ)(

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)(2

2

12

x y

-+=;

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(Ⅱ)1-

【解析】(Ⅰ)设点的坐标为,则由圆与轴相切于点知,点的横坐标为,即,半径.又因为,所以,即,所以圆的标准方程为

(Ⅱ)令得:.设圆在点处的切线方程为,则圆心到其距离为:

,解之得.即圆在点处的切线方程为,于是令0

y=可得,即圆在点处的切线在轴上的截距为

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(17)【2015年湖北,文17,5分】a为实数,函数在区间上的最大值记为.当_________时,的值最小.

【答案】2

【解析】解法一:

因为函数()2

f x x ax

=-,所以分以下几种情况进行讨论:①当0

a≤时,函数()22

f x x ax x ax

=-=-在区间[]

0,1上单调递增,所以()()

max

1

f x

g a a

==-;②当02

a

<≤时,此时

22

2224

a a a a

f a

????

=-?=

? ?

????

,()11

f a

=-,而()

()2

22

120

44

a

a

a

-

--=-<,所以()()

max

1

f x

g a a

==-;

③当2

a>时,()()

2

max4

a

f x

g a

==.综上可知,()2

12

2

4

a a

g a a

a

?-≤

?

=?

>

?

?

,所以()

g a在

(,2?

-∞?上单调递减,在(2,?+∞?上单调递增,所以()()

max

2

g a g

=,所以当2

a=时,()

g a的值最小.

解法二:

①0

a≤,()()11

g a f a

==-;②01

a

<≤,()

()

()()

2

21

24

1102

a a

f a

g a

f a a

???

=<≤

? ?

???

=?

?=-<<

??

③12

a

<<,()

2

24

a a

g a f

??

==

?

??

;④2

a≥,()()11

g a f a

==-;

综上所述,当2

a=时,()

g a取到最小值3-

三、解答题:共5题,共65分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

(18)【2015年湖北,文18,12分】某同学用“五点法”画函数()sin()

f x A x

ω?

=+

π

(0,||)

2

ω?

><在某一个周期

...........

(Ⅱ)将()

y f x

=图象上所有点向左平行移动

π

6

个单位长度,得到()

y g x

=的图象.求()

y g x

=的图象离原点O最近的对称中心.

C

00

(,)

x y C x(1,0)

T C1

1

x=

r y

=2

AB=222

11y

+=

y r

=C

22

(1)(2

x y

-+=

x=1)

B C B1)kx

y-=C

d==1

k=C B x1)

y=+

x1

=C B x1-

2

()||

f x x ax

=-[0,1]()

g a a=

()

g a

解:(Ⅰ)根据表中已知数据,解得π

5,2,

A ω?===-. 数据补全如下表:

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知π()5sin(2)6f x x =-,因此 πππ

()5sin[2()]5sin(2)666

g x x x =+-=+.

因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ,k ∈Z . 令π2π6x k +=,解得ππ

212

k x =-,k ∈Z .

即()y g x =图象的对称中心为ππ0212k -(,)

,k ∈Z ,其中离原点O 最近的对称中心为π

(,0)12

-. (19)【2015年湖北,文19,12分】设等差数列{}n a 的公差为d 前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的公比为q .已知

11b a =,22b =,q d =,10100S =.

(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;

(Ⅱ)当1d >时,记n n n

a

c b =,求数列{}n c 的前n 项和n T .

解:(Ⅰ)由题意知:1110451002a d a d -=??=?,即1129202a d a d +=??=?,解得112a d =??=?或1929a d =???=??,故1

212n n n a n b -=-???=??或()112799299n n n a n b -?=+??

????= ?????

. (Ⅱ)由1d >,知21n a n =-,12n n b -=,故121

2

n n n c --=,

于是2341357921122222n n n T --=+++++ ① 234511357921

2222222n n n T -=+++++ ②

由①-②可得234521111111212323222222222n n n n n n T --+=++++++-=- ,故1

23

62n

n n T -+=-. (20)【2015年湖北,文20,13分】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD - 中,侧棱PD ⊥底面ABCD ,且PD CD =,点E 是PC 的中点,连接,,DE BD BE .

(Ⅰ)证明:DE ⊥平面PBC . 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直

角(只需写出结论);若不是,请说明理由;

(Ⅱ)记阳马P ABCD -

的体积为1V ,四面体EBCD 的体积为2V ,求1

2

V

V 的值.

解:(Ⅰ)因为PD ⊥底面ABCD ,所以PD BC ⊥. 由底面ABCD 为长方形,有BC CD ⊥,而PD CD D = ,

所以BC ⊥平面PCD . DE ?平面PCD ,所以BC DE ⊥. 又因为PD CD =,点E 是PC 的中点, 所以DE PC ⊥. 而PC BC C = ,所以DE ⊥平面PBC .

由BC ⊥平面PCD ,DE ⊥平面PBC ,可知四面体EBCD 的四个面都是直角三角形,

即四面体EBCD 是一个鳖臑,其四个面的直角分别是,,,.BCD BCE DEC DEB ∠∠∠

∠ (Ⅱ)由已知,PD 是阳马P ABCD -的高,所以111

33

ABCD V S PD BC CD PD =?=??;

由(Ⅰ)知,DE 是鳖臑D BCE -的高, BC CE ⊥,所以211

36

BCE V S DE BC CE DE ?=?=??.

在Rt △PDC 中,因为PD CD =,点E 是PC 的中点,所以DE CE ==,

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

于是 121

23 4.6

BC CD PD V CD PD V CE DE

BC CE DE ???===???

(21)【2015年湖北,文21,14分】设函数()f x ,()g x 的定义域均为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,()()e x f x g x +=,其中e 为自然对数的底数.

(Ⅰ)求()f x ,()g x 的解析式,并证明:当0x >时,()0f x >,()1g x >;

(Ⅱ)设0a ≤,1b ≥,证明:当0x >时,()

()(1)()(1)f x ag x a bg x b x

+-<<+-.

解:(Ⅰ)由()f x , ()g x 的奇偶性及()()e x f x g x +=, ① ()()e .x f x g x --+= ②

联立①②解得1()(e e )2x x f x -=-,1

()(e e )2

x x g x -=+.

当0x >时,e 1x >,0e 1x -<<,故()0.f x > ③

又由基本不等式,有1

()(e e )12

x x g x -=+=,即() 1.g x > ④

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2

x x x x x x x f x g x -''=-=+=+=, ⑤

2111e 1

()(e )(e )(e e )()2e 2e 2x

x x x x x x g x f x -''=+=-=-=, ⑥

当0x >时,()

()(1)f x ag x a x >+-等价于()()(1)f x axg x a x >+-, ⑦

()

()(1)f x bg x b x

<+-等价于()()(1).f x bxg x b x <+- ⑧

设函数 ()()()(1)h x f x cxg x c x =---,

由⑤⑥,有()()()()(1)h x g x cg x cxf x c '=----(1)[()1]().c g x cxf x =--- 当0x >时,

(1)若0c ≤,由③④,得()0h x '>,故()h x 在[0,)+∞上为增函数,从而()(0)0h x h >=,

即()()(1)f x cxg x c x >+-,故⑦成立.

(2)若1c ≥,由③④,得()0h x '<,故()h x 在[0,)+∞上为减函数,从而()(0)0h x h <=,

即()()(1)f x cxg x c x <+-,故⑧成立.

综合⑦⑧,得 ()

()(1)()(1)f x ag x a bg x b x

+-<<+-.

(22)【2015年湖北,文22,14分】一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,

长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动)

,M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 的方程;

(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究: △OPQ 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若 不存在,说明理由.

解:(Ⅰ)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,

2MD DN = ,且||||1DN ON ==

所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且22

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

0022

0()1,1.x t y x y ?-+=?

?+=?? 即0022,2.

t x x t y y -=-??=-?且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N

也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42

x y

x y ==-,

代入22

001x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为22 1.164

x y +=

(Ⅱ)(1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 为4x =或4x =-,都有1

4482OPQ S ?=??=.

(2)当直线l 的斜率存在时,设直线1

:()2l y kx m k =+≠±,由22

,416,y kx m x y =+??+=?

消去y ,可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,

所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=,即22164m k =+. ① 又由,20,y kx m x y =+??-=?

可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.

由原点O 到直线PQ 的距离为

d =|||P Q PQ x x -,可得

2015年高考湖北文科数学试题及答案(word解析版)

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22111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k

?=?=-=?+=-+-. ② 将①代入②得,22

2241281441

OPQ

k m S k k ?+==--. 当2

1

4k >时,2224128()8(1)84141

OPQ k S k k ?+==+>--;

当2

104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ?+==-+--.

因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以2

2

8(1)814OPQ S k

?=-+≥-, 当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ?的最小值为8.

综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值8.