求函数定义域的方法（一）
1。使分式的分母不为零的x的取值是函数定义域的一部分；
2。偶次根式中，使被开方数非负的x的取值是函数定义域的一部分；
3。使对数的真数大于零的x的取值是函数定义域的一部分；
4。使对数的底数大于零且不等于1的x的取值是函数定义域的一部分；
5。正切函数tanf(x)中，使f(x)不等于k*180度+90度的x的取值是函数定义域的一部分；
6。[ f(x)]0中使f(x)不等于零的x的取值是函数定义域中的一部分；
7。抽象函数求定义域的方法：
（1）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，求f（x2+1）的定义域。（其中x2表示x的平方）
（2）已知函数f（2x-1）的定义域为[0，1），求f（1-3x）的定义域。
解：（1）∵函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x
∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴f（x2+1）的定义域为{0}
（2）∵函数f（2x-1）的定义域为[0，1），即0≤x＜1
∴-1≤2x-1＜1
∴f（x）的定义域为[-1，1），即-1≤1-3x＜1
∴0＜x≤2/3 ∴f（1-3x）的定义域为（0，2/3]
现在我的问题是：为什么函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x？说解此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约的条件是一致的，即都在同一取植范围内。那么，这个对应法则是什么，又是如何产生这个对应法则的？
抽象函数的意思就是对应法则没有给出。
你所注意的是函数的定义域和值域。比方说，函数f（x2+1）中的x2+1相当于函数f（x）中的x，这是因为此时对应法则施加的对象是x2+1而不是x！！所以此时可以将x2+1看成是一个整体，令x2+1=t,则f(x2+1)=f(t),此时可以把f(x2+1)看成关于变量t的函数。实际上，这是一个复合函数即
y=f(t),t=g(x)=x2+1，以后你会学到的。所以，这里说的整体法很重要，跟参考书上是一个意思。
第2题目更是体现了这一点。因为函数f（2x-1）的定义域为[0，1）是对于变量x而言，所以应先算出2x-1在[0，1）的值域，显然-1≤2x-1＜1 ，所以对于函数f（1-3x）有-1≤1-3x＜1
∴0＜x≤2/3 ，f（1-3x）的定义域为（0，2/3] 当然是关于变量x的。
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创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ???>-≥②①0 x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤ ≤-。
函数定义域的几种求法 函数定义域指的是函数的自变量可能取的值的集合，也就是函数的有效输入值集合。 求函数定义域的几种方法有： 1、根据函数的表达式或方程求解法 这是最常见的求解函数定义域的方法，根据函数表达式或者是方程，计算有效解集， 从而求出函数定义域。 例如：函数f(x) = x2 +1 = 0, 求它的定义域； 由此等式我们可以得到 x2 = -1,则有x=$$\sqrt{-1}$$, 但是$$\sqrt{-1}$$不存在，从而该函数f(x)的定义域就是空集。 2、根据函数的几何图形特征求解法 这是一种不常用的求解函数定义域的方法，简而言之就是通过分析函数的几何图形特征，来求出函数定义域。 例如：如果我们想求函数y= 1/x的定义域，则我们可以发现，当x的值小于0时，y 的值会变成负数，而当x的值大于0时，y的值会变成正数；所以我们可以得出结论，这 个函数的定义域为 x>0。 3、根据定义求解法 例如：求函数g(x) = $$\sqrt{x}$$的定义域，由于x的开平方根√x必须大于等于0，所以该函数的定义域就是[0,+∞)。 4、根据解析学原理求解法 对于一般函数，我们还可以运用解析学原理求解函数定义域，这个是一种较为复杂但 可以非常准确的求解函数定义域的方法。 例如：求函数h(x) = |x| - 1的定义域；首先，我们使用变量y来表示y = |x| ， 并且通过解析学原理可以得到y = x, x≥ 0 或者 y = -x, x < 0 。根据等式 y - 1 = 0 我们可以得到 |x| - 1 = 0，即x=1或者x= -1。所以该函数的定义域为( -∞， -1] U [1,∞)。
8种求定义域的方法 在数学领域中，关于定义域的求解方法有许多种。下面将介绍其中的 八种方法。 方法一：根据函数公式求取定义域。 对于一些简单的函数，可以通过函数的公式直接求取定义域。例如对 于一个分式函数，如f(x)=1/(x-2)，由于分母不能为0，所以定义域为{x，x≠2}。 方法二：分析函数的基本性质。 有些函数拥有特定的性质，根据这些性质可以求得函数的定义域。例 如对于多项式函数，常数函数和指数函数，它们都定义在实数域上，因此 定义域为实数集。 方法三：考虑函数中的根。 对于包含根的函数，定义域不能使这些根使得函数的值出现未定义的 情况。例如对于开方函数f(x)=√(x-3)，由于根号下的值不能为负，所 以定义域为{x，x≥3}。 方法四：考虑函数的分段定义。 对于分段定义的函数，需要分别考虑每个分段的定义域。例如对于函 数f(x)=，x，分段定义为{x当x>=0时；-x当x<0时}，因此定义域为实 数集。 方法五：考虑函数的限制条件。
有时函数在定义域上有一些限制条件。例如对于对数函数f(x) = ln(x)，由于对数函数只对正数有定义，所以定义域为{x ， x > 0}。 方法六：考虑函数的参数限制。 对于含有参数的函数，需要考虑参数的限制条件。例如对于双曲正弦 函数f(x) = sinh(x)，由于双曲正弦函数对所有实数都有定义，所以定 义域为实数集。 方法七：考虑函数的复合性质。 对于复合函数，需要分析组成函数的定义域。例如对于函数f(g(x))，需要保证g(x)的定义域是f(x)的定义域。例如对于函数f(g(x)) = 1/x，如果g(x) = sin(x) + 2，由于sin(x)的定义域为实数集，所以g(x)的 定义域与f(x)的定义域保持一致。 方法八：考虑函数的图像。 对于一些函数，通过画出函数的图像可以直观地确定定义域。例如对 于一个二次函数f(x)=x^2+1，通过函数的图像我们可以看到函数的定义 域为实数集。 综上所述，我们介绍了八种常见的求取函数定义域的方法。根据函数 的公式、基本性质、根、分段定义、限制条件、参数限制、复合性质和图 像可以得到函数的定义域。
16 - x 2 一、常规型 函数定义域的求法整理 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例 1 求函数y = | x + 3 | -8 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?x 2 - 2x - 15 ≥ 0 ① ? ?| x + 3 | -8 ≠ 0 ② 由①解得 x ≤ -3 或x ≥ 5 。 ③ 由②解得 x ≠ 5 或x ≠ -11 ④ ③和④求交集得x ≤ -3 且x ≠ -11 或 x>5。 故所求函数的定义域为{x | x ≤ -3且x ≠ -11} {x | x > 5}。 例 2 求函数y = + 1 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?sin x ≥ 0 ① ? ?16 - x 2 > 0 ② 由①解得2k π ≤ x ≤ π + 2k π，k ∈ Z ③ 由②解得- 4 < x < 4 ④ 由③和④求公共部分，得 - 4 < x ≤ -π或0 < x ≤ π 故函数的定义域为(-4，- π] (0，π] 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1） 已知f (x) 的定义域，求f[g(x)] 的定义域。 （2） 其解法是：已知f (x) 的定义域是［a ，b ］求f[g(x)] 的定义域是解a ≤ g(x) ≤ b ，即为所求的定义域。 例 3 已知f (x) 的定义域为［－2，2］，求f (x 2 - 1) 的定义域。 解：令- 2 ≤ x 2 - 1 ≤ 2 ，得- 1 ≤ x 2 ≤ 3 ，即0 ≤ x 2 ≤ 3 ，因此0 ≤| x |≤ ，从而- ≤ x ≤ ，故函数的定义域 是{x | - ≤ x ≤ 3}。 （2） 已知f[g(x)] 的定义域，求 f(x)的定义域。 其解法是：已知f[g(x)] 的定义域是［a ，b ］，求 f(x)定义域的方法是：由a ≤ x ≤ b ，求 g(x)的值域，即所求 f(x)的定 x 2 - 2x - 15 sin x 3 3 3 3
8种求定义域的方法 定义域是数学中常用的一个概念，指函数能够接受的输入值的集合。求函数的定义域，即要找出函数的全部合法输入。 以下是常见的求解函数定义域的8种方法： 方法一：检查函数表达式中的分式，确定分母是否为零。如果分母为零的取值在实数范围内，那么该取值不属于该函数的定义域。 例子1：对于函数f(x) = 1/(x-1)，x-1=0，得到x=1。所以定义域是R- {1}。 方法二：检查函数表达式中的平方根、立方根等根式，确定根式内的值是否为负数。如果根式内的值为负数，那么该取值不属于该函数的定义域。 例子2：对于函数g(x) = √(x+2)，根式内的x+2≥0，所以定义域是[-2，+∞)。 方法三：检查函数表达式中的对数。对于以e为底的指数函数来说，取值只能是正数。对于以其他底数a（a>0 且a≠1）的对数函数来说，取值只能是大于0且底数a不能等于1的数。 例子3：对于函数h(x) = log3(x)，x>0且x≠1。所以定义域是(0, +∞)。 方法四：检查函数表达式中的三角函数。注意到三角函数是周期性的，并且在某些点处不连续。所以要考虑到函数在一个周期内的定义域，并将所有周期内的定义域取并集。
例子4：对于函数i(x) = sin(x)，它的定义域是R。 方法五：检查函数表达式中的指数。有些指数函数定义在整个实数集合上，而有些定义域只在实数集合的部分区间上。 例子5：对于函数j(x) = e^x，定义域是R。 方法六：当函数表示为两个函数的复合时，可以分别求出两个函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。 例子6：对于函数k(x) = arcsin(x^2)，x^2≤1，即-1≤x≤1。所以定义域是[-1, 1]。 方法七：设函数为二次函数，可以通过求解一元二次不等式的解集来确定函数的定义域。 例子7：对于函数l(x) = 2x^2 + 3x - 1，由2x^2 + 3x - 1≥0得到x≥(-3+√17)/4 或x≤(-3-√17)/4。所以定义域是(-∞, (-3-√17)/4] U [(-3+√17)/4, +∞)。 方法八：如果函数被定义为由一段函数描述，可以分别找出每一段函数的定义域，并找出它们的交集作为最后的定义域。 例子8：对于函数m(x) = x-1 + 2，分为x-1≥0 和x-1<0两段。对于x-1≥0，定义域是[1, +∞)；对于x-1<0，定义域是(-∞, 1]。所以定义域是(-∞, +∞)。 以上是求解函数定义域的八种常见方法。不同的函数可能需要采用不同的方法来
8种求定义域的方法 求解函数的定义域是数学中一个常见的问题，定义域是指函数在实数 范围内的所有可能取值。下面介绍八种常见的方法来求解函数的定义域。 1.显式定义法：通过查看函数的表达式来确定定义域。例如，对于函 数f(某)=√(某+3)，由于根号下面是正数，所以可以推断出定义域为某 ≥-3。 2.有理函数定义法：对于有理函数，定义域由其分母确定。分母中不 能包含使分母为零的值，因为这会导致函数的定义出现问题。例如，对于 函数f(某)=1/(某-2)，分母不能为零，所以定义域为某≠2。 3. 指数函数与对数函数定义法：对于指数函数 f(某) = a^某和对 数函数 f(某) = log_a 某，定义域取决于底数 a 的取值。指数函数中， 基数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。对数函数中，底数 a 必须大于 0 且不等于 1，所以定义域为(0, +∞)。 4. 三角函数定义法：对于三角函数 f(某) = sin(某), f(某) = cos(某), f(某) = tan(某)，定义域是所有实数。 5.意义域法：对于函数f(某)，通过确定其意义域和反向推导出定义域。例如，若f(某)=√(1-某)，意义域为[0,+∞)，则可以推断出定义域 为某≤1。 6.集合法：可以通过绘制函数对应的图像来确定定义域。对于连续函数，定义域是所有图像上的点的集合。对于离散函数，定义域是所有函数 被定义的点的集合。
7.奇偶性法：对于偶函数f(某)=f(-某)，定义域可以取所有实数。对于奇函数f(某)=-f(-某)，定义域可以取所有实数。 8.综合法：可以通过综合运用以上方法来求解复杂函数的定义域。例如，对于函数f(某)=√(1/(某-1))，首先排除某=1的因数，然后通过意义域法可以确定某>1，综合得出定义域为某>1。 通过以上八种方法，可以求解函数的定义域。根据函数的表达式、分母、底数、意义域、图像、奇偶性和综合分析等不同特点，选择合适的方法来确定函数的定义域。
实用标准 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例 1求函数 y x 22x15 | x 3 |8 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 x 22x150① | x 3 |8 0② 由①解得x3或 x 5 。③ 由②解得x5或 x11④ ③和④求交集得x3且 x11或x>5。 故所求函数的定义域为{ x | x 3且 x11}{ x | x5} 。 例 2求函数 y sin x 1 的定义域。16x 2 解：要使函数有意义，则必须满足 sin x0① 16x 20② 由①解得2k x2k，k Z③ 由②解得 4 x4④ 由③和④求公共部分，得 4x或 0x 故函数的定义域为(4， ](0， ] 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （ 1）已知f (x )的定义域，求f [ g(x )]的定义域。 （ 2）其解法是：已知 f (x) 的定义域是［a，b］求 f [g(x)] 的定义域是解a g(x) b ，即为所求的定义域。 例 3已知 f (x) 的定义域为［－2， 2］，求f ( x 2 1) 的定义域。 解：令 2 x 21 2 ，得 1 x2 3 ，即0 x 23，因此0| x | 3 ，从而 3 x 3 ，故函数的定义域是{ x | 3 x3} 。 （ 2）已知f [g( x)]的定义域，求f(x) 的定义域。 其解法是：已知 f [g(x )] 的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a x b，求g(x) 的值域，即所求f(x) 的定义域。 例 4已知 f (2x1) 的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为 1 x2，22x4，32x 1 5 。 即函数 f(x) 的定义域是{ x | 3x5} 。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例 5已知函数 y mx 26mx m8 的定义域为R求实数m的取值范围。 分析：函数的定义域为R，表明mx26mx 8m 0 ，使一切x∈R都成立，由 x 2项文档大全
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-= 的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
1求定义域的一般方法①整式：全体实数R； ②分式：分母，0次幂：底数； ③偶次根式：被开方式，例：； ④对数：真数，例： 1-1/x > 0 2函数的单调性： （1）定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D 上增函数； 若时有，称为D上减函数。（一致为增，不同为减）（2）区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域； （3）复合函数的单调性：即同增异减； 3函数的单调性： （1）定义：区间D上任意两个值，若时有，称为D 上增函数； 若时有，称为D上减函数。（一致为增，不同为减）（2）区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域； （3）复合函数的单调性：即同增异减； 4指对运算： 指数及其运算性质：当n为奇数时，；当n为偶数时，
分数指数幂：正分数指数幂：；负分数指数幂： 5对数及其运算性质： （1）定义：如果，以10为底叫常用对数，记为lgN，以e=2.7182828…为底叫自然对数，记为lnN （2）性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：，③底的对数等于1：，④积的对数：，商函数的单调性： 幂的幂的对数：，方根的对数：对数：，方根的对数， 6指数函数和对数函数的图象性质 函数指数函数对数函数 （） 定义 （） a>10 性质定义域（-∞，+∞） （-∞，+∞） （0，+∞） （0，+∞） 值域（0，+∞）（-∞，+∞） 单调性在（-∞，+∞） 上是增函数 在（-∞，+∞） 上是减函数 在（0，+∞） 上是增函数 在（0，+∞） 上是减函数函数值 变化 图象定点过定点（0，1）过定点（1，0） 图象 特征 图象在x轴上方图象在y轴右边 图象 关系 的图象与的图象关于直线对称幂的对数： ，方根的对数： 7等差数列：前n项和与通项的关系： 1.定义：。 2.通项公式：（关于n的一次函数）， 3.前n项和：（1）．（2）. （即S n = An2+Bn） 4.等差中项：或 8等差数列的主要性质： （1）等差数列，若，则。 三．等比数列： 1.定义：； 2.通项公式：（其中：首项是，公比是） 3.前n项和]：（推导方法：乘公比，错位相减） 求函数的定义域的基本方法有以下几种： 1、已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： ●分式中的分母不为零； ●偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ●指数式的底数大于零且不等于一； ●对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ●正切函数 ●余切函数 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 例1（2000上海）函数的定义域为。 分析：对数式的真数大于零。 解：依题意知： 即 解之，得 ∴函数的定义域为 点评：对数式的真数为，本来需要考虑分母，但由于 已包含的情况，因此不再列出。 2、代入法求抽象函数的定义域。 已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。 例2若函数的定义域为，则的定义域为。 分析：由函数的定义域为可知：；所以 中有。 解：依题意知： 解之，得 ∴的定义域为 点评：对数式的真数为，本来需要考虑，但由于已包含 的情况，因此不再列出。 3、应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范 围。 实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积； （2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）； （3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自然数，增长率要满足题设； （4）路程问题中，要考虑路程的范围。 例3、(2004上海) 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省? 分析：总面积为，由于，于是，即。又，∴的取值范围是。 解：由题意得 xy+x2=8,∴y==(0 函数定义域的求法整理(整理详细版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数定义域的求法整理 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8|3x |15 x 2x y 2 -+--=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ⎩⎨⎧≠-+≥--②① 08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ⎩⎨⎧>-≥②① 0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项的系数是m ，所以应分m=0或0m ≠进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R ； 当0m ≠时，08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是 1 m 00)8m (m 4)m 6(0m 2≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。 函数定义域的求法整理 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15x 2x y 2-+--=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ⎩⎨⎧≠-+≥--②①08|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ⎩⎨⎧>-≥②①0x 160x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求g(x)的值域，即所求f(x)的定 求函数的定义域的方法 求函数的定义域的方法，是研究函数的一个重要内容，它也是函数表达式、函数图形及其他函数性质的基础。本文将从定义域、方法及具体例子三个方面阐述求函数定义域的方法。 一、定义域 在数学中，函数定义域（domain）是指函数的可能输入值集合；而函数值域（range）是指函数的可能输出值集合。函数的定义域是由它的定义条件决定的，即给定的自变量的取值范围。可以这样理解：一个函数的定义域是指函数定义时所指定的自变量的取值范围。 二、求函数定义域的方法 1. 可以通过观察函数的定义公式，找出函数的定义条件，然后求出函数的定义域。 2. 在复杂的情况下，可以使用不等式或者不等式组来求函数定义域。例如，对于幂函数，可以使用判别式来求出定义域：如果某个数字x满足判别式D>0，则x属于函数的定义域；如果D<0，则x不属于函数的定义域。 3. 对于复杂的函数，可以使用图形法来求函数定义域。通过把函数的定义公式绘制成图形，我们可以看出函数定义域的范围。 三、具体例子 1. 例如，设函数f(x) = x² + 1，定义域就是所有实数集合。 2. 设y = sin x，定义域就是所有实数集合。 3. 设函数f(x) = 1/x，定义域就是x≠0的所有实数集合。 4. 设函数f(x) = √x，定义域就是x≥0的所有实数集合。 5. 设函数f(x) = ln x，定义域就是x>0的所有实数集合。 6. 设函数f(x) = |x|，定义域就是所有实数集合。 以上便是求函数定义域的方法，求函数定义域的方法也是函数表达式、函数图形及其他函数性质的基础，也可以利用定义域求函数的极值点，从而得出函数的极大值和极小值，从而得出函数的极值问题。 常见的函数定义域可以归纳如下 （1）当f(x)是整式时，函数的定义域是实数集R （2）当f(x)是分式时，定义域是分母不等于0的实数集合 （3）当f(x)是偶次根式时，函数的定义域是根式内的非负的实数集合 （4）当f(x)为对数时，函数的定义域是使其真数为正数（还要底数为正数且底数不等于1）的实数集合（5）当f(x)中含有正切tanx和正割secx时，函数的定义 π(n∈z)的实数集合，当f(x)中含有余域使x≠nπ+ 2 割和余切时，函数的定义域是x≠nπ（n∈z）的实 数集合 （6）当f(x)中含有反正弦与反余弦时，函数的定义域是满足|x|≤1的实数集合 （7）复合函数的定义域是复合的各基本函数定义域的交集 例一已知函数f(x)的定义域是（0 1],求g(x)=f(x+a)f(x-a) 1 0 函数定义域值域求法(全十一种) 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 常规型是指已知函数的解析式，求函数的定义域和值域。解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例如，对于函数 $y=\frac{x^2-2x-15}{|x+3|-8}$，要使函数有意义，则必须满足 $x^2-2x-15\geq 0$ 且 $|x+3|\neq 8$。解得$x\leq -3$ 或 $x\geq 5$，且 $x\neq -11$ 或 $x\neq 5$。将两个条件求交集得 $x\leq -3$ 且 $x\neq -11$ 或 $x>5$，即函数的定义域为 $\{x|x\leq -3\text{ 且 }x\neq -11\}\cup\{x|x>5\}$。 二、抽象函数型 抽象函数型是指没有给出解析式的函数，需要根据已知条件求解。一般有两种情况： 1）已知 $f(x)$ 的定义域，求 $f[g(x)]$ 的定义域。解法是：已知 $f(x)$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f[g(x)]$ 的定义域为解 $a\leq g(x)\leq b$。 例如，已知 $f(x)$ 的定义域为 $[-2,2]$，求 $f(x^2-1)$ 的 定义域。令 $-2\leq x^2-1\leq 2$，得 $-1\leq x^2\leq 3$，即 $- |x|\leq x\leq |x|$。因此，$-3\leq x\leq 3$，即函数的定义域为 $\{x|-3\leq x\leq 3\}$。 2）已知 $f[g(x)]$ 的定义域，求 $f(x)$ 的定义域。解法是：已知 $f[g(x)]$ 的定义域为 $[a,b]$，则 $f(x)$ 的定义域为 $g(x)$ 的值域。 例如，已知 $f(2x+1)$ 的定义域为 $[1,2]$，求 $f(x)$ 的定 义域。因为 $1\leq x\leq 2$，所以 $2\leq 2x\leq 4$，$3\leq 2x+1\leq 5$。即函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x|3\leq x\leq 5\}$。 三、逆向型 函数一、函数的定义域及求法1、分式的分母≠0；偶次方根的被开方数≥0； 2、对数函数的真数＞0；对数函数的底数＞0且≠1； 3、正切函数：* ≠kπ+ π/2 ,k∈Z；余切函数：* ≠kπ,k∈Z ； 4、一次函数、二次函数、指数函数的定义域为R； 5、定义域的相关求法：利用函数的图象〔或数轴〕法；利用其反函数的值域法； 6、复合函数定义域的求法：推理、取交集及分类讨论． [例题]： 1、求以下函数的定义域 3、函数y=lg(m*2-4m*+m+3)的定义域为R，**数m的取值范围． [解析]：[利用复合函数的定义域进展分类讨论] 当m=0时，则m*2-4m*+m+3=3，→ 原函数的定义域为R； 当m≠0时，则m*2-4m*+m+3＞0， ①m＜0时，显然原函数定义域不为R； ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为R， 所以当m∈[0,1) 时，原函数定义域为R． 4、求函数y=log2* + 1 (*≥4) 的反函数的定义域． [解析]：［求原函数的值域］ 由题意可知，即求原函数的值域， ∵*≥4,∴log2*≥2∴y≥3 所以函数y=log2* + 1 (*≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)． 5、函数f(2*)的定义域是[-1，1]，求f(log2*)的定义域． [解析]：由题意可知2-1≤2*≤21→f(*)定义域为[1/2，2] → 1/2≤log2*≤2→ √￣2≤*≤4． 所以f(log2*)的定义域是[√￣2,4]． 二、函数的值域及求法 1、一次函数y=k*+b(k≠0)的值域为R； 2、二次函数的值域：当a＞0时，y≥-△/4a ，当a＜0时，y≤-△/4a ； 3、反比例函数的值域：y≠0 ； 4、指数函数的值域为〔0，+∞〕；对数函数的值域为R； 5、正弦、余弦函数的值域为[-1，1]〔即有界性〕；正切余切函数的值域为R； 6、值域的相关求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；别离变量法．[例题]：：求以下函数的值域求函数的定义域的基本方法有以下几种
函数定义域的求法整理(整理详细版)
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求函数的定义域的方法
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函数的定义域及求法讲解
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