一元三次方程的解法
邵美悦
2018年3月23日
修改:2018年4月25日
众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法.
1配方法
一元二次方程
ax 2+bx +c =0,(a =0)
的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用
a (x +
b 2a )2=b 2?4a
c 4a
解出x =?b 2a ±√b 2?4ac 2a
.当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2?4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2?4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.2
1值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可.
1
一元二次方程的这一配方解法可以进行更细致地拆解.首先,我们可以将二次项系数归一化,只需要考虑
x2+?bx+?c=0,
其中?b=b/a,?c=c/a.然后引进新的变量y=x+?b/2可以消去一次项得到二项方程
y2=?b2
4
??c.
最后开平方解出
y=±√
?b2?4?c
2
,
再代入x=y??b/2即可算出x.一元二次方程实在太过简单,所以即使不像这样进行细致地拆解仍然可以很轻易地解出,这里拆解的目的只是为了简化记号,从而更容易看清楚每个步骤所起的作用.
对于一元三次方程而言,为了避免不必要的麻烦,同样只需要考虑首项系数为1的方程
x3+bx2+cx+d=0.
类似于一元二次方程的配平方,这里很自然地首先尝试配立方的办法,引进变量y=x+b/3便可以消去二次项得到形如
y3+py+q=0(1)的三项方程,3其中p和q的具体表达式留给读者自行推导.这样一来只要能够求解(1)就可以解出一般的一元三次方程.不过与一元二次方程不同的是,当p=0时(1)并不能直接开立方来求解,所以接下来我们需要进一步研究三项方程(1)的一般解法.
2三倍角公式
在中学教材的三角函数部分,三倍角公式远不如二倍角公式及半角公式重要,4不过三倍角公式和(1)的求解紧密相关.
考虑三倍角余弦公式
cos3θ=4cos3θ?3cosθ,(2)公式(2)的右端只含有cosθ而不含sinθ.如果令T3(x)=4x3?3x,那么cos3θ=T3(cosθ),也就是说cos3θ是cosθ的三次多项式.5
3另一种理解方式是,通过平移变换,我们总可以将一元三次方程的三根之和变为零.
4通常来讲我们并不鼓励中学生去记忆三倍角公式,只要在需要使用的时候能够临时推导就足够了.
5一般地,定义多项式序列T
(x)=1,T1(x)=x,
T n+2(x)=2xT n+1(x)?T n(x),(n∈N).
2
注意到在T 3(x )中的二次项系数为零,如果将T 3(x )与(1)的形式进行对比不难发现,当p =?3/4且?1/4≤q ≤1/4时,
y 3?34
y +q =0可以用代换q =?(cos 3θ)/4,y =cos θ来求解,得到y =cos (13arccos (?4q )+2kπ3
),其中k ∈{0,1,2}.
顺着这一思路,对于实数p <0,如果设y =r cos θ代入(1)就可以得到
r 3cos 3θ+rp cos θ+q =0,
当r 3/rp =?4/3时就可以凑成T 3(cos θ)的形式.于是我们取r =2√?p /3,就可以归结为
4cos 3θ?3cos θ?4q r 3=0.只要?4q /r 3是绝对值不大于1的实数(等价于(p /3)3+(q /2)2≤0)仍然可以按上述三角解法来解.6
3Vieta 代换和Cardano 公式
上一节中介绍的一元三次方程的三角解法由Vieta 提出,可以在p ,q 是实数并且(p /3)3+(q /2)2≤0的前提下求解(1)的三个实根.当然,在中学知识范围内这个解法对于p 和q 的取值范围有一定的要求,难以应用于一般的复系数一元三次方程.7另外,该方法需要引进三角函数和反三角函数,比起一元二次方程只需要用到四则运算和开方就能求解来讲要复杂一些.不过对这一三角解法进行适当推广很容易得到求解(1)的代数方法.
如果z =cos θ+i sin θ,那么cos θ=12(z +1z
),利用归纳法及和差化积公式容易验证cos nθ=T n (cos θ),这里的T n (x )称为n 次Chebyshev 多项式,也叫做第一类Cheby-shev 多项式.
6如果引进双曲函数
sinh θ=12
(e θ?e ?θ),cosh θ=12(e θ+e ?θ),并利用双曲函数的三倍角公式sinh 3θ=4sinh 3θ+3sinh θ,cosh 3θ=4cosh 3θ?3cosh θ,
则可解决三角解法中未曾顾及的p ,q 是实数但(p /3)3+(q /2)2>0的情况求出方程(1)的实根.
7在大学的复分析课程中,余弦函数的定义域和值域都将会扩大到整个复平面,届时Vieta 的三角解法就可以作为一元三次方程的通用解法,尽管这不能算是纯粹的代数解法.
3
由此即可将左端的三角函数cos θ用右端关于z 的有理函数来代替,并且右端只需要z =0即有意义,而无需再受到原先|z |=1的约束,这样就可以把由三角函数的值域过小造成的约束放宽.对于代换
y =r cos θ=rz 2+r 2z
,如果再引进w =rz /2,便可以得到r 2z =r 24w =?p 3w
,这里的最后一步用到了上一节中的选择r 2=?4p /3.
有了上面的分析,我们就可以“过河拆桥”,在一开始求解(1)时就直接进行换元
y =w ?p 3w ,(w ∈C \{0}).(3)这一变量代换称为Vieta 代换.注意到对于任何复数y ,总存在两个复数w (有可能相同)使得y 与w 满足关系式(3),所以Vieta 代换总是可行的,并且不会遗漏(1)的解.将(3)代入(1)得到
w 3
?p 3
27w 3+q =0,通分得到关于w 3的二次方程
w 6+qw 3
?p 3
27=0,于是w 是w =3√?q 2+√(q 2)2+(p 3)3(4)的6个值(考虑重数)之一,这里的3√·和√·都表示复数开方的任何一个结果.只要得到了w ,再代入(3)便求出了y .
记w 0为(4)中的任何一个结果,那么(1)的三个复根为
y 1=w 0?p 3w 0,y 2=ζw 0?p 3ζw 0,y 3=ζ2w 0?p 3ζ2w 0,(5)其中ζ=?1+√3i 2
.这一结果,即公式(4)和(5),称为Cardano 公式.需要指出的是,尽管w 0可以有6种取法(即w 0可以替换成ζw 0,ζ2w 0,?p /(3w 0),?ζp /(3w 0),?ζ2p /(3w 0)中的任何一个),但不论
4
哪一种取法,由(5)得到的三个解y 1,y 2,y 3总是相同的,至多仅有次序上的区别.另外,整个推导过程中并不要求p ,q 是实数,所有的运算都是复数运算,因此Cardano 公式对于p ,q 是复数的情况成立.
4历史意义
在16世纪早期,意大利数学家del Ferro 和Tartaglia 先后独立找到了一元三次方程的求解方法,这是欧洲文艺复兴时期在数学方面首次取得了超过古希腊数学成就的新成果,是数学史上重要的里程碑.Cardano 从Tartaglia 处学习到了一元三次方程的解法,并于1545年将其发表在著作Ars Magna 中,故一元三次方程的求根公式现在通常称为Cardano 公式.8
在Cardano 所处的年代,负数的地位尚未得到正式认可,只有正数才可以进行运算(方程中系数小于零的项都需要移到等号的另一侧使系数变为正数).而Cardano 提出如果承认负数,并且允许对负数开平方,将会扩展方程可解的范围.9尽管复数被数学界所理解并广泛接受还经历了相当长的一段时间,但是复数的出现对于代数学和分析学都有着极为深远的影响.
在Cardano 之后,法国数学家Vieta 和Lagrange 又相继提出了一元三次方程的其它解法.10其中Lagrange 的方法引进了置换的概念,统一了四次以内的一元多项式方程的解法,并断言一元五次方程不会有根式解.19世纪初,Lagrange 的思想为挪威数学家Abel 和法国数学家Galois 所发展,开创了近世代数(也叫抽象代数)这一新的数学分支,不仅完全解决了一元代数方程根式解的问题,也改变了整个数学科学的面貌.
5练习题
1.在复数域上解方程x 3?24x ?32=0.
2.在复数域上解方程x 3+5x 2?8x ?28=0.
3.在复数域上解方程x 3?3i x 2?(1?12i )x ?25i =0.
4.求3√39√69+324?3√39√69?324的值,其中√·和3√·表示通常实数的算术根.
8Tartaglia 在Cardano 承诺保守秘密的情况下将一元三次方程的解法透漏给Cardano,然而后来Carnado 得知del Ferro 于Tartaglia 之前已经解出一元三次方程,并找到了del Ferro 的手稿,便觉得没有必要再遵守与Tartaglia 之间的约定,遂将一元三次方程的解法发表在其著作中(仍归功于del Ferro 和Tartaglia),一同发表的还有Cardano 的学生Ferrari 发现的一元四次方程的通用解法(称为Ferrari 解法).
9可以证明,当p ,q 是实数且(p /3)3+(q /2)2<0时,方程(1)有三个实根.但是对于这种情况Cardano 公式不可避免地需要引进复数才能得到这三个实根.10
本文的推导并未按照历史上的次序,而是反过来从Vieta 的三角解法引入Vieta 代换来得到Cardano 公式,以期读者可以更自然地理解其中的变量代换.读者也可以跳过三角解法直接从(3)开始推导Cardano 公式.
5
5.若方程x3?3x+1=0的三个实根从小到大依次为x1,x2,x3,证明:x21?x23=x1?x2.
6.若p,q是给定的实数,记?=(p/3)3+(q/2)2.证明:
?若?>0,则(1)有三个不同的根,其中一个是实根,另外两个是一对共轭复根;
?若?=0,则(1)有三个实根,并且有重根;
?若?<0,则(1)有三个不同的实根.
7.分别在实数域和在复数域上分解因式x3+y3+z3?3xyz,并由此推导Cardano公式.
8.若p,q,r是给定的复数,在求解关于x的方程x4=px2+qx+r时,可以在两边同时加
上2ux2+u2得到
(x2+u)2=(p+2u)x2+qx+r+u2.
为了使上述等式右端构成完全平方式,应该如何选取u?
9.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,求xy+yz+3zx的最大值.
10.证明:cos20?是无理数.
6
一元三次方程求根公式的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3 （7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即 （8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a (9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a (10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为 y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a) 可化为 (11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2) 将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得 (12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2) (13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得 (14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3) 一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。由于计算太复杂及这个问题历史上已经解决，我不愿花过多的力气在上面，我做这项工作只是想考验自己的智力，所以只要关键的问题解决了另两个根我就没有花力气去求解。 二、我也曾用类似的方法去求解过一元四次方程的解，具体就是假设一元四次方程的根的形式为x=A^(1/4)+B^(1/4)+C^(1/4),有一次我好象解出过，不过后来多次求解好象说明这种方法求解一元四次方程解不出。不过我认为如果能进一步归纳出A、B、C的形式，应该能求出一元四次方程的求根公式的。由于计算实在太复杂及这个问题古人已经解决了，我后来一直没能完成这项工作。 三、通过求解一元三次方程的求根公式，我获得了一个经验，用演绎法（就是直接推
一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式” 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0 如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消 去。所以我们只要考虑形如 x3=px+q 的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。 代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得到 a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时， 3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q 两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3 由p=-3ab可知 27a6 + p = 27qa3 这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x. 除了求根公式和因式分解外还可以用图象法解，中值定理。很多高次方程是无法求得精确解的，对于这类方程，可以使用二分法，切线法，求得任意精度的近似解。参见同济四版的高等数学。 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。我归纳出来的形如x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。方法如下： （1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到 （2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3)) （3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为 x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得 （4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知(5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得 （6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3
解一元三次方程的方法 解一元三次方程问题是世界数学史上较著名且较为复杂而又有趣味的问题，虚数概念的引进、复数理论的建立，就是起源于解三次方程问题。一元三次方程应用广泛，如电力工程、水利工程、建筑工程、机械工程、动力工程、数学教学及其他领域等。那么，以下是我分享给大家的关于解一元三次方程的方法，欢迎大家的参考学习! 解一元三次方程的方法 解法一是意大利学者卡尔丹发表的卡尔丹公式法。 解法二是中国学者范盛金发表的盛金公式法。 这两种方法都可以解答标准型的一元三次方程，但是卡尔丹公式解题方便。 相关内容： 一元三次方程的解法的历史 人类很早就掌握了一元二次方程的解法，但是对一元三次方程的研究，则是进展缓慢。古代中国、希腊和印度等地的数学家，都曾努力研究过一元三次方程，但是他们所发明的几种解法，都仅仅能够解决特殊形式的三次方程，对一般形式的三次方程就不适用了。 在十六世纪的欧洲，随着数学的发展，一元三次方程也有了固定的求解方法。在很多数学文献上，把三次方程的求根公式称为“卡尔丹诺公式”，这显然是为了纪念世界上第一位发表一元三次方程求根公式的意大利数学家卡尔丹诺。那么，一元三次方程的通式解，是不是卡尔丹诺首先发现的呢?历史事实并不是这样。
数学史上最早发现一元三次方程通式解的人，是十六世纪意大利的另一位数学家尼柯洛?冯塔纳(Niccolo Fontana)。 冯塔纳出身贫寒，少年丧父，家中也没有条件供他念书，但是他通过艰苦的努力，终于自学成才，成为十六世纪意大利最有成就的学者之一。由于冯塔纳患有“口吃”症，所以当时的人们昵称他为“塔尔塔里亚”(Tartaglia)，也就是意大利语中“结巴”的意思。后来的很多数学书中，都直接用“塔尔塔里亚”来称呼冯塔纳。 经过多年的探索和研究，冯塔纳利用十分巧妙的方法，找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世。 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。可是冯塔纳始终守口如瓶，滴水不漏。虽然卡尔丹诺屡次受挫，但他极为执着，软磨硬泡地向冯塔纳“挖秘诀”。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺的悟性太棒了，他通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。 卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作《大法》中，但并未提到冯塔纳的名字。随着《大法》在欧洲的出版发行，人们才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。 卡尔丹诺剽窃他人的学术成果，并且据为已有，这一行为在人类数学史上留下了不甚光彩的一页。这个结果，对于付出
一元三次方程 一元三次方程的标准型为02 3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且。一元三次方程的公式解法有卡尔丹公式法与盛金公式法。两种公式法都可以解标准型的一元三次方程。由于卡尔丹公式解题存在复杂性，对比之下，盛金公式解题更为直观，效率更高。 在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是3次的整式方程叫做一元三次方程。 【盛金公式】 一元三次方程02 3=+++d cx bx ax )0,,,(≠∈a R d c b a 且 重根判别式：bd c C ad bc B ac b A 3:9;322-=-=-=，总判别式：Δ=AC B 22 -。 当A=B=0时，盛金公式①： c d b c a b x x x 33321-=-=- ===，当Δ=AC B 22 ->0时，盛金公式②：a y y b x 33 123 111---= ； i a y y a y y b x 63623 12 3 113 223 1 13,2-±++-= ；其中2 )4(322 ,1AC B B a Ab y -±-+ =,12-=i .当Δ=AC B 22 -=0时，盛金公式③：K a b x +- =1；232K x x -==，其中)0(≠=A A B K .当Δ= AC B 22-<0时，盛金公式④：a Cos a b x 3321θ --= ，a Sin Cos A b x 3) 333(3 ,2θ θ±+-= ； 其中arcCosT =θ，)11,0(),232( <<->-=T A A aB Ab T . 【盛金判别法】 ①：当A=B=0时，方程有一个三重实根； ②：当Δ=AC B 22 ->0时，方程有一个实根和一对共轭虚根； ③：当Δ=AC B 22 -=0时，方程有三个实根，其中有一个两重根； ④：当Δ=AC B 22 -<0时，方程有三个不相等的实根。 【盛金定理】 当0,0==c b 时，盛金公式①无意义；当A=0时，盛金公式③无意义；当A ≤0时，盛金公式④无意义；当T ＜-1或T ＞1时，盛金公式④无意义。当0,0==c b 时，盛金公式①是否成立？盛金公式③与盛金公式④是否存在A ≤0的值？盛金公式④是否存在T ＜-1或T ＞1的值？盛金定理给出如下回答： 盛金定理1：当A=B=0时，若b=0，则必定有c=d=0（此时，方程有一个三重实根0，盛金公式①仍成立）。 盛金定理2：当A=B=0时，若b ≠0，则必定有c ≠0（此时,适用盛金公式①解题）。 盛金定理3：当A=B=0时，则必定有C=0（此时,适用盛金公式①解题）。
7.3 三元一次方程组及其解法 【教学目标】 知识与能力 （1）了解三元一次方程组的概念. （2）会解某个方程只有两元的简单的三元一次方程组． （3）掌握解三元一次方程组过程中化三元为二元的思路． 过程与方法 通过消元可把“三元”转化为“二元”，充分体会“转化”是解二元一次方程组的基本思路. 情感、态度、价值观 通过本节的教学，应该使学生体会通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想，认识到数学的价值。 【教学重点】 （1）使学生会解简单的三元一次方程组． （2）通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想． 【教学难点】 针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法． 【教学过程】 一、回顾旧知，引入新课 在7.2节中，我们应用二元一次方程组，求出了勇士队在我们的小世界杯足球赛第一轮比赛中胜与平的场数。 问题回顾 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛。比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在第一轮比赛中赛了9场，只负了2场，共得17分。 那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 解：设勇士队胜了x场，平了y场，则 胜 每场得分
?? ?=+=++17 39 2y x y x 解得???==25y x 提出问题： 在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮比赛中，胜、负、平的场数各是多少？ 解：设勇士队胜了x 场，平了y 场，负了z 场，则 0 ?? ? ??+==+=++z y x y x z y x 18310 引出定义：像这种含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程组。一般情况下，三元一次方程组有三个方程，但不一定每个方程都出现三个未知数。 二、自主探究--------三元一次方程组的解法 探究一： 怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？(展开思路，畅所欲言) 解方程?? ? ??+==+=++③②① z y x y x z y x 18 310 解:把③分别带入①②得???=++=+++18)(310 y z y z y z y 整理得???=+=+⑤④18341022z y z y 由?????12⑤④得? ??=+=+⑦⑥ 18342044z y z y 由⑦⑥-得2=z 把2=z 代入④得1042=+y ， 即 3=y
一元三次方程快速解法有、因式分解法、一种换元法、卡尔丹公式法等多种方法，本篇我们将详细介绍其内容。 因式分解法 因式分解法不是对所有的三次方程都适用，只对一些简单的三次方程适用．对于大多数的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解。当然，对一些简单的三次方程能用因式分解求解的，当然用因式分解法求解很方便，直接把三次方程降次。 例如：解方程x^3-x=0 对左边作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三个根：x1=0；x2=1；x3=-1。 一种换元法 对于一般形式的三次方程，先将方程化为x^3+px+q=0的特殊型。 令x=z-p/3z，代入并化简，得：z^3-p/27z+q=0。再令z^3=w，代入，得： w^2-p/27w+q=0．这实际上是关于w的二次方程。解出w，再顺次解出z，x。 卡尔丹公式法 特殊型一元三次方程X^3+pX+q=0 (p、q∈R)。 判别式Δ=(q/2)^2+(p/3)^3。 卡尔丹公式 X1=(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3)； X2= (Y1)^(1/3)ω+(Y2)^(1/3)ω^2； X3=(Y1)^(1/3)ω^2+(Y2)^(1/3)ω， 其中ω=(－1+i3^(1/2))/2； Y(1,2)=－(q/2)±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)。 标准型一元三次方程aX ^3+bX ^2+cX+d=0，（a，b，c，d∈R，且a≠0）。
令X=Y—b/(3a)代入上式。 可化为适合卡尔丹公式直接求解的特殊型一元三次方程Y^3+pY+q=0。 通用求根公式 当一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0的系数是负数时，使用卡丹公式求解，会出现问题。可以用一下公式：
三元一次方程组及其解法说课稿 东华附校代修勇 教学内容：沪教版初中数学六年级下册第六章第4节第一课时（教材第74页）一、说教材： (一)教材简析 沪教版教材开门见山直接给出三元一次方程组的定义，然后，引导学生通过消元（代入、加减）的思想方法，解一些特殊的三元一次方程组。上本节课前，学生已学习一元一次方程和二元一次方程组的概念及解法，也深刻体会解二元一次方程组中“消元”的思想，这为过渡到本节课的学习起到铺垫作用。同时这节课是对“代入”和“加减”消元的再次检验，也为学生未来类比学习解高次方程（降次）提供思维上的启迪。 (二)学情分析 学生总体比较听话，上课认真，虽然思维不是很活跃，但有较好的理解能力和基础。在上课前，学生已较熟练的掌握二元一次方程组的概念及解法，对用方程（组）解决问题的建模思想有初步的认识。 (三)教学目标 1.知识与技能： （1）了解三元一次方程组的概念。 （2）会用“代入”“加减”把三元一次方程组化为“二元”，进而化为“一元”方程来解决。 2.过程与方法： 经历认识三元一次方程组并掌握三元一次方程组解法的过程，进一步体会“消元”思想。 3.情感态度与价值观： 培养分析问题、解决问题的能力与探索精神。 (四)教学重难点 根据以上分析，我将本节课的教学重点确定为：三元一次方程组的概念及解法。教学难点确定为：三元一次方程组向二元一次方程组的转化。 二、说教法、学法
（一）说教法 现代教学理论认为，学生是学习的主体，教师是学习的组织者。根据这一理念，本节课我采用启发引导、讲练结合及分组竞赛的教学方法，以提出问题、解决问题为主线，让学生去观察、类比、探索并及时的反思，从真正意义上完成对知识的自我建构。另外，在教学中我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 （二）说学法 三元一次方程组比二元一次方程组要复杂些，有些题的解法技巧性太强，因此在解前必须认真观察方程组中各个方程的特征，选择好先消去的“元”，这是决定解题过程繁简的关键，一般来说，要引导学生先消去系数最简单的未知数。 三、说教学过程 (一)创设情境、引入新课 设计意图：通过创设问题情境，引入新课，使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题。 提出问题：小明春节收到12张面额分别1元、2元、5元的微信红包，共计22元，其中1元红包的数量是2元红包的4倍，求1元、2元、5元红包各多少个？ 【通过学生实际生活中的问题，提高数学的学习兴趣，激发学生强烈的探究欲望。】 教师提问：这里有三个要求的量，直接设出三个未知数列方程组，顺理成章，直截了当，容易理解。如果设1元、2元、5元红包分别为x个、y个、z个，用它们可以表示哪些等量关系？ 预测学生回答： 教师活动设计：强调审题抓住的三个等量关系，从而表示成以上三个方程，这个问题的解答必须同时满足这三个条件，因此，这三个方程联立起来，成 为
常见的三元一次方程组的解法 三元一次方程组的常规解法是：通过代入法或加减法把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再把二元一次方程组转化为一元一次方程从而解出方程组.但有时我们也可根据三元一次方程组的结构特点采取非常规的方法来解方程组.常见的方法有： 一、缺项型的解法 例1 解方程组 4917(1) 31518(2) 232(3) x z x y z x y z -= ? ? ++= ? ?++= ? 分析：由于方程(1)缺少未知数y，这方程时只要在方程(2)(3)中消去未知数y即可把三元一次方程组转化为二元一次方程组，从而顺利地解出方程组. (2)2(3) ?-得：52734(4) x z += (1)3(4) ?+得：1785 x=5 x= 把5 x=代入(1)得：20917 z -= 1 3 z= 把5 x=， 1 3 z=代入(3)得：5212 y ++=， 2. y=- ∴方程组的解为： 5 2 1 3 x y z ? ?= ? =-? ? ?= ? 二、标准型的要选择确当的未知 例2 解方程组 34(1) 2312(2) 6(3) x y z x y z x y z -+= ? ? +-= ? ?++= ? 解：要消去三个未知数中的一个，相对而言消未知数z比较方面. (1)+(2)得：5216(4) x y += (3)+(2)得：3418(5) x y += (5)(4)2 -?得：20 x=
把20x =代入(4)得：100216y += 42y =. 把20x =，42y =代入(1)得：60424z -+= 14z =-. ∴方程组的解为：204214x y z =??=??=-? . 三、轮换的特殊解法 例3 解方程组2(1)4(2)6(3)x y y z z x +=??+=??+=? 解：这样轮换缺少未知数的方程可以采用下面特殊方法来解. (1)+(2)+(3)得：22212x y z ++= ∴6(4)x y z ++= (4)-(1)得：4z = (4)-(2)得：2x = (4)-(3)得：0y = ∴方程组的解为：204x y z =??=??=? . 四、有比巧设参数 x ：y=2：1 (1) 例4 解方程组 y ：z=1：3 (2) 23414x y z +-=- (3) 解：由(1)得：设其中的一份为k ，则2x k =，y k =. 把y k =代入(2)得：3z k =. 把2x k =，y k =，3z k =代入(2)得：431214k k k +-=-.
一元三次方程的解法 邵美悦 2018年3月23日 修改:2018年4月25日 众所周知,一元二次方程的求根公式是中学代数课程必修知识,通常在初中阶段的数学教材中会进行介绍.一元三次方程和一元四次方程同样有求根公式,1而且其推导过程也是初等的.由于一元三次和四次方程的求解比起一元二次方程要困难得多,并且求根公式的具体形式也不是很实用,所以尽管在一些初等数学的书籍中有相关介绍,但大多数中学生对这些解法并不了解.本文将简要介绍一下一元三次方程的求解方法. 1配方法 一元二次方程 ax 2+bx +c =0,(a =0) 的解法一般会在在初中教材中进行介绍,通用的解法是配方法(配平方法),即利用 a (x + b 2a )2=b 2?4a c 4a 解出x =?b 2a ±√b 2?4ac 2a .当然,在初中教材中会要求a ,b ,c 都是实数,并且判别式b 2?4ac 必须非负.在高中教材引进复数之后,上述求根公式对复系数一元二次方程依然有效,开平方运算√b 2?4ac 也不再受到判别式符号的限制,只需要按照复数开方来理解.2 1值得注意的是,在代数学中可以证明,如果只用系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算(其中k 是正整数),复系数一元五次(或更高次)方程没有求根公式.换句话说,不可能存在仅由系数的有限次加,减,乘,除,以及开k 次方运算构成的公式,使得每一个复系数一元五次方程都可以按该公式求解.这一结论通常称为Abel–Ruffini 定理.不少业余数学爱好者在没有修习过大学近世代数课程的情况下致力于推导高次方程的初等求根公式,这样的努力难免徒劳无功.2这里约定开方运算k √·只需要算出任意一个k 次方根即可. 1
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 三元一次方程的定义: 含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程． 要点诠释： (1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次． (2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零． 2．三元一次方程组的定义： 一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释： (1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可． (2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建 立三元一次方程组求解 要点二、三元一次方程组的解法 解三元一次方程组的一般步骤 (1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组； (2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值； (3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程； (4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值； (5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释： （1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二 元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是： （2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的 解法 要点三、三元一次方程组的应用 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数； 2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系； 3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组； 4．解这个方程组，求出未知数的值； 5．写出答案(包括单位名称)． 要点诠释： (1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去． (2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一． (3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组 类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念 1. 下列方程组不是三元一次方程组的是（）．
一元三次方程的解法 数教091班王超逸 48号 一元三次方程的标准形式为aX^3＋bX^2＋cX＋d=0，将方程两边同时除以最高项系数a,三次方程变为x^3+(b/a)x^2+(c/a)x+d/a=0,所以三次方程又可简写为 X^3＋bX^2＋cX＋d=0． 一元三次方程的韦达定理 设方程为 ax^3+b^2x+cx+d=0 则有 x1*x2*x3=-d/a；x1*x2+x2*x3+x3*x1=c/a；x1+x2+x3=-b/a； 一元三次方程解法思想 一元三次方程解法思想是：通过配方和换元，使三次方程降次为二次方程求解． 一元三次方程解法的发现 三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题．想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的． 最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战．塔尔塔利亚原名丰塔纳，小时因脸部受伤引起口吃，所以被人称为塔尔塔利亚（意为＂口吃者＂）。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学．这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题．当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里．在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔．菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明．这是很难做到的．＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权．他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突．最后，这场争论是以双方的肆意谩骂而告终的．三次方程解法发现的过程虽不愉快，但三次方程的解法被保留了下来，并被错误的命名为＂卡尔丹公式＂沿用至今．以下介绍的解法，就是上文中提到的解法． 一元三次方程的解法 一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax+bx+cx+d=0的标准型一元三次方程形式化为x+px+q=0的特殊型。 一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。归纳出来的形如 x+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A 和B。方法如下：
一元三次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为3的整式方程叫做一元三次方程，一元三次方程的一般形式是ax 3+bx 2+cx+d=0（a ，b ，c ，d∈R 且a ≠0），下面来讨论一下一元三次方程求解的问题。 已知一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0，求方程的根。 解：令3b x y a =-，得2323 23 329270327ac b b abc a d y y a a --+++=① 令23223 329273,2327ac b b abc a d m n a a --+==，得3 320y my n ++=② 经过换元，将原方程化为一元三次方程的特殊形式（3 0x px q ++=），现在求方程② 的根， 令y=u+v ，两边立方得=+=+++=++333333 y (u v)u v 3uv (u v)u v 3uvy 333y 3uvy (u )③v 0∴--+= 由②③式可得，?=-?+=-?33333 u v m u v 2n ④ ⑤ 由④⑤式可知u 3和v 3为方程μ+μ-=232n m 0的两根， 3 32n 2n u ,v 22 -+--∴== y u v ∴=+= + 令a = = 则12223y a b y a b y a b ?=+??=α+α??=α+α??，2,αα为1 的立方根，221cos i sin i 3322ππα=+=-+ ，ππα=+=--2441cos i sin i 3322 则2323 23 329270327ac b b abc a d y y a a --+++=的根表示为
? =+?? +-? =++=+?? ?+-=++=-??12 3y a b 11a b a b y （-i ）a （--i ）b -22222211a b a b y （--i ）a （-i ）b -222222 ⑥ 由⑥可知， ① 当+>23n m 0时，方程有1个实根和2个共轭复根； ② 当+=23n m 0时，a ，b 是相等的两个实数，方程有3个实根，其中有1个二重实根； ③ 当+<23n m 0时，方程有3个不相等实根。 以上解法为在卡尔丹公式基础上进一步研究得出，常用的一元三次方程解法除卡尔丹公式法外，还有盛金公式法。 下面通过几个例题具体的使用卡尔丹公式进行解题。 例题1：解方程x 3-6x 2+10x-8=0 解：令3b x y a =- =y+2，得y 3-2y-4=0 23100 027 n m +=>Q a b ∴= = ?=+=?? ∴=α+α=-+??=α+α=--??12223y a b 2y a b 1i y a b 1i ∴原方程的解为?=+=? =+=+?? =+=-?112233x y 24 x y 21i x y 21i 例题2：解方程x 3-12x+16=0 解：23=6464=0n m +-Q 22 ∴=-=-a b ?=+=-?? ∴=α+α=??=α+α=??12223 y a b 4y a b 2y a b 2 ∴原方程的解为?==-? ==?? ==?112233x y 4 x y 2 x y 2 例题3：解方程x 3-6x-4=0
三元一次方程组及其解法（2） 一．选择题（共3小题） 1．有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔1支，练习本2本共需4元，购1本练习本比1支圆珠笔多花1元，那么购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（） A．3元 B．2元 C．1元 D．0．9元 2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需130元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需210元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（） A．105元 B．95元 C．85 元 D．88元 3．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来，将其中只有一人会做的题目叫做难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多（） A．30道 B．25道 C．20道 D．15道 二．填空题（共4小题） 4.已知y＝ax2＋bx＋c. (1)当x＝1时，y＝5，得到等式______________； (2)当x＝－2时，y＝5，得到等式______________； 5．有甲乙丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共420元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共520元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需元．6．纸箱里有有红黄绿三色球，红球与黄球的比为1：2，黄球与绿球的比为 3：4，纸箱内共有68个球，则黄球有个． 7．已知a，b，c是有理数，观察表中的运算，并在空格内填上相应的数． a+6b 2a﹣5c a﹣2b+7c 2a+2b+c a，b，c的运 算 运算的结果﹣4 9 ﹣3
三．解答题（共3小题） 8.在y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝－3；当x＝3时，y＝0.求a，b，c的值. 9．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表： 农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金 水稻4人1万元 棉花8人1万元 蔬菜5人2万元 已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？ 10.陈滴有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，求1元、2元、5元的纸币各多少张.
关于一元三次方程通解的解法 章君、何敏捷 （福建师范大学数学系福建福州350108） 【摘要】本文主要讲解了针对于一元三次方程通解的解法，由一元二次方程通解解法，我们产生联想，可不可以先将一般的一元三次方程化为缺二次项的特殊一元三次方程，然后进行求解，并由此进一步推出一元三次方程根的判别式方法； 【关键词】一元三次方程、通解、一元二次方程、判别式 我们在中学已经学过对于一般的一元二次方程20 ax bx c ++=（0 a≠）的通解的解法，并且我们知道，针对于这样的一般性的一元二次方程，我们可以用多种解法来求得其解，比如，我们可以用求根公式法、因式分解法、配方法等等各种不同的做法来求得其解；这不禁让我们联想到，针对于一般的一元三次方程320 +++=（0 ax bx cx d a≠）我们是否也可以通过像求解一元二次方程的那些做法来求得其解呢？显然，事实证明，对于一般性的一元三次方程是不能用因式分解法、配方法来求解的，除非是比较明显的易于观察的一些方程，我们一眼就能发现它存在某一个特根，然后用多项式相除的办法进行将它分解，然而对于一般性的一元三次方程是不能这样做的，也不能直接给它配方，这就要求我们用其它的方法来求得其解集；由一元二次方程的求根公式法中用到的韦达定理，我们联想到，是否可以先把一元三次方程化成一元二次方程，然后也用韦达定理来求解，事实证明这种猜想是行得通的，以下，我将介绍这种做法的具体演算过程。 设有一般一元三次方程320 +++=（0 ax bx cx d a≠），我们对它先进行化简，目标是将它的二次项系数化为0，这种想法的由来是因为我们通过实践发现无
二次项的一元三次方程比较容易求解，因此，我们想到先除去二次项，然后再求解；具体做法是： 令x y k =+其中k 是一个待定的常数，将其代入原一般一元三次方程320ax bx cx d +++=（0a ≠）中，得到： 32()()()0a y k b y k c y k d ++++++= 展开并整理得到： 32232(3)(32)()0ay ka b y k a bk c y ak bk ck d +++++++++= ---------○ 1 取3b k a =- ，即 3b x y a =- -------○2 ， 将其代入原一般方程并整理得： 23322()()03273b b bc ay c y d a a a +-+-+= ， 两边同时除以a 得到： 3 0y py q ++= --------○3 其中 21()3b p c a a =- ， 3212()273b bc q d a a a =-+ 事实上，以上过程也证明了对于任意一个一元三次方程，我们都可以将它 化为上述○ 3的这种形式，这样我们就可以直接求不含二次项的一元三次方程的解了；接下来，我们只要将方程○ 3的解求出来，就可以自然的求得最原始的一般的一元三次方程的通解了； 我们再次将○3式作变换，令y u v =+（其中u 和v 是未知数），并将其代入 方程○ 3得到：3()()0u v p u v q ++++=，化简后得到： 33(3)()0u v q uv p u v +++++= --------○ 4 因为我们用两个未知数u 和v 代替了y ，因此为了减少○ 4中未知数的个数，我们不妨再要求(3)uv p +=0 -----○5，这样我们就可以得出3 p uv =-------○6，将其代入方程○4我们可以得到：330u v q ++=，从而我们就得到以下方程组： 333p uv u v q ?=-?? ?+=-?，即 3333327p u v u v q ?=-???+=-? 这样我们就可以利用韦达定理知道： 3u 和3v 可以看成是一元二次方程3 2027 p z qz +-=的两个根；
了解一元三次和一元四次方程的解法 塔塔利亚发现的一元三次方程的解法 一元三次方程的一般形式是 x3+sx2+tx+u=0，如果作一个横坐标平移y=x+s/3，那么我们就可以把方程的二次项消去。所以我们只要考虑形如x3=px+q的三次方程。 假设方程的解x可以写成x=a-b的形式，这里a和b是待定的参数。代入方程，我们就有 a3-3a2b+3ab2-b3=p(a-b)+q 整理得a3-b3 =(a-b)(p+3ab)+q 由二次方程理论可知，一定可以适当选取a和b，使得在x=a-b的同时3ab+p=0。这样上式就成为 a3-b3=q，两边各乘以27a3，就得到 27a6-27a3b3=27qa3，由p=-3ab可知27a6 + p = 27qa3。这是一个关于a3的二次方程，所以可以解得a。进而可解出b和根x。 费拉里与一元四次方程的解法 卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。 费拉里(Ferrari L.，1522~1565)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。 费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了一元三次方程的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了一元二次方程从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。 费拉里的方法是这样的： 方程两边同时除以最高次项的系数可得 4320 x bx cx dx e ++++= (1) 移项可得 432 x bx cx dx e +=--- (2) 两边同时加上 2 1 () 2 bx ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为
23.2.3一元二次方程的解法（三） 教学目标 1． 掌握用配方法解数字系数的一元二次方程． 2． 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程。 3．在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。 重点难点 1、 使学生掌握配方法，解一元二次方程。 2、 把一元二次方程转化为q p x =+2)( 教学过程 一、复习提问 1、 解下列方程，并说明解法的依据： （1）2321x -= （2）()2160x +-= （3） ()2 210x --= 通过复习提问，指出这三个方程都可以转化为以下两个类型： ()()()2 200x b b x a b b =≥-=≥和 根据平方根的意义，均可用“直接开平方法”来解，如果b < 0，方程就没有实数解。 如()212x -=- 2、 请说出完全平方公式。 ()()2 22 22222x a x ax a x a x ax a +=++-=-+。 二、引入新课 我们知道，形如02=-A x 的方程，可变形为)0(2≥=A A x ，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如20x bx c ++=的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题． 三、探索： 1、例1、解下列方程： 2x ＋2x ＝5； （2）2x －4x ＋3＝0. 思考: 能否经过适当变形，将它们转化为 ()2= a 的形式，应用直接开方法求解？
解:（1）原方程化为2x ＋2x ＋1＝6， （方程两边同时加上1） _____________________, _____________________, _____________________. （2）原方程化为2 x －4x ＋4＝－3＋4 （方程两边同时加上4） _____________________, _____________________, _____________________. 三、归 纳 上面，我们把方程2x －4x ＋3＝0变形为()22x -＝1，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 注意到第一步在方程两边同时加上了一个数后，左边可以用完全平方公式从而转化为用直接开平方法求解。 那么，在方程两边同时加上的这个数有什么规律呢？ 四、试一试：对下列各式进行配方： (1)22_____)(_____8+=+x x x ； 2210_____(_____)x x x -=+ (2)22_____)(______5-=+-x x x ； 229______(_____)x x x -+=- （3）22_____)(_____2 3-=+-x x x ； （4）22_____(_____)x x -+=- (5) 22______(_____)x bx x ++=+ 通过练习，使学生认识到；配方的关键是在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。 五、例题讲解与练习巩固 1、例 2、 用配方法解下列方程： （1）2x －6x －7＝0； （2）2 x ＋3x ＋1＝0. 解:（1）移项，得 （2） 移项，得 2x －6x ＝7. 2x ＋3x ＝－1. 方程左边配方，得 方程左边配方，得