一、极限论 例 证明 1
lim 0a
n n
→∞
=，其中a>0为常数.
例 设{n S }为例所得的数列，即证明22
2321
lim 36n n n n →∞-+=.
例 证明lim 0(1)n
n q q →∞
=<.
例 求224n 1
lim 256
n n n →∞++-.
例 求lim
,其中a -11
n n
n a a
→∞≠+.
例 求lim n →∞-
.
例 n n 设a 0（n=1，2）,lim a =a.证明lim
为常数).n n a →∞
→∞
≥
例 证明lim 1(0)n a →∞=>.
例 求lim n →∞.
例 设
123222n a a a a ====++
求lim n n a →∞
.
例 证明极限1
lim (1)n
n n
→∞
+存在.
例 若2
sin 1sin 2
sin 222
n n
n
a =+++
，则数列{n a }收敛.
例 证明x 1
lim =0x
→∞.
例 证明 （1）x
lim arctan 2
x π
→+∞
=（2）x
lim arctan 2
x π
→-∞
=-
例 证明2x 11
lim
21
x x →-=-.
例 证明2x 2lim 12
x x →=+.
例 证明0
0x lim 0).x x →=
>
例 证明 （1）0
0x lim sin sin x x x →= （2）0
0x lim cos cos x
x x →=.
例 求极限01
lim
x x
→-.
例 求极限01lim .x x x →??
????
例 求证0
lim 1(0).x x a a →=>
例 0tan lim x x
x
→
例 2
01cos lim x x
x →-
例 lim 2sin
2
n n
n π
→∞
例 求312cos lim
sin()3
x x
x ππ→--
例 3lim ()1
x
x x x →∞
++
例 2
lim (1)x x x
→∞
-
例 cot 0
lim (1tan )x
x x →-
例 求2
11
lim (1)n
n n n
→∞
+-
例 求极限2
0sin 3lim 4x x x x
→+
例 求极限3
tan sin lim
sin x x x
x
→-
例 考查函数1
sin
,0()0,0x x f x x x ?≠?=?
?=?
在点x=0处的连续性.
例 x=0是1
sin y x
=的第二类间断点.
例 2
x π
=是tan y x =的第二类间断点.
例
2ln(2)
3arctan x x x x
+- 例
0lim x →
例 根据初等函数的连续性与复合函数连续性，有 （1）0
ln(1)
lim
x x x
→+
（2）0
lim
x →
（3）lim x →∞
例 求2
1
1
lim (1)n
n n n
→∞
+-
例 证明方程32410x x -+=在区间（0，1）内至少有一个根.
一致连续性 例 例 例 书上49页.
实数的连续性、上下极限 书上51页.
补充：部分例子仍在书中，看书为准.
二、一元函数微分学
例 求函数2()2f x x =+在点x=1处的导数.
例 设21
sin ,0
(),求'()0,0x x f x f x x x ?≠?=?
?=?
.
例 证明函数()在点x=0处不可导.f x x =
例 设x ，x 0()1-cos x ，x>0
f x ?≤=??,确定函数f(x)在点x=0处的可导性.
例 求等边双曲线1
y x
=在点(1,1)处的切线方程和法线方程.
例 求导(1)3()4cos ln sin f x x x x π=+-+ (2)(sin cos )x y e x x =+
例 证明(1)22(tan )'sec ,(cot )'csc x x x x ==
(2)(sec )'sec tan ,(csc )'csc cot x x x x x x ==-
例 证明
x （a ）'=a ln (0,0)，特别地(e )'=e .x x x a a a >≠
例 证明：（1）
11(arcsin )',(arccos )'x x =
=-
（2）22
11
(arctan )',(arccot )'11x x x x ==-++
例 求导数（1）2sin y x =（2）2
2ln 1x
y x =+
例 求导数（1）y =（2）ln sin y x =
例 求导数（1）2
1
tan y x
= （2）sin 3y x =
（3）ln(y x =+（4）2
2
1arcsin (0)1x
y x x
-=>+
例求导（1）2
2
1x y x =
-2）(sin )x y x =
例 求椭圆cos (02)sin x a t t y b t
π?=≤≤?
=?所确定的参数变量函数的导数，
并求出该椭圆在4
t π
=的对应点处的切线方程。
例 在不计空气阻力的情况下，以发射角a 及初速度0v 射出的炮弹，
其运动轨迹由参数方程02
0cos 1sin ()2x v t a y v t a gt ?=?
?=-??
给出，其中t 为时间参数，试求炮弹在任意时刻t 的速度和方向。
例 设方程0x y xy e e -+=确定了一个隐函数(),试求dy y y x dx
=
例求方程57230y y x x +--=所确定的隐函数在x=0处的导数0
x dy
dx =
例 试求曲线35
（5y+2）(21)x =+在点1(0,)5
-处的切线方程0
x dy dx
=
例 地面上空2km 处有一架飞机作水平飞行，时速为每小时200km 。机上观察员正在瞄准前方矿山，用航空摄影进行地面测量。因为飞机的位置在改变，必须转动摄影机才能保持矿山在镜头之内，试问当俯角为90°时，摄影机的角速度是多少
例 曲柄连杆机如图，当曲柄OC 绕点O 旋转时，连杆BC 在OS 轴的上下摆动，且推动滑块B 作往复直线运动，由三角知识可得，滑块B 的位移s 与θ
的关系为：222cos sin s r l r θθ=+-
例 （1）求函数sin 2y x =在点x=0的微分
（2）求函数3当x=10，x=0.01时的微分y x =?
例 求下列函数的微分
（1）2(1)sin cos 2y x x x =++ （2）2ln(1)y x =+
例 求由方程0xy
x y e +-=确定的隐函数的导数dy
dx .
例求曲线245x y +=在点（2，1）处的切线方程.
例设已经测得圆钢的直径为43cm，且已知绝对误差不超过，求由此所引起的圆钢截面积的绝对误差.
例钟表原来的周期是1s，冬季摆长缩短了，试问这个钟每天大约快
多少（T=2
例.
例 求sin 3030'的近似值.
例 （3）cos ,求x y e x y -=
例 22（20）x ,求x y e y =.
例 旋轮线的参数方程为22(sin ),试求二阶导数(1cos )
x a t t d y
dx y a t ?=-?
=-?.