2.7平面向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P118练习1、2、3题 例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
第一课时 2.5.1 平面几何中的向量方法 教学要求：理解向量加减法与向量数量积的运算法则；会用向量知识解决几何问题；能通过向量运算研 究几何问题中点、线段、夹角之间的关系. 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的? 2.讨论：① 若o 为ABC ?的重心，则OA +OB +OC =0； ②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |，则这个四边形为等腰梯形。类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? 二、讲授新课： 1.教学平面几何的向量： (1). 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来。例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD 中，设AB ＝，AD ＝， 则+=+= （平移） ，-=-=， 2 2 b AD ==（长度） ．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ (2). 讨论：①向量运算与几何中的结论“若b a =，则 =，且,所在直线平行或重合”相类比，你 有什么体会？ ②由学生举出几个具有线性运算的几何实例． (3). 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） ① 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． ② 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． ③ 把运算结果“翻译”成几何关系． 2.教学例题： ①例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 分析:由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积． ② 例2：如图，平行四边行ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF 分别与AC 交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC 之间的关系吗？ 分析：设,,,,n m ====分别 求向量,,即可。 ③ 例3、如图，在OBCA 中，b OB a OA ==,-=+，求证四边形OBCA 为矩形 分析：要证四边形OBCA 为矩形，只需证一角为直角． C F
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O为ABC 重心,则OA+OB+OC=0 （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。
平面向量应用举例 【学习目标】 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题． 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力． 【要点梳理】 要点一：向量在平面几何中的应用 向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面： （1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义． （2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ?=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）． （3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥??=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）． （4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos |||| θ?= a b a b ． （5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题． 要点诠释： 用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了． 要点二：向量在解析几何中的应用 在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决． 常见解析几何问题及应对方法： （1）斜率相等问题：常用向量平行的性质． （2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程． （3）定比分点问题：转化为三点共线及向量共线的等式条件． （4）夹角问题：利用公式cos |||| θ?= a b a b ． 要点三：向量在物理中的应用 （1）利用向量知识来确定物理问题，应注意两方面：一方面是如何把物理问题转化成数学问题，即将物理问题抽象成数学模型；另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释相关物理现象． （2）明确用向量研究物理问题的相关知识：①力、速度、位移都是向量；②力、速度、位移的合成与分解就是向量的加减法；③动量mv 是数乘向量；④功即是力F 与所产生位移s 的数量积． （3）用向量方法解决物理问题的步骤：一是把物理问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量问题的模型，通过向量运算解决问题；三是把结果还原为物理结论． 【典型例题】 类型一：向量在平面几何中的应用
平面向量应用举例 课型：新课 设计人： 设计时间：2011.3.2 使用时间： 学习目标： 1.通过应用举例，学会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强积极主动的探究意识，培养创新精神。 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几 何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问 题加以解决. 学习过程： 例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．已知：平行四边形ABCD ． 求证：2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DA +=+++． 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ （1） 建立平面几何与向量的联系， （2） 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， （3） 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练：ABC ?中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，BF 与CD 交于点O ，设,.AB a AC b == （1）证明A 、O 、E 三点共线； （2）用,.a b 表示向量AO 。 例2，如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 例3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度500d =m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km/h ，水流的速度|v 2|=2km/h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到 0.1min)？ 变式训练：两个粒子A 、B 从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为(4,3),(2,10)A B s s ==， （1）写出此时粒子B 相对粒子A 的位移s; (2)计算s 在A s 方向上的投影。 当堂检测 1.已知0 60,3,2===?C b a ABC 中，，求边长c 。 2.在平行四边形ABCD 中，已知AD=1，AB=2，对角线BD=2，求对角线AC 的长。 3.在平面上的三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态， 2121,2 2 6,1F F N F N F 与+= =的夹角为o 45， 求：（1）3F 的大小；（2）1F 与3F 夹角的大小。 课后练习与提高 一、选择题 1.给出下面四个结论： ① 若线段AC=AB+BC ，则向量AC AB BC =+； ② 若向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC ； ③ 若向量AB 与BC 共线，则线段AC=AB+BC; ④ 若向量AB 与BC 反向共线，则 BC AB BC AB +=+.其中正确的结论有 （ ） A. 0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.河水的流速为2s m ，一艘小船想以垂直于河岸方向10s m 的 速度驶向对岸，则小船的静止速度大小为 （ ） A.10s m B. 262s m C. 64s m D.12s m 3.在ABC ?中，若)()(CB CA CB CA -?+=0，则ABC ?为 （ ） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.无法确定 二、填空题 4.已知ABC ?两边的向量21,e AC e AB ==，则BC 边上的中线向量AM 用1e 、2e 表示为 5.已知10321321=++=++OP OP OP ，OP OP OP ，则1OP 、 2OP 、3OP 两两夹角是 反思总结：
平面向量应用举例 一.教学目标： 1.知识与技能 （1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具. （2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材P116---118的相关内容思考： 1.直线的向量方程是怎么来的？ 2.什么是直线的法向量？ 【巩固深化，发展思维】 教材P118练习1、2、3题 [展示投影]例题讲评（教师引导学生去做） 例1．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，求证：AD、BE、CF相交于一点。 证：设BE、CF交于一点H， ?→ ? AB= a, ?→ ? AC= b, ?→ ? AH= h, 则 ?→ ? BH= h-a , ?→ ? CH= h-b , ?→ ? BC= b-a ∵ ?→ ? BH⊥ ?→ ? AC, ?→ ? CH⊥ ?→ ? AB B C
2.5《平面向量应用举例》教学设计 【教学目标】 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题； 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神. 【导入新课】 回顾提问： （1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0. （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来. 新授课阶段 探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例． 教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及 数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行 ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平移） ，DB AB AD a b =-=-，2 22||AD b AD ==（长度）．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠.因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题.通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果 “翻译”成几何关系．本节课，我们就通过几个具体实例，来说明向量方法在平面几何中的运用 例1 证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABCD ．
平面向量的应用举例 Corporation standardization office #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8
2．5平面向量的应用举例 班级学号姓名 .一选择题 1．已知A、B、C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若 + + +，则点P与△ABC的位置关系是 （） A、点P在△ABC内部 B、点P在△ABC外部 C、点P在直线AB上 D、点P在AC边上 2．已知三点A（1，2），B（4，1），C（0，-1）则△ABC的形状为 （） A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若 |F|=|G|，则θ的值为（） A、300 B、600 C、900 D、1200 4．某人顺风匀速行走速度大小为a，方向与风速相同，此时风速大小为v，则此人实际感到的风速为 （） A、v-a B、a-v C、v+a D、v 二、填空题 5．一艘船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h。 6．两个粒子a，b从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它 们的位移分别为S a =（3，-4），S b =（4，3），（1）此时粒子b相对于粒子a 的位移； （2）求S在S a 方向上的投影。 三、解答题 7．如图，点P是线段AB上的一点，且AP︰PB=m︰n，点O是直线AB外一点，设OA =a，OB =b，试用,,, m n a b的运算式表示向量OP．
8．如图，△ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，设AD 与BE 相交于G ，求证：AG ︰GD=BG ︰GE=2︰1． G E D C B A 9．如图， O 是△ABC 外任一点，若1 ()3 OG OA OB OC =++，求证：G 是△ABC 重心（即三条边上中线的交点）． 10．一只渔船在航行中遇险，发出求救警报，在遇险地西南方向10mile 处有一只货船收到警报立即侦察，发现遇险渔船沿南偏东750，以9mile/h 的速度向前航行，货船以21mile/h 的速度前往营救，并在最短时间内与渔船靠近，求货的位移。
25平面向量应用举例(教学案)82410
临清三中数学组编写人：赵娜审稿人：刘桂江李 怀奎 2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教学目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法----- 向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作 用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教学重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教学方法 1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用 2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0 （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。 探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例． 教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平 行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教案目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教案重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教案方法 1.例题教案，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教案基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用 2.教师的教案准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教案过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教案具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0 （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =1 2 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3)两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。 探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例．
龙文教育个性化辅导教案提纲 学生: 日期: 年 月 日 第 次 时段: 教学课题 平面向量应用举例-----导学案 教学目标 考点分析 1. 掌握向量的加减运算法则和向量的数量积运算 2. 掌握向量在数学和物理中的应用 教学重点 理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则. 教学难点 理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的意义和性质 教学方法 问答式、启发式教学 教学过程：上节课知识点复习回顾及习题疑难解惑 第一课时：2.5.1 向量在几何中的应用举例 一、复习准备： 1.提问：向量的加减运算和数量积运算是怎样的? 2.讨论：① 若o 为ABC ?的重心,则OA +OB +OC =0 ②水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? 二、讲授新课： 1.平面向量在平面几何中的应用： ① 平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平行四边行ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+ （平移），DB AB AD a b =-=- ，222||AD b AD == （长度） ．向量AD ，AB 的夹角为DAB ∠ ② 讨论：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例． ③ 用向量方法解平面几何问题的步骤（一般步骤） （１） 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量． （２） 通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等． （３） 把运算结果＂翻译＂成几何关系． 2.教学例题： ① 出示例1：求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 分析：由向量的数量积的性质，线段的长的平方可看做相应向量自身的内积． 练习：已知平行四边形ABCD ，AB ＝a ，BC = b ，且||||a b =，试用向量a b ，表示BD 、AC ，并计算BD ．AC ，判断BD 与AC 的位置关系． ② 出示例2：如图，在OBCA 中，OA a = ，OB b = ，||||a b a b +=-，求证四边形O BCA 为矩形 分析：要证四边形O BCA 为矩形，只需证一角为直角． ③ 练习：AC 为O 的一条直径，ABC ∠为圆周角，求证90ABC ∠=? ④ 出示例３：在ABC 中，M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2AN NC =，AM BN 与相交于点P ，如 图，求:AP PM 的值． 3. 小结：向量加减法与向量数量积的运算法则；向量加减法与向量数量积的意义和性质. 三、巩固练习： 1. 已知平行四边形ABCD ，E F 、在对角线BD 上，并且BE=FD ，求证AECF 是平行四边形． 2. 求证：两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
25平面向量应用举例 (教学案)
2.5平面向量应用举例 一、教材分析 向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教学目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法----- 向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作 用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教学重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教学方法 1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案
3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用 2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 教师首先提问：（1）若O 为ABC ?重心,则OA +OB +OC =0 （2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12 AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? (3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。 （设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。） （三）合作探究、精讲点拨。 探究一：（１）向量运算与几何中的结论＂若a b =，则||||a b =，且,a b 所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？（２）由学生举出几个具有线性运算的几何实例． 教师：平移、全等、相似、长度、夹角等几何性质可以由向量线性运算及数量积表示出来： 例如，向量数量积对应着几何中的长度.如图： 平 行四边行ABCD 中，设AB ＝a ,AD ＝b ，则AC AB BC a b =+=+（平 移），DB AB AD a b =-=-，222||AD b AD ==（长度）．向量AD ，
平面向量应用举例练习题 一、选择题 1．一物体受到相互垂直的两个力 f 1、f 2 的作用，两力大小都为 5 3N ，则两 个力的合力的大小为 ( ) A ． 10 3N B ． 0N C ．5 6N 5 6 D. N 2 2．河水的流速为 2m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向 10m/s 的速度驶向对岸， 则小船在静水中的速度大小为 ( ) A ． 10m/s B ．2 26m/s C ． 4 6m/s D ．12m/s 3．(2010 ·山东日照一中 )已知向量 a ＝ (x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若 |a|＝2，|b|＝3， x 1＋ y 1 a · b ＝－ 6，则 x 2＋ y 2的值为 ( ) 2 2 5 5 A. 3 B ．－ 3 C.6 D ．－ 6 4．已知一物体在共点力 F ＝(lg2 ，lg2)，F 2 ＝(lg5，lg2)的作用下产生位移 S 1 ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功 W 为 ( ) A ． lg2 B ．lg5 C ．1 D ．2 ．在△ 所在的平面内有一点 → → → → ABC P ，满足 PA ＋PB ＋PC ＝AB ，则△ PBC 与 5 △ABC 的面积之比是 ( ) 1 1 A. 3 B.2 2 3 C. 3 D.4 6．点 P 在平面上作匀速直线运动，速度 v ＝(4，－ 3)，设开始时点 P 的坐标 为(－ 10,10)，则 5 秒后点 P 的坐标为 (速度单位： m/s ，长度单位： m)( ) A ． (－2,4) B ． (－30,25) C ．(10，－ 5) D ．(5，－ 10) 7．已知向量 a ，e 满足： a ≠ e ， |e|＝1，对任意 t ∈R ，恒有 |a －te|≥ |a － e|，则 () A ． a ⊥ e B ．a ⊥(a － e) C ．e ⊥(a － e) D ．(a ＋ e)⊥(a －e) → → ， → → → 8．已知 |OA|＝1，|OB|＝ ⊥OB ，点 C 在∠ AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC 3 OA
2. 5平面向量应用举例 一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。 二、教学目标 1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题 2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。 三、教学重点难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析 在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。 五、教学方法 1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。 2.学案导学：见后面的学案 3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用 2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 (二）情景导入、展示目标 0OCOBOAABC +重心,则=（教师首先提问：1）若O为+1|BCAD|DCABCD|,则这个四边形|=2（）水渠横断面是四边形 ,,=且AB2 为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?
§2.5平面向量应用举例 编制人：编制日期：2013.3.23 编号（003）审核人：审批人： 一、学习目标 1. 掌握向量理论在平面几何中的初步运用；会用向量知识解决几何问题； 2. 能通过向量运算研究几何问题中点，线段，夹角之间的关系. 3.掌握向量理论在相关物理问题中的初步运用，实现向量与物理之间的融合，会用向量知识解决一些物理问题. 二、学习重难点 重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 三、学法指导 本节关键是选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、自主预习 1、复习：（1）若O为ABC ?重心,则OA+OB+OC= （2）水渠横断面是四边形ABCD,DC=1 2 AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形 为 .类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系? （3）两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？ 2、预习教材P109—P112。整理题型 五、问题探究： 问题1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型. 如下图，AC AB AD =+，DB AB AD =-，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 结论： 问题2：平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？ 结论：
问题3：用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ ⑴ ⑵ ⑶ 问题4：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？ d=m，一艘船从A处出发到河对岸．已问题5：如图，一条河的两岸平行，河的宽度500 知船的速度|v1|=10km/h，水流的速度|v2|=2km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？ 六、达标检测（A组必做，B组选做） A组：1.给出下面四个结论： =+； ①若线段AC=AB+BC，则向量AC AB BC =+，则线段AC=AB+BC； ②若向量AC AB BC
平面向量应用举例 5 课前预习学案 一、预习目标 预习，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，建立实际问题与向量的联系。 二、预习内容 阅读课本内容，整理例题，结合向量的运算，解决实际的几何问题、物理问题。另外，在思考一下几个问题：例1如果不用向量的方法，还有其他证明方法吗？ 利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是什么？ ．例3中，⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、学习内容 运用向量的有关知识解决平面几何和解析 几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等
问题. 运用向量的有关知识解决简单的物理问题. 二、学习过程 探究一：向量运算与几何中的结论＂若，则，且所在直线平行或重合＂相类比，你有什么体会？ 举出几个具有线性运算的几何实例． 例1．证明：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和． 已知：平行四边形ABcD． 求证：． 试用几何方法解决这个问题 利用向量的方法解决平面几何问题的“三步曲”？ 建立平面几何与向量的联系， 通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 把运算结果“翻译”成几何关系。 变式训练：中，D、E、F分别是AB、Bc、cA的中点，BF 与cD交于点o，设 证明A、o、E三点共线； 用表示向量。 例2，如图，平行四边形ABcD中，点E、F分别是AD、Dc边的 中点，BE、BF分别与Ac交于R、T两点，你能发现AR、
RT、Tc之间的关系吗？ 探究二：两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.在单杠上做引体向上运动,两臂夹角越小越省力.这些力的问题是怎么回事？ 例3．在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上作引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？ 请同学们结合刚才这个问题，思考下面的问题： ⑴为何值时，|F1|最小，最小值是多少？ ⑵|F1|能等于|G|吗？为什么？ 例4如图，一条河的两岸平行，河的宽度，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v1|=10/h，水流的速度|v2|=2/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？ 变式训练：两个粒子A、B从同一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 写出此时粒子B相对粒子A的位移s;计算s在方向上的投影。 三、反思总结 结合图形特点，选定正交基底，用坐标表示向量进行运算解决几何问题，体现几何问题 代数化的特点，数形结合的数学思想体现的淋漓尽致。
平面向量应用举例 预习课本P109～112，思考并完成以下问题. (1)利用向量可以解决哪些常见的几何问题？ (2)如何用向量方法解决物理问题？ (3)如何判断多边形的形状？ [新知初探] 1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量m v 是向量的数乘运算． (4)功是力F 与位移s 的数量积． [小试身手] 1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．(4，－1) C ．2 2 D ．5 答案：D 2．在四边形ABCD 中，AB ·BC ＝0，BC ＝AD ，则四边形ABCD 是( ) A ．直角梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形
答案：C 3．力F ＝(－1，－2)作用于质点P ，使P 产生的位移为s ＝(3,4)，则力F 对质点P 做的功是________． 答案：－11 向量在几何中的应用 题点一：平面几何中的垂直问题 1.如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE . 证明：法一：设AD ＝a ，AB ＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0， 又DE ＝DA ＋AE ＝－a ＋1 2 b ， AF ＝AB ＋BF ＝b ＋1 2a ， 所以AF ·DE ＝????b ＋12a ·????－a ＋12b ＝－12a a 2－34a a ·b ＋12a b 2＝－12 |a |2＋12 |b |2＝0.故AF ⊥DE ，即AF ⊥DE . 法二：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，AF ＝(2,1)，DE ＝(1，－2)． 因为AF ·DE ＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以AF ⊥DE ，即AF ⊥DE . 题点二：平面几何中的平行(或共线)问题 2. 如图，点O 是平行四边形ABCD 的中心，E ，F 分别在边CD ，AB 上，且CE ED ＝AF FB ＝1 2 . 求证：点E ，O ，F 在同一直线上． 证明：设AB ＝m ，AD ＝n ， 由CE ED ＝AF FB ＝1 2，知E ，F 分别是CD ，AB 的三等分点， ∴FO ＝FA ＋AO ＝13BA ＋1 2AC ＝－13m ＋12(m ＋n )＝16m ＋1 2 n ，