数学实验

高中数学实验活动实践研究

摘要

随着科学技术的迅猛发展和新课程改革的不断深入，数学实验活动正在成为高中数学教学研究的一种重要形式. 本文首先简单介绍了中学数学实验的概念，然后以教学过程中碰到的一类轨迹问题进行了数学实验的实践，得到了八个变式问题. 最后以“正弦定理”第一课时为例，以问题为导向、小组合作探究，数学实验活动为主要形式，进行了教学设计，说明了如何在数学实验活动过程中提升学生核心素养.

关键词：数学实验中学数学实验活动核心素养马鞍面

第一章前言

近几十年中，大量的数学思维方法、数学计算模型在科学研究、工程技术和生产管理各种领域中被成功地应用，数学与其它科学之间相互交叉，相互渗透，呈现统一的新趋势.高新技术从本质上说就是数学技术，数字时代就是数学时代、但是这种数学时代却与传统的经典数学呈现很大的不同，随着计算机科学与网络技术的发展，随着国内外许多数学软件的成功开发，现在科学研究与科学发现、技术改造与技术创新已要求新型人才不仅仅具有传统意义上的数学逻辑思维能力，而且要求具有更强的数学建模能力和使用计算机的能力.

我们的数学教育应该在立足基础，保持传统的基础上做一些改良，做一些创新，让孩子们多一些操作，多一些想象.高中数学实验为我们数学教学打开了一扇窗.

数学实验[1]，是指在一定的数学思想，数学理论指导下，经过某种预先的组

织设计，借助于一定的仪器和技术手段，进行数学化操作（包括对客观事物的数量化特性进行观察、测试、度量、计算、归纳、类比、猜想、判断、推广、抽样、检验、逼近、模拟等），进而获得对客观对象的认知经验，探求对客观对象的控制手段或技术的方法.

中学数学实验活动不完全等同于数学实验[1]，它是根据数学教学的需要，在

一定的数学原理的指导下，让学生借助一定的工具，仪器和技术手段，对具有一定数学意义的实物，模型，事件，以及数字，图形、式子、题目等，进行观察、测试、度量、计算、归纳、类比、猜想、判断、推广、抽样、检验、逼近、模拟等数学化操作，经历“再发现”的过程，以获取感性认识和数学信息的活动.

中学数学实验活动隶属于数学实验，但它同时兼容了“教育”的鲜明特性.中学数学实验活动过程是“再发现”的过程，是教师根据教学需要人为地、有目的地、模拟地为学生创设积极的思维背景，使学生通过实际操作获得数学体验活动，其目的是让学生在“做数学”中“学数学”、“用数学”.

由于中学数学内容属于数学各分支中最基础的内容，所以可以通过设计实验活动在一定程度上还原和描述中学数学涉及的数学现象、概念、原理、知识体系的形成和发展.也因此，中学数学实验活动首先作为一种认知方法在教学过程中发挥效用.

中学数学实验活动并不是止步于对客观对表面的感性认识，而是以更深入内化的认知基础，进入到对客观对象属性的深层次探究，是一种对科研方法的初步接触.

新的《课程标准》提出了学生核心素养的培养，最终要落在学科核心素养的培育上，数学核心素养是指具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质与关键能力，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学模型，也

就是会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.教师应将核心素养的培养贯穿于数学教学活动中，我们的数学教学活动应当把握数学内容的本质；创设合适的教学情境，提出合理的问题；启发学生独立思考，鼓励学生与他人交往；让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的本质；让学生积累数学思维经验，形成和发展数学核心素养.在中学进行数学实验活动,既可以改变“讲-练-考”的课堂教学模式，也能都调动学生学习的主动性、自主性、参与性.

总之，数学实验实质上是学生或老师创设数学情境，依靠一定的实验工具让学生在观察和实验中发现数学规律，进而获得相关的过程体验，情感体验，有利于培养学生的创新能力，也符合新课程标准要求.同时也可以提升教师专业水平.

本文在第二章中,对在教学过程中碰到的一类轨迹问题,借助几何画板这一工具进行了数学实验研究,得到了一系列有用的结论. 在第三章中,以“正弦定理”第一课时为例，以问题为导向，以数学实验探究为主要形式进行了教学设计.

第二章 探究一类轨迹问题的数学实验

本章主要讨论教学中遇到一道轨迹问题，经过师生共同参与的数学实验活动，发现背后隐藏着空间解析几何中的典型曲面：双曲抛物面（也叫马鞍面）.再返回到问题中来，编出了一系列的立体几何与解析几何综合的新颖习题，过程中还利用几何画板辅助画出空间曲面和曲线.

例 （如图1）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱上有几个点到异面直线a 、b （即 直线AD 、D 1C 1）的距离相等？

答案很简单，满足条件的点有四个，分别是点O 、A 1、E 、C.

有学生问：在正方体的表面上到直线a 、b 的距离相等的点还有哪些？能画出轨迹吗？

另一个学生问：在正方体的表面及其内部到直线,a b

的距离相等的动点的轨迹是什么？在空间到直线,a b 的距离相等的动点的轨迹是什么？

课后, 经过我和学生还有科组老师的不断试验,经过一段较长时间师生共同努力，反复尝试，查阅资料，用几何画板绘图等，最终形成以下结果：

2.1 空间到异面直线,a b 的距离相等的动点的轨迹是马鞍面.

2.1.1 若异面直线,a b 相互垂直，如图2，设两条异面直线间的距离是m ，1AA 、1CC 的中点分别是H 、K, 以1DD 的中点O 为原点，OH 为x 轴，OK 为y 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 设点P(x, y, z)是轨迹上任一点，如图做辅助线，由PN=PM, 得

：

=化简得方程：222.x y mz -= ①

2.1.2 对于任意的两条异面直线,a b ，设它们之间的距

离是m ，它们所成的角是2α, 如图3，设两条异面直线的公垂线段是ST ，ST 的中点是点O ，过点O 分别作直线,a b ''，使得a '//a, b '//b, 以公垂线段的中点为原点，

A

图1

1

图2

分别以,a b ''的两条垂直平分线为x 轴、y 建立空间直角坐标系O xyz -. 设点P(x, y, z)是轨迹上任一点，，由平面解析几何知识可求得：P

到两条异面直线的距离分别为,,PM PN

PM =

PN =

. 由PM=PN ，得：

=化简,得方程：2(1tan )

2tan m xy z αα

+=

② 方程①和②均表示马鞍面.由此可得

定理：到两条异面直线的距离相等的动点的轨迹是马鞍面（由方程的形式可知，此轨迹只是一类特殊的马鞍面，不是全部的马鞍面）[3] .

2.2 根据方程，画出马鞍面

2.2.1 方程①是一个三元二次方程，我们能根据方程画出轨迹吗？这在过去是不可能的，只能在教科书中翻出一个示意图，然而通过数学实验,利用现代信息技术可以画出其轨迹，如几何画板就可以画出其轨迹.几何画板也不能直接画出三元二次方程的曲面，即空间曲面.经过一番探索实验，用下面的办法解决了这个问题.

把x 看成一个可变的常数m ，转化为二元二次方程.并解出y 来，得到函数：

221()2=-z m y m

取动点O'(m, 0, 0), 以动点O'为新原点，在平行于平面yOz 的平面内建立新坐标系yO'z.相当于把原坐标系按向量OO'

平移到平面yO'z. 在新坐标系中画出该函数的曲线（如图3）.

构造曲线束，如图4. 此即所求点P 的轨迹，即马鞍面,并且，图4把马鞍面与正方体表面的交线也显示了出来.不过图4只是马鞍面的一部分.马鞍面的整体形象如图5

（1）.

2.2.2 根据方程②，也可以用几何画板画出马鞍面，而且是用“双直纹”展现的马鞍面,如图5（2）[3]. 2.3 马鞍面的性质

由方程①和②可知马鞍面有以下两条性质：

性质1：用平行于异面直线a ,b 的公垂线或者经过该公垂线的平面截马鞍面，截线都是抛物线

1

图4A

或者一条直线（马鞍面的一条直纹）；

性质2：用和异面直线a 、b 的公垂线相交的平面截马鞍面，截线都是双曲线或者两条相交直线（马鞍面的双直纹）. 2.4 居高临下，编出新题

既然到两条互相垂直的异面直线a , b 的距离相等的动点的轨迹是马鞍面，而马鞍面又具备上面两条性质，那么，我们可以得出以下结论：在正方体的每个面或者对角面所在的平面内，到异面直线a , b 的距离相等的动点的轨迹一定是抛物线、双曲线、两条相交直线或者一条直线这五种情况之一.

这样我们就可以回到图4或者再构造新的图形，编出一些相关的题目：

变式1 如图4，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面DCC 1D 1内到异面直线a 、b 的距离相等的动点的轨迹是 （ ）

A.圆弧

B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分 答案：D （如图4，轨迹是面DCC 1D 1内点O,C 间的一段抛物线）.

说明：此题资料上常有.用抛物线的定义即可解决.另外也可以把面DCC 1D 1改为面ADD 1A 1.难度相当，答案即为图4中正方体左侧面内的O ，A 1间的一段抛物线.

变式2 如图1，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的面ABB 1A 1内到异面直线a 、b 的距离相等的动点的轨迹是 （ ）

A.圆弧

B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

解：以直线AB 为x 轴，直线AA 1为y 轴，在平面ABB 1A 1内建立平面直角坐标系（如图6），设点P(x,y)是

轨迹上任一点，由PM=PA ，可得

，化简得轨迹方程为

24(2).x y =--

答案：D(如图6，抛物线的一部分). 点评：在多面体的某一个面上建立坐标系，是本题

的难点，也是下面所有题的难点.同时也是这一系列题的一个特色.

说明：也可以把面ABB 1A 1改为面BCC 1B 1,如图7. 问题的解答思路和答案是一样的，但方位不同, 建坐标系的难

度有所增加.可以直线BC 为x 轴，直线BB 1为y 轴建立平面直角坐标系, 求得轨迹方程是(x -2)2

=4y.轨迹是抛物线的一部分. 变式3 如图8，已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的长、宽、高分别是2、1、2，则正方形ABB 1A 1内到异面直线a 、b

（即直线AA 1、DC ）的距离相等的动点的轨迹是（ ） A.圆弧 B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

图6

A

1

1

图8

图7

解：如图9，以AB为x轴，AA1为y轴建立平面直角坐标系，设点P(x, y)是所求轨迹上任意一点,如图作辅助

线，由条件可

得=

x, 化简得轨迹方程是：

221(02,0),

x y x y

-=≤≤≥轨迹是一段双曲线（如图9）. 答

案：C.

变式4如图10，已知长方体ABCD-A1B1C1D1的长、

宽、高分别是2、2、1，则正方形A1B1C1D1内到异面

直线a、b的距离相等的动点的轨迹是（）

A.圆弧

B.椭圆的一部分

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

提示：此题相当于把上题的“立着的箱子”放倒，

可如图建立坐标系（坐标平面是水平放置的直观图）.

求得轨迹方程是

221(02,0)

x y x y

-=≤≤≥. 故选C

变式5如图11，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1

的对角面DBB1D1内到异面直线a、b的距离相等的动点的

轨迹是（）

A.线段

B.圆弧

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分

解法1：如图12，以点D为原点，DB为x轴，DD1

为y轴，在平面DBB1D1内建立平面直角坐标系. 设点P(x, y)是对角面内任意一点，如图做辅助线，由PR=PT，得

=，

化简得：0

x-=

，或0 x-=

注意到0≤x≤

≤y≤2.

则轨迹是线段

: 0

x-(0≤x≤

=1

2

y

(0≤x≤

就是线段

1

BD. 答案：A

说明：如果是在平面

11

DBB D内求轨迹，结果就是两条相交直线：

x-=

和0

x-=（它们是马鞍面的两条相交直纹线）

2

图17

A

图10

1

图11

A

1

图12

A

图9

变式6 如图13，在棱长为2的正方体111A B C D A B C D -的

对角面11ABC D 内到异面直线,a b 的距离相

等的动点的轨迹是 （ ） A.线段 B.圆弧 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分

解：以AB 为x 轴，AD1为y 轴，在平面ABC1D1内建立平面直角坐标系（图

14）.设点P(x, y) (0≤x ≤2,0≤y ≤

2是对角面内任意一点，如图做辅助线，由PS=PT

=

化简得12=x (0≤x ≤2,0≤y ≤

轨迹恰为矩形ABC1D1内的对角线BD1.

答案：A

变式7 如图15，在棱长为2的正方体1

1

1A B C D A B C D -的对角面

11ACC A 内到异面直线,a b 的距离相等

的动点的轨迹是 （ ） A.线段 B.圆弧

C.双曲线的一部分

D.抛物线的一部分 分析：观察只能得出轨迹过对角面的中心，不再过其它特殊点.难以直观判断

解：以AC 为x 轴，AA1为y 轴，在平面11ACC A 内建立平面直角坐标系（图16）.设点P(x, y) (0≤x ≤

≤y ≤2)是对角面内任意一点，如图做辅助线，由PR=PT ，得

x =，

化简得：22

(4)168

x y x --=≤

轨迹是双曲线的一部分. 答案：C.

说明：此方程不是双曲线的标准方程. 故此题难度偏大，不宜作为高考练习

题，可作为课外题或竞赛题.

A A 图14图13T

A A

1

图16

图15

变式8 如图17，已知长方体1111ABCD A BC D -的

长、宽、高分别是4、2、4，求正方形11ABB A 内到异面直线1A B 和1DC (分别记为,a b )的距离相等的动点的轨迹方程，并画出轨迹.

解：设正方形11ABB A 的四条边的中点分别是E ，

F ，

G ，

H （如图18）, 以EF 为x 轴，以GH 为y 轴，在平面11ABB A 内建立平面直角坐标系.设点P(x, y) (-2≤x ≤2, -2≤y ≤2)是正方形11ABB A 内任意一点，如图做辅助线，由PR=PN ，得

||+=x y 化简得：2(2-1,2)=-≤≤≤≤y x x x 或1.

轨迹是双曲线的一部分.

说明：反比例函数图像是等轴双曲线.此题若以直线AB 、AA1为坐标轴建坐标系，则求出的方程是：

22(01,4)2

x y x x x -=≤≤≤≤-或3.

要从反比例函数的图像进行变换才能画出其图像. 若以直线1AB 、1BA 为坐标轴建坐标系，则求出的就是

双曲线的标准方程. 这道题把立体几何、解析几何、函数知识都融会贯通在一起了.

上面展示了由简单、特殊的轨迹问题出发，进行探索，进而发现所求轨迹是马鞍面，并研究了马鞍面的基本性质，再进一步发现轨迹（马鞍面）与正方体的六个面及其对角面所在平面的交线是抛物线、双曲线、相交直线或者一条直线这五种曲线之一，从而编出一系列轨迹问题的全过程.

以上八个变式问题充分体现了解析法在立体几何中的运用，充分体现了对解析法的深刻理解和灵活运用, 从新的视角融合了立体几何与解析几何的知识和方法.

八个变式问题都是让学生解答在某个平面内的动点的轨迹问题，但实际上教师是在三维空间中研究问题，然后把结果投射到某个平面内来编题的，教师编题的视野和思维是比展现在学生面前的问题多了一个维度的！通过这样的数学实验活动,老师才能居高临下，编出新题、好题，才能有效培养和提升学生的数学思维品质,提升学生核心素养.

1

图18

图17

第三章《正弦定理》教学中运用数学实验的案例

本章主要是在《正弦定理》教学过程中进行数学实验，以问题为导向、小组合作探究，数学实验为主要形式，教师引领学生由特殊到一般，亲历正弦定理的产生过程，完成定理的证明与运用，一改教师在传统教学模式中作为讲授者的角色，实现由“教”到“学”的转变，提升学生核心素养.

3.1聚焦问题

以落实学生发展核心素养为宗旨，以高考考纲要求为依据，引导学生学习正弦定理，聚焦以下问题，其中1-3与高考对接，明确课标考纲要求的具体知识，能力和方法；4-6为学科核心素养的要求；7为培养“人”综合素养的要求.

1. 高考考纲要求学生掌握正弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 高考试题考查形式为最后一个选择题或者第一个解答题，均为中等难度.

2. 让学生从已有知识经验出发，由特殊到一般，从定性到定量发现正弦定理，培养学生合情推理探索数学规律的数学思考能力.

3. 通过尝试定理的证明，学生领悟分类讨论和化归与转化的数学思想.

4. 在正弦定理的运用过程中，培养学生总结概括能力，解决难题的意志力以及实际应用能力.

5. 通过萨德视频的引入，提出“萨德雷达能否探测到深圳”这一问题，构建数学模型，运用新知识解决这一问题，提升学生数学建模素养.

6. 由直角三角形到斜三角形，证明正弦定理，并通过合情推理，证明正弦定理比值为2R，提升学生逻辑推理素养.

7. 通过对三角形形状的改变以及正弦定理中字母的可变性，理解正弦定理本质特征，更好地运用定理解决问题，提升学生数学抽象素养.

3.2 需要解决的核心问题

根据聚焦的问题，确定了本节课要解决的的两个核心问题：

1. 掌握正弦定理的证明和思维方法.

2. 熟悉正弦定理的变形形式，掌握正弦定理的简单应用，解决“已知三角形的任意两个角与一边，求其他边和角”、“已知三角形的任意两边与其中一边的对

角，求其他边和角”这两类解三角形的问题. 3.3 分解问题

核心问题确定后，分析学生学情，我们将核心问题分解为以下4个小问题，在课堂上逐一解决.

1. 在直角三角形中，找出边、角及其外接圆半径的关系.

2. 在任意的三角形中，

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===是否成立？ 3. 正弦定理结构上有什么特征？有哪些变形形式？ 4. 如何运用正弦定理解三角形？ 3.4 教学过程

设计问题、引出课题

新课采用视频导入，联系最近比较热门的时事——萨德，激发学生的兴趣，然后给出三角形模型，研究“萨德”雷达能否探测到深圳. 问题如下：

已知成都到深圳的距离为1300km ，如图所示，“萨德-成都-深圳”所成角度为

60°，“萨德-深圳-成都”所成角度为85°. 问：“萨德”雷达能否探测到深圳？

学生自主发言，分享自己的见解，能够想到利用辅助线作高，在直角三角形中运用三角函数求出萨德到深圳的距离，教师引导学生思考：如何不通过辅助线，直接求出萨德到深圳的距离，引出课题.

对于4个分解问题，采用小组合作探究的形式来解决，具体实施细节如下： 为了解决分解问题1和分解问题2，课前准备好了材料下发给学生. 材料1：利用几何画板，给出直角、锐角和钝角三角形的三边长、三个角的正弦值以及外接圆半径等一系列数据，让学生通过某种简单计算，猜想这些边、角与外接圆半径的等式关系.

解决分解问题1：在直角三角形中，找出边、角及其外接圆半径的关系.

如图所示，在Rt △ABC 中，C 为直角，三边分别为a ，b ，c ，外接圆为圆O ，直径为2R ，尝试写出a ，

b ，

c ，A ，B ，C ，2R 之间的一些等式关系.

解决分解问题2：在任意的三角形中，

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===是否成立？ 如图所示，将锐角三角形和钝角三角形放在其外接圆中，推导

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===是否成立.

B

通过分组合作探究，组内合作，组间交流，学生推导出对任意的三角形，

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===成立，领悟分类讨论和化归与转化的数学思想，提升了逻辑推理素养.

设计意图：与传统教学法不同，在教学过程中，让学生通过数学实验，学生亲历正弦定理的产生过程，从而提升学生素养.

教学反思：（1）用任务作为驱动，小组之间相互竞争，得到了我们预设的目标，并且还有意外惊喜，有的学生得到了cos cos c a B b A =+的等量关系，这或

许就是在教学过程中设计数学实验给我们的惊喜吧.（2）在合作探究过程中，为了能够保证学生充分讨论，我采取了深度会谈的学习方式-----《世界咖啡》的形式：首先，每个小组推选出自己的小组长，小组长带领大家一起讨论，提出解决问题的办法；然后，小组长带着本组的想法跟其余组进行交流；最后，小组长回到自己的小组，和自己的组员整理出解决方案，并和大家分享.

解决分解问题3：正弦定理结构上有什么特征？有哪些变形形式？

1.在ABC ?中,若30,A a ?

==则

_____.sin sin sin a b c

A B C

+-=+-

2.在ABC ?中, 222sin sin sin ,A B C =+则ABC ?为（ ）

A.直角三角形

B.等腰或直角三角形

C. 等腰三角形

D.等边三角形 3.在ABC ?中, ||cos ||cos ,BC A AC B =则ABC ?为（ ）

A.直角三角形

B.等腰或直角三角形

C. 等腰三角形

D.等边三角形

教师组织学生演练以上习题，小组总结概括变形形式，学生完成练习，得出正弦定理的几个变形形式：

A R a sin 2=，

B R b sin 2=，

C R c sin 2=， R a A 2sin =

，R b B 2sin =，R

c C 2sin =，C B A c b a sin :sin :sin ::=. 学生掌握了正弦定理的变形形式，便能灵活地运用定理，解决正弦定理的一些应用题，趁热打铁，教师给出解三角形的例题.

解决分解问题4：如何运用正弦定理解三角形？ 【问题引领1】

△ABC 中，已知下列条件，解三角形. （1）10,30,45=?=?=c C A .

（2）?===45,2,2A b a ； ?===45,2,2A b a ； ?===45,2,2A b a .

教师组织学生演练习题，小组总结运用正弦定理解决解三角形的类型，学生完成练习，总结出正弦定理能够“已知三角形的任意两个角与一边，求其他边和角”、“已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他边和角”这两类解三角形的问题，培养学生总结概括能力和解题意志力.

至此，教学任务基本完成，回归课堂一开始提出的萨德能否探测到深圳的问题：已知成都到深圳的距离为1300km ，“萨德-成都-深圳”所成角度为60°，“萨

德-深圳-成都”所成角度为85°. 问：“萨德”雷达能否探测到深圳？

学生能够轻松解决课堂引入提出的问题，初步提升了数学建模意识，培养了学生实际应用能力.

参考文献

[1] 冯伟贞，苏洪雨，张艳虹，等. 高中数学实验活动选编[M]. 北京: 科学出版社，2016.

[2] 何小亚. 数学学与教的心理学[M]. 广州: 华南理工大学出版社，2016.

[3] 吕林根，许子道. 解析几何［M］. 北京：高等教育出版社, 1987.

[4] 朱鼎勋. 空间解析几何［M］. 上海：上海科学技术出版社，1981.

致谢

光阴似箭, 日月如梭, 转眼间我们的省级骨干教师培训即将落下帷幕. 能够在这九个月的时间内迅速成长, 衷心感谢华南师范大学给我们提供了优越的学习生活环境，衷心感谢每一位尊敬的老师和亲爱的同学们的无私帮助.

本文是在冯伟贞教授的殷切关怀和悉心指导下完成的. 冯教授诲人不倦的态度, 严谨治学的精神,不仅在学业上,在生活上都影响着我, 使我受益匪浅. 在此, 谨向冯教授表示衷心的感谢和崇高的敬意!

数学实验答案-1

1.（1） [1 2 3 4;0 2 -1 1;1 -1 2 5;]+(1/2).*([2 1 4 10;0 -1 2 0;0 2 3 -2]) 2. A=[3 0 1;-1 2 1;3 4 2],B=[1 0 2;-1 1 1;2 1 1] X=(B+2*A)/2 3. A=[-4 -2 0 2 4;-3 -1 1 3 5] abs(A)>3 % 4. A=[-2 3 2 4;1 -2 3 2;3 2 3 4;0 4 -2 5] det(A),eig(A),rank(A),inv(A) 求计算机高手用matlab解决。 >> A=[-2,3,2,4;1,-2,3,2;3,2,3,4;0,4,-2,5] 求|A| >> abs(A) ans = （ 2 3 2 4 1 2 3 2 3 2 3 4 0 4 2 5 求r（A） >> rank(A) ans =

4 求A-1 《 >> A-1 ans = -3 2 1 3 0 -3 2 1 2 1 2 3 -1 3 -3 4 求特征值、特征向量 >> [V,D]=eig(A) %返回矩阵A的特征值矩阵D 与特征向量矩阵V , V = - + + - - + - + - + - + D = { + 0 0 0 0 - 0 0 0 0 + 0 0 0 0 - 将A的第2行与第3列联成一行赋给b >> b=[A(2,:),A(:,3)'] b = 《 1 - 2 3 2 2 3 3 -2

1． a=round(unifrnd(1,100)) i=7; while i>=0 i=i-1; b=input('请输入一个介于0到100的数字：'); if b==a ￥ disp('You won!'); break; else if b>a disp('High'); else if b

《数学实验》试题答案

北京交通大学海滨学院考试试题 课程名称：数学实验2010-2011第一学期出题教师：数学组适用专业: 09机械, 物流, 土木, 自动化 班级：学号：姓名： 选做题目序号： 1.一对刚出生的幼兔经过一个月可以长成成兔, 成兔再经过一个月后可以 繁殖出一对幼兔. 如果不计算兔子的死亡数, 请用Matlab程序给出在未来24个月中每个月的兔子对数。 解: 由题意每月的成兔与幼兔的数量如下表所示： 1 2 3 4 5 6 ··· 成兔0 1 1 2 3 5··· 幼兔 1 0 1 1 2 3··· 运用Matlab程序： x=zeros(1,24); x(1)=1;x(2)=1； for i=2:24 x(i+1)=x(i)+x(i-1); end x 结果为x = 1 1 2 3 5 8 13 21 3 4 5 5 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 1094 6 7711 2865 7 46368 2.定积分的过程可以分为分割、求和、取极限三部分, 以1 x e dx 为例, 利用

已学过的Matlab 命令, 通过作图演示计算积分的过程, 并与使用命令int() 直接积分的结果进行比较. 解：根据求积分的过程，我们先对区间[0,1]进行n 等分， 然后针对函数x e 取和，取和的形式为10 1 i n x i e e dx n ξ=≈ ∑ ? ，其中1[ ,]i i i n n ξ-?。这里取i ξ为区间的右端点，则当10n =时，1 x e dx ?可用10 101 1.805610 i i e ==∑ 来近似计算， 当10n =0时，100 100 1 01 =1.7269100 i x i e e dx =≈ ∑?，当10n =000时，10000 10000 1 1 =1.718410000 i x i e e dx =≈ ∑ ?. 示意图如下图，Matlab 命令如下： x=linspace (0,1,21); y=exp(x); y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 plot(x,y); hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b') end syms k;symsum(exp(k/10)/10,k,1,10)；%n=10 symsum(exp(k/100)/100,k,1,100)；%n=100 symsum(exp(k/10000)/10000,k,1,10000)；%n=10000

三年级数学实验方案

2011——2012第二学期三年级数学实验方案 课题名称：如何提高学生的计算能力 参与人：三年级全体数学教师一、指导思想 计算能力是学生学习数学所必备的基本能力，是学习数学的基础。培养和提高学生的计算能力是小学数学的主要任务之一，是一项涉及到多方面教学内容的系统工程。“计算”在教学中所占的比重相当大，无论是应用题、统计知识，还是简易方程，都离不开计算。计算的准确率和速度如何，将直接影响学生学习的质量，因此，计算教学不容忽视。数学大纲中明确提出，要使学生能“正确、迅速、灵活、合理”地进行计算。计算教学应跳出认知技能的框框，不把法则的得出，技能的形成作为唯一的目标，而应更关注学生的学习过程，让学生参与算理算法的探索过程，让学生在实践探索的过程中实现发展性领域目标。 二、实验内容： 1、小数的加减法。 2、三位数乘两位数 3、除数是两位数的除法（口算和竖式计算）以及乘除混合运算。 三、实验目标： 1、弄清算理，讲明算理。 2、在规定时间里完成一定数量的计算，保证计算的准确率。 3、养成良好的计算习惯。 四、实验的具体做法： （一）培养学生计算的兴趣。 “兴趣是最好的老师”，在计算教学中，首先要激发学生的计算兴趣，让学生乐于学、乐于做，教会学生用口算、笔算和计算工具进行计算，并掌握一定的计算方法，达到算得准、快的目的。 讲究训练形式，激发计算兴趣。为了提高学生的计算兴趣，寓教于乐，结合每天的教学内容，可以让学生练习一些口算。在强调计算的同时，讲究训练形式多样化。如：用游戏、竞赛等方式训练；用卡片、小黑板视算，听算；限时口算，自编计算题等。多种形式的训练，不仅提高学生的计算兴趣，还培养学生良好的计算习惯。 以中外数学家的典型事例或与课堂教学内容有关的小故事激发兴趣。教

MATLAB数学实验第二版答案(胡良剑)

数学实验答案 Chapter 1 Page20,ex1 (5) 等于[exp(1),exp(2);exp(3),exp(4)] (7) 3=1*3, 8=2*4 (8) a为各列最小值，b为最小值所在的行号 (10) 1>=4,false, 2>=3,false, 3>=2, ture, 4>=1,ture (11) 答案表明：编址第2元素满足不等式(30>=20)和编址第4元素满足不等式(40>=10) (12) 答案表明：编址第2行第1列元素满足不等式(30>=20)和编址第2行第2列元素满足不等式(40>=10) Page20, ex2 (1)a, b, c的值尽管都是1，但数据类型分别为数值，字符，逻辑，注意a与c相等，但他们不等于b (2)double(fun)输出的分别是字符a,b,s,(,x,)的ASCII码 Page20,ex3 >> r=2;p=0.5;n=12; >> T=log(r)/n/log(1+0.01*p) Page20,ex4 >> x=-2:0.05:2;f=x.^4-2.^x; >> [fmin,min_index]=min(f) 最小值最小值点编址 >> x(min_index) ans = 0.6500 最小值点 >> [f1,x1_index]=min(abs(f)) 求近似根--绝对值最小的点 f1 = 0.0328 x1_index = 24 >> x(x1_index) ans = -0.8500 >> x(x1_index)=[];f=x.^4-2.^x; 删去绝对值最小的点以求函数绝对值次小的点 >> [f2,x2_index]=min(abs(f)) 求另一近似根--函数绝对值次小的点 f2 = 0.0630 x2_index = 65 >> x(x2_index) ans = 1.2500

【重磅】数学实验三报告

实验3插值与数值积分 实验报告 一、实验目的 1、掌握用Matlab计算拉格朗日、分段线性、三次样条三种插值的方法，改变节点的数目，对三种插值结果进行初步分析； 2、掌握用Matlab及梯形公式、辛普森公式计算数值积分； 3、通过实例学习用插值和数值积分解决实际问题。 二、实验内容 10、表3.7给出的R,R数据位于机翼剖面的轮廓线上，R1和R2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到R坐标每改变0.1时的R坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，求机翼剖面的面积。 曲线绘制 利用Matlab编程画出机翼轮廓线，内容如下： (1)三次样条插值 R=[035791112131415]; R1=[01.82.22.73.03.12.92.52.01.6]; R2=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6]; u=0:0.1:15; v1=spline(R,R1,u); v2=spline(R,R2,u); plot(u,v1,u,v2);grid; Rlabel('R');Rlabel('R1或R2'); gteRt('R1(R)');gteRt('R2(R)'); 其中，u为插值设置了步长和范围，grid命令可以为曲线图添加网格线，Rlabel、Rlabel分别为横坐标、纵坐标添加标签，gteRt命令可以实现曲线名称的添加。得到的结果如下：

(2)分段线性插值 将v1、v2部分代码改为 v1=interp1(R,R1,u); v2=interp1(R,R2,u); 得到的图形如下： 可见，用分段线性插值会使得曲线不够光滑（特别是区间[10,15]的部分）。 (3)拉格朗日插值 根据教材内容，用Matlab编程，内容如下： functionR=lagr(R0,R0,R)

matlab数学实验复习题(有标准答案)

复习题 1、写出3 2、i ｎv(A)表示Ａ的逆矩阵； 3、在命令窗口健入 clc,４、在命令窗口健入clea 5、在命令窗口健入６、x=-1:０.2:17、det(A)表示计算Ａ的行列式的值；8、三种插值方法：拉格朗日多项式插值,分段线性插值，三次样条插值。 9、若A=123456789?? ????????,则fliplr （Ａ）＝321654987?????????? Ａ-３=210123456--??????????A ．＾２=149162536496481?????????? tril(A)=100450789?????????? tri ｕ（Ａ，－1)=123456089??????????ｄiag(A ）＝100050009?????????? Ａ(:,2),＝2 58A(3,:)=369 10、nor ｍcd ｆ（1，1，2)=0.5%正态分布mu=1,s ｉgm ａ＝２,x ＝1处的概率 ｅ45(@ｆ,［ａ,b ］,x0),中参数的涵义是@fun 是求解方程的函数M 文 件,[a,b ］是输入向量即自变量的范围a 为初值,ｘ0为函数的初值，t 为输出指定的[ａ,b],x 为函数值 １5、写出下列命令的功能：te ｘt （1,2,‘ｙ=s ｉｎ(x)’

hold on 16fun ｃｔion 开头; 17 ,4) ３，４） 21、设x 是一向量，则）的功能是作出将Ｘ十等分的直方图 ２2、interp １(［1,2,3]，[3,４,5]，2.5) Ans=4.５ 23、建立一阶微分方程组? ??+='-='y x t y y x t x 34)(3)(2 的函数M 文件。(做不出来） 二、写出运行结果: １、>＞ｅy ｅ（3，4)=1000 01000010 2、>>s ｉze([1,2,3])=1;3 3、设b=ro ｕnd （unifrnd(-５，5,１，4)),则=3 ５ 2 -5 >>[x,m]=ｍin(b)；x ＝－5；m=4 ，［x,n ］=sort(b ） －５ 2 3 ５ 4 3 １ 2 ｍea ｎ(ｂ）=１.2５，m ｅdian(b)＝2.5,range(ｂ）=10 ４、向量ｂ如上题,则 ＞>ａn ｙ(b),all(ｂ<2),ａｌl(b<6） Ans ＝１ 0 １ ５、＞>[5 6;7 8]>[7 8；5 6]=00 11 6、若1234B ??=???? ,则 7、>>ｄｉag(d ｉag （B ）)=10 04 8、＞>[4:-2:１].＊[-1,６]=-4 12 9、>>acos(0.5),a ｔan(1） ans ＝ 1.６5９8 ans=

高等数学实验1 函数与极限 - 参考答案

高等数学实验1 函数与极限 参考答案 一．用MA TLAB 计算： 1． 433sin log 210.235 π +- sin(3*pi/5)+log(21)/log(3)-0.23^4+452^(1/3)-sqrt(43) ans = 4.8365 2．2ln 645 1.2374cos 48 -?+π 4*cos(4*pi/7)+3*2.1^8/(sqrt (645))-log(2) ans = 43.0950 二. 用MA TLAB 计算： 设向量(1,2,3,4,5)x =，求 1．sin 2y x x =+ clear >> x=[1,2,3,4,5]; >> y=sin(x)+2*x y = 2.8415 4.9093 6.1411 7.2432 9.0411 2．2 3sin z x x x =- z=3*x.*sin(x)-x.^2 z =1.5244 1.4558 -7.7299 -25.0816 -39.3839 3． ()2 cos 2ln(21) x x u e x = -+ u=((cos(2.*x)).^2+(sin(x)+1).^(1/2))./(exp(x)-log(2.*x+1)) u = 0.9448 0.3130 0.1097 0.0098 0.0062

三．用MA TLAB 绘图： x 1 2.1 3 3.9 5.3 6.1 6.9 8 9.1 y 1.01 3.98 8.99 16.01 25.41 37.01 48.89 63.89 81.21 clear >> x=[1,2.1,3,3.9,5.3,6.1,6.9,8,9.1]; >> y=[1.01,3.98,8.99,16.01,25.41,37.01,48.89,63.89,81.21]; >> plot(x,y) >> hold on >> plot(x,y,'s') 2.作出函数2y x =与3 y x = x ∈[-3，3]的图象； clear >> hold off >> fplot('x^2',[-3,3]) >> fplot('x^2',[-3,3],'r') hold on >> fplot('x^3',[-3,3],'g') 3．在同一坐标系作出下列函数的图形，并用不同颜色表示。 （1）sin y x x =+ （2）cos y x x =+ clear >> hold off >>fplot('x+sin(x)',[-5,5],'s') >> hold on >> fplot('x+cos(x)',[-5,5],'r') >> hold off >>ezplot('(y-(x+sin(x)))*x*y',[-5,5]) >> hold on >> fplot('x+cos(x)',[-5,5],'r') 4．作下列函数图形：

实验二极限与连续数学实验课件习题答案

天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称极限与连续 所属课程名称数学实验 实验类型上机操作 实验日期 2013-3-22 班级 10数应2班 学号 291010836 姓名吴保石 成绩

【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．数列极限的概念 通过计算与作图，加深对极限概念的理解． 例2.1 考虑极限3321 lim 51 x n n →∞++ Print[n ，" "，Ai ，" "，0.4－Ai]； For[i=1，i 15，i++，Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1)，10]； Bii=0.4－Aii ；Print[i ，" "，Aii ，" "，Bii]] 输出为数表 输入 fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1)，{n ，15}]； ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0 .4 2．递归数列 例2.2 设n n x x x +==+2,211．从初值21=x 出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为 数列，输入 f[1]=N[Sqrt[2]，20]； f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]； f[9] 则已经定义了该数列，输入 fn=Table[f[n]，{n ，20}] 得到这个数列的前20项的近似值．再输入 ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线2y =

例2.3 考虑函数arctan y x =，输入 Plot[ArcTan[x]，{x ，-50，50}] 观察函数值的变化趋势．分别输入 Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction +1] Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction -1] 输出分别为2 π 和2π-，分别输入 Limit[sign[x]，x 0，Direction +1] Limit[Sign[x]，x 0，Direction －1] 输出分别为-1和1 4．两个重要极限 例2．4 考虑第一个重要极限x x x sin lim 0→ ，输入 Plot[Sin[x]/x ，{x ，－Pi ，Pi}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[Sin[x]/x ，x 0] 输出为1，结论与图形一致． 例2．5 考虑第二个重要极限1 lim(1)x x x →∞+，输入 Limit[(1+1/n)^n ，n Infinity] 输出为e ．再输入 Plot[(1+1/n)^n ，{n ，1，100}] 观察函数的单调性 5．无穷大 例2．6 考虑无穷大，分别输人 Plot[(1+2x)/(1-x)，{x ，-3，4}] Plot[x^3-x ，{x ，-20，20}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[(1+2x)/(1-x)，x 1] 输出为-∞ 例2．7 考虑单侧无穷大，分别输人 Plot[E^(1/x)，{x ，-20，20}，PlotRange {-1，4}] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction +1] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction -1] 输出为图2.8和左极限0，右极限∞．再输入 Limit[E^(1/x)，x 0] 观察函数值的变化趋势． 例2．8 输入 Plot[x+4*Sin[x]，{x ，0，20Pi}] 观察函数值的变化趋势． 输出为图2 .9．观察函数值的变化趋势，当x →∞时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无并不要求函数单调 例2．9 输入

数学实验(MATLAB版韩明版)5.1,5.3,5.5,5.6部分答案

练习 B的分布规律和分布函数的图形，通过观1、仿照本节的例子，分别画出二项分布()7.0,20 察图形，进一步理解二项分布的性质。 解：分布规律编程作图：>> x=0:1:20;y=binopdf(x,20,; >> plot(x,y,'*') 图像： y x 分布函数编程作图：>> x=0::20; >>y=binocdf(x,20, >> plot(x,y) 图像： 《

1 x 观察图像可知二项分布规律图像像一条抛物线，其分布函数图像呈阶梯状。 2、仿照本节的例子，分别画出正态分布()25,2N的概率密度函数和分布函数的图形，通过观察图形，进一步理解正态分布的性质。 解：概率密度函数编程作图：>> x=-10::10; >> y=normpdf(x,2,5); >> plot(x,y) 图像：

00.010.020.030.040.050.060.070.08x y 分布函数编程作图：>> x=-10::10; >> y=normcdf(x,2,5); ~ >> plot(x,y) 图像：

01x y 观察图像可知正态分布概率密度函数图像像抛物线，起分布函数图像呈递增趋势。 3、设()1,0~N X ，通过分布函数的调用计算{}11<<-X P ,{}22<<-X P , {}33<<-X P . 解：编程求解： >> x1=normcdf(1)-normcdf(-1),x2=normcdf(2)-normcdf(-2),x3=normcdf(3)-normcdf(-3) x1 = x2 = ） x3 = 即：{}6827.011=<<-X P ，{}9545.022=<<-X P ，{}9973.033=<<-X P . 4、设()7.0,20~B X ,通过分布函数的调用计算{}10=X P 与{}10> x1=binopdf(10,20,,x2=binocdf(10,20,-binopdf(10,20, x1 = x2 =

南邮MATLAB数学实验答案(全)

第一次练习 教学要求：熟练掌握Matlab 软件的基本命令和操作，会作二维、三维几何图形，能够用Matlab 软件解决微积分、线性代数与解析几何中的计算问题。 补充命令 vpa(x,n) 显示x 的n 位有效数字，教材102页 fplot(‘f(x)’,[a,b]) 函数作图命令，画出f(x)在区间[a,b]上的图形 在下面的题目中m 为你的学号的后3位（1-9班）或4位（10班以上） 1.1 计算30sin lim x mx mx x →-与3 sin lim x mx mx x →∞- syms x limit((902*x-sin(902*x))/x^3) ans = 366935404/3 limit((902*x-sin(902*x))/x^3,inf) ans = 0 1.2 cos 1000 x mx y e =，求''y syms x diff(exp(x)*cos(902*x/1000),2) ans = (46599*cos((451*x)/500)*exp(x))/250000 - (451*sin((451*x)/500)*exp(x))/250 1.3 计算 22 11 00 x y e dxdy +?? dblquad(@(x,y) exp(x.^2+y.^2),0,1,0,1) ans = 2.1394 1.4 计算4 2 2 4x dx m x +? syms x int(x^4/(902^2+4*x^2)) ans = (91733851*atan(x/451))/4 - (203401*x)/4 + x^3/12 1.5 (10)cos ,x y e mx y =求 syms x diff(exp(x)*cos(902*x),10) ans = -356485076957717053044344387763*cos(902*x)*exp(x)-3952323024277642494822005884*sin(902*x)*exp(x) 1.6 0x =的泰勒展式(最高次幂为4).

数学实验报告

高等数学数学实验报告 实验人员：院（系） __ __学号____姓名_ __ 实验地点：计算机中心机房 实验一 空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：（实验习题1-2） 利用参数方程作图，做出由下列曲面所围成的立体图形： (1) x y x y x z =+--=2222,1及xOy 平面； (2) 01,=-+=y x xy z 及.0=z 二、实验目的和意义 1、利用数学软件Mathematica 绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲面图形的特点，以加强几何的直观性。 2、学会用Mathematica 绘制空间立体图形。 三、程序设计 空间曲面的绘制 作参数方程] ,[],,[,),(),(),(max min max min v v v u u v u z z v u y y v u x x ∈∈?????===所确定的曲面图形的Mathematica 命令为： ParametricPlot3D[{x[u,v],y[u,v],z[u,v]},{u,umin,umax}, {v,vmin,vmax},选项] (1) (2)

四、程序运行结果 (1) （2） 五、结果的讨论和分析 1、通过参数方程的方法做出的图形，可以比较完整的显示出空间中的曲面和立体图形。 2、可以通过mathematica 软件作出多重积分的积分区域，使积分能够较直观的被观察。 3、从(1)中的实验结果可以看出，所围成的立体图形是球面和圆柱面所围成的立体空间。 4、从(2)中的实验结果可以看出围成的立体图形的上面曲面的方程是xy z =，下底面的方程是z=0，右边的平面是01=-+y x 。 实验一 空间曲线与曲面的绘制 一、实验题目：（实验习题1-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特

数学实验答案

实验一 %sy1ljq20111668 %第一大题 %1 x=[3,2*pi]; y1=sin(x)+exp(x) %y1= 20.2267 535.4917 %2 x=2:2:10 y2=x.^2+sqrt(2*x) %y2= 6.0000 18.8284 39.4641 68.0000 104.4721 %3 a=2*pi,b=35/180*pi,c=exp(2); y31=sin(a/5)+cos(b)*c y32=tan(b)*cot(a/3) %y31 =7.0038 %y32 =-0.4043 %6 a1=-6.28,a2=7.46,a3=5.37; a11=fix(a1) a21=fix(a2) a31=fix(a3) %a11=-6 %a21=7 %a31=5 %7

y71=abs(a1*a2+a3) y72=a1^2*sqrt(a2*a3/2) %y71 =41.4788 %y72 =176.5066 %8 save sy1 clear %9 load sy1 %10 A=[2 -5 6;8 3 1;-4 6 9]; A1=A' A2=det(A) A3=5*A save sy1 A1 A2 A3 %A1 = 2 8 -4 -5 3 6 6 1 9 %A2 =782 %A3 = 10 -25 30 40 15 5 -20 30 45 %第二大题 %1 X=0:pi/10:2*pi; Y=cos(X);S=[X',Y']

%S = 0 1.0000 0.3142 0.9511 0.6283 0.8090 0.9425 0.5878 1.2566 0.3090 1.5708 0.0000 1.8850 -0.3090 2.1991 -0.5878 2.5133 -0.8090 2.8274 -0.9511 3.1416 -1.0000 3.4558 -0.9511 3.7699 -0.8090 4.0841 -0.5878 4.3982 -0.3090 4.7124 -0.0000 5.0265 0.3090 5.3407 0.5878 5.6549 0.8090 5.9690 0.9511 6.2832 1.0000 %2 a22=input('a22='); b22=input('b22=');

数学实验1-3章习题答案

2 一元微积分实验 2.1 曲线绘图 练习题2.1 会出下列常见曲线的图形（其中a=1,b=2,c=3）. 1. 立方抛物线3x y = syms x y; >> ezplot('y=x^(1/3)',[-5,5]) >> title('y=x^(1/3)') -5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 x y y=x (1/3) 2. 高斯曲线2 x e y -= syms x y; >> ezplot('y=exp(-x^2)',[-5,5]) >> title('y=exp(-x^2)')

-5 -4 -3 -2 -1 01 2 3 4 5 x y y=exp(-x 2) 3. 笛卡尔曲线 2 2 213,13t at y t at x +=+= )3(33axy y x =+ syms x y; >> ezplot('x^3+y^3=3*x*y',[-2,2]) >> title('x^3+y^3-3*x*y=0') -2 -1.5-1-0.5 00.51 1.5 2 x y x 3+y 3-3*x*y=0 4. 蔓叶线 ).(1,132 2 322x a x y t at y t at x -=+=+= syms x y; >> ezplot('y^2*(1-x)=x^3',[-10,10]) >> title('y^2=x^3/(1-x)')

-10 -8 -6 -4 -2 02 4 6 8 10 x y y 2=x 3/(1-x) 5. 摆线 ).cos 1(),sin (t b y t t a x -=-= syms t; >> x=t-sin(t); >> y=2-2*cos(t); >> ezplot(x,y) 1 2 345 6 00.511.522.533.54x y x = t-sin(t), y = 2-2 cos(t) 6. 星形线 )(sin ,cos 3 23 23 23 3 a y x t a y t a x =+== syms t; >> x=cos(t)^3; >> y=sin(t)^3; >> ezplot(x,y)

数学实验4答案

第四次练习题 1、 编程找出 5,1000+=≤b c c 的所有勾股数，并问：能否利用通项表示 },,{c b a ? >> for b=1: 995 a=sqrt((b+5)^2-b^2); if(a==floor(a)) fprintf('a=%i,b=%i,c=%i\n',a,b,b+5) end end a=15,b=20,c=25 a=25,b=60,c=65 a=35,b=120,c=125 a=45,b=200,c=205 a=55,b=300,c=305 a=65,b=420,c=425 a=75,b=560,c=565 a=85,b=720,c=725 a=95,b=900,c=905 >> for c=6:1000 a=sqrt(c^2-(c-5)^2); if(a==floor(a)) fprintf('a=%i,b=%i,c=%i\n',a,c-5,c) end end a=15,b=20,c=25 a=25,b=60,c=65 a=35,b=120,c=125 a=45,b=200,c=205 a=55,b=300,c=305 a=65,b=420,c=425 a=75,b=560,c=565 a=85,b=720,c=725 a=95,b=900,c=905 {a,b,c}={100*n^2-100*n+25,10*n^2-10*n,10*n^2-10*n+5} 2、编程找出不定方程 )35000(122<-=-y Dy x 的所有正整数解。（学号为单号的取D=2, 学号为双号的取D=5） D=2（学号为单号） >> for y=1:34999 x=sqrt(2*y^2-1); if(x==floor(x)) fprintf('x=%i,y=%i\n',x,y) end

离散数学实验指导书及其答案

实验一命题逻辑公式化简 【实验目的】加深对五个基本联结词（否定、合取、析取、条件、双条件）的理解、掌握利用基本等价公式化简公式的方法。 【实验内容】用化简命题逻辑公式的方法设计一个表决开关电路。 实验用例：用化简命题逻辑公式的方法设计一个5人表决开关电路，要求3人以上（含3人）同意则表决通过（表决开关亮）。 【实验原理和方法】 （1）写出5人表决开关电路真值表，从真值表得出5人表决开关电路的主合取公式（或主析取公式），将公式化简成尽可能含五个基本联结词最少的等价公式。 （2）上面公式中的每一个联结词是一个开关元件，将它们定义成C语言中的函数。 （3）输入5人表决值（0或1），调用上面定义的函数，将5人表决开关电路真值表的等价公式写成一个函数表达式。 （4）输出函数表达式的结果，如果是1，则表明表决通过，否则表决不通过。 参考代码： #include int vote(int a,int b,int c,int d,int e) { //五人中任取三人的不同的取法有10种。 i f( a&&b&&c || a&&b&&d || a&&b&&e || a&&c&&d || a&&c&&e || a&&d&&e || b&&c&&d || b&&c&&e || b&&d&&e || c&&d&&e) return 1; e lse return 0; } void main() { i nt a,b,c,d,e; p rintf("请输入第五个人的表决值（0或1，空格分开）："); s canf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&e); i f(vote(a,b,c,d,e)) printf("很好，表决通过！\n"); e lse printf("遗憾，表决没有通过！\n"); } //注：联结词不定义成函数，否则太繁

数学实验报告格式

《数学实验》实验报告 （2012 年03 月30 日） 班级：09级四班学号：姓名：吴永慧 一、实验问题 1、某公司指派5个员工到5个城市工作（每个城市单独一人），希望使所花费的总电话费用尽可能少。5个员工两两之间每个月通话的时间表示在下面的矩阵的上三角部分（因为通话的时间矩阵是对称的，没有必要写出下三角部分），5个城市两两之间通话费率表示在下面的矩阵的下三角部分（同样道理，因为通话的费率矩阵是对称的，没有必要写出上三角部分）. 试求解该二次指派问题。 通话时间d=[0 1 1 2 3 1 0 2 1 2 1 2 0 1 2 2 1 1 0 1 3 2 2 1 0 ] 城市间通话费率 c=[0 5 2 4 1 5 0 3 0 2 2 3 0 0 0 4 0 0 0 5 1 2 0 5 0] 2、某校毕业生必须至少修：两门数学课、三门运筹学课、两门计算机课。 1）某学生希望所修课程最少。 2）某学生希望课程少学分多。 3）某学生觉得学分数和课程数这两大目标大致应该三七开。 3、某储蓄所营业时间为上午9:00--下午5:00，储蓄所可以雇佣两类服务员： 全职：每天100元中午12:00--下午2:00之间必须安排1小时的午餐时间 半职：每人40 元必须连续工作4小时 1）储蓄所每天雇佣的半职服务员不超过3人，为使花费最少该如何雇佣两类服务员。 2）如果不能雇佣半时服务员，花费多少？ 3）如果雇佣半时服务员没有人数限制花费多少？

二、问题的分析（涉及的理论知识、数学建模与求解的方法等） 1、用???=城市人不去城市人去了k 0k 1 i i x ik （i =1...5） ???=城市人没去城市人去了h j h j x jh 01 (i =1...5) ij d 表示i 和j 的通话时间；kh c 表示城市k 和h 之间的费率，数学模型： min jh ik i j k h ij kh x x d c ∑∑∑∑====5151515 1 s.t.???????????========∑∑∑∑====5 151515 1 5 ...115...115...115 (11) h jh j jh k ik i ik j x k x i x k x ik x 、jh x 均为0、1变量 2、用???=该学生不选该课程该学生选了该课程01 i x （i =1...9） 1) 数学模型：min Z=∑=91i i x

实验小学一年级期末数学考试题与答案

实验小学一年级期末数学考试题及答案 一、填空题。( 共9题) 1.妈妈买红扣子18个，白扣子10个，黑扣子8个。 (1)红扣子比白扣子多个? (2)黑扣子比白扣子少个? 答案：8 2 2.下面的题你会算吗? 答案：36 7 3. 1,1,2,3,5， 答案：8。后一项为前两项之和 4. 2只小鸭=4只小鸡3只小鸭=6只小鹅1只小鹅只小鸡 答案：1 5.方框中应该填什么数呢? 答案：3 6.找出下面的数列的规律并填空. 1，1，2，3，5，8，13，，，55，89 答案：21 34 7.黑兔、灰兔和白兔三只兔子在赛跑。黑免说："我跑得不是最快的，但比白兔快。"请你说说，跑得最快，跑得最慢。 答案：灰兔白兔

8.在里填数字，使下面的两位数都是双数 答案：0 2 4 6 8 9. 10、20、11、19、12、18、、、 答案：13 17 14 16 二、计算题。( 共29题) 1.汽车总站有13辆汽车，开走了3辆，还有几辆? 答案：13-3=10(辆)，所以还有10辆 2.第一个盘子里有5个梨，第二个盘子里有4个梨，把第一个盘里拿1个放到第二个盘里，现在一共有多少个梨? 答案：5+4=9(个)，所以一共有9个梨 3.小明和小亮想买同一本书，小明缺1元7角，小亮缺1元3角。若用他们的钱合买这本书，钱正好。这本书的价钱是多少?他们各带了多少钱? 小明带了3元-1元7角=1元3角小亮带了3元-1元3角=1元7角 答案：1元7角+1元3角=3元 4.小明出去玩的时候，看了一下钟，时针在2和3之间，分针指向6，他回来的时候时针在6和7之间，分针指向6，小明一共外出了几小时? 答案：出去的时候：2：30，回来的时候6：30，一共出去4个小时。 5.学校要把12箱文具送给山区小学，已送去7箱，还要送几箱? 答案：12-7=5(箱)，所以还要送去5箱 6.学校开运动会，一年级同学站成一排，昊昊往左数了数，自己左面有10个人;往右数了数，自己右面有8个人。老师问昊昊这排有多少人?聪明的小朋友你们会算吗? 答案：根据题意，这排不含昊昊有10+8=18 人，所以一共有18+1=19 人。 7.在一个箱子里面，乱七八糟的放着4只红色袜子和4只白色袜子。现在小红把手伸进去摸，请问至少摸几只就能保证拿到相同颜色的袜子? 答案：2+1=3(只)，至少摸3只就能保证拿到相同颜色的袜子 8.数一数共有多少个角?

数学实验 第三章

第三章练习题 1. （1）syms t; f=exp(5*t); int(f,t) 运行结果： ans =1/5*exp(5*t) （2）syms x; f=x/(x^4+2*x^2+5); int(f,x) 运行结果： ans =1/4*atan(1/2*x^2+1/2) （3）syms x; f=1/(x*log(x)*log(log(x))); int(f,x) 运行结果： ans =log(log(log(x))) （4）syms x; f=sqrt(1+cos(x)); int(f,x) 运行结果：ans =-2*cos(1/2*x)*(-1+cos(1/2*x)^2)/sin(1 /2*x)*2^(1/2)/(cos(1/2*x)^2)^(1/2) （5）syms x a; f=x^2/(sqrt(a^2-x^2)); int(f,x) 运行结果： ans =-1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*atan (x/(a^2-x^2)^(1/2)) （6）syms x; f=1/(1+sqrt(2*x)); int(f,x) 运行结果： ans =-1/2*log(2*x-1)+2^(1/2)*x^(1/2)-atanh (2^(1/2)*x^(1/2)) （7）syms x; f=cos(x)*sin(x)/(1+cos(x)^2); int(f,x) 运行结果：

ans =-1/2*log(1+cos(x)^2) （8）syms x; f=1/(x*sqrt(x^2-1)); int(f,x) 运行结果： ans =-atan(1/(x^2-1)^(1/2)) （9）syms x; f=sqrt(x^2-9)/x; int(f,x) 运行结果： ans =(x^2-9)^(1/2)+3*atan(3/(x^2-9)^(1/2)) 2. （1）syms x ; f=x*exp(-x^2/2); int(f,x,0,1) 运行结果： ans =-exp(-1/2)+1 （2）syms x ; f=(abs(x)+x)*exp(-x^2); int(f,x,-2,2) 运行结果： ans = -exp(-4)+1 （3）syms x ; f=abs(x-1); int(f,x,0,2) 运行结果： ans = 1 （4）syms x ; f=1/(exp(x)+1); int(f,x,0,1) 运行结果： ans =1-log(1+exp(1))+log(2) （5）syms x ; f=sqrt(1+cos(2*x)); int(f,x,0,pi) 运行结果： ans = 2*2^(1/2) （6）syms x ; f=1/(x^2*sqrt(1+x^2)); int(f,x,1,sqrt(3)) 运行结果： ans =-2/3*3^(1/2)+2^(1/2)

数学实验四题目和答案

一．实验题目 1.（必做题）解微分方程（组） （1） 322232(1)(0)0,'(0)1,''(0)1,d y d y dy y dx dx dx y y y ?=---???===-? （提示可以考虑[0,20]x ∈，以特解函数及其一阶、二阶导数曲线图形来表示） 解： ①将高阶微分方程化为一阶微分方程组，设y y y y y y ''='==321,,，则有 ()??? ????---='='='2122333221 1y y y y y y y y ②建立函数文件 function dy=myfun(x,y) dy=[y(2);y(3);(y(3)-1)^2-y(2)-y(1)^2]; ③主程序： [x,y]=ode45('myfun',[0,20],[0;1;-1]); plot(x,y(:,1),'*',x,y(:,2),'+',x,y(:,3),'o') %legend('y','y 的一阶导数','y 的二阶导数'); ④结果 注意此题得不到解析解，只能用数值解，解法可参看PPT 中数值解例题3 （2）运用数值解手段描述下面常微分方程组在初值0[0;0;110]x e ∈-下的相空间的相轨线. 11232233 1223'()8()/3()()'()10()10()'()()()28()()x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t =-+??=-+??=-+-? 解：①建立函数文件 function dx=lorenz(t,x) dx=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)]; ②主程序文件 [t,x]=ode45('lorenz',[0,100],[0;0;1e-10]); axis([0 40 -20 20 -20 20]); plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)); grid on ③结果