正视图
俯视图
左视图
北京市顺义区2014届高三4月第二次统练 数学（文科）试卷 2014．4
一、 选择题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项． 1． 已知集合{}|03A x x =<<,{}|20B x x =->,则集合A
B =（ ）．
A ．(0,2)
B ． (0,3)
C ．(2,3)
D ．(2,)+∞
2．已知直线1:210l x y -+=与直线2:0l mx y -=平行，则实数m 的值为（ ）． A ．12 B ． 1
2
- C ．2 D ．2- 3．“2
π
?=
”是“cos 0?=”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．如图所示，一个空间几何体的正视图和左视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，那么这个几何体的体积为（ ）． A ．4π B ． 2π C ．43π D ．23
π
5．已知向量(1,1)a =，(2,3)b =-，若ka b -与a 垂直，则实数k =（ ）． A ．12 B ． 12- C ．52 D ．5
2
-
6． 执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的值是（ ）． A ．2 B ． 5 C ． 11 D ． 23
7．已知函数12
log ,
0,()2,
0,x x x f x x >??=??≤?若关于x 的方程()f x k =有两个不等的实根，则实数k 的取值范围是
（ ）．
A ．(0,)+∞
B ． (,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．(0,1]
8．已知点A 在抛物线24y x =上，且点A 到直线10x y --=
，则点A 的个数为（ ）． A ．1 B ． 2 C ． 3 D ． 4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 把答案填在答题卡上．
9．某学校有初中生1200人，高中生900人，教师120人，现采用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为n 的样本进行调查．如果从高中生中抽取60人，则样本容量_________n =． 10．复数2
_________.12i i
-=+
11． 双曲线2
2
14
y x -=的渐近线方程为____________.
12．已知,x y 满足约束条件,1,1,y x x y y ≤??
+≤??≥-?
则2z x y =+的最小值为________.
13．在
ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．
若a c ==
，sin 2
B =
，则c o s _____B =
________.b =
14．数列{}n a 的前n 项和为n S ．若数列{}n a 的各项按如下规则排列：
1121231234121
,,,,,,,,,,,2334445555n n n n
-??????????????? 则15_____;a =若存在正整数k ，使110,k S -<10k S >，则_______.k a =
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （本小题满分13分） 已知函数()sin 2cos 22a f x x x =
-的图象过点(,0)8
π
． （Ⅰ）求实数a 的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及最大值．
16． （本小题共13分）
甲、乙两名运动员参加“选拔测试赛”，在相同条件下，两人5次测试的成绩（单位：分）记录如下： 甲 86 77 92 72 78 乙 78 82 88 82 95 （Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；．
（Ⅱ）现要从中选派一名运动员参加比赛，你认为选派谁参赛更好？说明理由（不用计算）； （Ⅲ）若从甲、乙两人的5次成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率．
17． （本小题共14分）
如图：已知长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2
的正方形，高1AA =P 为1CC 的中点，AC 与BD 交于O 点．
（Ⅰ）求证：BD ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面PBD ； （Ⅲ）求三棱锥1A BOP -的体积．
O
P
C 1
D 1
A 1
B 1
A B
C D
18． （本小题共13分）
已知数列1n a ??
?
???
是公差为2的等差数列，且11a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}1n n a a +的前n 项和为n T ．
证明：
1132
n T ≤< ．
19． （本小题共14分）
已知椭圆E 的两个焦点分别为(1,0)-和(1,0),离心率e = （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+（0k ≠）与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的垂直平分线过定点
1
(,0)2
P ，求实数k 的取值范围．
20． （本小题共13分） 已知函数3
21()23
f x x x ax b =
-++的图象在点(3,(3))P f 处的切线方程为35y x =-． （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）设()()2
m
g x f x x =+
-． ①若()g x 是[3,)+∞上的增函数，求实数m 的最大值；
②是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线()y g x =围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总
相等． 若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由．
北京市顺义区2014届高三4月第二次统练 高三数学（文科）试卷参考答案及评分标准
9．148；10．i ；11．2y x =±；12．3-；13
．1,3
14． 1556,67
k a a =
= 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由已知函数()sin 2cos
22
a
f x x x =
- ()f x 的图象过点(,0)8π，∴sin cos 0244
a ππ
-=，————3分
解得2a =————7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得函数()sin 2cos 2)4
f x x x x π
=-=
-———9分
∴最小正周期22
T π
π=
=，———11分 ．————13分
16．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）茎叶图
62
5
78822872
9
8乙
甲
————3分
（Ⅱ）由图可知，乙的平均成绩大于甲的平均成绩，且乙的方差小于甲的方 差，且乙的最高分高于甲的最高分，因此应选派乙参赛更好． ———6分 （Ⅲ）记事件A ： 甲的成绩比乙高
从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一个成绩，所有的基本事件如下：
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}
86,78,86,82,86,88,86,82,86,9577,78,77,82,77,88,77,82,77,9592,78,92,82,92,88,92,82,92,9572,78,72,82,72,88,72,82,72,9578,78,78,82,78,88,78,82,78,95 共25个． ————9分 事件A 包含的基本事件有
{}{}{}{}{}{}{}86,78,86,8286,82,
92,78,92,82,92,88,92,82,
共7个————11分
∴7
()25
P A =
————13分 17．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）
底面ABCD 是边长为正方形，∴AC BD ⊥
1A A ⊥底面ABCD ，BD ?平面ABCD ∴1A A ⊥BD ————3分
1A A AC A =，∴BD ⊥平面11A ACC ——5分
（Ⅱ）连结PO ，
P 为1CC 的中点，O 为AC 的中点
∴1AC ∥PO ，————7分
又OP ?平面PBD ，1AC ?平面PBD
∴1AC ∥平面PBD ————10分
（Ⅲ）
1AA =
AO =
∴1
AO = O
P
C 1
D 1
A 1
B 1
A
B
C D
同样计算可得
1
A P=，∴1A OP为等腰三角形，————12分
CO CP
==∴2
OP=，∴等腰三角形1A OP的高为3
∴
11
1
3
A A
BOP OP
V S OB
-
=
=14分
18．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知
1
n
a
??
??
??
是公差为2的等差数列，∴
1
11
(1)2
n
n
a a
=+-?，又
1
1
a=，∴
1
21
n
n
a
=-————3分
∴
1
21
n
a
n
=
-
————5分
（Ⅱ）
1
11111
()
212122121
n n
a a
n n n n
+
=?=-
-+-+
————7分
∴
1223341
n n n
T a a a a a a a a
+
=+++???+
111111
(1)
23352121
n n
=-+-+???+-
-+
21
n
n
=
+
————9分
11
22(21)
n
T
n
=-
+
，n T随n的增大而增大，∴1
1
3
n
T T
≥=————11分
又
111
22(21)2
n
T
n
=-<
+
————12分
∴
11
32
n
T
≤<．————13分
19．（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由已知椭圆的焦点在x轴上，1
c=
，
2
c
a
=，
∴a=1
b=，————2分
∴椭圆E的方程为
2
21
2
x
y
+=————4分
（Ⅱ）22
12
y kx m x y =+???+=??，消去y 得222(12)4220k x kmx m +++-=————6分 直线l 与椭圆有两个交点，∴0>，可得2212m k <+（*）————8分 设11(,)A x y ，22(,)B x y
∴122412km x x k -+=
+，∴AB 中点的横坐标02
212km
x k
-=+ AB 中点的纵坐标002
12m
y kx m k
=+=
+————10分 ∴AB 的中点22
2(,)1212km m
D k k -
++
设AB 中垂线'l 的方程为：11()2
y x k =-
- D 在'
l 上，∴D 点坐标代入'
l 的方程可得2
122k
m k
--=
（**）————12分 将2212m k <+（*
）代入解得,2
k >
或2k <-，
∴2
(,(
,)k ∈-∞+∞————14分 20．（本小题共13分）
解：（Ⅰ）3x =时，(3)39f a b =+-
'2()4,f x x x a =-+∴'(3)9123f a
=-+=， ∴6a =————2分
(3,(3))f 在直线35y x =-上，∴(3)4f =，即394,a b +-= ∴5b =- ∴6,5a b ==- ————4分
321
()2653
f x x x x =-+-，
（Ⅱ）①321()26532
m g x x x x x =
-+-+- ()g x 是[3,)+∞上的增函数，
∴'2
2
22
()46(2)20(2)(2)m m g x x x x x x =-+-
=--+≥--，
在[3,)+∞上恒成立，————6分
令2
(2),x t -= 则1t ≥，
设2m y t t =-
+， ∴20m
t t
-+≥在[1,)+∞上恒成立————7分 222(1)1m t t t ≤+=+-恒成立，∴3m ≤， 实数m 最大值为3————9分
②由321()26532
m g x x x x x =
-+-+-， ∴321(4)(4)2(4)6(4)5342
m
g x x x x x -=---+--+--
3212526332
m
x x x x =-
+---
- ∴10()(4)3g x g x +-=
， ∴5
(2,)3
Q ————
11分 表明：若点(,)A x y 为()g x 图象上任意一点，则点10
(4,
)3
x y --也在图象上， 而线段AB 的中点恒为5(2,)3
Q ；由此可知()g x 图象关于点5(2,)3
Q 对称．
这也表明存在点5
(2,)3
Q ，使得过Q 的直线若能与()g x 图象相交围成封闭图形， 则这两个封闭图形面积相等． ————13分（其它解法相应给分）．