1、讨论绝对误差（限）、相对误差（限）与有效数字之间的关系。
2、相对误差在什么情况下可以用下式代替？
3、查阅何谓问题的“病态性”，并区分与“数值稳定性”的不同点。
4、 取
，计算
，不用计算而直接判断下列式子中哪
种计算效果最好？为什么？
（1）(
3
3-，（2）(2
7-，（3）
()
3
1
3+，（4）
()
6
11
，（5）
99-5. 应用梯形公式
))()((2b f a f a
b T +-=
计算积分1
0x I e dx -=⎰的近似值，在整个计算过程中按四舍五入规则取五位小数。计算中产生的误差的主要原因是截断误差还是舍入误差？为什么？
6. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出他们有几位有效数字，并给出其绝对误差限与相对误差限。 (1) 1021.1*1=x ；(2) 031.0*2=x ；(3) 40.560*3=x 。
7. 下列公式如何计算才比较准确？
(1) 212
x e -，1x <<；(2)
12
1
N N
dx
x ++⎰
，1>>N ；(3) ，1x >>。 8. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-，12,,n =，若0141.y =≈，计算到10y 时误差有多大？这个计算过程数值稳定吗？
r
e x x
e x x *****
-==
141.≈)6
1
1、怎样确定一个隔根区间？如何求解一个方程的全部实根？如：已知方程：1020()x f x e x =+-=在(),-∞+∞有实数根，用二分法求它的全部实根，要求误差满足210*k x x --<？若要求6*10k x x --<，需二分区
间多少次？
2、求解一个非线性方程的迭代法有哪些充分条件可以保障迭代序列收敛于方程的根？对方程3210()f x x x =--=，试构造两种不同的迭代法，且均收敛于方程在[]12,中的唯一根。
3、设0a >，应用牛顿法于方程30x a -=
的计算公式，并确定常数,p q 和r 使得迭代法
2
125k k
k k qa ra x px x x +=++， 012,,
,
k =
4、对于不动点方程()x x ϕ=，()x ϕ满足映内性和压缩性是存在不动点的充分条件，他们也是必要条件吗？试证明：（1）函数21()x x ϕ=-在闭区间[]02,上不是映内的，但在其上有不动点；（2）函数
1()ln()x x e ϕ=+在任何区间[],a b 上都是压缩的，但没有不动点。
5、设*x 是方程0()f x =的根，且0*'()f x ≠，''()f x 在*x 的某个邻域上连续。试证明：Newton 迭代序列{}k x 满足
1212
2**()''()lim ()'()k k k k k x x f x x x f x -→∞---=-- 6. 设有方程1
12
sin x x =+。对于迭代法1112
()sin()k k k x x x ϕ+==+，试证：对任
何15.b ≥，迭代函数()x ϕ在闭区间[0.5,b]上满足映内性和压缩性。用所给方法求
x，使其有8位有效数字。方程的根*
数值分析思考题3
1、Gauss 消去法和LU 三角分解法解线性方程组的工作量相同吗？工作量为多少？平方根方法的工作量为多少？
2、求解一个线性方程的LU 分解法什么条件下可以保障成功？选主元的目的是什么？列主元和全主元Gauss 消去法求解线性方程组各有什么优点？
3、仅当系数矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss 消去法才会失败吗？系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的吗？一个奇异的矩阵必没有LU 分解吗？一个非奇异对称的矩阵不是正定就没有Cholesky 分解吗？
4、奇异矩阵的范数一定为零吗？范数为零的矩阵一定为零矩阵吗？矩阵1-范数和2-范数，通常哪个更容易计算？为什么？构造一个条件数为1的非单位矩阵的方阵。
5、若n n A R ⨯∈是列严格对角占优的（对每一列j ：1j n ≤≤，满足：
1
n
ij
jj i i j
a
a =≠<∑）
，证明A 有三角分解A LU =，且1ij l <，()i j >。 6、设[]12,,,T
n n x x x x R =∈，0j p >，1,2,,j n =，证明
*1
n
j j j x p x ==∑
是n R 上的一种向量范数。
7、
证明矩阵范数的性质：22F A A A ≤≤
，2A ≤
若A 对
称时，122221
2
()n
F A λλλ=+++，其中i λ，1,2,,i n =为A 的特征值。 8、已知线性方程组
122.0002 1.999841.9998 2.00024x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ （1）求系数矩阵的逆1
A -和条件数()Cond A ；
（2）若方程组右端有微小扰动()44210,210T
b δ--=⨯-⨯，不用求解方程组，试利用解与系数扰动之间的关系式来估计解的相对变化率。 9．用三角分解法求解方程组
12346
2
1
1624101114151
0135x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦.
10．用列主元消去法求解方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321321321x x x x x x x x x .
11．用Cholesky 分解法求解方程组
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--103422484548416321x x x .
