关于行星运动椭圆轨道的直观理解
南京浦口梁兆健
开普勒第一定律，说的是行星绕太阳的运动轨迹为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。借助于微分方程知识，这个定律已经得到了非常严谨的证明。然而很多初学者，还是很难从直观上接受这一结论，觉得大自然应该是完美对称的，轨道就理应是正圆，太阳为圆心。为此而纠结者，恐怕不在少数。到底该如何破除这个“心结”呢？本人有些粗浅的看法，在此抛砖引玉。
首先，要破除非此即彼的观点。椭圆和圆并非是互相排斥的，而是统一的。圆是一种特殊的椭圆，就好像正方形是一种特殊的矩形。当我们把矩形沿长边方向压缩到一定程度，或沿短边方向拉伸到一定程度时，矩形就变成正方形了，所以正方形是长短边相等的特殊矩形。同样，当我们把椭圆沿长径方向压缩到一定程度，或沿短径方向拉伸到一定程度时，椭圆就成了圆，所以圆是长短径相等的特殊椭圆。经常使用画图工具的人，对此应有深刻认识。
其次，我们想象一下行星“诞生”的初始时刻的情形。行星“诞生”之初，可能初速度为0，也可能不为0，如果不为0，则初速度的方向与行星、太阳连线的夹角可能是0度、180度、90度或是0-90度之间、90-180度之间。如果初速为0或夹角为0度、180度，则行星做直线运动。如果夹角为90度，那么有可能做圆周运动，也有可能不是，这跟速度的大小还有关系。如果夹角在0-90度之间或90-180度之间，则不可能做圆周运动。因为圆周运动的速度方向，必须时刻与半径保持垂直关系。
再次，我们再假想一下，如果有一个行星原来是做匀速圆周运动的，在某一时刻，突然增加或减少它的速度，它的运动轨迹会怎么改变？行星原来做匀速圆周运动，其动能是恒定的，如果突然增大能量，多出来的能量必然使其具有远离太阳的趋势，运动轨迹就会从圆变成“扁圆”，而当前位置为“扁圆”中的近日点；反之若减少能量，则具有被太阳拉近的趋势，运动轨迹也会从圆变成“扁圆”，而当前位置为“扁圆”中的远日点。
最后，再总结一下。行星绕太阳运动，如果要做匀速圆周运动，它的初始速度必须具备特定的方向和大小。但在现实中，一般不会那么巧合，这个初始速度要么方向偏一些，要么其大小多一些或少一些。这就导致了行星绕太阳的运动不大可能正好是圆，而是个“扁圆”。而椭圆模型则能很好的解释，在近日点上，虽然速度方向垂直了，但速度过大，能量多了，所以有远离太阳的趋势而不能做圆周运动，在远日点上，方向也是垂直的，但是速度小了能量少了，因而有被太阳拉近的趋势而不能做圆周运动，在其它点上，连方向都不垂直，更加不能做圆周运动了。这样勾勒出的图形就不是正圆，而是比正圆要扁些。至于这个“扁圆”为什么恰好就是椭圆，严格的证明还是逃不开微分方程了。
四、椭圆中的垂直问题 例7．2 已知椭圆19 162 2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三解形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A 59 B 3 C 7 79 D 49 例7．2在椭圆15 252 2=+y x 上求一点，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直。 例7．3在椭圆120 452 2=+y x 上有一点P ，F 1、F 2是椭圆的左右焦点，△PF 1F 2为直角三角形，则这样的点P 共有（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8 个 五、几个重要问题 例8．1已知椭圆的一个顶点为A （0 ，--1），焦点在x 轴上，若右焦点到直线x —y+22=0的距离是3 （1）求椭圆的方程。 例8．4 已知P 为椭圆2275 425y x +=1上一点，F 1，F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=60，求ΔF 1PF 2的面积。 六、椭圆中的轨迹问题 1.直接法：根据条件，建立坐标系，设动点(x ，y)，直接列出动点所应满足的方程。 2.代入法：一个是动点Q(x 0,y 0)在已知曲线F(x,y)=0，上运动，而动点P(x,y)与Q 点满足某种关系，要求P 点的轨迹。 其关键是列出P 、Q 两点的关系式???==),(),(0y x y y y x f x o 3.定义法：通过对轨迹点的分析，发现与某个圆锥曲线的定义相符，则通过这个定义求出方程。 4.参数法：在x ，y 间的方程F(x,y)=0难以直接求得时，往往用???==) ()(t y y t f x (t 为参数)来反映x ，y 之间的关系。 例：ABC ?的一边的的顶点是B(0,6)和C(0,-6)，另两边斜率的乘积是94- ，求顶点A 的轨迹方程： 1、设动点P(x,y)到直线x=5与它到点A(1,0)的距离之比为3，则点P(x,y)的轨迹方程是（ ） A 15422=+y x B ()1812122=++y x C 15422=+x y D ()1241212 2 =+-y x 七、椭圆与直线（线段）问题 例10．1 已知M={(x,y)|x 2+2y 2=3} N={(x,y)|y=mx+b} 若对于所有m ∈R ，均有M ∩N ≠Φ，则b 的取值范围是（ ） A [--26 ，26] B （--26 ，26） C （--332 ，332） D[--332 ，3 32] 例10．2 椭圆x 2+2 2 y =a 2(a>0)和连接A （1，1），B （2，3）两点的线段有公共点，则a 的取值范围是
行星的运动知识点 Prepared on 24 November 2020
近日点 远日点 行星的运动 一。开普勒三大定律 ①开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一 个焦点上。（椭圆定律） 【牢记】：不同行星绕太阳运行的椭圆 轨道不一样，但这些轨道有一个共同的焦点，即太阳 所处的位置。 ②开普勒第二定律：对任意一个行星来 说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面 积．（面积定律） 【牢记】：行星在近日点的速率大于远日 点的速率。 ③开普勒第三定律：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方 的比值都相等．（周期定律） 即公式k T a 23 （式中的比例系数k 为定值） 【牢记】：k 与中心天体(太阳)有关 二、开普勒三大定律的近似处理 从刚才的研究我们发现，太阳系行星的轨道与圆十分接近，所以在中学阶段的 研究中我们按圆轨道处理。这样，开普勒三大定律就可以说成
【牢记】： ①行星绕太阳运动轨道是圆，太阳处在圆心上。 ②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星 做匀速圆周运动。 ③所有行星的轨道半径的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。若用R 代表轨道半径，T 代表公转周期，开普勒第三定律可以用公式表示为：k T R =23 ,k 与太阳有关。 扩展及注意： a) 开普勒定律不仅适用于行星绕太阳运动，同时它适用于所有的天体运动。只不过对于不同的中心天体，k T R =23 中的k 值不一样。如金星绕太阳的23T R 与地球绕太阳的23 T R 是一样的，因为它们的中心天体一样，均是太阳。但月球绕地球运动的23T R 与地球绕太阳的23 T R 是不一样的，因为它们的足以天体不一样。 b) 开普勒定律是根据行星运动的现察结果而总结归纳出来的规 律．它们每一条都是经验定律，都是从行星运动所取得的资料中总结出来的规律．开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容，不涉及力学原因。 c) 开普勒关于行星运动的确切描述，不仅使人们在解决行星的运动学问题上有了依据，更澄清了人们对天体运动神秘、模糊的认识，同时也推动了对天体动力学问题的研究．
第四讲 有关圆锥曲线轨迹问题（教师版） 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）限（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这 种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系，点Q （2，0），圆C 方程为 12 2=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。 【解析】设MN 切圆C 于N ，则 2 22ON MO MN -=。),(y x M ,则 2 222)2(1y x y x +-=-+λ化简得 0)41(4))(1(2 2222=++-+-λλλx y x 当1=λ时，方程为54x =，表示一条直线。 当1≠λ时，方程化为2 2 22 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 【练习】如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线PM PN ， （M N ，分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则1(20)O -， ，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) y x Q M N O
直线与椭圆的位置关系练习（2） 1. 椭圆19 252 2=+y x 上的点M 到焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，则 ON （O 为坐标原点）的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．8 D ． 2 3 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为2F ，由椭圆第一定义得10221==+a MF MF ， 所以82101012=-=-=MF MF ， 又因为ON 为21F MF ?的中位线，所以 42 1 2== MF ON ，故答案为A ． 2. 若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一： 由??? ??=++=15 1 22m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=?∴k m 即
1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且 解法二：直线恒过一定点)1,0( 当5
1 绪论 本课题要求设计一直摆凸轮组合机构，使给定在摆杆上的某个点实现预期椭圆轨迹，并在此基础上进一步设计出整个机构所需的所有零件的实体模型，然后将其装配组合，并进行运动仿真。机构示意图如图1－1： 图1－1 直摆组合凸轮机构示意图 众所周知，人类创造发明机构和机器的历史十分悠久，并且随着人们对不同机器和机构的需求的日益增多，对它们的研究也在不断的深入，特别是在近代，科学技术的飞速发展使得机构和机器的种类和它们所能完成的功能得到了极大的丰富。也正因为如此，机构和机器理论已经发展成为一门重要的技术基础学科。在这一学科中，进一步完善传统典型机构的分析与综合方法，例如实现预期轨迹的机构的类型和设计方法的创新，仍是值得研究的课题。在这一方面，对本课题的研究就有着重要的意义。 现代化的生产，许多都要求设备能实现某种预期轨迹来更好的生产，比如在食品加工机械中的馒头自动化生产线上，其馒头堆放机构就是一个利用组合机构来完成预期的馒头堆放轨迹的。在实现预期轨迹的组合机构中，直摆凸轮组合机构是一种非常实用的机构，通过不同轮廓的直动凸轮和摆动通论驱动连杆配合运动，既能实现连续性预期轨迹，如星形线、内摆线、旋轮线、渐开线、正态曲线等；又能实现离散化预期轨迹，如人头像、金鱼、黑桃、三菱商标等。所涉及到的工业生产：如专用线切割机床、专用电火花加工机床、专用焊接焊切机械手、专用几何测量仪器、行程控制机构及各类轻工机械等。可以实现图案加工、电火花刻线等等。因此，研究本课题不仅有其理论意义，也有着其现实意义。
该机构是由直动从动件凸轮机构与摆动从动件凸轮机构组成的联动凸轮机构（图－1），该机构具有3个活动构件（n=3），3个低副(P l =3)，2个高副(P h =2)，由平面机构自由度计算公式h l P P n --=23η[1] 故其机构自由度η为：123233=-?-?=η该机构原动件数目为1,与其机构自由度相等,故该机构成立。 通过建立直、摆组合凸轮机构的设计公式，从而得出该机构各构件位置、大小及形状尺寸、凸轮实际廓线、理论廓线。在此基础上，再合理设计出机构所需的每个零部件的结构，之后将它们装配组合，并进行运动彷真，验证设计的正确性。 此机构的设计可以分为如下几个部分：直动从动件凸轮和摆动从动件凸轮的设计，直动杆和摆动杆的设计，直动导轨的设计，轴系零部件的设计和机架的设计。其中最为关键也最为困难的是直动从动件凸轮和摆动从动件凸轮的设计，而采用何种方法进行设计又是首先需要考虑的问题。因此在设计过程中应该先确定所要采用的凸轮设计方法。 在以上部分设计完成后，机构的运动仿真，包括机构各个部件的装配和装配后的动态仿真。在这一阶段需仔细计划各个部件的安装位置和安装顺序，将每一个部件都正确安装到位。其中值得注意的是直动凸轮与摆动凸轮的安装滞后角，这一角度需严格控制，稍微的误差可能就直接影响预期的曲线。 本课题所用到的硬件主要是计算机。用到的软件有：AutoCAD 2004，Proe Wildfire3.0，Word2000，Powerpoint2000。
圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题 一、临阵磨枪 1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、小试牛刀 1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥
全球全年太阳视运动轨迹图解析 很多人都对太阳视运动轨迹不是很清晰，它牵涉到影子朝向、太阳高度角以及地方时的计算等知识，所以为大家所关注，这里就对全球任何纬度上全年任何时刻太阳视运动一天之内的轨迹图进行比较详细的解析，希望对大家的理解有所帮助。同时如有不对之处请各位指正，不胜感激。 一、前提知识储备 太阳视运动轨迹跟太阳直射点的位置有直接的关系，所以要把太阳视运动轨迹弄清楚，首先要把教材上二分二至日太阳照射图弄明白。 图1图2 从上面三个图要清楚以下这些知识点： 1、与晨昏线相交的纬线上，日出日落时太阳高度角为零；反之没有与晨昏线相交的纬线上，日出日落时太阳高度角不为零，如图1北极圈以北的纬线上，图3南极圈以南的纬线上； 2、上面三个图既反映了地方时为12时的太阳高度角大小，也反映了地方时为0时的太阳高度角大小；换个角度说，上面三个图既反映了地方时为12时的太阳视方位，也反映了地方时为0时的太阳视方位。其中地方时为0时的太阳视方位和太阳高度角对于在极昼范围以内的地方有意义； 3、有人有这样的误区“既然太阳光为平行光线，所以全球任何地点的太阳视方位是相同的。”，这个观点错在没有考虑“地球表面为曲面”的因素。 图4 图5 通过比较图4和图5，相信可以走出上面提到的误区。 二、把握三种情况六个区域 由于太阳视运动轨迹跟太阳直射点的关系，所以我们只分析太阳直射赤道、北半球、南半球这三种情况即可。 六个区域是根据太阳视运动轨迹的不同，把地球表面分为六个区域，分别是：赤道、直射点与刚好出现极昼的纬线圈之间（为了方便，以下简称极昼圈，反之简称极夜圈）、直射点与极夜圈之间、极昼圈、极昼圈与极点之间、极点。
在太阳系中，天体行星的运行轨道都是椭圆的，这一点早已被科学观察所证实。但为什么行星的运动轨迹都会是椭圆的呢？几个世纪来，牛顿给出了计算椭圆轨道的公式，康德在其《宇宙发展史概论》中作出了一个不很明确的解答“行星的偏心率是自然界因力图使行星作圆周运动时，由于中间出现了许多情况，而不能完全达到圆形的结果”。而拉普拉斯在其《宇宙体系论》中是这样解释的“如果行星只受太阳的作用，它们围绕太阳运行的轨道是椭圆的……。”20世纪的爱因斯坦也只告诉我们“空间是弯曲的”，现代科学对于行星椭圆轨道形成的原因。如同“万有引力”一样，尚是一个未揭开的科学之迷。 天体行星的运动，不但轨道是椭圆的，而且运动的公转速度与自转速度也随着时空的变化而变化，显现出某些特殊的运动规律。这些规律，至今为止，人们尚未真正解开其中的奥秘。近年来，俄罗斯科学家，运用数学和控制论科研所的研究员提出“由于地球内部的固体核旋转速度快于地慢，从而影响了地球的自转速度”。有关专家指出“该科研成果解决了地球自转角速度发生变化的原因，解决了多年来困扰学术界的一个难题。” 天体行星运动轨道的变化规律，是因地球内部固体核与地慢流的运动差异而引起的变化吗？本人运用量子引力理论进行了诸多的推演，创新了一套天体行星运动系统的引力控制理论，它能全面地解释天体行星椭圆轨道的形成和运动速度变化的原因。该理论发现：太阳系行星运动的规律直接受银河系中心引力场引力控制，从而产生出太阳系轨道行星运动的自然法规。 18世纪法国大科学家拉普拉斯，在其所著的《宇宙体系论》中指出：“行星系里，除了使行星围绕太阳在椭圆轨道上运行的主要原因外，还存在其他特殊扰乱它们的运动，而且长时期里改变他们的轨道根数”。引自《宇宙体系论·第四章·行星围绕太阳运动的规律及其轨道的形状》（法）皮埃尔·西蒙·拉普拉斯著。 银河系中心引力场究竟怎样控制太阳系里的行星运动呢？拉普拉斯所预言的“还存在其它特殊原因”，而这个特殊原因就是“银河系引力的控制”。但拉普拉斯说“如果行星只受太阳的作用，它围绕太阳运行的轨道是椭圆的”，这句话从理论推演上说反了。实际上行星在围绕着太阳运行时，在不受银河系引力场控制的前提下，行星的运行轨道是正圆的而不是椭圆的。在后文的推演中，我们将会使读者真正认识到银河系中心引力场对太阳系的引力控制，对于运动行星来说是无法摆脱且真实地存在。
圆锥曲线轨迹问题
建设现代化(检验) ——有关圆锥曲线轨迹问题 根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是解析几何的一大课题：一方面求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面求轨迹方程是培养学生数形转化的思想、方法以及技巧的极好教材。该内容不仅贯穿于“圆锥曲线”的教学的全过程，而且在建构思想、函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。 轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。 求轨迹方程的的基本步骤：建设现代化（检验） 建（坐标系）设（动点坐标）现（限制条件，动点、已知点满足的条件）代（动点、已知点坐标代入）化（化简整理）检验（要注意定义域“挖”与“补”） 求轨迹方程的的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。 1．直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x,y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法； 例1、已知直角坐标系中，点Q （2，0），圆C 的方程为 122=+y x ，动点M 到圆C 的切线长与 MQ 的比等于常数)0(>λλ，求动点M 的轨迹。
【解析】设MN 切圆C 于N ，则2 22ON MO MN -=。设),(y x M ,则 2222)2(1y x y x +-=-+λ 化简得0)41(4))(1(22222=++-+-λλλx y x （1） 当1=λ时，方程为4 5 = x ，表示一条直线。 （2） 当1≠λ时，方程化为2 222 222)1(31)12(-+=+--λλλλy x 表示一个圆。 ◎◎如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，124O O =. 过动点P 分别作圆2O 、圆2O 的切线 PM PN ，（M N ， 分别为切点），使得2PM PN =. 试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程. 【解析】以12O O 的中点O 为原点，12O O 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 1(20)O -，，2(20)O ，. 由已知2PM PN =，得222PM PN =. 因为两圆半径均为1，所以 22 1212(1)PO PO -=-. 设()P x y ，，则 2222(2)12[(2)1]x y x y ++-=-+-， 即22(6)33x y -+=.(或221230x y x +-+=) 评析： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。
<一>圆的方程 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。 （1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 此方程可用于解决两圆的位置关系： 配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4 其圆心坐标：（-D/2,-E/2） 半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2 此方程满足为圆的方程的条件是: D^2+E^2-4F>0 若不满足,则不可表示为圆的方程 （2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系： ⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。 ⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。 ⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
直线与椭圆的位置关系专题讲义 知识点1：直线与椭圆位置关系、弦长问题： 将直线方程b kx y +=（或b my x +=）代入椭圆方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ， 整理得到关于x （或y ）的一个一元二次方程02 =++C Bx Ax （或02=++C By Ay ） 当＿＿＿＿＿＿＿?直线l 与椭圆相交； 当＿＿＿＿＿＿＿?直线l 与椭圆相切； 当＿＿＿＿＿＿＿?直线l 与椭圆相离。 若直线l ：b kx y +=与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A ，B 两点， 弦长公式： =||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 或=||AB ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。通径公式为：__________ . 例1.当m 为何值时，直线y=x+m 与椭圆 19 162 2=+y x 相交？相切？相离？ 练习、直线y =mx +1与椭圆x 2+4y 2=1有且只有一个交点，则m 2=（ ） (A )21 (B )32 (C ) 43 (D ) 5 4 例2、直线y=kx+1与焦点在x 轴上的椭圆x 2/9+y 2/m=1总有公共点，求实数m 的取值范围是（ ） A 、1/2≤m ＜9 B 、9＜m ＜10 C 、1≤m ＜9 D 、1＜m ＜9 练习、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 例3、求直线x －y ＋1=0被椭圆 14 162 2=+y x 截得的弦长 练习、已知椭圆： 19 22 =+y x ，右顶点为A ，过左焦点1F 作倾斜角为6π的直线交椭圆于N M 、两点，求弦MN 的长及AMN ?的面积。
圆 锥 曲 线 中 的 轨 迹 问 题 【复习目标】 掌握求曲线方程的几种常用方法。 【课前预习】 1、一动圆与两圆：221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为 （ ） （A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆 2、动点P 到直线40x +=的距离减去它到点(2,0)M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是（ ） （A ）直线 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 3、与圆22(2)1x y -+=外切，且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为 。 4、过抛物线22y x =的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 。 【典型例题】 1、设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，点P 在直线l 上，且满足||||1PA PB ?=，求点P 的轨迹方程。
2、求与两定点(1,0),(1,0)A B -的连线的斜率之积为常数k 的点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？ 3、求曲线22 44x y +=关于点(3,5)M 对称的曲线方程。
4、已知ABC ?中，|BC|=2，顶点A 在平行于底边且距离底边为1的直线上运动，求ABC ?的垂心H 的轨迹方程。 【巩固练习】 1、已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一个动点，且|PM|=|MQ|，则点Q 的轨迹方程是 （ ） ()210 ()250 ()210 ()250A x y B x y C x y D x y ++=--=--=-+= 2、动点P 到直线x=6的距离与它到点(2,1) P 的轨迹方程是 （ ） 2222 2222(1)(1)()+=1 ()=1 5454(1)(1)(1)(1)()=1 ()=1 5454 x y x y A B x y x y C D -----+-++ 3、倾斜角为4π的直线交椭圆2 214 x y +=于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是 。 4、经过点(2,0)与圆22 (2)36x y ++=内切的圆的圆心M 的轨迹方程是 。
椭圆、双曲线轨迹问题一、填空题(本大题共9小题，共45.0分) 1.点P在以F1、F2为焦点的椭圆x2 3+y2 4 =1上运动，则△PF1F2的重心G的轨迹方程是 ______ ． 2.已知P（-4，-4），点Q是离心率为2 2 且焦点在x轴上的椭圆x2+my2=16上的动点，M 是线段PQ上的点，且满足PM=1 3 MQ，则动点M的轨迹方程是______ ． 3.从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，则线段QN的中点P的轨迹方程为______ ． 4.已知点P是椭圆C：x2 9 +y2=1上的动点，一定点Q（1，0）．有______ 个点P使得|PQ|=2成立；当点P运动时，线段PQ中点M的轨迹方程为______ ． 5.两定点的坐标分别为A(-1，0)，B(2，0)，动点满足条件∠MBA=2∠MAB，动点M的轨迹方程是____________． 6.在平面直角坐标系中，有△ABC，且A（-3，0），B（3，0），顶点C到点A与点B的距离之差为4，则顶点C的轨迹方程为______ ． 7.已知A，B两地相距800m，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，则炮弹爆炸点的轨迹是______ ． 8.若动点P（x，y）满足 x2+(y?3)2+ x2+(y+3)2=10，则点P的轨迹是______ ． 9.设M（-5，0），N（5，0），△MNP的周长是36，则△MNP的顶点P的轨迹方程为______ ． 二、解答题(本大题共1小题，共12.0分) 10.已知椭圆M：x2 a +y2 b =1(a＞b＞0)的离心率是2 2 ，上顶点B是抛物线x2=4y的焦点． （Ⅰ）求椭圆M的标准方程； （Ⅱ）若P、Q是椭圆M上的两个动点，且OP⊥OQ（O是坐标原点），由点O作OR⊥PQ 于R，试求点R的轨迹方程． 高中数学试卷第1页，共1页
全球全年太阳视运动轨迹图解析 很多人都对太阳视运动轨迹不是很清晰，它牵涉到影子朝向、太阳高度角以 及地方时的计算等知识，所以为大家所关注，这里就对全球任何纬度上全年任何 时刻太阳视运动一天之内的轨迹图进行比较详细的解析，希望对大家的理解有所 帮助。同时如有不对之处请各位指正，不胜感激。 一、前提知识储备 太阳视运动轨迹跟太阳直射点的位置有直接的关系，所以要把太阳视运动轨 迹弄清楚，首先要把教材上二分二至日太阳照射图弄明白。 从上面三个图要清楚以下这些知识点： 1、与晨昏线相交的纬线上，日出日落时太阳高度角为零；反之没有与晨昏线相 交的纬线上，日出日落时太阳高度角不为零，如图 1 北极圈以北的纬线上， 图 3 南极圈以南的纬线上； 2、上面三个图既反映了地方时为 12 时的太阳高度角大小，也反映了地方时为 0 时的太阳高度角大小；换个角度说，上面三个图既反映了地方时为 12 时的太 阳视方位，也反映了地方时为 0 时的太阳视方位。其中地方时为 0 时的太阳 视方位和太阳高度角对于在极昼范围以内的地方有意义； 3、有人有这样的误区“既然太阳光为平行光线，所以全球任何地点的太阳视方 位是相同的。”，这个观点错在没有考虑“地球表面为曲面”的因素。 通过比较图 4 和图 5 ，相信可以走出上面提到的误区。 二、把握三种情况六个区域 由于太阳视运动轨迹跟太阳直射点的关系，所以我们只分析太阳直射赤道、 北半球、南半球这三种情况即可。 六个区域是根据太阳视运动轨迹的不同，把地球表面分为六个区域，分别是： 赤道、直射点与刚好出现极昼的纬线圈之间（为了方便，以下简称极昼圈，反之 简称极夜圈）、直射点与极夜圈之间、极昼圈、极昼圈与极点之间、极点。 N 图3
专题：圆锥曲线之轨迹问题 一、临阵磨枪 1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。这种求轨迹的方法称之为直接法。 2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。 4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。 5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。 二、小试牛刀 1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。 故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥ 2.已知圆O 的方程为22 2 =+y x ，圆O '的方程为01082 2 =+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为 析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x = 3.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1 MF 的中点P 的轨迹方程为 析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得： 0000 22 22 x c x x x c y y y y -? =?=+???? ?=??=?? 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上
学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 ? 上课时间 2014年12月13日 第（ ）次课 共（ ）次课 课时： 课时 教学课题 椭圆 教学目标 # 教学重点与难点 选修2-1椭圆 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点 、 的距离之和等于常数( )，这个动 点 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若，则动点的轨迹为线段； 若 ，则动点 的轨迹无图形. 讲练结合一.椭圆的定义 １．方程 ()()10222 22 2=+++ +-y x y x 化简的结果是 2．若ABC ?的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ?的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 3.已知椭圆22 169 x y ＋=1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为 ; 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程： ，其中 ； 2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
注意： 1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有 和 ； 3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为， ；当焦点在 轴上时，椭圆的焦点坐标为， 。 讲练结合二．利用标准方程确定参数 1.若方程25x k -+2 3 y k -=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （3）表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ，短轴长等于 , 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ，离心率等于 , " 3．椭圆22 14x y m + =的焦距为2，则m = 。 4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。 讲练结合三．待定系数法求椭圆标准方程 1．若椭圆经过点(4,0)-，(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。 2．焦点在坐标轴上，且213a =，212c =的椭圆的标准方程为 3．焦点在x 轴上，1:2:=b a ，6=c 椭圆的标准方程为 4. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0），求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；
与椭圆有关的轨迹问题 1. 已知ABC ?的一边B Ｃ长为6，周长为１6，建立合适的平面直角坐标系,并求出定点A 的轨迹方程。 2. ABC ?的顶点B,C 坐标分别为()()2,0,2,0-,且,,AB BC AC 成等差数列,求动点A 的轨迹方程。 3. 动圆M 与定圆221:60C x y x ++=外切,且内切于定圆222:640C x y x +-=，求动圆 圆心M 的轨迹方程。 4. 一动圆与圆22650x y x +++=外切,同时与圆22 6910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程。 5. 已知圆221:4120C x y x ++-=,与圆222:40C x y x +-=,动圆C 与1C 相内切，且与圆2C 相外切，求动圆圆心的轨迹方程。
6. 在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点Ｐ在圆上运动时,线段P Ｄ的中点Ｍ的轨迹是什么？ 7. 在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD,D 为垂足，直线PD 上有一点M ，且 32DM DP =，当点Ｐ在圆上运动时，点M 的轨迹是什么？ 8. 点(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线25:4l x =的距离之比是定值45 , （1） 求点M 的轨迹方程； （2） 在（1)的前提下，0为坐标原点，求OM 的中点P 的轨迹方程。
9. 点P 与定点()5,0F 的距离和它到定直线20x =的距离的比为1:2，求点P 的轨迹方程。 10. 点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，直线,AM BM 相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是 49 -,求点Ｍ的轨迹方程。
立体几何中的轨迹问题 在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性． 立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有： 1、 几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值； 2、 代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值． 轨迹问题 【例1】 如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E 是BC 的中点，P 点在侧面△SCD 内及其边界上运动，并且总是保持PE ⊥AC ．则动点P 的轨迹与△SCD 组成的相关图形最有可能的是 ( ) 解析：如图，分别取CD 、SC 的中点F 、G ，连结EF 、EG 、FG 、BD ．设AC 与BD 的交点为O ，连结SO ，则动点P 的轨迹是△SCD 的中位线FG ．由正四棱锥可得SB ⊥AC ，EF ⊥AC ．又∵EG ∥SB ∴EG ⊥AC ∴AC ⊥平面EFG ， ∵P ∈FG ，E ∈平面EFG ， ∴AC ⊥PE ． 另解：本题可用排除法快速求解．B 中P 在D 点这个特殊位置，显然不满足PE ⊥AC ；C 中P 点所在的轨 迹与CD 平行，它与CF 成π 4 角，显然不满足PE ⊥AC ；D 于中P 点所在的轨迹与CD 平行，它与CF 所成的角为 锐角，显然也不满足PE ⊥AC ． 评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹． 【例2】 (1)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是CC 1、C 1D 1、DD 1、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足 时，有MN ∥平面B 1BDD 1． (2) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，且总保持AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹是 线段B 1C ． (3) 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱A 1B 1，BC 上的动点，且A 1E =BF ，P 为EF 的中点，则点P 的轨迹是 线段MN (M 、N 分别为前右两面的中心)． (4) 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合形成 一条曲线，那么这条曲线的形状是 ，它的长度是 ． 若将“在正方体的侧面BCC 1B 1上到点A 距离为23 3 的点的集合”改为“在正方体表面上与点A 距离为23 3 的点 的集合” 那么这条曲线的形状又是 ，它的长度又是 ． 1 A C C 1 A E C C 1 A A B 1 A 1 (1) (2) (3) (4) D D A ． B ． C ． D ． A
第八讲 太阳视运动轨迹图的判读方法与技巧 【知识总结】 太阳视运动轨迹图是以观测点为中心，目视太阳在天球上运行所形成的轨迹示意图。它能直观地反映出某地全年正午太阳高度、昼夜长短的变化，也能反映某地全年日出日落方向的变化。 一、方向的判读（通常指地平圈上方向的判读） （1）可通过太阳的升落先判断东西方向，再利用与普通地图上方向的判读方法“上北下南， 左西右东”来定出方向坐标。 例：读图1中太阳在不同节气的视运动图，A 点位于观测者的 方。 判断方法：①根据地球的自转可知太阳的视运动方向是东升西 落，因此可以确定地平面中东西方向，如图2；②根据在地平面上 方向判断是“上北下南、左西右东”，然后在把十字架中的东西方 向与图2中的东西方向指向一致，就可以确定南北方向了。如图3。 （2）已知观测点位于南半球或北半球时，可根据正午太阳的位置来 判断南北方向。 例：图5为北半球某地太阳视运动图，请在图中地平面上标出方向及用箭头画出太阳运动的轨迹。
判断方法：①因为此地 在北半球，所以正午的太阳主要在南方。在图6中我们可以发现，图5中的正午的太阳一直在南方，由此可以确定地平面上的南北方向。②根据在地平面上方向判断是“上北下南、左西右东”，然后在把十字架中的南北方向与图6中的南北方向一致，就可以确定东西方向了。根据地球的自转可知太阳的视运动方向是东升西落，因此可以确定太阳视运动的升落方位，如图7。 二、观测点位于南北半球的判读⑴若正午太阳高度最高时太阳上中天的位置位于观测点之南，则观测点位于北半球；⑵若正午太阳高度最高时太阳上中天的位置位于观测点之北，则观测点位于南半球； 三、正午太阳高度的判读连接正午时太阳所在位置（即太阳上中天的位置）与观测点之间的连线，与南北向连线的夹角，即为观测点所在纬线此日的正午太阳高度（取锐角或直角）。 四、昼夜长短的判读太阳视运动轨迹在地平圈以上弧长的变化，即表示昼长的变化。⑴若此轨迹为优弧，则表示观测点所在纬线此时昼长夜短；⑵若此轨迹为劣弧，则表示观测点所在纬线此时昼短夜长；⑶若轨迹圆心恰好为观测点，则表示观测点所在纬线此时昼夜平分；⑷若太阳视运动轨迹在地平圈以上是一个完整的圆，则表示观测点所在纬线此时出现极昼（如果该圆与地平圈平行，表示观测点所在极点；如果该圆与地平圈相切，表示观测点所在纬度为当日出现极昼的最大范围处；如果该圆与地平圈的位置关系是既不相切又不平行，表示观测点所在纬度介于极点和出现极昼的最大范围处的纬度之间）。 五、二分二至的判读⑴若观测点位于北半球，则太阳视运动轨迹最长时为夏至，最短时为冬至，轨迹圆心在观测点时为春秋分；⑵若观测点位于南半球，则太阳视运动轨迹最长时为冬至，最短时为夏至，轨迹圆心在观测点时为春秋分；⑶若观测点位于赤道上，则正午太阳高度最大时上中天位置在观测点之北的为夏至，在观测点之南的为冬至，正午太阳高度最大（90°）时为春秋分。 六、日出日落方向的判读：在未出现极昼或极夜现象的纬线上（即太阳视运动轨迹与地平圈相交），无论在北半球还是南半球，日出日落方向的变化规律如下：太阳直射北半球时日出日落都偏北（太阳从东北升起西北落下），太阳直射南半球时日出日落都偏南（太阳从东南升起西南落下），太阳直射赤道是不变化（太阳从正东升起正西落下）。 正好出现极昼的地区，北极圈以北地区表现为正北升，正北落，南极圈以南表现为正南升，正南落（升落在同一地点）。北极点从地平面向上看，太阳逆时针在地平面上旋转；南极点从地平面向上看，太阳顺时针在地平面上旋转。