a r X i v :c o n d -m a t /0401324v 3 [c o n d -m a t .s o f t ] 21 S e p 2004
A new improved optimization of perturbation theory:applications to the oscillator energy levels and Bose-Einstein critical temperature
Jean-Lo¨?c Kneur,1Andr′e Neveu,1and Marcus B.Pinto 2
1
Laboratoire de Physique Math′e matique et Th′e orique -CNRS -UMR 5825Universit′e Montpellier II,France
2
Departamento de F′?sica,Universidade Federal de Santa Catarina,88040-900Florian′o polis,SC,Brazil
Improving perturbation theory via a variational optimization has generally produced in higher orders an embarrassingly large set of solutions,most of them unphysical (complex).We introduce an extension of the optimized perturbation method which leads to a drastic reduction of the number of acceptable solutions.The properties of this new method are studied and it is then applied to the calculation of relevant quantities in di?erent φ4models,such as the anharmonic oscillator en-ergy levels and the critical Bose-Einstein Condensation temperature shift ?T c recently investigated by various authors.Our present estimates of ?T c ,incorporating the most recently available six and seven loop perturbative information,are in excellent agreement with all the available lattice numerical simulations.This represents a very substantial improvement over previous treatments.
PACS numbers:03.75.Fi,05.30.Jp,11.10.Wx,12.38.Cy
The variationally improved or optimized perturbation based on the linear δexpansion (LDE)[1,2,3]is a well-used modi?cation of the usual perturbation theory,based on a reorganization of the interacting Lagrangian such that it depends on an arbitrary mass parameter,to be ?xed by some optimization prescription.In D =1theories,such as the quantum mechanical anharmonic oscillator [4],the LDE turns out to be equivalent [5]to the “order-dependent mapping”(ODM)resummation method [3].At the same time,the principle of mini-mal sensitivity (PMS)[2]optimization,which takes ex-trema with respect to the mass parameter,is equivalent at large orders to a rescaling of the adjustable oscilla-tor mass with perturbative order,which can essentially suppress the factorial large order behavior of ordinary perturbative coe?cients.This appropriate rescaling of the adjustable mass gives a convergent series [5,6]e.g.for the oscillator energy levels [4]and related quantities.Any physical quantity whose ordinary perturbative se-quence is available can then be evaluated to an order δk using simply modi?ed Feynman rules as implied by the following formal substitution valid for a scalar ?eld the-ory:
ω→ω(1?δ)1/2;g →g δ,
(1)
where ωand g are the mass and coupling respectively.Note that for the D =1quantum mechanical anharmonic oscillator described by a gφ4theory no renormalization is needed [4],while for D >1models,the parameters g and ωin Eq.(1)are to be considered implicitly bare parameters,and the procedure can be made in this case fully consistent [7,8]with the renormalization program of ordinary perturbation theory.In particular,appropriate renormalization takes into account properly any (mass or ?eld)anomalous dimensions when the latter are relevant.Now,a de?nite drawback of the optimization prescrip-tion is that it involves minimization of a polynomial equa-tion of order k in the relevant mass parameter ωat per-turbative order δk ,such that more and more solutions,
most of them being complex,are to be considered when increasing the order.This non-uniqueness of the opti-mized solution requires extra choice criteria,and thus may seriously obscure the interpretation and the con-vergence towards the correct result in many non-trivial cases where the exact non-perturbative result is totally unknown.Moreover,the fact that most solutions are complex is embarrassing,as one has to invoke still an extra criterion to select a (supposedly correct)real re-sult.For some of the simplest models where the method applies,like the oscillator energy levels typically,fortu-nately all of the complex optimization solutions have ac-tually small imaginary parts and rapidly decreasing as the perturbative order increases (see e.g.Bellet et al in refs.[6]),so that the convergence properties are not much obscured by this inconvenience of the PMS.But in less trivial situations,the imaginary parts of the PMS solutions may be large (see e.g [9,10,11])and thus their physical intepretation unclear.
In this paper,we propose a simple generalization of the PMS criterion as performed on the LDE series,which turns out to lead to a drastic reduction of physically ac-ceptable real optimization solutions at each successive perturbative order in all the physical cases we have ap-plied it to.First,we treat the oscillator ground state energy,both in the large-N case (for the vector O (N )-symmetric φ4model)and the ordinary oscillator (scalar,N =1)φ4model.We then apply it to a less trivial and more interesting problem associated with the break-down of perturbation theory near a critical point,namely the evaluation of the critical transition temperature for a dilute,weakly interacting homogeneous Bose gas.This has been the source of controversy for many years and recently several independent groups have provided com-parable evaluations of the critical temperature.The rele-vant ?eld theoretic framework is a φ4D =3model (after dimensional reduction)with an O (2)symmetry (see e.g.Refs.[12,13,14,15,16]for reviews).Here,for com-pleteness we also consider the large-N limit of the O (N )
2 symmetric model case where the exact next-to-leading
1/N result is known analytically.In all these cases,the
new method seems to give excellent approximations in
comparison with the standard PMS ones.
I.BASIC METHOD AND THE OSCILLATOR
ENERGY LEVELS
Let us start with the basic perturbative series of the
oscillator ground state energy level as described by a gφ4
D=1model with massω:
E(n) 0=
ω
ω3 q,(2)
with c1=3/4,c2=21/8,etc...[4].As discussed in the
introduction,the LDE procedure is implemented by the
substitutions
ω→ω(1?δ)1/2,g→gδ,(3)
into the perturbative series Eq.(2)then reexpanding
the latter to order k in the new expansion parameter
δ.Next,δis set to the valueδ=1,such as to re-
cover the original(massless)theory,while at any?nite
order k there remains a dependence onωin the LDE
result E(k)(ω,δ=1).The standard,mostly used opti-
mization criterion is the principle of minimal sensitivity
(PMS),requiring at each successive perturbative orders
k:?E(k)(ω,δ=1)/?ω≡0for optimalωvalues.The
modi?cation(generalization)that we propose here is?rst
to introduce extra arbitrary parameters,starting at order
two with one more parameter:
ω→ω(1?δ)1/2[1+(1?a)δ]1/2,(4)
such that the modi?ed Lagrangian still interpolates be-
tween the free?eld(massive)theory forδ=0and
the original(massless)theory forδ= 1.Second,
now the PMS criterion is generalized by requiring both
?E(2)/?ω=0,and?2E(2)/?ω2=0,which gives a sys-
tem of two equations to be solved simultaneously for a
andω:For a=1,E(2)(ω)has no real minimum,but an
in?ection point with an almost horizontal tangent,and a
small value of a?1makes this tangent horizontal,remov-
ing the embarrassment of complex extrema.At higher
orders,the generalization is easily done with additional
parameters and additional vanishing of higher derivatives
of E(k)(ω).For example,at third order,we introduce two
parameters(a and b)as
ω→ω(1?δ)1/2[1+(1?a)δ+bδ2]1/2,(5)
together with the extra requirement on the third deriva-
tive:?3E(3)/?ω3=01.
handed bracket of Eq.(5),a term b kδk at each order k,where
b k are new parameters.
2It is clearly becoming more cumbersome and CPU consuming to
apply such a method at very large perturbative orders due to the
increase in the number of parameters at successive orders.
3 TABLE I:Improved-PMS results for the oscillator ground
state energy level,at di?erent orders k,with the correspond-
ing values of the optimal mass parameter?ωand the main
interpolation parameter a.E exact=0.42080497...(4g)1/3.
k E IP MS/(4g)1/3a
10.429268
2.04
30.422341 1.08
2.28
50.423496 1.11
2.45
70.436015 1.15
2.59
90.647259 1.25
tive series for the ground state energy of a form similar
to Eq.(2)can be obtained simply in this case to arbi-
trary orders by solving the large-N gap equation exactly,
and expanding in a perturbative series in g the corre-
sponding exact large-N expression of the ground state
energy.When written with the same normalization as in
Eq.(2)the?rst few coe?cients of this series are c1=1/4,
c2=1/4,c3=1/2,....However,an important di?er-
ence with the scalar case oscillator is that the resulting
perturbative series has no factorially growing coe?cients
at large orders and a?nite convergence radius.As one
can see,the method performs very well in this case,ap-
proaching rapidly very close to the exact solution when
the order increases.Again,there is only one real pos-
itive solution at each order.One can also notice from
the last column of Table II the more regular behavior
of the extra interpolation parameter a,as compared to
Table I,which now appears to tend towards a constant
value.(The other parameters b,etc...corresponding to
the analysis in Table II are numerically quite negligible
with respect to a,so that we do not give their explicit
values).
In order to better understand why the method seems
not so e?cient when applied to a factorially divergent se-
ries,like Eq.(2)for the standard(scalar case)oscillator,
let us consider now the even simpler functional integral
of euclidianφ4theory in zero dimension:
I(g,m)≡
√
Γ(1/2) ∞0dx exp{?m2x2/2?g x4/4},(7)
As is well-known,this can be expanded in a perturba-tive series in g with alternating signs,factorially growing coe?cients at large orders:
I pert(g,m)=1
p! g
?ω
1.26
20.4295890.96
1.43
40.4293260.89
1.50
60.4292820.85
1.54
80.4292720.83
1.56
2
√
Γ(1/2)
g?1/4=1.022*******...g?1/4,
(9)
which we can compare with the results of the applica-
tion of the method:0.954325,1.0865771,0.94213824,
1.244391803,0.7038846respectively for orders one to?ve.
Then,there is no real solution at order six.Nevertheless,
a Pad′e approximant P[1,1](thus constructed from the
?rst three orders)still gives1.01754.Thus,the behavior
is quite similar to the one of the(scalar)oscillator where
there are also no physically acceptable solutions at higher
orders.(However,the quality of the results from Pad′e ap-
proximants of higher orders appears to deteriorate more
rapidly than in the previous oscillator case:For exam-
ple,a P[2,2]thus constructed from the?rst?ve orders
gives1.05677).This anyway con?rms that the general-
ized method is not appropriate to turn a factorially di-
vergent large order behavior into a more convergent one,
while it de?nitely improves the LDE convergence when
starting from a less divergent original series.
II.CRITICAL THEORY AND BEC CRITICAL
TEMPERATURE
We now turn to the more recent and challenging prob-
lem of the BEC critical temperature evaluation.We?rst
recall that,to O(a2n2/3),its functional form was found
to be[13]
T c=T0{1+c1an1/3+[c′2ln(an1/3)+c′′2]a2n2/3},(10)
where T0is the ideal gas condensation temperature,a is
the s-wave scattering length,n is the density and c1,c′2,c′′2
are numerical coe?cients.Some early analytical predic-
tions included the self-consistent resummation schemes
[14](c1?2.90),the1/N expansion at leading order[15]
4
(c 1?2.33)and at next to leading order [16](
c
1
?1
.71)
and
also
the
LDE
at
second
order
[18](
c 1?3.06).The numerical methods include essentially lattice simulations (LS).The most recent LS results are reporte
d by th
e au-thors o
f Ref.[19](c 1=1.29±0.05)and of Ref.[20](c 1=1.32±0.02).Very recent analytical studies predict c 1=1.27±0.11[21].The problem is that these coe?-cients (except c ′2)are sensitive to the infrared physics at the critical point and so,no perturbative approach can be used to compute them.At the critical point,one can describe a weakly interactin
g dilute homogeneous Bose gas by an e?ective action analogous to a O (2)scalar ?eld model in three-dimensions given by
S φ=
d 3x
1
2ωφ2+
g
4π
+
Ng
6ω
i
,(13)
where the perturbative coe?cients are given by C i =
3
8π i
∞
dz
z 2
z
arctan
z
a
c 1,bestP MS
2 2.163
3 1.85
4 1.93
5 2.00
6 2.04
7 2.08
8 2.10
9 2.1210
2.14
4π
+
g N
6ω
i
,(16)
where G i ≡[(64π2)(8π)i ]?1,such that the straightfor-ward resummation of (16)is well de?ned for the relevant limit ω→0,which accordingly can be reached smoothly in contrast with the genuine large-N series Eq.(13).The alternative method results applied on the original series (16)are shown in Table IV,together with those obtained by the standard PMS optimization procedure,the latter for the best converging family of solutions.
In that case,the convergence of the standard PMS method is faster in comparison of Table III,but the im-proved PMS method performs even better:starting from
5
TABLE IV:Improved-PMS(IPMS)versus standard results for the large-N BEC?T c at di?erent orders k.c1,exact= 2.32847...
k c1,IP MS
2.852
1.49
2.444±0.276I
1.53
2.244±0.20I
1.56
2.397±0.079I
2.02.333±0.08I
2.02.298±0.06I
2.02.342±0.04I
2.02.324±0.036I
order six and beyond,the exact result is always obtained as the unique physically acceptable solution.It is inter-esting to trace what happens in more details.In fact, the solutions found at LDE orders k≥6by applying the procedure is a=2,b=c=d=...=0,which is easily seen by comparing with Eqs.(4),(5)to correspond to a basic interpolation of the form
ω→ω(1?2δ+δ2+0)1/2=ω(1?δ),(17) Then,applying the substitution(17)on any geometric se-ries instead of the standard LDE substitution(1)canon-ical for a scalar theory,one can easily see from simple algebraic properties that the improved PMS solution al-ways reproduces the exact solution,and this at any arbi-trary LDE order k≥2.This case exhibits a spectacular improvement over the standard LDE results,which con-verges only rather slowly and with non-zero(albeit small) imaginary parts,a source of much frustration.A pos-teriori,there is nothing particularly remarkable in this result which is essentially an algebraic accident of the non-canonical substitution Eq.(17)followed by the LDE when performed on a simple geometric series.However, what is perhaps more interesting is that our improved-PMS procedure is in that way guessing a more appro-priate value of the rescaling power within the LDE sub-stitution Ansatz Eq.(3):Alternatively we could have parametrized the basic LDE substitution according to
ω→ω(1?δ)γ,(18) with an arbitrary powerγto begin with,and then look for the best value ofγsuch that the LDE series con-verges faster towards the exact result,which is clearly the case forγ=1in this large-N case.Now,it is worth noting that considering an arbitrary power coe?cientγaccording to Eq.(18)when applied to the BEC series turns out in practice to be essentially equivalent to mod-ifying the simplest LDE substitution formula Eq.(1)by introducing the relevant critical exponent:
ω→ω(1?δ)1/ω′,(19)whereω′=2?/(2?η),ηis the anomalous dimension of the critical propagator～1/p2?ηand?≡β′(g c),g c being the critical coupling(see e.g.Ref.[12]).This renormalization group inspired modi?cation Eq.(19) of the standard LDE Eq.(3)is indeed the approach followed e.g.in Refs.[21,22],where numerical values ofω′as obtained by di?erent methods(including the variational perturbation theory[23])are used in Ansatz (19)prior to an(otherwise standard)PMS optimization. Now in our case,a major di?erence is that the relevant exponentω′?2/a is simply guessed by the generalized optimization procedure,at the same time as obtaining as optimized solution the relevant physical quantity c1.More precisely,the correct exact large-N value ω′=1,?=1(see e.g.Ref.[12])is clearly guessed by our improved PMS procedure,withω′=2/a,at least for the infrared approximated large-N case as illustrated in Table IV.Note also that the values of the parameter a at successive perturbative orders are also clearly approaching quite closely,though more slowly,the correct critical value when considering the genuine large-N series,as illustrated in Table III (noting however that in this case the other parameters b,etc...are small with respect to a but not strictly zero).
We will consider now mainly the physically relevant N=2case,as well as the case N=1and N=4for comparison with other available lattice simulation and analytical results.We will see that many of the previous results for the large-N series generalize,at least qualita-tively,to this less trivial case.For N=2,the quantity φ2 (k)g has been?rst evaluated,up to orderδ4,in Ref.
[9].Recently,higher order terms have been evaluated by Kastening[21]so that,to orderδ6,the perturbative series can be written as
φ2 (6)g=?Nωω i,(20)
where the coe?cients are given by3K1=3.22174×10?5, K2=1.51792×10?6,K3=9.66512×10?8,K4?7.51366×10?9,and K5?6.7493×10?10.The results of our alternative procedure are shown in Table V,together with the results from applying simple Pad′e approximants similar to the ones discussed above for the oscillator,i.e. de?ning a new perturbative series similar to Eq.(6)but where the E i are now replaced by the values of c1in Table V at successive orders k.One can notice that at orders
6
k=2,3and4the IPMS results quickly oscillate around the MC results.From orderδ4onwards the oscillation is reduced drastically and the IPMS procedure generates stable results which agree remarkably well with the lat-tice results.Furthermore,we also indicated in Table V the corresponding values obtained at each order for the parameter a,whereas as already indicated,in the gener-alized LDE substitutions Eq.(5),etc...at higher orders the remaining parameters b,etc are numerically smaller. Accordingly,to?rst order approximation,
ω→ω[1?aδ?(1?a)δ2+bδ2(1?δ)+···]1/2
?ω(1?δ)a/2,(21) so that in a rough approximation one hasω′?2/a.Tak-ing the latter approximate relation at face value would give e.g.for the successive orders considered in Table V:ω′～1.03,0.71,0.73,0.71,which compare not badly with the reported values ofω′=0.8±0.04[12,23]obtained numerically by other methods.Note,however,that the present method does not pretend at this stage to accu-rately predict in that way the relevant critical exponent ω′,?etc.Indeed,in this N=2case the other parame-ters b,etc...are small with respect to a but not strictly negligible.Nevertheless,though the essential motivation of our approach introducing more interpolation param-eters in Eq.(5)is to get rid of the unwanted complex optimization solutions,it is interestingly connected with the parametrization of corrections to scaling,the lead-ing correction being correctly described according to Eq.
(19)(see e.g.Ref.[21,22]for further motivation of Eq.
(19)).However,to be complete one should note that,in contrast with the previous oscillator and large-N BEC series,the real IPMS solutions in Table V are not al-ways unique:actually,at orders k=4and k=6there appear a second real(but negative)solution.But these extra solutions can be immediately eliminated as they correspond to largely unreasonable values of the inter-polation parameters:for instance for k=4the extra real solution is:a??13.9,b?55.5,and?ω??0.02 which gives c1??55.4,while we can expect consistent values of these parameters to be reasonably close to their corresponding large-N values,i.e.typically a should be not too far from its large-N value a=2,as also sup-ported from the results of the above mentioned leading corrections to scaling analysis.
At the same time,the results from the standard LDE-PMS optimization method shown in Table V,also oscil-late somehow around the MC result,as anticipated in Ref.[11],but the convergence is not at all obvious:after approaching rather closely the lattice result at orderδ4, the results of the next two higher orders depart sensibly from the lattice one.In the absence of any indication on the higher orders,we can hardly speculate but,by comparison with the results of Ref.[10]for the large-N case,as summarized in Tables III and IV,it appears possible that the standard LDE ultimately converges to-wards the same result,but in a much slower way than our improved method given in the left column of Table V.Moreover,the latter standard PMS results will look much less attractive if one recalls that they have been se-lected among several possible complex results with large imaginary parts[10],requiring an extra selection crite-ria4,in contrast to the improved version.
One can also note the remarkable results of the Pad′e approximants based on the improved PMS results at dif-ferent orders,even for the lowest order one P[1,1],though it only uses the second and third order IPMS results. This is certainly not coincidental and should be mainly attributed to the oscillatory property of the IPMS re-sults.Indeed,the very same Pad′e approximants using instead the(real parts of)the standard PMS results of the rightmost column of Table V are far away from any reasonable result:this would give e.g.P[1,1]=4.26and P[2,2]=3.66.
TABLE V:Improved-PMS(IP MS)versus standard(P MS) results for c1at N=2in the BEC case at di?erent orders k.Also shown are the Pad′e approximants(PA)resummation results applied to the improved-PMS cases.The lattice results are c1=1.29±0.05,1.32±0.02.
k c1,IP MS P A(c1,IP MS)c1,P MS
2 3.06 3.06
1.95
4 1.426P[1,1]=1.3471.53±2.32I
2.75
6 1.300P[2,2]=1.2862.40±1.69I Next,we consider the completely similar calculation of the coe?cient c1as de?ned in Eq.(12)but for the cases N=1and N=4,respectively,for which lat-tice calculations of c1have been recently performed in Ref.[26].The original perturbative series reads like Eq.(20)with now the relevant coe?cients K i given by K1=1.208097×10?5,K2=5.1229853×10?7,
K3=2.9645225×10?8,K4?2.1084956×10?9,and K5?1.7420267×10?10,and K1=9.6647794×10?5, K2=5.4645177×10?6,K3=4.09584576×10?7, K4?3.70261198×10?8,and K5?3.8333358×10?9, respectively for N=1and N=4.
Our results are given in Tables VI and VII respectively for N=1and N=4.As one can see,the results from our alternative method are again showing very good con-vergence properties and approaching very closely the lat-tice results.The Pad′e approximants are also in excellent agreement with the latter.In addition,the correspond-ing values obtained for the parameter a,as related in?rst
7
approximation to the critical exponent ω′in Eq.(18),ap-pear qualitatively very consistent to known
results
for ω′for N =1and N =4[12,23].On the other hand,the results from the standard LDE-PMS method show a be-havior very similar to the case N =2:after approaching not too far from the lattice result at fourth order (but with very large imaginary parts),the results from higher orders are not satisfactory,with trends very similar to the case N =2.
TABLE VI:Same as Table V (improved versus standard)PMS results but for N =1at di?erent orders k .The lat-tice result is 1.09±0.09.k c 1,IP MS P A (c 1,IP MS )
c 1,P MS 2 2.65
2.65
1.95
4 1.237
P [1,1]=1.159
1.31±
2.06I
2.77
6
1.114
P [2,2]=1.095
2.11±1.54I
TABLE VII:Same as Table V (improved versus standard)PMS results but for N =4at di?erent orders k .The lattice result is 1.59±0.10.k c 1,IP MS P A (c 1,IP MS )
c 1,P MS 2 3.75
3.75
1.94
4 1.665
P [1,1]=1.589
1.90±
2.74I
2.66
6
1.556
P [2,2]=1.549
2.90±1.98I
We ?nally apply our alternative method to the other non-perturbative relevant coe?cient c ′′2in the de?ning Eq.(10).This coe?cient,which is not generally con-sidered by most authors working on the BEC ?T c prob-lem,was ?rst evaluated with lattice simulations.To our knowledge,its sole analytical evaluation made use of the standard LDE-PMS [9,10]up to order δ4(?ve loops).This O (a 2n 2/3)coe?cient appearing in the ?T c expan-sion,Eq.(10),can be written as [13]c ′′2=?
2
9
[ζ(3/2)]?8/3(192π3κ)2
+
64π
2
ln(128π3)+
1
π
2
√6π+g 2A 2 ln
M
ω
i
A i ,
(24)
where M is an arbitrary mass scale introduced by di-mensional regularization and A 2=1.40724×10?3,
A 3=8.50888×10?5,A 4=3.57259×10?6and A 5=2.25332×10?7.As discussed in Ref.[9]it is interest-ing to note that the optimized ?ωde?ned by the standard PMS,or as well by the IPMS introduced in the present work,are scale independent to any order in δso that ?
ωis only g dependent.Note also that,contrary to ? φ2
,r c is a divergent quantity.In this case,the optimiza-tion procedure must be implemented after renormaliza-tion as advocated in Ref.[8].Finally,let us point out that the potential technical di?culty associated with the evaluation of r c stems from the fact that,while ? φ2 depends on the (?nite)di?erence Σ(p )?Σ(0),the for-mer depends on the (divergent)Σ(0)only.Here,we had access [25]to values of Σ(0)up to order δ5(six loops)only.Unfortunately,at order δ6only the results for the joint Σ(p )?Σ(0)contribution is known [24].
The results of the alternative method are shown in Ta-ble VIII below for M =g/3which was the value chosen in the lattice evaluations [13].As one can see,the re-sults of our alternative method show again a remarkable agreement with the numerical lattice result up to the ?fth order (six loop).Concerning the results of the standard PMS method,as shown in the right column of Table VIII,their behavior is again very similar to the ones for the c 1coe?cient above in Tables V–VII:after approaching very closely the lattice result at fourth (?ve-loop)order,the six-loop result starts to decrease a bit further.
TABLE VIII:Improved-PMS results for c ′′2in the N =2BEC case at di?erent orders k .The lattice result is c ′′2=75.7±0.4.
k c ′′2,IP MS
101.2
94.2±31.2I
P [1,1]=76.2575.0±41.1I P [1,2]
=79.31;P [2,1]=75.0460.4±41.2I
III.CONCLUSION
We have introduced a conceptually rather simple gen-eralization of the optimized(or variationally improved) perturbation method,which considerably reduces the number of irrelevant optimization solutions at each per-turbative order.We have applied this variant of the PMS method to the calculation of certain non-perturbative quantities in the simple quantum mechanical oscillator as well as the more challenging BEC critical tempera-ture determination.
Just like the usual LDE/PMS procedures,it is a recipe without a formal general justi?cation.For quantities de-scribed by a perturbative series which is originally facto-rially divergent,such as the series relevant for the oscil-lator,we?nd that this new procedure,though it helps in selecting only a few(if not always uniquely)among the many possible complex solutions,does not exhibit obvious convergence improvement behavior,in contrast with the standard method whose rigorous convergence is established in simple cases.Our experience from sev-eral toy series as well as the physical systems considered in this paper seems to point to the following behaviors which remain somewhat mysterious to us:Compared to the usual LDE/PMS procedures,it seems much supe-rior conceptually when applied to series with?nite ra-dius of convergence or at least less divergent series,like the ones relevant to the BEC critical temperature.When one deals with an asymptotic expansion(with zero radius of convergence but alternating signs)typical of those ap-pearing in perturbative calculations for physical systems, it seems that the recipe breaks down at high order,but that at low order it gives excellent numerical results,pro-vided that the asymptotic expansion is not too di?erent in its?rst few orders from a series with?nite radius of convergence(Examples are provided by?nite-N versus large-N theories).
Moreover,quite interestingly the method appears in non-trivial cases to estimate numerically(by optimization)es-sentially correct values of the leading corrections to scal-ing behavior,since the introduction of more interpolation parameters in the LDE Anstaz is,to a?rst approxima-tion,equivalent to introducing the relevant critical expo-nent.Finally,our numerical results obtained for the BEC critical temperature when using the latest available per-turbative information are in excellent agreement with the numerical lattice simulations results for the all available ?nite N cases(and also for the large-N case as compared to the exact analytic result).
Acknowledgments
A.N.is partially supported by EU under contract EU-CLID HPRN-CT-2002-00325.M.
B.P.is partially sup-ported by CNPq-Brazil.We thank Boris Kastening for useful communication relevant to the six loop evaluation of r c.
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光照图的判读和时间的计算一、选择题 2008年7月11日“雪龙号”启程执行中国第3次北极科 考任务，右图甲是中国在北极建立的科考站，回答1一2题。 1．甲地的极夜期长达（ ) A. 130 天左右 B. 100 天左右 C. 50 天左右 D. 20 天左右 2．北京日出时间为 6：00，甲地的昼长时间为（ ) A. 12 小时 B. 14 小时 C. 16 小时 D. 18 小时 图示各线示意不同纬度①～⑤地的白登长度变化。读图，回答3--4题。 3．若图中①地位于北半球，则a点时刻应为 ( ) A．春分 B．夏至 C．秋分 D．冬至 4．右图五地中（ ) A．③地纬度高于②地纬度 B．④地位于赤道附近 C．①地，⑤地白昼长度变幅最大 D．②地位于极圈之内 右图中X、Y分别为晨昏圈与纬线圈的切点。据图回答5一6题。 5. X、Y两点情况相同的是（ ) A．太阳所在方向 B．所在时区 C．正午太阳高度 D．白昼长短 6．太阳直射点正向什么方向运动，能确定的是（） A．向北 B．向南 C．向东 D．向西 下图是甲、乙两地太阳高度变化曲 线。下图1反映的是甲地正午太阳高度 的年变化。图2反映的是位于北半球的 乙地在夏至日太阳高度的变化情况。读
图回答7一8题。 7．甲地在一年中的最大太阳高度是（ ) A. 73.5° B. 60° C. 68. 5° D. 53° 8．乙地的地理坐标是（ ) A. (75. 5°N, 5°W) B. ( 80°N, 5°E) C. (75. 5°N, 5°E) D. (80°N, 5°W) 右图为地球某时刻太阳高度分布示意图，图中粗线为等太 阳高度线。回答9一12题。 9．此时北京时间为（ ) A. 7 时 B. 15 时 C. 17 时 D. 21 时 10．若①②两点经度相同，②③两点纬度相同，则此刻的太 阳高度（ ) A．①＜③ B．①＝② C．②＝③ D．①＞② 11．此时（） A. PM为昏线，PN为晨线 B．新一天的范围约占1 / 8 C．新一天的范围约占7/8 D．全球昼夜平分 12．此时Q点太阳高度的日变化图是（） 下图为北京时间上午7 时的光照图，弧ABC为晨昏线。读图回答13-14题。 13．此时太阳直射在（） A. IO°N, 165°W B. 23. 5°N ,75°E C. 10°S, 15°E D. 23. 5°S, 75°W 14．此时（） A．北极圈内极昼范围不断扩大 B．地球公转线速度将逐渐加快
P E管与P E R T管区别 及特点 集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
PE-X与PERT管对比 PE-X 国内生产一般采用中密度聚乙烯或高密度聚乙烯与硅烷交联或过氧化物交联的方法。就是在聚乙烯的线性长分子链之间进行化学键连接，形成立体网状分子链结构。相对一般的聚乙烯而言，提高了拉伸强度、耐热性、抗老化性、耐应力开裂性和尺寸稳定性等性能。整个生产过程属于化学反应过程。该地暖品种具有交联剂不易分散均匀，交联度较难控制一致和需要定时清理螺杆以防止产生凝胶颗粒等难点，产品的质量控制难度较大，一般的小型生产企业难以做好。合格PE-X管材具有力学性能好、耐高温和低温性能好等优点。但是，PE-X管材没有热塑性能，不能用热熔焊接的方法连接和修复， PE-RT 该地暖原料是一种力学性能十分稳定的中密度聚乙烯，由乙烯和辛烯的单体经茂金属催化共聚而成。它所特有的乙烯主链和辛烯短支链结构，使之同时具有乙烯优越的韧性、耐应力开裂性能、耐低温冲击、杰出的长期耐水压性能和辛烯的耐热蠕变性能。 1、柔软性：PE-RT较为柔软。施工时不需要特殊的工具，因此加工成本相对较低。 2、导热性：用于地板采暖的管材需要有好的导热性。PE-RT的导热性能较好，其导热系数为PP-R、PP-B管材的两倍。非常适合地板采暖使用。 3、低温耐热冲击性：PE--RT的耐低温冲击性能比较好。冬季施工时管材不易受到冲击而破裂，增加了施工安排的灵活性。 4、环保性：PE-RT可以回收利用，不污染环境。而PEX不能回收会产生二次污染；
5、加工性能稳定性：PEX存在控制交联度和交联均匀度等问题，加工复杂且加工直接影响管材性能。而PE-RT加工简便，管材性能基本上由原料来决定，性能比较稳定。 PE-RT可以用热熔连接方法连接，遭到意外损坏也可以用管件热熔连接修复。地暖原料具有符合产品标准的蠕变破坏曲线，是聚乙烯中现阶段唯一不需交联就可用于热水管的一个品种.
太阳光照图的判读与解题技巧 1、定南北级 （1）侧视图：通常是“上北下南” （2）俯视图：看自转“北逆南顺”，如图1是以北极为中心的俯视图。 （3）看经度大小的排列：自转方向与东经度由小到大的排列方向相同（与西经度从大到小的排列相同） 2、定晨昏线 判定晨线与昏线时应注意太阳光线的来向，并利用好地球的自转方向。 判断方法：顺着地球自转方向由昼半球过渡到夜半球的分界线为昏线，由夜半球过渡到昼半球的为晨线。如图1中AO为昏线，BO为晨线。图2中AB为晨线。 3、定地方时 ①同一经线上的各点，地方时相同； ②自西向东经度每增加1度地方时增加4分钟。 根据上述两点，并结合以下几条特殊的经线的地方时来进行推算： （1）赤道上的点总是昼夜平分，日出6时，日落18时。故晨线与赤道交点所在的经线的地方时为6时，昏线与赤道交点所在的经线的地方时为18时。如图1中B点所在的经线为6时，A点所在的经线为18时。图2中D点所在经线为6时。 （2）太阳直射点所在的经线的地方时为12时，和正午经线相对的另一经线的地方时为24时或0时。如图1中O点所在的经线为0时。 （3）晨昏线与纬线的切点所在的经线为0时或12时，如图2中A点所在的经线的地方时为0时，B点所在经线的地方时为12时。 4、定直射点 （1）直射点的纬度：从极昼、极夜的范围来判断 ①二分日，直射点的纬度为0° ②夏至日，直射点的纬度为23°26'N ③冬至日，直射点的纬度为23°26'S ④若北纬φ度以北出现极昼，则太阳直射点的纬度为北纬（90°－φ）；若北纬φ度以北出现极夜，则太阳直射点的纬度为南纬（90°－φ）。南半球类推。如图3，太阳直射在10°S。（2）直射点的经度：通过当时的太阳光照图来判断 太阳直射点的经度所在的经线就是光照图上平分昼半球的那条经线。在侧视图上，一般是昼半球最外侧的那条经线；在俯视图上，是昼半球与太阳光线平行或重合的那条经线。5、定昼夜长短 一般要在光照图中作过该点的纬线进行判断。 晨昏线把所经过的纬线分割成昼弧与夜弧，求某地的昼（夜）长，也就是求该地所在纬线圈上昼（夜）弧的长度，根据1个昼夜长为24小时及所占的比例来推算。如图： 6、定日出、日落时间：根据昼长来推算。日出时间＝12－昼长÷2 日落时间＝12 + 昼长÷2
P E-X a、P E-R T WORD文档，可下载修改 前言：近年来，地面供暖凭借其舒适节能的突出优势得到了市场和百姓的普遍认可。地面供暖目前主要有低温热水地面辐射供暖、发热电缆地面供暖、电热膜地面供暖等几种形式。目前在市场上占主流的是低温热水地面辐射供暖，其使用应用技术已经具有规范的产品标准、施工验收规程，已经是完全成熟的技术。在低温热水地面辐射供暖系统中主要是通过传热媒介（水）在塑料管道的流动来传递热能并将其自下至上辐射至室内。目前市场上可以采用的地板采暖管材有PE-Xa（过氧化物交联聚乙烯）、PE-Xb（硅烷交联聚乙烯）、PE-Xc（辐照交联聚乙烯）、PE-RT（耐热聚乙烯）、PP-R（无规共聚聚丙烯）、PP-B（抗冲击聚丙烯）、PB（聚丁烯-1）和PP-R铝塑复合管等管材。地暖管材中PE-Xa以其卓越的性能和成本优势在工程应用中占据绝对优势，PE-RT在近两年来在市场上的发展速度也十分迅速。 本文旨在通过对PE-Xa和PE-RT两种应用量最大的管材从原料至施工进行全方位的介绍，以便于广大选用者更详细地了解材料，进而正确选用材料，从而促进地暖系统安全性的提高，使地面供暖行业更健康的持续发展。 一、原料介绍 1、PE-Xa管材用原辅材料 PE-Xa主要原料为一种特殊的高密度聚乙烯，为粉末状树脂。目前国内市场的主要原料供应商有：韩国LG化学的HDPE XL1800；韩国湖石化学的HDPE 8100GX；韩国三星和大韩油化虽然也有PE-Xa专用料，但目前在国内市场基本看不到。另据传，目前国内某石化企业已开始向市场推广其PE-Xa专用料。 辅助材料主要有交联剂、主抗氧剂和辅助抗氧剂。目前行业内使用的辅料有进口和国产的分别，进口辅料生产厂家均为世界一些知名的化工企业，有Degussa（德固赛）、AkzoNobel（阿克苏.诺贝尔）、Ciba（汽巴）等，这些进口辅料的价格偏高，但其材料纯度较高，批次间稳定性好，生产的产品稳定性和性能较国内更好一点。少数正规的厂家采用的都是上述原辅材料，而一般厂家或不重视或为降低成本较多选择价格偏低的辅料。 2、PE-RT管材料 PE-RT即耐热聚乙烯，是Polyethylene of raised temperature resistance的英文缩写，目前市场上出售的PE-RT原材料多数为改性的中密度聚乙烯树脂。众所熟知，一般PE给水管道的应用范围为低于40℃的温度，无法用于热水输送管道。经过长时间探索，技术人员研究出一种采用乙烯和辛烯或者丁烯共聚的方法，通过控制侧链的数量和分布得到独特的分子结构，来提高PE的耐热性。利用此种工艺得到的PE-RT树脂将使用温度大大提高，可以用于低温热水地面辐射供暖系统以及热水系统。 目前国内市场的主要PE-RT原料牌号有韩国LG化学的MDPE SP980以及韩国SK的MDPE DX980,另外陶氏化学的DOWLEX 2344E的性能也较好，但国内厂家使用的量并不
高中地理地球光照图计算题规律总结 1.在全球范围内(H为正午太阳高度)： (1)H=90°-纬度差(纬度差是指观察点与直射点的纬度差) (2)H二分=90°-观察点纬度 (3)Hmax-Hmin：①Hmax-Hmin=黄赤交角×2=23°26′×2=46°52ˊ（ 非回归线之间)②Hmax-Hmin=黄赤交角+观察点纬度(南北回归线之间) (4)H差=纬度差①同一时间不同地点，H差=纬度差(两观察点在直射点同侧)②同一地点不同时间，H差=纬度差(两直射点在观察点同侧) (5)当热水器集热板与太阳光线垂直时：①H=90°-集热板倾角②集热板倾角=纬度差(纬度差是指观察点与直射点的纬度差) 2.在极昼范围内的重要公式(H为太阳高度)： (1)H12点=90°-(观察点纬度-直射点纬度) (2)H0点=(观察点纬度+直射点纬度)-90° (3)H极点=直射点纬度(极点与直射点在赤道同侧，极点太阳高度在一天内保持不变) (4)H12点差=H0点差=纬度差(大小对调) (5)观察点纬度=[180°-(H12点-H0点)]÷2 (6)直射点纬度=(H12点+H0点)÷2 (7)极昼圈纬度=极夜圈纬度=90°-直射点纬度(极昼圈与直射点在赤道同侧、极夜圈与直 射点在赤道异侧) 3.晨昏线与经纬线的夹角： (1)晨昏线与经线的夹角=直射点纬度 (2)晨昏线与纬线的夹角=90°-直射点纬度 4.北极星高度： 北极星高度=观察点纬度(北纬为正能看到北极星，南纬为负不能看到北极星，赤道为0°看到北极星位于地平线) 5.日升日落偏角： 日升日落偏角=直射点纬度(在有昼夜交替的地方，日升日落偏向与太阳直射点所在半球 一致) 6.日升日落早晚： (1)经度因素：地方时早晚(同一纬线上，东边的地点比西边的地点先日出也先日落) (2)纬度因素：昼夜长短(同一经线上，昼越长则日出越早日落越晚，昼越短则日出越晚 日落越早) 7.昼夜长短的最大差值与纬度正相关 (1)南北纬20°的昼夜最大差值=2小时26分钟; (2)南北纬40°的昼夜最大差值=5小时42分钟; (3)南北纬60°的昼夜最大差值=12小时58分钟。
PERT地暖 PE-RT它是由乙烯单体和1-辛烯单体共聚而成的，是专门为采暖系统而设计的中密度乙烯－辛烯共聚物，其具有分子量分布狭窄, 辛烯均匀分布在聚合物主链上的特殊分子结构，它既保留PE原有的卫生性能及加工性能等优点, 又强化了高温耐久性的一种新型管材专用料。用该原料生产的管材主要应用于建筑内的热水/采暖管领域，其耐久性能与建筑物的寿命相同，最低可达50年，同时也具有良好的回收性，附加值高。 PE-RT是一种新型采暖专用管材，在我国目前执行的是中华人民共和国城填建设行业标准：CJ/T 175-2002《冷热水用耐热聚乙烯管道(PE-RT)管道系统》。在众多的相关标准中都从管道的长期静液压强度、管道卫生性能、原材料标准要求、管道的系统适应性等四个方面进行综合阐述。PE-RT管材因柔韧性好，强度高，抗冲击性强和耐热性能好，目前已成为地面采暖的首选材料。 PE-RT管俗称耐热聚乙烯管，与铜管相比，具有质轻（相对密度只有铜管的1/9）、使用寿命长（相当于金属管的4~10倍）、易弯曲等优点；与XPAP、PPR、PEX等塑料管材相比，具有可热熔连接（恰好满足地暖管不允许有接头的要求）、耐低温性和柔韧性好（弯曲半径可以小到管道外径的5倍）、冬季低温情况下施工不会出现'冷脆'，以及废物可回收再利用等优势。其热稳定性和抗冲击性更令人满意：工作人员在110℃、环境应力1.9MPa条件下，按照国际标准对其进行8760小时老化试验，发现管材无任何渗漏和破坏。PE-RT管良好的高性价比，使其一面世就备受关注 地暖管及地暖管原料要求 按照国家和国际的产品标准要求，生产冷热水用塑料管材和塑料管件的原料，必须是按照GB/T18252—2000 《塑料管道系统用外推法对热塑性塑料管材长期静液压强度的测定》中规定进行试验而通过合格判定的管道专用
pert图怎么画？ 导读： PERT图也称“计划评审技术”，它采用网络图来描述一个项目的任务网络。不仅可以表达子任务的计划安排，还可以在任务计划执行过程中估计任务完成的情况，分析某些子任务完成情况对全局的影响，找出影响全局的区域和关键子任务。以便及时采取措施，确保整个项目的完成。 免费获取PERT图软件：https://www.doczj.com/doc/b964718.html,/project/pertchart/ 新建PERT计划评审图 打开亿图，新建“预定义模板和例子”中选择“项目管理”，在软件右侧界面选择“PERT图”模板或者例子。
PERT图符号 在绘图页面的左边，可以看到图库中很多绘制PERT图需要使用的符号。 拖拽一个PERT图任务表格开始绘图 在图片库中，拖拽PERT图任务表格到绘图页面。(不同风格的任务表格，比如PERT1、PERT2、PERT3等，选择所需要的图表类型，拖拽或者双击到绘图页面即可)。 任务表格基本设置 选中PERT图任务表格，软件上方菜单栏会出现“表格”设置菜单，然后就可以开始调整任务表格了，比如增加/删除行或列，拆分单元格，插入行/列，表格样式等等。
填写信息 双击表格中的文字，可对文字进行修改。 改变任务表格大小 1、改变表格大小：拖动绿色框改变表格大小。 2、改变行、列的尺寸：像Excel中那样，将光标放在表格线中间，直到出现蓝色虚线，拖动即可。
改变任务表格填充颜色 1、选中需要改变颜色的区域。 可以选中整个区域，或者部分区域。按住鼠标左键，移动鼠标，就可以选中多个区域。点击任务表格左上角的符号，可全选。如下图所示： 2、修改填充色的三种方法。 a.页面底部的快速颜色条。将“填充”切换至“线条”，可对边框颜色进行修改。 b.从“开始”菜单栏中的“样式”，选择“填充”按钮进行填充。 c.点击右侧工具栏的“填充”，可选择相应的填充样式。
只要7步就能画出专业的PERT图！ 导读： PERT计划评审图也是项目管理中常见的一种图表，主要是用来分析、记录一项工程从开始到结束，需要完成哪些事情。因此，在PERT图中也少不了的一种图形符号就是任务表格，也叫任务盒子。 亿图软件提供了多种PERT图常用的形状和符号，其简单、直观的操作界面，以及自带智能工具，还能帮助你更便捷的创建具有专业水准的PERT图。本文中，小编将着重讲解使用亿图软件是如何快速创建PERT图的。 免费获取PERT图软件：https://www.doczj.com/doc/b964718.html,/project/pertchart/ 新建PERT计划评审图 打开亿图，新建“预定义模板和例子”中选择“项目管理”，在软件右侧界面选择“PERT图”模板或者例子。 PERT图符号 在绘图页面的左边，可以看到图库中很多绘制PERT图需要使用的符号。 拖拽一个PERT图任务表格开始绘图 在图片库中，拖拽PERT图任务表格到绘图页面。(不同风格的任务表格，比如PERT1、PERT2、PERT3等，选择所需要的图表类型，拖拽或者双击到绘图页面即可)。
任务表格基本设置 选中PERT图任务表格，软件上方菜单栏会出现“表格”设置菜单，然后就可以开始调整任务表格了，比如增加/删除行或列，拆分单元格，插入行/列，表格样式等等。 填写信息 双击表格中的文字，可对文字进行修改。 改变任务表格大小 1、改变表格大小：拖动绿色框改变表格大小。
2、改变行、列的尺寸：像Excel中那样，将光标放在表格线中间，直到出现蓝色虚线，拖动即可。 改变任务表格填充颜色 1、选中需要改变颜色的区域。 可以选中整个区域，或者部分区域。按住鼠标左键，移动鼠标，就可以选中多个区域。点击任务表格左上角的符号，可全选。如下图所示：
PE-RT地暖管无毒、无味、无污染，属绿色环保管材各项卫生指标均符合国家标准。耐酸、耐碱，抗蠕变，抗老化，优异的长期静液压和抗冲性能。内外壁光滑，流体阻力小；安装简便、可靠，采用先进的热熔接法，绝无渗漏。低温热水地板辐射采暖系统，敷设地面填充层内的加热管，应根据耐用年限要求，使用条件级别，热媒温度及工作压力，系统水质要求，材料供应情况，施工技术条件和投资费用等因素，综合评价选择确定。 PE-RT是耐热聚乙烯，即乙烯与辛烯的高分子共聚物。PERT地暖管质量轻、易于运输、安装施工，具有良好的柔韧性、使其铺设时方便经济、管道在地暖施工时可以通过盘管和弯曲等方法减少管件的使用量、降低施工成本，管道弯曲半径可以小到管道外径的5倍，在弯曲部分的应力可以很快得到松弛、不会出现“回弹”现象、便于施工操作、从而避免在使用过程中由于应力集中而引起管道在弯曲处出现破坏的现象，管内摩擦损失小、脆裂温度低、管材具有优越的耐低温性能、因此在冬季的情况下也可以地暖施工、并且在弯曲管道时无需预热，耐化学腐蚀性好、不生锈、使用寿命长，在工作温度为70度、压力为0.6Mpa条件下、地暖管可安全使用50年以上。 一、PE-RT地暖管优势： 1.耐高温性强（可达110°C） 2.抗冲击强度 3.低温情况下柔韧性良好（可达-40°C） 4.低温下抗脆裂性强 5.抗蠕变性好 6.安全卫生 二、PE-RT地暖管特点： 1、质量轻，易于运输、安装、施工； 2、地暖管具有良好的柔韧性，使其铺设时方便经济。生产的管材在施工时可以通过盘卷和弯曲等方法减少管件的使用量，降低施工成本； 3、管材弯曲时，在弯曲部分的应力可以很快得到松驰，不会出现“回弹”现象，便于施工操作，从而避免在使用过程中由于应力集中而引起管道的弯曲处出现损
GANTT图和PERT图 甘特图 gantt图又叫甘特图。 进度是按时间顺序计划活动的一个列表，我们称之为Gantt图，它有以下几个关键的成分： 1.横跨图顶部排列的是日历表。 2.最左边的一列包含了每项任务的标识号（ID）。 3.左边第二列是要做的任务的名称。 4.在图表当中，任务条表示各项任务计划的开始和结束时间。 5.在表的左下方是项目名称、进度表的作者和制订此进度的原始日期。 Gantt图是展现项目中各个任务进展状况的一种有用的工具。这种图表对于协调多种活动特别有用。 PERT图 PERT（计划评审技术）--利用项目的网络图和各活动所需时间的估计值（通过加权平均得到的）去计算项目总时间。PERT不同于CPM的主要点在于PERT利用期望值而不是最可能的活动所需时间估计（在CPM法中用的）。PERT法如今很少应用，然类似PETR的估计方法常在CPM法中应用。 关键路线法（CPM）--借助网络图和各活动所需时间（估计值），计算每一活动的最早或最迟开始和结束时间。CPM法的关键是计算总时差，这样可决定哪一活动有最小时间弹性。CPM 算法也在其它类型的数学分析中得到应用。 在PERT/CPM图中,一般包括以下的要素：任务、里程碑或开始和结束事件、任务间的依赖关系
一个PERT图显示了一个项目的图形解释，这种图是网络装的，由号码标记的节点组成，节点由带标签的带方向箭头的线段连接，展现项目中的事件或转折点，以及展现项目中的任务。带方向箭头的线段表示任务的先后顺序。例如，在PERT图中，在节点1，2，4，8和10之间的任务必须按顺序完成，这叫做系列任务的依存性。 进度安排的常用图形描述方法有甘特图（Gantt）和计划评审技术图（PERT）。 （1）Gantt（甘特）图：用水平线段表示任务的工作阶段；线段的起点和终点分别对应着任务的开工时间和完成时间；线段的长度表示完成任务所需的时间。 优点：能清晰地描述每个任务从何时开始，到何时结束以及各个任务之间的并行性。 缺点：不能清晰地反映出个任务之间的依赖关系，难以确定整个项目的关键所在，也不能反映计划中有潜力的部分。 （2）PERT图：PERT图是一个有向图，图中的有向弧表示任务，它可以标上完成该任务所需的时间；图中的结点表示流入结点的任务的结束，并开始流出结点的任务，这里把结点称为事件。只有当流入该结点的所有任务都结束时，结点所表示的事件才出现，流出结点的任务才可以开始。事件本身不消耗时间和资源，它仅表示某个时间点。每个事件有一个事件号和出现该事件的最早时刻和最迟时刻。每个任务还有一个松弛时间，表示在不影响整个工期的前提下，完成该任务有多少机动余地。松弛时间为0的任务构成了完成整个工程的关键路径。 PERT图不仅给出了每个任务的开始时间、结束时间和完成该任务所需的时间，还给出了任务之间的关系，即哪些任务完成后才能开始另外一些任务，以及如期完成整个工程的关键路径。 松弛时间则反映了完成某些任务是可以推迟其开始时间或延长其所需的完成时间。但是PERT图不能反映任务之间的并行关系。
光照图与时间计算（练习2） 图4所示区域在北半球。弧线a为纬线，Q、P两点的经度差为90°;弧线b为晨昏点，M点为b线的纬度最高点。回答1～3题。 1.若此时南极附近是极昼，P点所在经线的地方是 A.5时 B.15时 C.9时 D.19时 2.若此时为7月份，图中M点的纬度数可能为 A.55°N B.65° C.75° D.85° 3.若Q地的经度为0°，此时正是北京日出。这个季节 A.洛杉矶地区森林火险等级最高 B.长江下游枫叶正红 C.长城沿线桃红柳绿 D.南极地区科考繁忙 某地是我国重要的人工多层经济林区。图1为该地“某日太阳处在最高位置时的示意图”，此时北京时间为12 : 40，树影遮档地被植物的面积在一年中达到正午时的最大。读图回答4一5题。 4．该地位于 A. 45°N, 110°E B. 21°34′N, 110°E C. 45°N, 130°E D. 21°34′N, 130°E 5．这一天 A．太阳距离地球最远 B．江苏省各地昼长夜短 C．晨昏线与极圈相切 D．正午太阳高度由赤道向南北两侧递减 国家主席胡锦涛于当地时间2006年4月18日10时50分左右（以10时50分计）到达西雅图（西八
区。当地采用夏令时，即比区时提早1小时的时间），开始了为期12天的对美国等国的国事访问。据此回答6－8题。 6、此时北京时间为 A、4月18日1时50分 B、4月18日18时50分 C、4月19日1时50分 D、4月19日2时50分 7、此时在赤道上，属于东半球并与西雅图在同一日期的白昼范围是 A、20°W向东到2°30′E B、20°W向东到92°30′E C、２°30′E向东到92°30′E D、92°30′E向东到160°E 8、访问期间 A、曾母暗沙正午日影为长－短－长变化 B、高雄正午日影由长变短 C、夏威夷正午日影为长－短－长变化 D、西雅图正午日影由短变长 图4所示区域在北半球。a为纬线，b为晨昏线，b线M点纬度值最大，N、P两点纬度值相等，回答9--10题。 9. M点的纬度最低为 A. 71. 5°N B. 66. 5°N C. 61. 5°N D. 56. 5°N 10. 若Q、 R两点相距60个经度，且R点为30°E，图示区域为夏半年。此时北京时间为 A. 6时 B. 8时 C. 18时 D. 20时 图1四条曲线分别示意四地3月21日到6月30日的日出时间。读图1，回答11～13题。
五步求解PERT图 https://www.doczj.com/doc/b964718.html,作者：陈兵来源：不详2006年4月4日发表评论进入社区在以往的项目建设中，编制项目进度计划常常采用甘特图（或称横道图）来表示，甘特图简单明了、形象直观，但不适合用于大型和复杂信息工程项目的建设和监理工作。 因为甘特图不反映各项工作之间的逻辑关系，因而难以确定某项工作推迟对完成工期的影响；当实际进度与计划有偏差时也难以调整。另外，甘特图虽然直观清晰，但只是计算的结果，而一项工作什么时候开始，什么时候结束，却是需要通过计算来实现，甘特图并没有给出好的算法。 网络计划技术可以有效解决这些问题。目前应用比较广泛的两种计划方法是关键路径法（Critical Path Method，简称CPM）和计划评审技术（Program Evaluation and Review Technique，简称PERT）。 CPM和PERT是独立发展起来的计划方法。两者的主要区别在于：CPM是以经验数据为基础来确定各项工作的时间，而PERT则把各项工作的时间作为随机变量来处理。所以，前者往往被称为肯定型网络计划技术，而后者往往被称为非肯定型网络计划技术。前者是以缩短时间、提高投资效益为目的，而后者则能指出缩短时间、节约费用的关键所在。因此，将两者有机结合，可以获得更显著的效果。 信息工程项目建设过程中不可预见的因素较多，如新技术、需求变化、到货延迟，以及政策指令性影响等。因此，整体工程进度计划与控制大多采用非肯定型网络计划，即PERT 网络模型。 信息工程项目应用网络计划技术的步骤如下：①绘制网络图；②网络计划计算；③求关键路径；④计算完工期及其概率；⑤网络计划优化。 步骤1：绘制ERP项目网络图
PE-X与PERT管对比 PE-X 国内生产一般采用中密度聚乙烯或高密度聚乙烯与硅烷交联或过氧化物交联的方法。就是在聚乙烯的线性长分子链之间进行化学键连接，形成立体网状分子链结构。相对一般的聚乙烯而言，提高了拉伸强度、耐热性、抗老化性、耐应力开裂性和尺寸稳定性等性能。整个生产过程属于化学反应过程。该地暖品种具有交联剂不易分散均匀，交联度较难控制一致和需要定时清理螺杆以防止产生凝胶颗粒等难点，产品的质量控制难度较大，一般的小型生产企业难以做好。合格PE-X管材具有力学性能好、耐高温和低温性能好等优点。但是，PE-X管材没有热塑性能，不能用热熔焊接的方法连接和修复， PE-RT 该地暖原料是一种力学性能十分稳定的中密度聚乙烯，由乙烯和辛烯的单体经茂金属催化共聚而成。它所特有的乙烯主链和辛烯短支链结构，使之同时具有乙烯优越的韧性、耐应力开裂性能、耐低温冲击、杰出的长期耐水压性能和辛烯的耐热蠕变性能。 1、柔软性：PE-RT较为柔软。施工时不需要特殊的工具，因此加工成本相对较低。 2、导热性：用于地板采暖的管材需要有好的导热性。PE-RT的导热性能较好，其导热系数为PP-R、PP-B管材的两倍。非常适合地板采暖使用。 3、低温耐热冲击性：PE--RT的耐低温冲击性能比较好。冬季施工时管材不易受到冲击而破裂，增加了施工安排的灵活性。 4、环保性：PE-RT可以回收利用，不污染环境。而PEX不能回收会产生二次污染； 5、加工性能稳定性：PEX存在控制交联度和交联均匀度等问题，加工复杂且加工直接影响管材性能。而PE-RT加工简便，管材性能基本上由原料来决定，性能比较稳定。 PE-RT可以用热熔连接方法连接，遭到意外损坏也可以用管件热熔连接修复。地暖原
五步求解PERT图 在以往的项目建设中，编制项目进度计划常常采用甘特图（或称横道图）来表示，甘特图简单明了、形象直观，但不适合用于大型和复杂信息工程项目的建设和监理工作。 因为甘特图不反映各项工作之间的逻辑关系，因而难以确定某项工作推迟对完成工期的影响；当实际进度与计划有偏差时也难以调整。另外，甘特图虽然直观清晰，但只是计算的结果，而一项工作什么时候开始，什么时候结束，却是需要通过计算来实现，甘特图并没有给出好的算法。 网络计划技术可以有效解决这些问题。目前应用比较广泛的两种计划方法是关键路径法（Critical Path Method，简称 CPM）和计划评审技术（Program Evaluation and Review Technique，简称PERT）。 CPM和PERT是独立发展起来的计划方法。两者的主要区别在于：CPM是以经验数据为基础来确定各项工作的时间，而PERT则把各项工作的时间作为随机变量来处理。所以，前者往往被称为肯定型网络计划技术，而后者往往被称为非肯定型网络计划技术。前者是以缩短时间、提高投资效益为目的，
而后者则能指出缩短时间、节约费用的关键所在。因此，将两者有机结合，可以获得更显著的效果。 信息工程项目建设过程中不可预见的因素较多，如新技术、需求变化、到货延迟，以及政策指令性影响等。因此，整体工程进度计划与控制大多采用非肯定型网络计划，即PERT网络模型。 信息工程项目应用网络计划技术的步骤如下：①绘制网络图；②网络计划计算；③求关键路径；④计算完工期及其概率；⑤网络计划优化。 步骤1：绘制ERP项目网络图 本文主要以某公司（中小型企业）ERP项目建设为例，讲述网络计划技术在信息工程项目监理工作进度控制中的应用。 （1）定义各项工作（作业） 恰当地确定各项工作范围，以使网络图复杂程度适中。 （2）编制工作表 首先是根据实施厂商的实施方法和业主单位的实际情况，制定ERP项目工作清单（如表1所示），并确定各项工
PERT管道施工工法目录 一、适用范围 二、操作要点 三、使用机具 四、施工方法 1、工艺流程 2、材料检验 3、管道布置 4、管道连接 5、管道固定
6、管道系统的试压与验收 7、管槽回填及标识 8、施工过程中注意事项 五.结果评定 地暖PERT塑料复合管安装施工工法一、适用范围 本工法适用于采暖管道采用地暖PERT塑料管埋地的安装工程。 二、操作要点 1、埋地或明覆的金属管道与地暖PERT塑料管的连接，应采用PERT内丝转换连接。 2、地暖PERT塑料管热熔时电压、电流、环境、温度、湿度等要求较高，所以在施工过程中要特别注意，热熔前要认真做试件，严格按施工规范进行操作，并对热熔口做好记号，以防止出现热熔未熔合、有裂纹等现象。
3、热熔面应清洗干净、热熔面管口应平齐。 三、使用机具 使用的机具主要包括:电热熔机、PERT专用剪刀。 四、施工方法 1、工艺流程
2、材料检验 管材、管件的验收 2.1.1 项性能检验报告、规格数量、包装情况及管材、管件的质量等。 2.1.2 验收管材、管件时，应在同一批中抽样，并按现行质量《建筑给水排水及采暖质量验收规范》的规定内容进行检查，必要时进行全面检测。 存放 2.2.1管材管件应存放在通风良好、温度不超过40℃的库房或简易场地。不允许与火焰及高温物体接触。若存放时间较长则应有遮盖物。 2.2.2管才应水平堆放在平整的支撑物或地面上，堆放高度不宜超过1.5m。
搬运 2.3.1管材在搬运装卸过程中，应避免管材包装袋破裂。不得抛掷，拖拽，不允许与硬物利器碰撞。 2.3.2寒冷天搬运管材、管件时，严禁剧烈撞击，小心轻放。 2.3.3内丝、外丝转换接头应单独存放，应注意防护丝扣损坏。 3、管道布置 在沟槽内铺设管道时，应先清理管槽内杂物，管沟清理干净，对管槽标高进行复测，检查是否符合设计要求，然后在管槽底部敷设保温板(保温板一般选用聚苯板)，保温板应铺满管槽地面，管道敷设在保温板中间。 地由于PERT管的盘卷一般尺寸为200米，裁管下料之前，应在施工现场测量定位，测得两管件之间管道的实际距离，通盘考虑如何充分利用材料，避免出现余量过多而浪费材料，然后把下好的料放进管槽中保温板上。
全国著名测试卷光照图和时间计算精华汇集 【2010年深圳市高三年级第一次调研考试】 图4为某地某日内太阳高度变化示意图，该日太阳高度最大时物影朝向正南，完成1～2题。 1．当该地一日内物影最短时，太阳直射点位于 A ．23。 26N 30。 W B ．17。 S l50。 W C ．23。 26S 30。 E D ．17。 N 150。 W 2．图示季节，下列现象正确的是 A ．北半球白昼逐渐缩短 B ．北印度洋向西航行船只顺风顺水 C ．地中海气候正值多雨期 D ．地球公转速度渐快 【黄冈中学等湖北省八校2010届高三第二次联考地理试题】 日出时，太阳所在方位与正东方向的夹角为日出方位角（如图6中的角α），当日出方位为东北方时，α﹥0，当日出方位为东南时，α﹤0，回答3—4题 3．如果一年中α始终小于等于23°26′，则关于该地的说法正确的是 A ．一年中，该地太阳均正东升起，正西落下 B ．一年中，该地昼长最长约13时13分 C ．该地一定在热带雨林气候区 D ．该地正午太阳高度最小值为66°34′ 4．某日，同一半球（南或北半球）的甲、乙两地 日出方位角分别是α1、α2，正确的说法是 A ．如果α1﹥α2，则甲的正午太阳高度小于乙 B ．如果α2＝90°，则甲地此日一定出现极夜现象 C ．如果α1﹤α2，则此日甲的昼长比乙长 D ．如果︱α1︱﹤︱α2︱，则甲的纬度比乙低 【2010年温州市高三第一次适应性测试】 图6中O 为北极点，C 、D 分别是晨昏线ACB 、纬线ADB 的 中点，阴影部分为黑夜，此时北京时间为12时。完成5～6题。 5．B 地的日出时间为 A ．3时 B ．5时 C ．7时 D ．9时 6．A 地与北京处于同一日期的时间约 A ．9小时 B ．11小时 C ．15小时 D ．22小时 【2010年浙江省嘉兴市高三教学测试】 M 、N 为地球表面关于地心的对称点。据此回答7～8题。 7．当N 点2010年新年钟声敲响时，M 点的太阳高度正好达90~，则 A 。M 点昼长大于N 点夜长 B ．N 点正午太阳高度达到一年中的最小 C ．M 与N 的纬度值相等 D ．M 、N 可能在同一纬线上 8．若MN 位于晨昏线上，M 点的地方时为8时，则
P E R T管道施工工法 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020
目录 一、适用范围 二、操作要点 三、使用机具 四、施工方法 1、工艺流程 2、材料检验 3、管道布置 4、管道连接 5、管道固定 6、管道系统的试压与验收 7、管槽回填及标识 8、施工过程中注意事项 五．结果评定 地暖PERT塑料复合管安装施工工法一、适用范围 本工法适用于采暖管道采用地暖PERT塑料管埋地的安装工程。 二、操作要点
1、埋地或明覆的金属管道与地暖PERT 塑料管的连接，应采用PERT 内丝转换连接。 2、地暖PERT 塑料管热熔时电压、电流、环境、温度、湿度等要求较高，所以在施工过程中要特别注意，热熔前要认真做试件，严格按施工规范进行操作，并对热熔口做好记号，以防止出现热熔未熔合、有裂纹等现象。 3、热熔面应清洗干净、热熔面管口应平齐。 三、使用机具 使用的机具主要包括：电热熔机、PERT 专用剪刀。 四、施工方法 1、工艺流程
2、材料检验 管材、管件的验收 2.1.1接受管材、管件必须进行验收。验收内容包括：产品合格证、质量保证书、各项性能检验报告、规格数量、包装情况及管材、管件的质量等。 2.1.2 验收管材、管件时，应在同一批中抽样，并按现行质量《建筑给水排水及采暖质量验收规范》的规定内容进行检查，必要时进行全面检测。 存放 2.2.1管材管件应存放在通风良好、温度不超过40℃的库房或简易场地。不允许与火焰及高温物体接触。若存放时间较长则应有遮盖物。 2.2.2管才应水平堆放在平整的支撑物或地面上，堆放高度不宜超过1.5m。 搬运 2.3.1管材在搬运装卸过程中，应避免管材包装袋破裂。不得抛掷，拖拽，不允许与硬物利器碰撞。 2.3.2寒冷天搬运管材、管件时，严禁剧烈撞击，小心轻放。 2.3.3内丝、外丝转换接头应单独存放，应注意防护丝扣损坏。 3、管道布置
P E R T管道施工工法标准化管理处编码[BBX968T-XBB8968-NNJ668-MM9N]
目录 一、适用范围 二、操作要点 三、使用机具 四、施工方法 1、工艺流程 2、材料检验 3、管道布置 4、管道连接 5、管道固定 6、管道系统的试压与验收 7、管槽回填及标识 8、施工过程中注意事项 五．结果评定 地暖PERT塑料复合管安装施工工法一、适用范围 本工法适用于采暖管道采用地暖PERT塑料管埋地的安装工程。 二、操作要点
1、埋地或明覆的金属管道与地暖PERT 塑料管的连接，应采用PERT 内丝转换连接。 2、地暖PERT 塑料管热熔时电压、电流、环境、温度、湿度等要求较高，所以在施工过程中要特别注意，热熔前要认真做试件，严格按施工规范进行操作，并对热熔口做好记号，以防止出现热熔未熔合、有裂纹等现象。 3、热熔面应清洗干净、热熔面管口应平齐。 三、使用机具 使用的机具主要包括：电热熔机、PERT 专用剪刀。 四、施工方法 1、工艺流程
2、材料检验 管材、管件的验收 2.1.1接受管材、管件必须进行验收。验收内容包括：产品合格证、质量保证书、各项性能检验报告、规格数量、包装情况及管材、管件的质量等。 2.1.2 验收管材、管件时，应在同一批中抽样，并按现行质量《建筑给水排水及采暖质量验收规范》的规定内容进行检查，必要时进行全面检测。 存放 2.2.1管材管件应存放在通风良好、温度不超过40℃的库房或简易场地。不允许与火焰及高温物体接触。若存放时间较长则应有遮盖物。 2.2.2管才应水平堆放在平整的支撑物或地面上，堆放高度不宜超过1.5m。 搬运 2.3.1管材在搬运装卸过程中，应避免管材包装袋破裂。不得抛掷，拖拽，不允许与硬物利器碰撞。 2.3.2寒冷天搬运管材、管件时，严禁剧烈撞击，小心轻放。 2.3.3内丝、外丝转换接头应单独存放，应注意防护丝扣损坏。 3、管道布置
日影图问题 一、选择题(每小题4分，共60分) 下面两图分别是某地区两个不同节气的日出时刻等值线图。图中黑实线为等值线，虚线为经纬网。据此回答1～3题。 1．根据图中信息可以判断，图甲对应的节气可能是()。 A．春分B．夏至C．秋分D．冬至 2．图乙对应的节气可能是()。 A．春分B．夏至C．秋分D．冬至 3．如果相邻的等值线相差十分钟，据此可以推断图中相邻的两条经线的经度差为()。 A．10度B．4度C．15度D．5度 (2013·合肥模拟)下图为甲、乙、丙、丁四地12月某日昼夜分布示意图，阴影部分表示黑夜。读图回答6～8题。 4．甲、乙、丙、丁四地按纬度从低到高排列正确的是()。 A．甲、乙、丙、丁B．乙、丁、丙、甲
C．乙、丙、丁、甲D．甲、丙、丁、乙 5．当丙地日出时，世界标准时是()。 A．前一日18时B．当日18时 C．次日6时D．次日18时 6．此图所示季节()。 A．澳大利亚播种冬小麦B．地球公转速度逐渐加快 C．法国进入冷饮畅销期D．巴西热带草原正值干季 (2013·马鞍山调研)读右图，完成7～8题。 7.图中白昼时间最长的是()。 A．①B．② C．③D．④ 8．②地日落时刻是()。 A．16时B．18时C．20时D．22时 (2013·合肥质检)2010年12月12日晚8时，为期 16天的亚洲残疾人运动会在广州开幕。据此完成9～10题。 9．本届亚洲残疾人运动会开幕时，全球的昼夜(图中阴影代表黑夜)分布状况大致为()。 10．运动会期间()。 A．澳大利亚混合农业区的农民正忙于剪羊毛 B．在黄河站(78°55′N)可能欣赏到极光
C ．北印度洋洋流呈顺时针方向流动 D ．非洲大陆成群的野生动物大规模向北迁徙 2013年2月10日是中国传统节日——春节。中国的春节，是最具文化内涵和传统魅力的节日，也是最有凝聚力的节日。据此完成11～12题。 11．下列最有可能表示中华民族欢度春节时的光照图的是 ( )。 12．当新年钟声敲响时，小华收到了在外国留学的表兄于当地时间2013年2月9日8时发来的短信祝福，小华的表兄最有可能留学在 ( )。 A ．美国 B ．巴西 C ．瑞典 D ．澳大利亚 (2013·全国优化卷)右图为“某极地俯视图”，abc ︵ 是晨 昏线，该日由a 地到b 地白昼逐渐增长。此时，一架旅游包机正从x 地起飞，6小时后降落y 地。据此回答第13题。 13．飞机降落时该地正值 ( )。 A ．子夜 B ．日出 C ．正午 D ．日落 读下图，回答14～15题。
PERT图 科技名词定义 中文名称：PERT图 英文名称：program evaluation and review techniques chart;PERT chart 定义：一种进行计划安排和成本控制，把活动时间和成本方面的不确定性结合起来，统筹 考虑进行项目管理的方法。 应用学科：通信科技（一级学科）；政策、法规与管理（二级学科） 以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 PERT图也称“计划评审技术”，它采用网络图来描述一个项目的任务网络。不仅可以表达子任务的计划安排，还可以在任务计划执行过程中估计任务完成的情况，分析某些子任务完成情况对全局的影响，找出影响全局的区域和关键子任务。以便及时采取措施，确保整个项目的完成。 PERT图是一个有向图，图中的有向弧表示任务，它可以标上完成该任务所需的时间；图中的结点表示流入结点的任务的结束，并开始流出结点的任务，这里把结点称为事件。只有当流入该结点的所有任务都结束时，结点所表示的事件才出现，流出结点的任务才可以开始。事件本身不消耗时间和资源，它仅表示某个时间点。每个事件有一个事件号和出现该事件的最早时刻和最迟时刻。每个任务还有一个松弛时间，表示在不影响整个工期的前提下，完成该任务有多少机动余地。松弛时间为0的任务构成了完成整个工程的关键路径。 PERT图不仅给出了每个任务的开始时间、结束时间和完成该任务所需的时间，还给 出了任务之间的关系，即哪些任务完成后才能开始另外一些任务，以及如期完成整个工程的关键路径。松弛时间则反映了完成某些任务是可以推迟其开始时间或延长其所需的完成时间。但是PERT图不能反映任务之间的并行关系。 甘特图