第一节不等关系与不等式
[备考方向要明了]
[归纳·知识整合] 1.比较两个实数大小的法则
设a,b∈R,则
(1)a>b?a-b>0;
(2)a=b?a-b=0;
(3)a<b?a-b<0.
2.不等式的基本性质
[探究] 1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致?
提示:不一致.同向不等式相加,对两边字母无条件限制,而同向不等式相乘必须两边字母为正,否则不一定成立.
2.(1)a >b ?1a <1
b
成立吗?
(2)a >b ?a n >b n (n ∈N ,且n >1)对吗?
提示:(1)不成立,当a ,b 同号时成立,异号时不成立. (2)不对,若n 为奇数,成立,若n 为偶数,则不一定成立.
[自测·牛刀小试]
1.(教材习题改编)给出下列命题:①a >b ?ac 2>bc 2;②a >|b |?a 2>b 2;③a >b ?a 3>b 3;④|a |>b ?a 2>b 2.其中正确的命题是( )
A .①②
B .②③
C .③④
D .①④
解析:选B 当c =0时,①不成立;当|a |=1,b =-2时,④不成立. 2.如果a ∈R ,且a 2+a <0,那么a ,a 2,-a ,-a 2的大小关系是( ) A .a 2>a >-a 2>-a B .-a >a 2>-a 2>a C .-a >a 2>a >-a 2
D .a 2>-a >a >-a 2
解析:选B ∵a 2+a <0,∴-1 2 ,易知选项B 正确. 3.已知a >b ,c >d ,且c ,d 不为0,那么下列不等式成立的是( ) A .ad >bc B .ac >bd C .a -c >b -d D .a +c >b +d 解析:选D 由不等式的性质知,a >b ,c >d ?a +c >b +d . 4.(教材习题改编)已知a >b >0,c >d >0,则 a d 与 b c 的大小关系为________. 解析:∵c >d >0,∴1d >1 c >0. 又∵a >b >0,∴a d >b c >0.∴ a d > b c . 答案: a d > b c 5.已知12 ∴12-36 -24,45) [例1] 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就可能相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x 元,怎样用不等式表示每天的利润不低于300元? [自主解答] 若提价后商品的售价为x 元,则销售量减少x -10 1×10件,因此,每天的 利润为(x -8)[100-10(x -10)]元,则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式(x -8)[100-10(x -10)]≥300. ————— —————————————— 实际应用中不等关系与数学语言间的关系 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换,常见的文字语言及其转换关系如下表: 1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都需要在A ,B 两种设备上加工,在每台A ,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时,加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时,A ,B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式. 解:设甲、乙两种产品的产量分别为x ,y , 则由题意可知????? x +2y ≤400,2x +y ≤500, x ≥0,x ∈N , y ≥0,y ∈N . [例2] (1)已知a 1,a 2∈(0,1),记M =a 1a 2,N =a 1+a 2-1,则M 与N 的大小关系是( ) A .M D .不确定 (2)甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( ) A .甲先到教室 B .乙先到教室 C .两人同时到教室 D .谁先到教室不确定 [自主解答] (1)M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1) =a 1a 2-a 1-a 2+1 =a 1(a 2-1)-(a 2-1)=(a 1-1)(a 2-1), 又∵a 1∈(0,1),a 2∈(0,1), ∴a 1-1<0,a 2-1<0. ∴(a 1-1)(a 2-1)>0,即M -N >0. ∴M >N . (2)设甲用时间为T ,乙用时间为2t ,步行速度为a ,跑步速度为b ,距离为s ,则T =s 2 a + s 2b =s 2a +s 2b =s (a +b )2ab , s =ta +tb ?2t =2s a +b . T -2t =s (a +b )2ab -2s a + b =s ×(a +b )2-4ab 2ab (a +b )=s (a -b )22ab (a +b ) >0,即乙先到教室. [答案] (1)B (2)B 若将本例(1)中“a 1,a 2∈(0,1)”改为“a 1,a 2∈(1,+∞)”,试比较M 与N 的大小. 解:∵M -N =a 1a 2-(a 1+a 2-1)=(a 1-1)(a 2-1), ∴当a 1,a 2∈(1,+∞)时,a 1-1>0,a 2-1>0. ∴(a 1-1)·(a 2-1)>0. ∴M -N >0,即M >N . ————— —————————————— 比较大小的常用方法 (1)作差法 一般步骤是:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法 一般步骤是:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论(注意所比较的两个数的符号). (3)特值法 若是选择题、填空题可以用特值法比较大小;若是解答题,可以用特值法探究思路. 2.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)3x 2-x +1与2x 2+x -1; (2)当a >0,b >0且a ≠b 时,a a b b 与a b b a . 解:(1)∵3x 2-x +1-2x 2-x +1=x 2-2x +2 =(x -1)2+1>0, ∴3x 2-x +1>2x 2+x -1. (2)a a b b a b b a =a a - b b b -a =a a -b ????1b a -b =????a b a -b . ∵当a >b ,即a -b >0,a b >1时,????a b a -b >1,∴a a b b >a b b a . 当a 1,∴a a b b >a b b a . ∴当a >0,b >0且a ≠b 时,a a b b >a b b a . [例3] (1)(2012·湖南高考)设a >b >1,c <0,给出下列三个结论: ①c a >c b ;②a c log a (b -c ). 其中所有的正确结论的序号是( ) A .① B .①② C .②③ D .①②③ (2)已知三个不等式:ab >0,bc -ad >0,c a -d b >0(其中a ,b , c , d 均为实数),用其中两 个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 [自主解答] (1)① ?????a >b >1?1ab >0a >b ?a ·1ab >b ·1ab ? ?? ??? 1b >1a c <0?c b 所以①正确; ② ?????a >b >1?a b >1c <0 ? ?????????a b c <1b c >0 ?a c ???a >b >1c <0? ? ??? ?a -c >b -c a >1?log a (a -c )>log a (b -c ), ? ?? a > b >1 c <0?a -c >1?log b (a -c )>log a (a -c ), 所以log b (a -c )>log a (b -c ).所以③正确. (2)①由ab >0,bc -a d >0,即bc >ad , 得c a >d b ,即c a -d b >0; ②由ab >0,c a -d b >0,即c a >d b ,得b c >a d , 即bc -ad >0; ③由bc -ad >0,c a -d b >0, 即 bc -ad ab >0,得ab >0; 故可组成3个正确的命题. [答案] (1)D (2)D ————— —————————————— 与不等式有关的命题的真假判断 在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等. 3.(2013·包头模拟)若a >0>b >-a ,c c <0;(3)a - c >b - d ; (4)a (d -c )>b (d -c )中能成立的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选C ∵a >0>b ,c ∴ac +bd <0.∴a d +b c =ac +bd cd <0.∴(2)正确. ∵c ∵a >b ,d -c >0,∴a (d -c )>b (d -c ).∴(4)正确. 1个区别——不等式与不等关系的区别 不等关系强调的是关系,可用符号“>”,“<”,“≠”,“≥”,“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a >b ”,“a 2条常用性质——不等式取倒数的性质 (1)倒数性质: ①a >b ,ab >0?1a <1 b ; ②a <0 b ; ③a >b >0,0 d ; ④0 a . (2)若a >b >0,m >0,则 ①真分数的性质: b a b -m a -m (b -m >0); ②假分数的性质: a b >a +m b +m ;a b (b -m >0). 3个注意点——应用不等式的性质应注意的问题 (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a ≤b ,b (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c 的符号”,例如当c ≠0时,有a >b ?ac 2>bc 2;若无c ≠0这个条件,a >b ?ac 2>bc 2就是错误结论(当c =0时,取“=”). (3)“a >b >0?a n >b n (n ∈N *,n >1)”成立的条件是“n 为大于1的自然数,a >b >0”,假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件,取n =-1,a =3,b =2,那么就会出现“3- 1>2 -1 ”的错误结论;假如去掉“b >0”这个条件,取a =3,b =-4,n =2,那么就会出现“32>(- 4)2”的错误结论. 易误警示——解题时忽视不等式的隐含条件而致误 [典例] (2013·盐城模拟)已知-1 则????? x +y =2,x -y =3, 解得??? x =5 2, y =-1 2. 又∵-52<52(a +b )<152,-2<-1 2(a -b )<-1, ∴-92<52(a +b )-12(a -b )<132, 即-92<2a +3b <132 . [答案] ????-92,132 [易误辨析] 1.本题易忽视题目中字母a ,b 相互制约的条件,片面地将a ,b 分割开来考虑,导致字母的范围发生变化,从而造成解题的错误. 2.当利用不等式的性质和运算法则求某些代数式取值范围的问题时,若题目中出现的两个变量是相互制约的,不能分割开来,则应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求待求整体的范围,以免扩大范围. [变式训练] 已知函数f (x )=ax 2+bx ,且1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围. 解:f (-1)=a -b ,f (1)=a +b .f (-2)=4a -2b . 设m (a +b )+n (a -b )=4a -2b . ∴????? m +n =4,m -n =-2,解得? ???? m =1, n =3. ∴f (-2)=(a +b )+3(a -b )=f (1)+3f (-1). ∵1≤f (-1)≤2,2≤f (1)≤4, ∴5≤f (-2)≤10. 一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 1.已知a ,b ,c ,d 为实数,且c >d ,则“a >b ”是“a -c >b -d ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选B 由????? a -c > b -d c > d ?a >b ;而当a =c =2, b =d =1时,满足??? a >b c >d ,但a -c >b -d 不成立, 所以“a >b ”是“a -c >b -d ”的必要不充分条件. 2.(2013·朔州模拟)已知a <0,-1ab >ab 2 B .ab 2>ab >a C .ab >a >ab 2 D .ab >ab 2>a 解析:选D 由-1ab 2>a . 3.设α∈????0,π2,β∈????0,π2,那么2α-β 3的取值范围是( ) A.????0,5π 6 B.????-π6,5π 6 C .(0,π) D.??? ?-π 6,π 解析:选D ∵0<2α<π,0≤β3≤π6,∴-π6≤-β 3≤0. ∴-π6<2α-β 3 <π. 4.(2013·南平模拟)如果a ,b ,c 满足c A .ab >ac B .c (b -a )>0 C .cb 2 D .ac (a -c )<0 解析:选C 由题意知c <0,a >0,则A 一定正确;B 一定正确;D 一定正确;当b =0时C 不正确. 5.设a ,b 为正实数,则“a b ”成立的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选C ∵a >0,b >0,a 1b ,由不等式的性质a -1a b . ∴由a . 当a -1a b 时,可得(a -b )-????1a -1b <0, 即(a -b )????1+1 ab <0.又∵a >0,b >0,∴a -b <0. ∴a b 可得出a ∴“a b ”成立的充要条件. 6.已知0<a <1b ,且M =11+a +11+b ,N =a 1+a +b 1+b ,则M ,N 的大小关系是( ) A .M >N B .M <N C .M =N D .不能确定 解析:选A ∵0<a <1 b ,∴1+a >0,1+b >0, 1-ab >0. ∴M -N =1-a 1+a +1-b 1+b =2-2ab (1+a )(1+b ) >0. 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 7.如图所示的两种广告牌,其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的,图(2)是一个矩形,则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ,b (a ≠b )的不等式表示为________. 解析:图(1)所示广告牌的面积为1 2(a 2+b 2),图(2)所示广告牌的面积为ab ,显然不等式 表示为1 2 (a 2+b 2)>ab (a ≠b ). 答案:1 2 (a 2+b 2)>ab (a ≠b ) 8.若x >y >z >1,则xyz ,xy ,yz ,xz 从大到小依次为________. 解析:因为x >y >z >1,所以有xy >xz ,xz >yz ,xyz >xy ,于是有xyz >xy >xz >yz . 答案:xyz ,xy ,xz ,yz 9.已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0),若m 解析:f (m )-f (n )=am 2+2am -an 2-2an =a (m 2-n 2)+2a (m -n )=a (m -n )(m +n +2)=a (m -n )(a +1). ∵a >0,∴a (a +1)>0.又m 三、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 10.比较x 3与x 2-x +1的大小. 解:x 3-(x 2-x +1)=x 3-x 2+x -1=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)(x 2+1). ∵x 2+1>0, ∴当x >1时,(x -1)(x 2+1)>0,即x 3>x 2-x +1; 当x =1时,(x -1)(x 2+1)=0,即x 3=x 2-x +1; 当x <1时,(x -1)(x 2+1)<0,即x 3 c -a >0. 证明:∵a >b >c ,∴-c >-b . ∴a -c >a -b >0.∴1a -b >1 a -c >0. ∴1a -b +1c -a >0.又b -c >0,∴1b -c >0. ∴ 1a -b +1b -c +1 c -a >0. 12.已知f (x )=ax 2-c 且-4≤f (1)≤-1,-1≤f (2)≤5,求f (3)的取值范围. 解:由题意,得??? ? ? a -c =f (1),4a -c =f (2), 解得??? a =1 3 [f (2)-f (1)],c =-43f (1)+1 3f (2). 所以f (3)=9a -c =-53f (1)+8 3 f (2). 因为-4≤f (1)≤-1, 所以53≤-53f (1)≤203. 因为-1≤f (2)≤5, 所以-83≤83f (2)≤403 . 两式相加,得-1≤f (3)≤20,故f (3)的取值范围是[-1,20]. 1.限速40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v 不超过40 km/h ,写成不等式就是( ) A .v <40 km/h B .v >40 km/h C .v ≠40 km/h D .v ≤40 km/h 解析:选D 速度v 不超过40 km/h ,即v ≤40 km/h. 2.已知a ,b ,c ∈R ,则“a >b ”是“ac 2>bc 2”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 解析:选B a >b ?/ ac 2>bc 2,因为当c 2=0时,ac 2=bc 2;反之,ac 2>bc 2?a >b . 3.若1a <1 b <0,则下列结论不.正确的是( ) A .a 2 D .|a |+|b |>|a +b | 解析:选D ∵1a <1 b <0,∴0>a >b . ∴a 2 弹性学制数学讲义 不等式(4课时) ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >?> ②(传递性),a b b c a c >>?> ③(可加性)a b a c b c >?+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+?>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-?<>, ④(可积性)bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a <>0, ⑤(同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>?> (异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦(开方法则)0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧(倒数法则) b a b a b a b a 110;110>?<< >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈,,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②(基本不等式) 2a b ab +≥ ()a b R +∈,,(当且仅当a b =时取到等号). 变形公式: 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号). ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈, (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> (当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号) 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,(其中000)a b m n >>>>,, 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时,或 22. x a x a a x a -<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ 3、几个著名不等式 ①平均不等式:22 11222a b a b ab a b --++≤≤≤+,,a b R +∈(,当且仅当a b =时取 ""=号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)f x g x ()()>与f x F x g x F x ()()()()+>+同解; (2)m f x g x >>0,()()与mf x mg x ()()>同解, m f x g x <>0,()()与mf x mg x ()()<同解; (3) f x g x () () >0与f x g x g x ()()(()?>≠00同解); 2.一元一次不等式 ax b a a a >?>=?? ?? 分()()()102030 情况分别解之。 3.一元二次不等式 ax bx c a 200++>≠()或ax bx c a 200++<≠?()分a >0 及a <0情况分别解之,还要注意?=-b ac 2 4的三种情况,即?>0或 ?=0或?<0,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0??? ?≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 (1)不等(等)号的定义:. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a (2)不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3)同向不等式与异向不等式. (4)同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a >(对称性) ? a< b b (2)c ? > >,(传递性) a> c a b b (3)c + ? > >(加法单调性) c a+ a b b (4)d + > >,(同向不等式相加) a+ > ? d b c a c b (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >><>(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>?<(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号) 0,2b a ab a b >+≥(5)若则(当仅当a=b 时取等号) 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->-<<时,或 (7)||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果a ,b 都是正数,那么 2 2a b a b ++ 不等式总结 一、不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a > (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>, (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a <>0, bd ac d c b a >?>>>>0,0 (5)倒数法则:b a a b b a 110, >> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 有两相异实根 有两相等实根注意:一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式 顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于型取两边,小于型取中间 三、均值不等式 1.均值不等式:如果a,b 是正数,那么 ).""(2 号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等 3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即 2 112a b a b ++(当a = b 时取等) 四、含有绝对值的不等式 1.绝对值的几何意义:||x 是指数轴上点x 到原点的距离;12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 2、则不等式:如果,0>a a x a x a x -<><=>>或|| a x a x a x -≤≥<=>≥或|| a x a a x <<-<=><|| a x a a x ≤≤-<=>≤|| 3.当0c >时, ||ax b c ax b c +>?+>或ax b c +<-, ||ax b c c ax b c +-<+<; 当0c <时,||ax b c x R +>?∈,||ax b c x φ+∈. 4、解含有绝对值不等式的主要方法: ①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解; ②去掉绝对值的主要方法有: (1)公式法:|| (0)x a a a x a <>?-<<,|| (0)x a a x a >>?>或x a <-. (2)定义法:零点分段法;(3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方. 五、其他常见不等式形式总结: 错误! [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.了解导数概念的实际背景. 2.理解导数的几何意义. 3.能根据导数定义求函数y=c(c为常 数),y=x,y=x2,y=x3, y=错误!的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和 导数的四则运算法则求简单函数的导 数. 1.对于导数的几何意义,高考要求较高,主要以选择 题或填空题的形式考查曲线在某点处的切线问题,如 2012年广东T12,辽宁T12等. 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数 函数、三角函数等,主要考查对基本初等函数的导 数及求导法则的正确利用. [归纳·知识整合] 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数: 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 错误!错误!=错误!错误!为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x ,即 f′(x0)=\o(lim,\s\do4(Δx→0)) \f(Δy,Δx)=错误!错误!. (2)导数的几何意义: 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数).相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数f(x)的导函数: 称函数f′(x)=错误!错误!为f(x)的导函数. [探究] 1.f′(x)与f′(x0)有何区别与联系? 提示:f ′(x )是一个函数,f ′(x 0)是常数,f ′(x 0)是函数f′(x )在x 0处的函数值. 2.曲线y =f(x )在点P0(x0,y 0)处的切线与过点错误!,y 0)的切线,两种说法有区别吗? 提示:(1)曲线y=f (x )在点P (x0,y0)处的切线是指P 为切点,斜率为k =f′(x 0)的切线,是唯一的一条切线. (2)曲线y =f (x )过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P 点.点P可以是切点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条. 3.过圆上一点P 的切线与圆只有公共点P ,过函数y =f (x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P 吗? 提示:不一定,它们可能有2个或3个或无数多个公共点. 2.几种常见函数的导数 3.导数的运算法则 (1)[f (x )±g (x)]′=f ′(x )±g ′(x); (2)[f (x )·g (x)]′=f ′(x )g(x)+f (x)g ′(x ); (3)错误!′=错误!(g (x )≠0). 4.复合函数的导数 复合函数y =f(g(x ))的导数和函数y =f (u ),u =g (x )的导数间的关系为yx′=y u ′·u x ′,即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u对x 的导数的乘积. [自测·牛刀小试] 1.(教材习题改编)f ′(x)是函数f (x )=1 3x 3+2x+1的导函数,则f ′(-1)的值为( ) A.0 ? B.3 第三节 圆的方程 [备考方向要明了] [归纳·知识整合] 1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. (2)确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程 (1)标准方程 ①两个条件:圆心(a ,b ),半径r ; ②标准方程:(x -a )2+(y -b )2=r 2. (2)圆的一般方程 ①一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0; ②方程表示圆的充要条件为:D 2+E 2-4F >0; ③圆心坐标????-D 2,-E 2,半径r =D 2+E 2-4F 2. [探究] 1.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0一定表示圆吗? 提示:不一定.只有当D 2+E 2-4F >0时,上述方程才表示圆. 2.如何实现圆的一般方程与标准方程的互化? 提示:一般方程与标准方程互化,可用下图表示: 圆的标准方程 展开配方 圆的一般方程 3.点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系. (2)三个结论 圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,点M (x 0,y 0) ①(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2?点在圆上; ②(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2?点在圆外; ③(x 0-a )2+(y 0-b )2 高中数学不等式专题教师版 一、 高考动态 考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ 二、不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义:.0;0;0b a b a b a b a b a b a <-=?=->?>- (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1)a b b a >(对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a +>+?>(加法单调性) (4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向不等式相加) (5)d b c a d c b a ->-?<>,(异向不等式相减) (6)bc ac c b a >?>>0,. (7)bc ac c b a <>0,(乘法单调性) (8)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向不等式相乘) (9)0,0a b a b c d c d >>< >(异向不等式相除) 11(10),0a b ab a b >>? <(倒数关系) (11))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则) (12))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则) 3.几个重要不等式 (1)0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 (2))2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若(当仅当a=b 时取等号) (3)如果a ,b 都是正数,那么 .2 a b +(当仅当a=b 时取等号) 极值定理:若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则: ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时,S 的值最小; ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. 1 1.不等式的解法 (1)同解不等式((1)与同解; (2)与同解,与同解; (3)与同解); 2.一元一次不等式 情况分别解之。 3.一元二次不等式 或分及情况分别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联系二次函数的图象。 4.分式不等式 分式不等式的等价变形: )()(x g x f >0?f(x)·g(x)>0,) () (x g x f ≥0????≠≥?0 )(0 )()(x g x g x f 。 5.简单的绝对值不等式 解绝对值不等式常用以下等价变形: |x|0), |x|>a ?x 2>a 2?x>a 或x<-a(a>0)。 一般地有: |f(x)| 1 线哪一侧的平面区域。特别地,当0C ≠时,通常把原点作为此特殊点。 (2)有关概念 引例:设2z x y =+,式中变量,x y 满 足条件43 35251x y x y x -≤-?? +≤??≥? ,求z 的最大值和最 小值。 由题意,变量,x y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这些 平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当 0,0x y ==时,20z x y =+=,即点(0,0)在直线0l :20x y +=上, 作一组平行于0l 的直线l :2x y t +=,t R ∈,可知:当l 在0l 的右上方时,直线l 上的点(,)x y 满足20x y +>,即0t >,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点(5,2)A 时,对应的t 最大, 当直线l 经过点(1,1)B 时,对应的t 最小,所以, max 25212z =?+=,min 2113z =?+=。 在上述引例中,不等式组是一组对变量,x y 的约束条件,这组约束条件都是关于,x y 的一次不等式,所以又称 为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量,x y 的解析式,叫目标函数。又由于2z x y =+是 ,x y 的一次解析式,所以又叫线性目标函数。 一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值 或最小值的问题,统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中,可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解(5,2)和(1,1)分别使目标函数取得最大值和最小值,它们都叫做这个问题的最优解。 O y x A C 430x y -+= 1x = 35250x y +-= 求函数定义域和值域方法总结 一、求函数定义域方法总结 (一)简单函数定义域的类型及方法【必会!!!】 (1)f(x)为整数型函数时,定义域为R. 例如d cx bx ax x f c bx ax x f b kx x f +++=++=+=232)(,)(,)(定义域均为R. (2)f(x)为分式型函数时,定义域为使分母不为零的实数集合. 例如-4)(x 41)( ,1)(x 1)(≠+=≠= x x f x x f (3)f(x)为二次根式(偶次根式)型函数时,定义域为使被开方数大于等于零的实数的集合. 例如0)x -2(x 2)( 0),(x )(2≥≤+=≥=或x x x f x x f (4)f(x)为对数型函数时,定义域为使真数大于零的实数集合. 例如-1)(x )1(log )( 0),(x log )(2>+=>=x x f x x f a (5)正切函数)k ,k 2(x tan Z x y ∈+≠=ππ 例如Z)k ,2 k 4(x )2tan()(∈+≠=ππ x x f (6)00没有意义. 例如)2 1(x ,)12()(0≠-=x x f (二)对于抽象函数定义域的求解 (1)若已知函数)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域由不等式b x g a ≤≤)(求出的x 的范围; 例如:已知)(x f 的定义域为]5,1[,则)23(+x f 的定义域为]1,3 1[-. (2)若已知函数))((x g f 的定义域为],[b a ,则函数)(x f 的定义域为)(x g 在],[b a x ∈上的值域. 例如:已知)3(-x f 的定义域为]7,0[,则)(x f 的定义域为]4,3[-. 二、求函数值域方法总结 (一)常见函数的值域(结合图像)【必会!!!】 (1)一次函数)0( ≠+=k b kx y 的值域为R . (2)二次函数)0( 2≠++=a c bx ax y 的值域为: 当0>a 时,值域为}44|{2a b ac y y -≥;当0=a a a y x 且的值域为}0|{>y y . (5)对数函数)10( log ≠>=a a x y a 且的值域为R . (6)三角函数: 高中数学基本不等式的巧用 一.基本不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2 +12x 2 (2)y =x +1x 解:(1)y =3x 2 +12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 四、列一元一次方程解应用题的步骤有: 1、审清题意:应认真审题,分析题中的数量关系,找出问题所在。 2、设未知数:用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法,当直接设法使列方程有困难可采用间接设法,注意未知数的单位不要漏写。 3、找等量关系:可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系,列出等式两边的代数式,注意它们的量要一致,使它们都表示一个相等或相同的量。 4、列方程:根据等量关系列出方程。列出的方程应满足三个条件:各类是同类量,单位一致,两边是等量。 5、解方程:求出方程的解. 方程的变形应根据等式性质和运算法则。 6、检验解的合理性:不但要检查方程的解是否为原方程的解,还要检查是否符合应用题的实际意义,进行取舍,并注意单位。 7、作答:正确回答题中的问题。 五、常见的一元一次方程应用题: 1、和差倍分问题: (1)增长量=原有量×增长率; (2)现在量=原有量+增长量 2、等积变形问题: 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但面积不变。 (1)圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S ·h = r 2h (2)长方开的面积 周长=2×(长+宽) S=长×宽 3、数字问题: 一般可设个位数字为a ,十位数字为b ,百位数字为c 。 十位数可表示为10b+a , 百位数可表示为100c+10b+a 。 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。 4、市场经济问题:( 以下“成本价”在不考虑其它因素的情况下指“进价” ) (1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率=商品利润商品成本价 ×100% (3)售价=成本价×(1+利润率) (4)商品销售额=商品销售价×商品销售量 (5)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量 (6)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售。或者用标价打x 折: 折后价(售价)=标价×10 x 计算。 5、行程问题:路程=速度×时间; 时间=路程÷速度; 速度=路程÷时间。 (1)相遇问题: 快行距+慢行距=原距 (2)追及问题: 快行距-慢行距=原距 (3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度 逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度 抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系. 6、工程问题: (1)工作总量=工作效率×工作时间; 工作效率=工作总量÷工作时间 (2)完成某项任务的各工作总量的和=总工作量=1 (3)各组合作工作效率=各组工作效率之和 (4)全部工作总量之和=各组工作总量之和 高三数学一轮复习总结 高三数学一轮复习总结怎么写,以下是XX精心整理的相关内容,希望对大家有所帮助! 高三数学一轮复习总结一、复习的指导思想 近几年的高考,集中体现了“稳中求变,变中求新,新中求活,活中求能”的特点,进一步深化能力立意,重基础,出活题,考素质,考能力的命题指导思想,因此,在第一轮复习中我们坚持贯彻落实“全面、系统、扎实、灵活、创新”的总体指导思想。根据这个指导思想,第一轮重点是“三基”(基础知识、基本技能、基本方法)复习,目标是全面、扎实、系统、灵活。学生要掌握好复习课本重要例习题所蕴含的数学思想方法。在第一轮复习中,学生学习的重心要放在“三基”,千万不要脱离这个目标;其次复习要求学生跟着老师或者略超前于老师的进度(成绩好的同学应该有两条复习路线,一条是跟着老师走,另外一条是自己制定的复习计划)。最后在复习中一定要提高效率即掌握好90%以上的知识点。 二、复习的原则 1。夯实基础数学中的基本概念、定义、公式及数学中一些隐含的知识点,基本的解题思想和方法,是第一轮复习的重点。近些年来,我们都看到了高考的改革方向和力度,那就是以基础知识为主,突出能力和素质的考查。因此,复习过程要严格按照考纲要求,对需要掌握的知识进行梳理和 强化应用。 2。立足教材整合知识,夯实基础,应以课本为主,同时借助资料,要把各节知识点进行整理,各章知识点形成知识体系,充分利用图表,填空等形式,构建知识网络,形成几条线。课本是高考试题的源头,基础知识是能力提高的根本。高考试题年年有变,但考题就来源于课本的原题或变式题,没有偏题、怪题,试题注重通性通法,淡化特殊技巧,体现了对基本知识和基本概念的考查。复习中我们重视教材的基础作用和示范作用,注意挖掘课本习题的复习功能,加强知识点覆盖的同时注意知识的综合,以《考试说明》为根本,弄清高考知识点及其对基础知识和基本能力的要求,重视基本方法的训练。通过一轮复习,做到基本概念、基本题型和基本方法熟练掌握。 3.以学生为主不重视数学的阅读理解和数学语言表达的规范性,这是很多学生的不良习惯。在第一轮复习中,我们老师要严格要求学生自主养成良好的学习习惯,例如,认真仔细阅读题目,规范解题格式,主动对知识、方法进行归纳、概括、总结等,力争培养出学生会做,能得满分的良好习惯。课上不仅要听懂更重要的要理解好,所谓理解就是听了老师的一段讲解,看了老师的一个解题过程,要把他提炼、升华成理性认识,在头脑中,应该存下老师讲解的这一段知识和解答的这一道题,他所体现出来的规律性的东西。当你 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42 -=?,则 不等式的解的各种情况如下表: 0>? 0=? 0 二次函数 c bx ax y ++=2 (0>a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2>=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、简单的一元高次不等式的解法: 标根法:其步骤是: 1)分解成若干个一次因式的积,并使每一个因式中最高次项的系数为正; 2)将每一个一次因式的根标在数轴上,从最大根的右上方依次通过每一点画曲线;并注意奇穿过偶弹回; 3)根据曲线显现()f x 的符号变化规律,写出不等式的解集。()()()如:x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0,再通分并将分子分母分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正,最后用标根法求解。解分式不等式时,一般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,),把它的坐标(y x ,)代入Ax +By +C ,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C >0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C ≠0时,常把原点作为此特殊点) 3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量x 、y 的约束条件,这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式,叫线性目标 期末复习之不等式知识点 2 3 1) (x – 2)(ax – 2)>0 (2)x2–(a+a2)x+a3>0; (3)2x2 +ax +2 > 0; 注: 解形如ax2+bx+c>0的不等式时分类讨论的标准有: 1、讨论a与0的大小; 2、讨论⊿与0的大小; 3、讨论两根的大小;运用的数学思想: 1、分类讨论的思想; 2、数形结合的思想; 3、等与不等的化归思想(4)含参不等式恒成立的问题: 例1.已知关于x的不等式 在(–2,0)上恒成立,求实数a的取值范围. ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤ > ? ? > )x(g )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f )x(g )x(f 22 (3)210 x a x a +-+-< ? ? ? ? ? 用图象 分离参数后用最值 函数 、 、 、 3 2 1 例2.关于x 的不等式 对所有实数x ∈R 都成立,求a 的取值范围. 4 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 5 (1),a b R ∈?222a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (2),a b R +∈?2 a b +≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3),a b R +∈?22a b ab +??≤ ??? (当且仅当a =b 时取“=”号). 总结:已知y x ,都是正数,则有 (1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)如果和y x +是定值s ,那么当且仅当y x =时积xy 有最大值24 1s . (3)用均值不等式求最值时,若不正,则要加负号,若不定,则要凑定值,若不等,则求导考虑单调性。 )1(log 22++-=ax ax y y z x =z ax by =+22y x z += 2019年高考数学一轮复习不等式知识点讲 解 不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。下面是不等式知识点讲解,请考生掌握。 1。解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化。在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰。 2。整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用。课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也可让学 生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。这样,一年就可 记300多条成语、300多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财富。这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会随心所欲地“提取”出来,使文章增色添辉。 3。在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰。 观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编 第三节圆的方程 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程. 圆的方程、圆心坐标、半径、圆的性质等是高考考查圆 的基础知识时最常涉及的要素.大多以选择题或填空题 的形式考查,有时也会穿插在解答题中,如x年xTx 等. [归纳·知识整合] 1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆. (2)确定一个圆的要素是圆心和半径. 2.圆的方程 (1)标准方程 ①两个条件:圆心(a,b),半径r; ②标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圆的一般方程 ①一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0; ②方程表示圆的充要条件为:D2+E2-4F>0; ③圆心坐标???? - D 2,- E 2,半径r= D2+E2-4F 2. [探究] 1.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定表示圆吗? 提示:不一定.只有当D2+E2-4F>0时,上述方程才表示圆. 2.如何实现圆的一般方程与标准方程的互化? 提示:一般方程与标准方程互化,可用下图表示: 圆的标准方程展开 配方 圆的一般方程 3.点与圆的位置关系 (1)理论依据:点与圆心的距离与半径的大小关系. (2)三个结论 圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,点M (x 0,y 0) ①(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2?点在圆上; ②(x 0-a )2+(y 0-b )2>r 2?点在圆外; ③(x 0-a )2+(y 0-b )2高中数学不等式知识点总结
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