1.1．1 任意角
教学目标
（一） 知识与技能目标
理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标
会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．
（三） 情感与态度目标
1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点
任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点
终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课：
1．角的有关概念： ①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：
③角的分类： ④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．
⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；
正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角
⑵
B 1 y
⑴
O x
45° B 2
O x B 3
y
30°
60o
负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边
顶点
A
O B
答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面
终边相同的角的表示：
所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360
° ，
k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z
⑵ α是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差
360°的整数倍；
⑷ 角α + k ·720
°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．
例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．
⑴－120°；⑵640
°；⑶－950°12＇．
答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类：
③象限角；
④终边相同的角的表示法． 5．课后作业：
①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P.9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，
2
α
各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限，
∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°(k ∈Z)
因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k ∈Z)
故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角． 又k ·180°+90°＜
2
α
＜k ·180°+135°(k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k=2n(n ∈Z)，则n ·360°+90°＜2
α
＜n ·360°+135°(n ∈Z) ， 此时，
2
α
属于第二象限角 当k 为奇数时，令k=2n+1 (n ∈Z)，则n ·360°+270°＜2
α
＜n ·360°+315°(n ∈Z) ， 此时，
2
α
属于第四象限角 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
因此2
α
属于第二或第四象限角．
1.1.2弧度制（一）
教学目标
（四） 知识与技能目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．
（五） 过程与能力目标
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题 （六） 情感与态度目标
通过新的度量角的单位制(弧度制)的引进，培养学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美． 教学重点
弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明． 教学难点
“角度制”与“弧度制”的区别与联系． 教学过程
一、复习角度制：
初中所学的角度制是怎样规定角的度量的? 规定把周角的
360
1
作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制． 二、新课： 1．引 入：
由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是60进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？ 2．定 义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad ．在实际运算中，常常将rad 单位省略． 3．思考：
（1）一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？
（2）引导学生完成P6的探究并归纳： 弧度制的性质： ①半圆所对的圆心角为
;ππ=r
r
②整圆所对的圆心角为
.22ππ=r
r
③正角的弧度数是一个正数． ④负角的弧度数是一个负数． ⑤零角的弧度数是零． ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=. r
l 4．角度与弧度之间的转换： ①将角度化为弧度：
π2360=?； π=?180；rad 01745.0180
1≈=
?π
；rad n n 180
π
=
?． ②将弧度化为角度：
2360p =?；180p =?；180
1()57.305718rad p
￠=盎?
?；180(
)n
n p
=?． 5．常规写法：
① 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π 的形式, 不必写成小数． ② 弧度与角度不能混用． 6．特殊角的弧度 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧
度
0 6
π 4π 3π 2π 32π 43π 65π π
2
3π
π2 7．弧长公式
l
l r r
a a =
??
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积． 例1．把67°30＇化成弧度． 例2．把rad 5
3π化成度． 例3．计算：
4
sin
)1(π
；5.1tan )2(．
例4．将下列各角化成0到2π的角加上2k π（k ∈Z ）的形式：
3
19)
1(π
；?-315)2(． 例5．将下列各角化成2k π + α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
319)
1(π
；6
31)2(π-． 解: (1),6
72319π
ππ+= 而6
7π
是第三象限的角,193p \是第三象限角.
(2) 315316,666
p p p
p -=-+\- 是第二象限角. .,,2
1
6. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例R l lR S =
证法一:∵圆的面积为2
R π,∴圆心角为1rad 的扇形面积为221R ππ,又扇形弧长为l,半径为R,
∴扇形的圆心角大小为
R l rad, ∴扇形面积lR R R l S 2
1
212=?=． 证法二:设圆心角的度数为n ，则在角度制下的扇形面积公式为360
2
R n S π?=，又此时弧长
180R n l π=，∴R l R R n S ?=??=2
118021π． 可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多．
O R l
22
1
21:R lR S α==扇形面积公式
7．课堂小结①什么叫1弧度角? ②任意角的弧度的定义③“角度制”与“弧度制”的联系
与区别．
8．课后作业：
①阅读教材P 6 –P 8；
②教材P 9练习第1、2、3、6题； ③教材P10面7、8题及B2、3题．
4-1.2.1任意角的三角函数（三）
教学目的：
知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；
3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标：掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、
值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 教学过程： 一、复习引入： 1. 三角函数的定义 2. 诱导公式
)
Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ 练习1.
.____________tan600o
的值是 D 3.D 3.C 3
3
.B 33.A --
练习2. .________,0cos sin 在则若θθθ> B 第二、四象限 第一、四象限第一、三象限
第一、二象限.D .C .B .A
练习3. ____
0sin20cos 的终边在则若 θθ<>θ，且 C
第二象限 第四象限 第三象限 第一象限.D .C .B .A
二、讲解新课：
当角的终边上一点(,)P x y 的坐标满足221x y +=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的
几何表示——三角函数线。
1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。 2．三角函数线的定义：
设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点
P (,)x y ， 过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向
延
长线交与点T .
由四个图看出：
当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有
sin 1y y y MP r α=
===， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA
α====
我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x 轴的垂直线段；余弦线
在x 轴上；正切线在过单位圆与x 轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂
足；正切线由切点指向与α的终边的交点。 （3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反
向的
为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 4．例题分析：
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。 （1）3π； （2）56π； （3）23π-； （4）136
π
-．
解：图略。
例2. .1cos sin 2
0>+<
<ααπ
α，证明若
o x y M T P A o
x y M T P A
x y o M T P A
x y o M T P A （Ⅳ） （Ⅱ） （Ⅰ）
（Ⅲ）
π
ππππ
π5
4
tan 32tan )(35
4
cos 32cos )(254sin 32sin )(1.3与与与比较大小：
例
)(
2
1
sin ]20[.4的取值范围是的上满足，在例x x ≥π
??
?
??????
?????
??????????πππππππ，，，65.D
326.C 656.B 6,0.A 例5. 利用单位圆写出符合下列条件的角x 的范围．
;21sin )1(- 1 c o s )2(>x 答案：（1） 71122,66k x k k Z ππππ+<<+∈；（2）22,66 k x k k Z ππππ-+<<+∈； 三、巩固与练习：P17面练习 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．三角函数线的定义； 2．会画任意角的三角函数线； 3．利用单位圆比较三角函数值的大小，求角的范围。 五、课后作业： 作业4 参考资料 例1.利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1? 32s i n π与54sin π 2? 32tan π与5 4tan π 解： 如图可知： 32sin π>54sin π tan 32π< tan 5 4π 例2．利用单位圆寻找适合下列条件的0?到360?的角 1? sin α≥ 21 2? tan α>3 3 解： 1? 2? x y o P 1 P 2 x y o T A 210? 30? 30?≤α≤150? 30?<α<90?或210?<α<270? 补充：1．利用余弦线比较cos64,cos 285 的大小； 2．若 4 2 π π θ<< ，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小； 3．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围： （1）3cos 2θ< ； （2）tan 1θ>- ； （3）3sin 2 θ>-． 4-1.2.1任意角的三角函数（1） 教学目的： 知识目标：1.掌握任意角的三角函数的定义； 2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值； 3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）。 能力目标：（1）理解并掌握任意角的三角函数的定义； （2）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数； （3）通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 德育目标： （1）使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与 比值（函数值）的一种联系方式； （2）学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神； 教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各 象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。 教学难点：利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用他 们的集合形式表示出来. 教学过程： 一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？ 在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依 次为,,a b a sinA cosA tanA c c b = == ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。 二、讲解新课： 1．三角函数定义 在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ， 它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+= +>，那么 （1）比值 y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r α=； （3）比值 y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α 的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置； ②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2 k k Z π απ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等 于0， 所以tan y x α= 无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实 数， 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。 2．三角函数的定义域、值 域 注意： (1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x 轴的非负半轴重合. (2) α是任意角，射线OP 是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到OP 的位置无关. (3)sin α是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别: 锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程. (5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆. 3．例题分析 例1．求下列各角的四个三角函数值： （通过本例总结特殊角的三角函数值） （1）0； （2）π； （3）32 π ． 解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以 sin 00=， 01cos =， tan 00=， cot 0不存在。 （2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以 函 数 定 义 域 值 域 sin y α= R [1,1]- cos y α= R [1,1]- tan y α= {|,}2k k Z πααπ≠+∈ R sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=， cot π不存在， （3）因为当32 π α=时，0x =，y r =-，所以 3sin 12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在， 3cot 02 π =， 例2．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的四个函数值。 解：因为2,3x y ==-，所以222(3)13r = +-=，于是 3313sin 1313y r α-= ==-； 2213 cos 1313x r α=== ； 3tan 2y x α==-； 2 cot 3 x y α==- ． 例3．已知角α的终边过点(,2)(0)a a a ≠，求α的四个三角函数值。 解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以5||r a =， ,2x a y a == 当 2225 0sin 55||5y a a a r a a α>= ===时，5cos 55x a a r a α= ==； 15 tan 2;cot ;sec 5;csc 22 αααα==== ； 当2225 0sin 55||5y a a a r a a α<====- -时，； 5cos 55x a a r a α= ==- -； 15 tan 2;cot ;sec 5;csc 22 αααα===-=-． 4．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值 y r 对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）； ②余弦值x r 对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）； ③正切值y x 对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 练习： 确定下列三角函数值的符号： （1）cos 250 ； （2）sin()4 π - ； （3）tan(672)- ； （4）11tan 3 π ． 例4．求证：若sin 0α<且tan 0α>，则角θ是第三象限角，反之也成立。 5．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有： sin(2)sin k απα+=， cos(2)cos k απα+=，其中k Z ∈． tan(2)tan k απα+=， 这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 例5．求下列三角函数的值：（1）9cos 4π， （2）11tan()6 π - ， 例6．求函数x x x x y tan tan cos cos + = 的值域 解： 定义域：cosx ≠0 ∴x 的终边不在x 轴上 又∵tanx ≠0 ∴x 的终边不在y 轴上 ∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y x cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0> …………ⅢⅣ………, 0 ,00 ,0<>< 1．任意角的三角函数的定义；2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式。 五、巩固与练习 1、教材P15面练习； 2、作业P20面习题1．２A 组第1、2、3（1）（2）（3）题及P21面第9题的（1）、（3）题。 4-1.2.2同角三角函数的基本关系 教学目的： 知识目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联 系； 2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 能力目标： 牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分 析、解决三角的思维能力； 教学重点：同角三角函数的基本关系式 教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用 教学过程： 一、复习引入： 1．任意角的三角函数定义： 设角α是一个任意角，α终边上任意一点(,)P x y ，它与原点的距离为 2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么：sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=， 2．当角α分别在不同的象限时，sin α、cos α、tg α的符号分别是怎样的？ 3．背景：如果5 3 sin = A ，A 为第一象限的角，如何求角A 的其它三角函数值； 4．问题：由于α的三角函数都是由x 、y 、r 表示的，则角α的三个三角函数之间有什么关系？ 二、讲解新课： （一）同角三角函数的基本关系式： （板书课题：同角的三角函数的基本关系） 1. 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： （1）商数关系：α ααcon sin tan = （2）平方关系：1sin 2 2=+ααcon 说明： ①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如2 2 sin 4cos 41αα+=等； ②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如 tan cot 1(,)2 k k Z π ααα?=≠ ∈； ③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如： 2cos 1sin αα=±-， 22sin 1cos αα=-， sin cos tan α αα = 等。 2．例题分析： 一、求值问题 例1．（1）已知12 sin 13 α=，并且α是第二象限角，求cos ,tan ,cot ααα． （2）已知4 cos 5 α=- ，求sin ,tan αα． 解：（1）∵22sin cos 1αα+=， ∴22 22125cos 1sin 1()()13 13 αα=-=-= 又∵α是第二象限角， ∴cos 0α<，即有5 cos 13 α=- ，从而 sin 12tan cos 5ααα= =-， 15 cot tan 12αα==- （2）∵22 sin cos 1αα+=， ∴2 2 2 2 43sin 1cos 1()()5 5 αα=-=--=， 又∵4 cos 05 α=- <， ∴α在第二或三象限角。 当α在第二象限时，即有sin 0α>，从而3sin 5α=，sin 3 tan cos 4ααα= =-； 当α在第四象限时，即有sin 0α<，从而3sin 5α=-，sin 3 tan cos 4 ααα= =． 总结： 1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值 中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。 2. 解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方 关系开平方时，漏掉了负的平方根。 例2．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin ,cos αα． 解：∵22 sin cos 1αα+=，sin tan cos α αα = ， ∴22 22(cos tan )cos cos (1tan )1ααααα?+=+=，即有221 cos 1tan αα = +， 又∵tan α为非零实数，∴α为象限角。 当α在第一、四象限时，即有cos 0α>，从而222 11tan cos 1tan 1tan α ααα +==++， 22 tan 1tan sin tan cos 1tan αα αααα +=?=+； 当α在第二、三象限时，即有cos 0α<，从而222 11tan cos 1tan 1tan α ααα+=-=-++， 22tan 1tan sin tan cos 1tan αα αααα +=?=-+． 例3、已知α=αcos 2sin ，求ααα αcos 2sin 5cos 4sin +- 解：2tan cos 2sin =α∴α =α 6 1 1222tan 54tan cos 2sin 5cos 4sin -=-=+α-α=α+αα-α∴ 强调（指出）技巧：1? 分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式 注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以αcos ,将分子、分母转化为αtan 的代数式； 2? “化1法” 可利用平方关系1cos sin 2 2 =+αα，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为αtan 的分式求值； 小结：化简三角函数式，化简的一般要求是： （1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低； （2）尽量使分母不含三角函数式； （3）根式内的三角函数式尽量开出来； （4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形， 二、化简 练习1．化简21sin 440- ． 解：原式221sin (36080)1sin 80=-+=- 2cos 80cos80== ． 练习2．)2 3( cos 1cos 1cos 1cos 1 π θπθθθθ<<-+++-化简 三、证明恒等式 例4．求证： cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． ∴左边= 2cos (1sin )cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x x ++=-+1sin cos x x +==右边． ∴原式成立． 证法二：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． 又∵2 2 (1sin )(1sin )1sin cos cos cos x x x x x x -+=-==?， ∴ cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 证法三：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠． ． αααα22cos cos sin 2sin 2-+⑵ cos 1sin 1sin cos x x x x +--cos cos (1sin )(1sin )(1sin )cos x x x x x x ?-+-=-22cos 1sin 0(1sin )cos x x x x -+==-， ∴cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边； （2）证明左右两边同等于同一个式子； （3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。 四、小 结：本节课学习了以下内容： 1．同角三角函数基本关系式及成立的条件； 2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值； 五、课后作业：《习案》作业第 五 课时 参考资料 化简12sin 40cos40- ． 解：原式22sin 40cos 402sin 40cos40=+- 2(sin 40cos 40)|cos 40sin 40|cos 40sin 40=-=-=- ． 思考1．已知)0(51 cos sin π<θ<= α+α，求的值。及θ-θθ33cos sin tan 解：1? 由),2(0cos ,0,2512cos sin ππ ∈θ∴<θπ<θ<-=αα得： 由5 7cos sin ,2549)cos (sin 2 =θ-θ=α-α得： 联立： 34tan 53cos 54sin 57cos sin 51cos sin -=θ???? ??? ? ?? ??? -=θ=θ?=θ-θ=θ+θ 2? 125 91 )53()5 4 (cos sin 33 3 3 =--=θ-θ 2、已知是第四象限角，α+-=α+-=α,5 3 cos ,524sin m m m m 求的值。αtan 解：∵sin 2α + cos 2 α = 1 ∴1)5 3()524( 22=+-++-m m m m 化简，整理得：8,00)8(21==∴=-m m m m 当m = 0时，是第四象限角不合）与，α-=α= α(53 cos ,54sin 当m = 8时，5 12 tan 135cos ,1312sin -=α∴=α-=α， 1．3诱导公式（一） 教学目标 （一）知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标 （1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五． （2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标 通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 一、复习： 诱导公式（一） tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(ααα ααα=+?=+?=+?k k k 诱导公式（二） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα ααα=+?-=+?-=+? 诱导公式（三） tan )tan(cos )cos( sin )sin(ααα ααα-=-=--=- 诱导公式（四） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα ααα-=-?-=-?=-? 对于五组诱导公式的理解 ： ①可以是任意角；公式中的α ②这四组诱导公式可以概括为： 符号。 看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名 的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k 总结为一句话：函数名不变，符号看象限 练习1：P27面作业1、2、3、4。 2：P25面的例2：化简 二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2 cos( cos )2 sin(ααπ ααπ =-=- 2、诱导公式（六） sin )2 cos( cos )2 sin( ααπ ααπ -=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限 例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数： ).3 17sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-? 练习3：求下列函数值： ).580tan )4( ,670sin )3( ),4 31sin()2( ,665cos )1(??-ππ 例2．证明：（1）ααπ cos )23sin(-=- （2）ααπ sin )2 3cos( -=- 例3．化简：.) 2 9sin()sin()3sin()cos() 211cos()2cos()cos()2sin(απ πααπαπαπ απαπαπ+-----++- 的值。 求：已知例)sin(2)4cos()3sin()2cos( , 3)tan( .4απααπαπαπ-+-+--=+ 解：.3tan ,3)tan(=∴=+ααπ .7343 32tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos =-?+-=-+-=-+-=αααααα原式 小结： ①三角函数的简化过程图： ②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了. 练习4：教材P28页7． 三．课堂小结 ①熟记诱导公式五、六； ②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限； ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 四．课后作业： ①阅读教材； ②《习案》作业七． 1．3诱导公式（二） 教学目标 （一）知识与技能目标 ⑴理解正弦、余弦的诱导公式． ⑵培养学生化归、转化的能力． （二）过程与能力目标 （1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五． （2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． （三）情感与态度目标 通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质． 教学重点 掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式． 教学难点 运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学过程 公式一或二或四 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00~3600间角 的三角函数 00~900间角 的三角函数 查表 求值 公式一或三 一、复习： 诱导公式（一） tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(ααα ααα=+?=+?=+?k k k 诱导公式（二） tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(ααα ααα=+?-=+?-=+? 诱导公式（三） tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=- 诱导公式（四） sin(π－α)=sin α cos(π －α)=－cos α tan (π－α)=－tan α 诱导公式(五) sin )2 cos( cos )2 sin( ααπ ααπ =-=- 诱导公式（六） sin )2 cos( cos )2 sin( ααπ ααπ -=+=+ 二、新课讲授： 练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数： ).3 17sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-? 练习2：求下列函数值： ).580tan )4( ,670sin )3( ),4 31sin()2( ,665cos )1(??-ππ 例1．证明：（1）ααπ cos )23sin(-=- （2）ααπ sin )2 3cos(-=- 例2．化简：.) 2 9sin()sin()3sin()cos() 211cos()2cos()cos()2sin(απ πααπαπαπ απαπαπ+-----++- 的值。 求：已知例) sin(2)4cos() 3sin()2cos( ,3)tan( .3απααπαπαπ-+-+--=+ 解：.3tan ,3)tan( =∴=+ααπ .73 43 32tan 4tan 32sin 4cos 3sin 2cos =-?+-=-+-=-+-=αααααα原式 例4. .)3cos(4) 3tan(3)sin(2,0cos sin ,54)sin(的值求且已知πααππαααπα--+-<=+ 小结： ①三角函数的简化过程图： ②三角函数的简化过程口诀： 负化正，正化小，化到锐角就行了. 公式一或二或四 任意负角的 三角函数 任意正角的 三角函数 00~3600间角 的三角函数 00~900间角 的三角函数 查表 求值 公式一或三 练习3：教材P28页7． 化简: );2cos()2sin(25sin 2cos )1(αππααππα-?-???? ??+? ?? ?? - .) sin()360tan()(cos )2(o 2 ααα-+-- 例5. .2 73021cos ,sin 2 π απαα<<=+ -的两根，且的方程是关于已知ax x x .) 900sin()180cos() 6cos()2sin()6tan(的值求 αααπαπαπ-??--+-- 三．课堂小结 ①熟记诱导公式五、六； ②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限； ③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数． 四．课后作业： ①阅读教材； ②《学案》P.16-P.17的双基训练. 1.4.1正弦、余弦函数的图象 教学目的： 知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的 形状； （2）根据关系)2 sin(cos π + =x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些 有关问题； 能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法； （2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法； 德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工 作精神； 教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象； 教学难点：作余弦函数的图象。 教学过程： 一、复习引入： 1． 弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。 2.正、余弦函数定义：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） P 与原点的距离r(0222 2>+=+= y x y x r ) r y) (x,P 则比值 r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos 3.正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂 线，垂足为M ，则有 MP r y == αsin ，OM r x ==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线． 二、讲解新课： 1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）： 为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． （1）函数y=sinx 的图象 第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）. 第二步：在单位圆中画出对应于角6, 0π，3π，2 π ,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）. 第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象． 根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象. 把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象. （2）余弦函数y=cosx 的图象 探究1：你能根据诱导公式，以正弦函数图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函 数的图象？ 根据诱导公式cos sin()2 x x π =+ ,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移 2 π 单位即得余弦函数y=cosx 的图象. （课件第三页“平移曲线” ） 正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线． 思考：在作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？ 2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）： 正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2 3π ,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) ( 2π,0) (π,-1) (2 3π,0) (2π,1) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握． 优点是方便，缺点是精确度不高，熟练后尚可以 3、讲解范例： 例1 作下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx ●探究2． 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象？ 小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。 ● 探究３． 如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：这两个图像关于X 轴对称。 ●探究４． 如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ， ｘ∈〔0，２π〕的图象？ 小结：先作 y=cos x 图象关于x 轴对称的图形，得到 y ＝-cosx 的图象， 再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y ＝2-cosx 的图象。 ●探究５． 不用作图，你能判断函数y=sin( x - 3π/2 )和y=cosx 的图象有何关系吗？请在同一坐标 y=cosx y=sinx π 2π 3π 4π 5π 6π-π -2π -3π -4π -5π -6π -6π -5π -4π -3π -2π -π 6π5π 4π 3π 2π π -1 1 y x -11 o x y 按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ③象限角； ④终边相同的角的表示法． 5．课后作业： ①阅读教材P 2-P 5； ②教材P 5练习第1-5题； ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题：已知α角是第三象限角，则2α，2 α 各是第几象限角？ 解：α 角属于第三象限， 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三）情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B 北师大版高中数学必修4教案集 北师大版高中数学必修4第一章《三角函数》全部教案 定边中学杜卫军整理 §1.1周期现象与周期函数 一、教学目标 知识与技能 （1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。 过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海 水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题) 【探究新知】 1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等） （板书：一、我们生活中的周期现象） 2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题： ①如何理解“散点图”？ ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ ③如何理解图1-1中的“H/m”和“t/h”？ ④对于周期函数的定义，你的理解是怎样？ 以上问题都由学生来回答，教师加以点拨并总结：周期函数定义的理解要掌握三个条件，即存在不为0的常数T；x必须是定义域内的任意值；f(x＋T)＝f(x)。 （板书：二、周期函数的概念） 3．[展示投影]练习: 已知函数f(x)满足对定义域内的任意x，均存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)。 求f(x＋2T) ，f(x＋3T) 略解：f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝f(x＋T)＝f(x) f(x＋3T)＝f[(x＋2T)＋T]＝f(x＋2T)＝f(x) 本题小结，由学生完成，总结出“周期函数的周期有无数个”，教师指出一般情况下，为避免引起混淆，特指最小正周期。 (2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2005,求f(11) 略解：f(11)＝f(6＋5)＝f(6)＝f(1＋5)＝f(1)＝2005 (3)已知奇函数f(x)是R上的函数，且f(1)＝2，f(x＋3)＝f(x)，求f(8) 略解：f(8)＝f(2＋2×3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2 【巩固深化，发展思维】 第1，2课时1.1．1 任意角 教学目标 （一） 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二） 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 始 边 终 边 顶 点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°； 答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究： 终边相同的角的表示： 所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇． 答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角； 例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}． 例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 Module4 Unit 1 Women of achievement Teaching goals 1．Target language a. Key words achieve, achievement, condition, welfare, institute, connection, campaign, organization, specialist, behave, behavior, worthwhile, nest, observe, observation, respect, argue, entertainment, inspire, support, devote ... to b. Key sentences Watching a family of chimps wake up is our first activity of the day. Everybody sits and waits while the animals in the group begin to wake up and move. But the evening makes it all worthwhile. ... we see them go to sleep together in their nest for the night. Only after her mother came to help her for the first few months was she allowed to begin her project. For forty years Jane Goodall has been helping the rest of the world understand and respect the life of these animals. 2．Ability goals a. Learn Warming Up, and know how to tell the great women and the famous women. b. Learn the way to describe a person from what the person did, what she/he looks like 3．Learning ability goals Teach Ss how to describe a person. Teaching important points a. By reading A protector of African wildlife, students can learn from Jane Goodall in at least two aspects: one is what is the humane way to study animals; the other is that it was her great personality - universal love and mercy（博爱与慈悲）that made her successful. If everyone had such kind of heart, they would give everything benefit for all living things. Then our world will be full of love and peace, without any war and starvation. b. Ask students to answer these questions: 1) What made her a great success? 2) What should we learn from Jane Goodall? Teaching difficult points Let everyone believe that all of us can become Jane Goodall. Teaching methods Inspiration, Questioning and Discussion. Teaching procedures & ways Period 1-2. Warming up and pre-reading Step 1. Lead in. 第一章三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、教学目标： 1、知识与技能 （1）推广角的概念、引入大于360?角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法 回忆-观察-讲解-归纳-推广. 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ [取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360 ?? ~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1．初中时，我们已学习了0360 ?? ~角的概念，它是如何定义的呢？ 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的 端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720?” （即转体2周），“转体1080?”（即转体3周）等,都是遇到大于360?的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360?的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢? 如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750?；图1.1.3(2)中，正角210α?=，负角150,660βγ??=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α. 3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 如教材图1.1-4中的30?角、 210?-角分别是第一象限角和第三象限角.要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一 2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； 人教版高中语文必修四全套教案 窦娥冤 【教学目标】 1、初步了解元杂剧的特点。 2、通过窦娥冤这一冤案，认识元代社会黑暗和统治者的残暴，认识当时阶级矛盾的尖锐。认识窦娥的刚烈性格和反抗精神。 3、从文学鉴赏的角度理解关汉卿设计三桩誓愿应验的用意。 【课时安排】二课时。 【教学过程】 一、导入新课 1、介绍关汉卿：关汉卿，号己斋叟，金末元初大都（现北京）人。元代杂剧的代表作家，也是我国戏剧史上最早也最伟大的戏剧作家。他与郑光祖、白朴、马致远齐名，被称为“元曲四大家”。元代人说他：“生而凋搅，博学能文，滑稽多智，蕴籍风流，为一时之冠。”他曾在散曲《南吕一枝花·不伏老》中说自己精音律，会吟诗，能吹萧弹琴，歌唱舞蹈，也会下棋射猎，多才多艺。他一生创作杂剧有60多部，但大都散失，现仅存15部。《窦娥冤》《救风尘》《望江亭》《单刀会》等流传很广。其中的《窦娥冤》是我国十大古典悲剧之一。1956年，他的名字被列入世界文化名人之列。 2、关于元杂剧： 元杂剧有一套较严格的体制： 结构：元杂剧一般是一本四折演一完整的故事，个别的有五折、六折或多本连演。折是音乐组织的单元，也是故事情节发展的自然段落，它不受时间、地点的限制，每一折大都包括较多的场次，类似于现代戏剧的“幕”。有的杂剧还有“楔子”，通常在第一折之前起交代作用。相当于现代剧的序幕，用来说明情节，介绍人物。杂剧每折限用同一宫调的曲牌组成的一套曲子。 角色：扮演的角色有末、旦、净、丑等。元杂剧每本戏只有一个主角，男主角称正末，女主角称正旦。此外，男配角有副末（次主角）、外末（老年男子）、小末（少年）等；女配角有副旦、外旦、小旦等。 净：俗称“大花脸”，大都扮演性格、相貌上有特异之处的人物。如张飞、李逵。丑：俗称“小花脸”，大抵扮演男次要人物。此外，还有孛（bó）老（老头儿）、卜儿（老妇人）、孤（官员）、徕儿（小厮）。 演出时一本四折都由正末或正旦独唱。（其他角色只有说白），分别称为“末本”或“旦本”。 剧本的构成：剧本由唱、科、白三部分构成。 唱词是按一定的宫调（乐调）、曲牌（曲谱）写成的韵文。元杂剧规定，每一折戏，唱同一宫调的一套曲子，其宫调和每套曲子的先后顺序都有惯例规定。元杂剧的唱词按一定宫凋写成。共分五个宫(五个全音阶)：正宫、中吕宫、南昌宫、仙吕宫、黄钟宫，分别个当于现在的C、D、E、G、A五个乐调(谱号)；曲牌，相当于现在的调号和板号(如二黄散板、西皮快板等)，也即简谱中的曲谱和节拍。元杂剧中一折限于一调一韵。 科是戏剧动作的总称。包括舞台的程式、武打和舞蹈。科范或叫“科”“介”，是关于动作、表情或其他方面的舞台提示，如“笑科”“见科”“把盏科”“做掩泪科”“内作起风科”等。 高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、 窦娥冤 教学目的： １．初步了解元杂剧的特点。 ２．结合“单元知识和训练”，掌握研究性阅读的特点，学会研究性阅读的方法。 教学重点和教学难点： １．通过窦娥冤这一历史冤案，认识元代社会黑暗和统治者的残暴，认识当时阶级矛盾的尖锐。 ２．认识窦娥的刚烈性格和反抗精神。 ３．介绍元杂剧的体制。 教学时数： 3课时 第一课时 导入新课 １．介绍关汉卿： ２．介绍元杂剧： 指导阅读 １．阅读“自读提示”中与本折有关的情节。 ２．阅读课文。 ３．提问式阐述：文学史上公认课文所选部分是全剧的高潮。但在前两折里，已经把窦娥受害的故事情节交待得清楚明白。窦娥与张驴儿的冲突，窦娥在公堂上的斗争，都已在前两折里表现出来，那么高潮为什么出现在第三折里？ 通过阅读课文，我们发现；第三折里仅有窦娥指天发誓，刑场受戮，故事情节简单，而构成窦娥矛盾冲突的对立面，如社会恶势力的代表张驴儿、元代残酷统治的典型官府都隐藏在幕后，没有冲突，就没有戏剧，更没有高潮，可见，全剧高潮出在第三折里是与戏剧本身的特点分不开的。 ４．提问：在课文中共出现多少曲牌？都属什么宫调？ 明确：共出现10个曲牌，都属于正宫调。 ５．提问：根据10个曲牌和故事情节，把课文分成若干层次。（按“思考和练习”一的要求） 明确：10个曲牌有3个层次。使剧情有张有弛，有烘托、有渲染，扣人心弦，催人泪下。 ６．分析第1层。齐读第1层两支曲子。 ７．提问：窦娥为什么要指斥天地鬼神？ 明确：窦娥诉说自己莫名其妙犯法受刑，冤屈之大可“动地惊天”。又因为窦娥的冲突对象隐于幕后，而天地鬼神便成了她的指斥对象。由于内心的悲愤难以控制，便构成了对天地的怨恨与控诉。 布置作业 １．默写［滚绣球］曲牌，整理“思考和练习”五。 ２．结合“思考和练习”三，研究阅读第2、3两个层次。 ３．熟悉剧本的三个组成部分。 第一章算法初步 1．1．1算法的概念 一、教学目标： 1、知识与技能：（1）了解算法的含义，体会算法的思想。（2）能够用自然语言叙述算法。（3）掌握正确的算法应满足的要求。（4）会写出解线性方程（组）的算法。（5）会写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。（6）会应用Scilab求解方程组。 2、过程与方法：通过求解二元一次方程组，体会解方程的一般性步骤，从而得到一个解二元一次方程组的步骤，这些步骤就是算法，不同的问题有不同的算法。由于思考问题的角度不同，同一个问题也可能有多个算法，能模仿求解二元一次方程组的步骤，写出一个求有限整数序列中的最大值的算法。 3、情感态度与价值观：通过本节的学习，使我们对计算机的算法语言有一个基本的了解，明确算法的要求，认识到计算机是人类征服自然的一各有力工具，进一步提高探索、认识世界的能力。 二、重点与难点： 重点：算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 难点：把自然语言转化为算法语言。 三、学法与教学用具： 学法：1、写出的算法，必须能解决一类问题(如：判断一个整数n(n>1)是否为质数；求任意一个方程的近似解；……)，并且能够重复使用。 2、要使算法尽量简单、步骤尽量少。 3、要保证算法正确，且计算机能够执行，如：让计算机计算1×2×3×4×5是可以做到的，但让计算机去执行“倒一杯水”“替我理发”等则是做不到的。 教学用具：电脑，计算器，图形计算器 四、教学设想： 1、创设情境： 算法作为一个名词，在中学教科书中并没有出现过，我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但是我们却从小学就开始接触算法，熟悉许多问题的算法。如，做四则运算要先乘除后加减，从里往外脱括弧，竖式笔算等都是算法，至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法，解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法等。因此，算法其实是重要的数学对象。 2、探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。 高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020. 『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）—————————————— 高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． (北师大版)数学必修4全套教案 §1 周期现象与周期函数（1课时） 教学目标： 知识与技能 （1）了解周期现象在现实中广泛存在；（2）感受周期现象对实际工作的意义；（3）理解周期函数的概念；（4）能熟练地判断简单的实际问题的周期；（5）能利用周期函数定义进行简单运用。过程与方法 通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在，会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解，以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法：数学来源于生活，又指导于生活。在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论， 感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境，揭示课题】 同学们：我们生活在海南岛非常幸福，可以经常看到大海，陶冶我们的情操。众所周知，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，这种现象就是我们今天要学到的周期现象。再比如，[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象。所以，我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。(板书课题) 【探究新知】 1．我们已经知道，潮汐、钟表都是一种周期现象，请同学们观察钱塘江潮的图片（投影图片），注意波浪是怎样变化的？可见，波浪每隔一段时间会重复出现，这也是一种周期现象。请你举出生活中存在周期现象的例子。（单摆运动、四季变化等） （板书：一、我们生活中的周期现象） 2．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？教师引导学生自主学习课本P3——P4的相关内容，并思考回答下列问题： ①如何理解“散点图”？ ②图1-1中横坐标和纵坐标分别表示什么？ 范文 2020年高中数学必修四全套教案(精品) 1/ 6 2020 年高中数学必修四全套教案（精品）第一章三角函数1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课：1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的名称： B 始边③角的分类：终边 O 顶点 A 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； 1 ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例 1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？y 45°B1 x O ⑴ y 60o B3 30°x O B2 ⑵ 例 2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°；⑷ 300°； ⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为 1、2、3、4、1、2 象限角． 3．探究：教材 P3 面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合 S＝{ β | β = α + k·360 ° ，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意：⑴ k∈Z ⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例 3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例 4．写出终边在 y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α | α= 90°+ n·180°,n∈Z}．例 5．写出终边在 y x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式－360°≤β＜720° 的元素β写出来． 4．课堂小结 3/ 6 —－可编辑修改，可打印—— 别找了你想要的都有！ 精品教育资料——全册教案，，试卷，教学课件，教学设计等一站式服务—— 全力满足教学需求，真实规划教学环节最新全面教学资源，打造完美教学模式 高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1．1 任意角 教学目标 （一）知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角 的集合的书写． （三） 情感与态度目标 1． 提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识． 教学重点 任意角概念的理解；区间角的集合的书写． 教学难点 终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写． 教学过程 一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． 二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？ 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B人教版新课标高中数学必修四 全册教案
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