§1.1.1 任意角导学案
【学习要求】
1.理解正角、负角、零角与象限角的概念.
2.掌握终边相同角的表示方法.
【学法指导】
1.解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”:顶点、始边、终边和旋转方向.
2.确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量.
3.学习象限角时,注意角在直角坐标系中的放法,在这个统一前提下,才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.
【知识要点】
1.角的概念
(1)角的概念:角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形.
(2
2.象限角
角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么,角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.
3.终边相同的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与的和.
【问题探究】
探究点一角的概念的推广
我们在初中已经学习过角的概念,角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围,也不能表示具有相反意义的旋转量.因此,从“旋转”的角度,对角作重新定义如下:一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角,射线OA叫角的始边,OB叫角的终边,O叫角的顶点.
问题1正角、负角、零角是怎样规定的?问题2根据角的定义,图中角α=120°;β=;-α=;-β=;γ=.
问题3经过10小时,分别写出时针和分针各自旋转所形成的角.
问题4如果你的手表快了1.25小时,只需将分针旋转多少度就可以将它校准?
探究点二终边相同的角
今后我们常在直角坐标系内讨论角.为了讨论问题的方便,我们使角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合.角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限.按照上述方法,在平面直角坐标系中,角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置.终边相同的角相差360°的整数倍.因此,所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
根据终边相同的角的概念,回答下列问题:
问题1已知集合S={θ|θ=k·360°+60°,k∈Z},则-240°S,300°S,-1 020°S.(用符号:∈或?填空).问题2集合S={α|α=k·360°-30°,k∈Z}表示与角终边相同的角,其中最小的正角是.
问题3已知集合S={α
|α=45°+k·180°,k∈Z},则角α的终边落在上
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1
问题2
问题3写出终边落在x轴上的角的集合S.
问题4写出终边落在y轴上的角的集合T.
【典型例题】
例1在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.
(1)-150°;(2)650°;(3)-950°15′.
跟踪训练1判断下列角的终边落在第几象限内:
(1)1 400°;(2)-2 010°.
例2写出终边落在直线y=x上的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来.
跟踪训练2求终边在直线y=-x上的角的集合S.
例3 已知α是第二象限角,试确定2α,α
2的终边所在的位置
跟踪训练3 已知α为第三象限角,则α
2
所在的象限是 ( )
A .第一或第二象限
B .第二或第三象限
C .第一或第三象限
D .第二或第四象限
【当堂检测】
1.-361°的终边落在 ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限 2.下列各角中与330°角终边相同的角是 ( )
A .510°
B .150°
C .-150°
D .-390° 3.经过10分钟,分针转了________度. 4.写出终边落在坐标轴上的角的集合S .
【课堂小结】
1.对角的理解,初中阶段是以“静止”的眼光看,高中阶段应用“运动”的观点下定义,理解这一概念时,要注意“旋转方向”决定角的“正负”,“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”. 2.关于终边相同角的认识
一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S ={β|β=α+k ·360°,k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意:(1)α为任意角. (2)k ·360°与α之间是“+”号,k ·360°-α可理解为k ·360°+(-α).
(3)相等的角终边一定相同;终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数多个,它们相差360°的整数倍.
(4)k ∈Z 这一条件不能少.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关
1. 设A ={θ|θ为锐角},B ={θ|θ为小于90°的角},C ={θ|θ为第一象限的角},D ={θ|θ为小于90°的正角},
则下列等式中成立的是
( )
A .A =B
B .B =
C C .A =C
D .A =D 2. 与405°角终边相同的角是
( )
A .k ·360°-45°,k ∈Z
B .k ·180°-45°,k ∈Z
C .k ·360°+45°,k ∈Z
D .k ·180°+45°,k ∈Z 3. 若α=45°+k ·180° (k ∈Z ),则α的终边在
( )
A .第一或第三象限
B .第二或第三象限
C .第二或第四象限
D .第三或第四象限
4. 若α是第四象限角,则180°-α是 ( )
A .第一象限角
B .第二象限角
C .第三象限角
D .第四象限角 5. 在-390°,-885°,1 351°,2 012°这四个角中,其中第四象限角的个数为
( )
A .0
B .1
C .2
D .3
6. 下列说法中,正确的是________.(填序号)
①终边落在第一象限的角为锐角;②锐角是第一象限的角; ③第二象限的角为钝角; ④小于90°的角一定为锐角;
⑤角α与-α的终边关于x 轴对称.
7. 在-180°~360°范围内,与2 000°角终边相同的角为______________. 8. 在与角-2 013°终边相同的角中,求满足下列条件的角.
(1)最小的正角; (2)最大的负角; (3)-720°~720°内的角.
二、能力提升 9. 集合M =?
??
???x |x =
k ·180°2±45°,k ∈Z ,P =????
??
x |x =k ·180°4±90°,k ∈Z ,则M 、P 之间的关系为( ) A .M =P B .M P C .P
M
D .M ∩P =?
10.角α,β的终边关于y 轴对称,若α=30°,则β=__________________. 11.已知角x 的终边落在图示阴影部分区域,写出角x 组成的集合.
12.已知角β的终边在直线3x -y =0上.
(1)写出角β的集合S ;
(2)写出S 中适合不等式-360°<β<720°的元素.
三、探究与拓展
13.已知α是第一象限角,则角α
3
的终边不可能落在
( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
§1.1.2 弧度制导学案
【学习要求】
1.理解角度制与弧度制的概念,能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性,建立角的集合与实数集一一对应关系. 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
【学法指导】
1.通过类比长度、重量的不同度量制,体会一个量可以用不同的单位制来度量,从而引出弧度制.
2.弄清1弧度的角的含义是了解弧度制,并能进行弧度与角度换算的关键.
3.引入弧度制后,应与角度制进行对比,明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.
【知识要点】
1.1弧度的角:把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用符号 表示,读作 . 2.弧度制:用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 3.角的弧度数的规定:
一般地,正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 .
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么,角α的弧度数的绝对值是 .这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 4.角度与弧度的互化: (1)角度转化为弧度: 360°= rad ;180°= rad ;1°= rad≈0.017 45 rad. (2)弧度转化为角度:
2π rad = ;π rad = ;1 rad =????
180π°≈57.30°=57°18′.
【问题探究】
探究点一 弧度制
问题1 1弧度的角是怎样规定的?1弧度的角和圆半径的大小有关吗?你能作出一个1弧度的角吗?
问题2 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么α的弧度数与l 、r 之间有着怎样的关系?请你完成下表,找出某种规律.
规律:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ,那么_______________________,即________ 问题3 除了角度制,数学还常用弧度制表示角.请叙述一下弧度制的内容. 问题4
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
问题1 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式,请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式.(设半径为r ,圆心角弧度数为α). 问题2 角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比:
探究点三 利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下,与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π+α(k ∈Z),其中α的单位必须是弧度. 问题1 利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.
【典型例题】
例1 (1)把112°30′化成弧度;(2)把-7π
12化成角度.
跟踪训练1 将下列角按要求转化: (1)300°=________rad ; (2)-22°30′=________rad ; (3)8π
5
=________度
例2 已知一扇形的周长为40 cm ,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多
少?
跟踪训练2 一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.
例3 把下列各角化成2k π+α (0≤α<2π,k ∈Z)的形式,并指出是第几象限角: (1)-1 500°; (2)23π
6
; (3)-4.
跟踪训练3 将-1 485°化为2k π+α (0≤α<2π,k ∈Z)的形式是___________
【当堂检测】
1.时针经过一小时,时针转过了
( )
A .π
6
rad
B .-π6 rad
C .π
12
rad
D .-π
12
rad
2.若α=-3,则角α的终边在 ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.已知扇形的周长是6 cm ,面积是2 cm 2,则扇形的中心角的弧度数是 ( ) A .1 B .4 C .1或4 D .2或4 4.把-11
4
π表示成θ+2k π(k ∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是_______
【课堂小结】
1.角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.
2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°=π rad”这一关系式. 易知:度数×π180
rad =弧度数,弧度数×????180π°=度数. 3.在弧度制下,扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化,具体应用时,要注意角的单位取弧度.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关 1. -300°化为弧度是
( )
A .-4
3
π
B .-53π
C .-54
π
D .-7
6
π
2. 集合A =?
???
??α|α=k π+π2,k ∈Z 与集合B =?
???
??
α|α=2k π±π2,k ∈Z 的关系是
( )
A .A =
B B .A ?B
C .B ?A
D .以上都不对
3. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长是
( )
A .2
B .sin 2
C .2
sin 1
D .2sin 1
4. 已知集合A ={α|2k π≤α≤(2k +1)π,k ∈Z },B ={α|-4≤α≤4},则A ∩B 等于 ( )
A .?
B .{α|-4≤α≤π}
C .{α|0≤α≤π}
D .{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π} 5. 若扇形圆心角为216°,弧长为30π,则扇形半径为________. 6. 若2π<α<4π,且α与-
7π
6
角的终边垂直,则α=______. 7. 用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x 轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界,如
图所示).
8. 用30 cm 长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
二、能力提升
9. 扇形圆心角为π
3
,则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为
( )
A .1∶3
B .2∶3
C .4∶3
D .4∶9 10.已知α为第二象限的角,则π-α
2
所在的象限是
( )
A .第一或第二象限
B .第二或第三象限
C .第一或第三象限
D .第二或第四象限
11.若角α的终边与角π
6的终边关于直线y =x 对称,且α∈(-4π,4π),则α=____________.
12.如图所示,半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P 从点A (1,0)出发,
依逆时针方向等速沿单位圆周旋转,已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0<θ<π),经过2 s 达到第三象限,经过14 s 后又回到了出发点A 处, 求θ.
三、探究与拓展
13.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R .
(1)若α=60°,R =10 cm ,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积;
(2)若扇形的周长是一定值c (c >0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
§1.2.1任意角的三角函数(一) 导学案
【学习要求】
1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.
3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同角的同一三角函数值相等.
【学法指导】
1.在初中所学习的锐角三角函数的基础上过渡到任意角三角函数的概念.
2.紧扣任意角的三角函数的定义来掌握三角函数值在各象限的符号规律以及诱导公式一的记忆.3.理解任意角三角函数的定义不仅是学好本节内容的关键,也是学好本章内容的关键.
【知识要点】
1.任意角三角函数的定义
(1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:
①y叫做α的,记作,即;
②x叫做α的,记作,即;
③y
x叫做α的,记作,即
对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点
的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.
(2)设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则sin α=___,cos α=___,tan α=___ 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
3.诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值,即:
sin(α+k·2π)=,cos(α+k·2π)=,tan(α+k·2π)=,其中k∈Z.
【问题探究】
探究点一锐角三角函数的定义
问题1Rt△ABC中,∠C=90°,若已知a=3,b=4,c=5,试求sin A,cos B,
sin B,cos A,tan A,tan B的值.
问题2如图,锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,
在α终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离为r,作PM⊥x轴,你能根
据直角三角形中三角函数的定义求出sin α,cos α,tan α吗?
问题3如图所示,在直角坐标系中,以原点为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.锐角α的终边与单位圆交于P(x,y)
点,则有:sin α=,cos α=,tan α=.
探究点二任意角三角函数的概念
关于任意角三角函数的定义,总的来说就两种:“单位圆定义法”与“终边定义法”.根
据相似三角形对应边成比例.可知这两种定义方法本质上是一致的.
问题1单位圆定义法:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么:叫做α的正弦,
记作sin α,即sin α=;叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=;
y
x叫做α的正切,
记作tan α,即tan α=(x≠0).
问题2终边定义法:
设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则有sin α=___,cos α
=___,tan α=___ (x≠0),其中r=x2+y2>0.
问题3由三角函数的定义知,三角函数值是一个比值,即一个实数,它的大小只与角α
的终边位置有关,即与角有关,与角α终边上P点的位置无关.
请以角α为第二象限角为例,借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的.
问题4利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值.
探究点三三角函数值在各象限的符号
三角函数的定义告诉我们,三角函数在各象限内的符号,取决于x,y的符号.
(1)sin α=
y
r(r>0),因此sin α的符号与y的符号相同,当α的终边在第象限时,sin α>0;当α的终边在第象限时,sin α<0.
(2)cos α=
x
r(r>0),因此cos α的符号与x的符号相同,当α的终边在第象限时,cos α>0;当α的终边在第象限时,cos α<0.
(3)tan α=
y
x,因此tan α的符号由x、y确定,当α终边在第象限时,xy>0,tan α>0;当α终边在第象限时,xy<0,tan α<0.
三角函数值在各象限内的符号,如图所示:
三角函数值的符号在以后学习中经常用到,必须熟记,可根据定义记,也可按以下口诀记忆:一全正,二正弦,三正切,四余弦(是正的).
探究点四诱导公式一
由任意角的三角函数的定义可以知道,终边相同的角的同一三角函数值相等.由此得到诱导公式一:sin(k·360°+α)=sin α,cos(k·360°+α)=cos α,tan(k·360°+α)=tan α,其中k∈Z,
或者:
sin(2k π+α)=sin α,cos(2k π+α)=cos α,tan(2k π+α)=tan α,其中k ∈Z.
诱导公式一的作用是将求任意角的三角函数值转化为求0°~360°的三角函数值. 例如:sin 420°=sin 60°=
3
2
;cos(-330°)= = ;tan(-315°)= = . 【典型例题】
例1 已知角α的终边上一点P (-15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0),求α的各三角函数值. 跟踪训练1 已知角θ的终边上一点P (x,3) (x ≠0),且cos θ=10
10x ,求sin θ,tan θ.
例2 求下列各式的值. (1)cos
25π
3
+tan ????-15π4; (2)sin(-1 320°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°+tan 495°. 跟踪训练2 求下列各式的值. (1)cos ????-23π3+tan 17π4
; (2)sin 630°+tan 1 125°+tan 765°+cos 540°.
例3 判断下列各式的符号: (1)sin α·cos α(其中α是第二象限角); (2)sin 285°cos(-105°); (3)sin 3·cos 4·tan ???-23π
4. 跟踪训练3 (1)若sin αcos α<0,则α是第_________象限角.
(2)代数式:sin 2·cos 3·tan 4的符号是________.
【当堂检测】
1.sin(-1 380°)的值为 ( ) A .-1
2
B .12
C .-32
D .
32
2.如果角α的终边过点P (2sin 30°,-2cos 30°),则cos α的值等于 ( )
A .12
B .-1
2
C .-
3
2
D .
32
3.若点P (3,y )是角α终边上的一点,且满足y <0,cos α=3
5,则tan α等于 ( )
A .-34
B .34
C .4
3
D .-43
4.如果sin x =|sin x |,那么角x 的取值集合是________.
【课堂小结】
1.三角函数值是比值,是一个实数,这个实数的大小和点P (x ,y )在终边上的位置无关,只由角α的终边位置确定.即三角函数值的大小只与角有关.
2.要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题,并且注意掌握解题时必要的分类讨论及三角函数值符号的正确选取.
3.要牢记一些特殊角的正弦、余弦、正切值.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关 1. sin 1 860°等于
( )
A .12
B .-12
C .32
D .-
3
2
2. 当α为第二象限角时,|sin α|sin α-cos α
|cos α|
的值是
( )
A .1
B .0
C .2
D .-2
3. 角α的终边经过点P (-b,4)且cos α=-3
5
,则b 的值为
( )
A .3
B .-3
C .±3
D .5
4. 点P 从(1,0)出发,沿单位圆x 2+y 2=1逆时针方向运动2
3
π弧长到达点Q ,则点Q 的坐标为 ( )
A .????-12,32
B .????-32,-12
C .????-12,-32
D .????-32,1
2
5. 设角α的终边经过点(-6t ,-8t ) (t ≠0),则sin α-cos α的值是
( )
A .1
5
B .-15
C .±15
D .不确定
6. 已知sin θ·tan θ<0,则角θ位于第________象限.
7. 已知α终边经过点(3a -9,a +2),且sin α>0,cos α≤0,则a 的取值范围为________. 8. 化简下列各式:
(1)sin 72π+cos 52π+cos(-5π)+tan π
4;
(2)a 2sin 810°-b 2cos 900°+2ab tan 1 125°.
二、能力提升
9. 已知角α的终边上一点的坐标为?
???
sin 2π3,cos 2π3,则角α的最小正值为 ( )
A .5π
6
B .2π3
C .5π6
D .11π
6
10.若角α的终边与直线y =3x 重合且sin α<0,又P (m ,n )是α终边上一点,且|OP |=10,则m -n =________. 11.角α的终边上一点P 的坐标为(4a ,-3a )(a ≠0),求2sin α+cos α的值. 12.判断下列各式的符号:
(1)sin 340°cos 265°;(2)sin 4tan ????-23π4;(3)sin (cos θ)
cos (sin θ)(θ为第二象限角). 三、探究与拓展
13.若θ为第一象限角,则能确定为正值的是
( )
A .sin θ2
B .cos θ2
C .tan θ
2 D .cos 2θ
§1.2.1 任意角的三角函数(二) 导学案
【学习要求】
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.
2.了解三角函数线的意义,能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.
【学法指导】
1.三角函数线是利用数形结合的思想解决有关问题的重要工具,利用三角函数线可以解或证明三角不等式,求函数的定义域及比较大小,三角函数线也是后面将要学习的三角函数的图象的作图工具.
2.三角函数线是有向线段,字母顺序不能随意调换,正弦线、正切线的正向与y 轴的正向相同,向上为正,向下为负;余弦线的正向与x 轴的正向一致,向右为正,向左为负;当角α的终边与x 轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y 轴重合时,余弦线变成一个点,正切线不存在.
【知识要点】
1.三角函数的定义域
正弦函数y =sin x 的定义域是__;余弦函数y =cos x 的定义域是__;正切函数y =tan x 的定义域是_______. 2.三角函数线
如图,设单位圆与x 轴的正半轴交于点A ,与角α的终边交于P 点.过点P 作x 轴的垂线PM ,垂足为M ,过A 作单位圆的切线交OP 的延长线(或反向延长线)于T 点.单位圆中的有向线段 、 、 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.记作:sin α= ,cos α= ,tan α=
【问题探究】
探究点一 三角函数的定义域
任意角的三角函数是在坐标系中定义的,角的范围是使函数有意义的实数集.根据任意角三角函数的定义可知正弦函数y =sin x 的定义域是__;余弦函数y =cos x 的定义域是__;正切函数y =tan x 的定义域是____________.在此基础上,可以求一些简单的三角函数的定义域.例如: (1)函数y =sin x +tan x 的定义域为________________. (2)函数y =sin x 的定义域为________________. (3)函数y =lg cos x 的定义域为________________
探究点二 三角函数线的作法
问题1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法? 问题2 作出下列各角的正弦线、余弦线和正切线. (1)-π4;(2)17π6;(3)10π
3
.
探究点三 三角函数线的应用
三角函数线是三角函数的几何表示,是任意角的三角函数定义的一种“形”的补充,线段的长度表示了三角函数绝对值的大小,线段的方向表示了三角函数值的正负.仔细观察单位圆中三角函数线的变化规律,回答下列问题.
问题1 若α为任意角,根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律可得:sin α的范围是 ;cos α的范围是
问题2 若α为第一象限角,证明sin α+cos α>1.
问题3 若α为任意角,根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律探究sin 2α+cos 2α与1的关系.
【典型例题】
例1 在单位圆中画出满足sin α=1
2的角α的终边,并求角α的取值集合.
跟踪训练1 根据下列三角函数值,作角α的终边,然后求角的取值集合: (1)cos α=1
2
;(2)tan α=-1.
例2 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合: (1)sin α≥
32; (2)cos α≤-12
. 跟踪训练2 已知点P (sin α-cos α,tan α)在第一象限,在[0,2π)内,求α的取值范围.
例3 求下列函数的定义域. f (x )=1-2cos x +ln ?
??
?sin x -
22 跟踪训练3 求函数f (x )=lg(3
-
4sin 2x )的定义域.
【当堂检测】
1.角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等,且正、余弦符号相异,那么α的值为 ( ) A .π
4
B .3π4
C .7π4
D .3π4或7π4
2.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是 ( )
A .正弦线PM ,正切线A ′T ′
B .正弦线MP ,正切线A ′T ′
C .正弦线MP ,正切线AT
D .正弦线PM ,正切线AT 3.在[0,2π]上,满足sin x ≥1
2的x 的取值范围为
( )
A .???
?0,π
6 B .????π6,5π6 C .????π6,2π3 D .???
?5π
6,π 4.利用三角函数线比较下列各组数的大小(用“>”或“<”连接): (1)sin 23π________sin 45π;(2)cos 23π________cos 4
5π;
(3)tan 23π________tan 4
5π.
【课堂小结】
1.三角函数线的意义
三角函数线是用单位圆中某些特定的有向线段的长度和方向表示三角函数的值,三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负.具体地说,正弦线、正切线的方向同纵坐标轴一致,向上为正,向下为负;余弦线的方向同横坐标轴一致,向右为正,向左为负.三角函数线将抽象的数用几何图形表示出来了,使得问题更形象直观,为从几何途径解决问题提供了方便. 2.三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线,同时也给出了角α的三角函数线的画法即先找到P 、M 、T 点,再画出MP 、OM 、AT .
注意三角函数线是有向线段,要分清始点和终点,字母的书写顺序不能颠倒.
【拓展提高】
【课后作业】
一、基础过关
1. 有三个命题:①π6和5π6的正弦线长度相等;②π3和4π3的正切线相同;③π4和5π
4
的余弦线长度相等.其中正确
说法的个数为
( )
A .1
B .2
C .3
D .0
2. 利用正弦线比较sin 1,sin 1.2,sin 1.5的大小关系是
( )
A .sin 1>sin 1.2>sin 1.5
B .sin 1>sin 1.5>sin 1.2
C .sin 1.5>sin 1.2>sin 1
D .sin 1.2>sin 1>sin 1.5
3. 函数y =tan ???
?x -π
3的定义域为 ( )
A .?
???
??x |x ≠π3,x ∈R B .?
???
??
x |x ≠k π+π6,k ∈Z
C .?
???
??x |x ≠k π+5π6,k ∈Z D .?
???
??
x |x ≠k π-5π6,k ∈Z
4. 设a =sin(-1),b =cos(-1),c =tan(-1),则有
( )
A .a
B .b