初中数学规律探究题的解法指导
广南县篆角乡初级中学 郭应龙
新课标中明确要求： 用代数式表示数量关系及所反映的规律， 发展学生的抽象思维能力。 根据一列数或一组图形的
特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水
平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是： “细心观察，大胆猜想，精心验证” 。笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”
的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦。
一、数式规律探究
通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，
考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式
中不同部分的数量关系） 或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）
找出各部分的特征， 改写成要求的格式。
数式规律探究是规律探究问题中的主要部分，解决此类问题注意以下三点：
1. 一般地，常用字母 n 表示正整数，从 1 开始。
2.
在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。
正整数? n-1,n,n+1 ?
奇数? 2n-3,2n-1,2n+1,2n+3
?
偶数? 2n-2,2n,2n+2 ?
3. 熟记常见的规律 ① 1 、 4、 9、 16......
n 2
② 1 、 3、 6、 10??
n(n
1)
2
③
1 、 3、 7、 15??
2 n -1
④ 1+2+3+4+ ? n=
n(n 1)
2
⑤ 1+3+5+ ? +(2n-1)= n 2 ⑥ 2+4+6+
? +2n=n(n+1)
⑦
1
2
2 2 2
1
n(n+1)(2n+1)
3
3
3
3
2
）
+2 +3 ? .+n =
⑧ 1 +2
+3 ? .+n
= 1
n (n+1
6
4
数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：
1. 观察法
例 1. 观察下列等式：① 1× 1
=1-
1
② 2×
2
=2-
2
③3×
3
=3-
3
2
2
3
3
4
4
④ 4×
4
=4-
4
??猜想第几个等式为
（用含 n 的式子表示）
5
5
分析：将等式竖排： ① 1× 1 =1-
1
观察相应位置上变化的数字与序列号
2
2
② 2×
2 =2-
2
的对应关系（注意分清正整数的奇偶）
3
3
③ 3×
3
=3-
3
易观察出结果为： 4 4
× n
=n-
n
④ 4× 4 =4-
4
n
5
5
n 1
n 1
例2. 探索规律： 31=3， 32=9， 33=27， 34=81， 35=243， 36=729??，那么
32009的个位数字是。
分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为： 3
2.函数法
例3. 将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形?，如此
继续下去，结果如下表：
所剪次数 1 2 3 4 ?n
正三角形个数 4 7 10 13 ?a n
则a n=（用含n的代数式表示）
分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）
正三角形个数： 4、 7、 10、 13 第一次求差结果相等，用一次函数y=kx+b
第一次求差： 3 3 3代入（1、4）（2、7）解之得：y=3x+1
∴ a n=3n+1
例 4. 有一组数： 1、2、5、10、17、26??请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8 个数为。
分析：对这组数据做求差处理：原数 1 2 5 10 17 26
第一次求差： 1 3 5 7 9
第二次求差： 2 2 2 2
第二次求差结果相等，同二次函数y=ax 2+bx+c 代入（ 1、 1）（ 2、 2）（ 3、5）
2 2
∴当 =8 时， y=50
解之得 y= x -2x+2= （ x-1 ） +1
尝试练习：
1. 观察下列等式：1× 3=12+2× 1； 2×4=22+2× 2；3× 5=32+2×3??请将
你猜想到的规律用含自然数n(n ≥ 1) 的代数式表示出来：。
2. 观察下列各式：2
×2=
2
+2；
3
×3=
3
+3；
4
×4=
4
+4；
5
×5=
5
+5??1122334 4
设 n 为正整数，用关于n 的等式表示这个规律为。
3. 观察下列各式：11
=2
1
；2
1
=3
1
；3
1
=4
1
??请你将猜想到的规律用含正整数33445 5
n(n ≥ 1) 的代数式表示出来为。
4. 已知： 2+ 2
=22×
2
； 3+
3
=32×
3
；4+
4
=42×
4
； 5+
5
=52×
5
?，若338815152424
10+ b
=102×
b
符合前面式子的规律，则a+b=。
a a
5. 已知下列等式：① 13=12；② 13+23=32；③ 13+23+33=62；④ 13+23+33+43=102? 由此规律可推
出第 n 等
式：
。
6 、 观 察 下 列 算 式 ：
， ， ，
请 你 在 观 察 规 律 之 后 并 用 你 得 到 的 规 律 填 空 ： .
1、下面有 8 个算式，排成
4 行 2 列
2＋ 2， 2× 2 3＋ 3 ，
3×
3
2
2
4＋ 4 ，
4×
4
3
3
5＋ 5 ，
5×
5
4
4
??，
??
（ 1）同一行中两个算式的结果怎样？ （ 2）算式 2005＋
2005
和 2005×
2005
的结果相等吗？
2004
2004
（ 3）请你试写出算式，试一试，再探索其规律，并用含自然数 n 的代数式表示这一规律。 （5 分）
2、你能很快算出 2005
2 吗？ （ 5 分）
为了解决这个问题，我们考察个位上的数为
5 的正整数的平方，任意一个个位数为
5 的正整数可写成 10n ＋
5（ n 为正整数），即求 10n 2
5 的值，试分析 n 1 ，2， 3??这些简单情形，从中探索其规律。
⑴通过计算，探索规律 :
15
25
35
45
2
2
2
2
225 可写成 100 1 1 1 25 ； 625 可写成 100 2
2 1 25 ；
1225 可写成 100 3 3 1 25 ；
2025
可写成 100
4 4 1 2
5 ；
??????
75
85
2
2
5625
7225
可写成 ________________________________
可写成 ________________________________
2
⑵根据以上规律，试计算
105
=
3（5 分）
已知 13
1
12 22 ; 13 23
9 1 22 32 ;
4
4
（1）猜想填空：
（2）计算①
②23+43+63+983+?? +1003
1、观察等式： 1＋ 3＝ 4＝ 2 2，1＋ 3＋ 5＝9＝ 3 2 ， 1＋ 3＋ 5＋ 7＝ 16＝ 4 2 ， 1＋ 3＋5＋ 7＋ 9＝25＝ 5 2 ，??
猜想：（ 1） 1 ＋3＋ 5＋ 7?＋ 99 ＝ ；
(2) 1 ＋3＋ 5＋ 7＋?＋（ 2n-1 ）＝ _____________ . （结果用含 n 的式子表示，其中 n =1,2,3,
??）。
2、观察下面一列数，根据规律写出横线上的数，
－
1 ；
1
；－
1
； 1
；
；
；??；第 2003 个数是
。
1 2 3
4
二、图形规律探究
由结构类似，多少和位置不同的几何图案的图形个数之间也有一定的规律可寻，并且还可以由一个通用的代数式来表示。这种探索图形结构成元素的规律的试题，解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，再用函数法、观察法解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律，常用“拆图法”解决问题。
拆图法
例 5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了
4 根火柴，第②图用了
7 根火柴棒，第③图用了 10
根火柴棒，依次类推，第⑩图用
根火柴棒，摆第 n 个图时，要用
根火柴棒。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
分 析 ： 本 例 ①
可 拆 为
即 1+3=4 （ 根 ） 第 ② 拆 为
即
1+3 2=7（根）；第③图可拆为
即 1+3 3=10( 根 ) 由此可知，
第⑩图为 1+3 10=31（根），第 n 个图为：（ 3n+1）根。
例 6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为
；第（ n ）堆三角形的个数为
。
△
△ △ △ △ △ △△△
△ △ △△△△△ △
△△△△△△△
①
②
③
分析：本例中需要进行比较的因素较多，于是把图拆为横向和纵向两部分，就横向而言，把三角形个数抽出
来，就是 3，5，7?这是奇数从小到大的排列，其表达式为：
2n+1；就纵向而言，发现三角形个数依次增加一个：
第①堆有 2 个，第②堆有 3 个，第③堆有 4 个，所以第（ n ）堆的个数就为（ n+1）个。所以第 n 堆三角形的总个
数为：（ n+1） +(2n+1) 即 (3n+2) 个。
尝试练习：
1. 如图 7－①，图 7－②，图 7－③，图 7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规
律，第 5 个“广”字中的棋子个数是
________，第 n 个“广”字中的棋子个数是
________
2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第 5 个大三角
形中白色三角形有
个 ．
3．图（ 3）是用火柴棍摆成的边长分别是 1， 2，3 根火柴棍时的正方
第 1个
第2个
第3个
形．当边长为 n 根火柴棍时， 设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为 s ，
则 s ＝
． （用 n 的代数式表示
s ）
4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，
则第（3）个图形中有黑色瓷砖
__________ 块，第 n 个图形中需要黑色
瓷砖 __________ 块（用含 n 的代数式表示） ．
5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样 的规律摆下去，则第
n 个图形需要黑色棋子的个数是
．
通过对此专题的复习和指导， 我想你会有所感悟， 有所收获， 有所进步别忘记课后注意巩固训练，展示你的能力，体验成功的快乐！
三、课外拓展：
?
n=
n= n=
（
（ （
.
1. 探索规律： 31=3，32=9， 33=27，34=81， 35=243， 36=729??那么 32008 的个位数字是 。
2. 观察下列等式： 71=7， 72=49， 73=343， 74=2041??由此可判断 7100 的个位数字是
。
3. 瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据
9 ，
16
， 25
， 36
??中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大
5 12
21
32
门，按此规律第七个数据是
。
4. 已知 a =
1
+ 1
2 ， a =
1 1 3
1
+ 1
4
。
=
+ =
， a =
=
??按此规律，则 a =
1
2 3 2 3 2
2 3 4 3 8 3
3 4
5 4 15
99
1
5. 已知
1 =1- 1 ，
2 1 = 1 - 1
， 1 = 1 - 1
??，则 1 1 + 1 + 1 +
1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 2 2 3 3 4
? +
1 1) = ；用相同思路探究：
1 1 + 1 + 1 ?+ 1 =
。
n(n
3 3 5 5 7 (2 n 1)(2n 1)
6．如图 5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，
则第 4 幅图中有
个，第 n 幅图中共有
个． 7．如图，由等圆组成的一组图中，第
?
?
1 个图由 1 个圆组成，
第 1 幅 第 2 幅 第 3 幅
第 n 幅
第
2 个图由 7 个圆组成， 第
3 个图由 19 个圆组成，，按照这样
图 5
的规律排列下去，则第
9 个图形由 _______个圆组成．
8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第
1 个图形有 6 个小圆，第
2 个图形有 10 个小圆，第
3 个图
形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，??，依次规律，第
6 个图形有
个小圆．
?
第 1 个图形
第 2 个图形 第 3 个图形
第 4 个图形
9．用边长为 1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______________cm（用含n的代数式表示）。
···
10.如图 10，已知 Rt第△1ABC次中，第 AC=32次，BC=第34，次过直角第顶4点 C 作 CA1⊥ AB，垂足为 A1，再过 A1作 A1C1⊥BC，垂足为
C ，过 C 作 C1A2⊥ AB，垂足为 A ，再过A 作 A C ⊥ BC，垂足为 C ，?，这样一直做下去，得到了一组线段CA，
1 1
2 2 2 2 2 1
A1C1，
C1 A2，?，则
1
，
C 4 A5
CA= A 5 C5
图 10