专题1 分式的运算及化简求值
类型1 分式的运算
1．计算：
(1)2x x 2－1÷x x ＋1； (2)a a 2－b 2－b a ＋b
.
2．计算：
(1)12m 2－9＋23－m ＋2m ＋3； (2)x 2＋xy x 2－xy ÷(x ＋y)÷xy xy －y 2； (3)16－m 216＋8m ＋m 2÷m －42m ＋8·m －2m ＋2
.
3．计算：
(1)(1x ＋1＋1x －1)·(x 2－1)； (2)(3x ＋1－1x )÷2x 2－x x 2＋2x ＋1
；
(3)m 2m 2＋2m ＋1÷(1－1m ＋1)； (4)(12－x ＋1)÷x －3x 2－4·x x 2＋4x ＋4
.
类型2 分式的化简求值
4．先化简，再求值：x －y x ÷(x －2xy －y 2x
)，其中x ＝2，y ＝－1.
5．先化简，后求值：(1－1a ＋1)÷(a 2－a a 2＋2a ＋1
)，其中a ＝3.
6．化简：(1x －1－1x ＋1)÷x 2x 2－2
，然后从－1，0，1，2中选取一个你喜欢的数作为x 的值代入求值．
7．先化简再求值：(1x －y －1x ＋y )÷2y x －y
，其中x ，y 满足|x －1|＋(y ＋2)2＝0.
8．先化简，再求值：(x 2－2x ＋1x 2－x ＋x 2－4x 2＋2x )÷1x
，且x 为满足－3＜x ＜2的整数．
9．(黔南期末)先化简，再求值：(x 2－3x －1－2)÷1x －1
，其中x 满足x 2－2x －3＝0.
10．已知x ＋y ＝xy ，求代数式1x ＋1y
－(1－x)(1－y)的值．
专题2 分式方程的解法
题组1 解分式方程
1．解分式方程：
(1)1 200x －1 2001.5x ＝10； (2)42x ＋1＝x 2x ＋1＋1； (3)1x －2＝1－x 2－x
－3.
2．解分式方程：
(1)x x －1＋1x 2－1＝1； (2)x x ＋1＝2x 3x ＋3
＋1.
题组2 解分式方程的简单应用
类型1 由分式方程的特殊解确定字母的取值范围
3．关于x 的分式方程2x ＋a x ＋1
＝1的解为负数，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ＜1
C ．a ＜1且a ≠－2
D ．a ＞1且a ≠2
4．已知关于x 的分式方程3x －a x －3＝13
的解是非负数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1
B ．a ≥1
C ．a ≥1且a ≠9
D ．a ≤1
5．已知关于x 的分式方程a ＋2x ＋1
＝1的解是非正数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1 B ．a ≤－1且a ≠－2
C ．a ≤1且a ≠－2
D ．a ≤1
6．已知关于x 的分式方程x x －3－2＝k x －3
有一个正数解，则k 的取值范围为 ．
类型2 由分式方程无解确定字母的取值
7．若关于x 的方程3x －2x ＋1＝2＋m x ＋1
无解，则m 的值为( ) A ．－5 B ．－8 C ．－2
D ．5
8．若关于x 的方程ax x －2＝4x －2
＋1无解，则a 的值是 ． 9．若关于x 的方程3－2x x －3－mx －23－x
＝－1无解，则m 的值是 ．
专题3 分式方程的实际应用
1．一艘轮船在静水中的最大航速是30 km /h ，它以最大航速沿江顺流航行90 km 所用时间与它以最大航速逆流航行60 km 所用时间相等．如果设江水的流速为x km /h ，所列方程正确的是( )
A .90x ＋30＝60x －30
B .60x ＋30＝90x －30
C .9030＋x ＝6030－x
D .6030＋x ＝9030－x 2．港珠澳大桥是我国桥梁建筑史上的又一伟大奇迹，东接香港，西接珠海、澳门，全程55公里．通车前需走水陆两路共约340公里，通车后，约减少时间2.5小时，平均速度是原来的6倍，如果设原来通车前的平均时速为x 千米/小时，那么可列方程为( )
A .340x －556x ＝2.5
B .55x －340x
＝2.5 C .340x －55×6x
＝2.5 D .340×6x －556x ＝2.5 3．为加快遵义的发展，汇川区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．问原来规定修好这条公路需多长时间？
4．近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元．求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元．
5．“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2 500元购进一批儿童玩具，上市后
很快脱销，接着又用4 500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元．
(1)求第一批玩具每套的进价是多少元；
(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
6．某汽车站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A，B两种花木共6 600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．
(1)A，B两种花木的数量分别是多少棵？
(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务？
7．我县为了落实中央的“扶贫战略工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好按规定时间完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6 500元，乙队每天的施工费用为3 500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
8．为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来“共享单车”(俗称“小黄车”)公益活
动登陆我市中心城区．某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A ，B 两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A ，B 两型自行车各50辆，投放成本共计7 500元，其中B 型车的成本单价比A 型车高10元，A ，B 两型自行车的单价各是多少？
问题2：投放方式
该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1 000人投放a 辆“小黄车”，乙街区每1 000人投放8a ＋240a
辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1 500辆，乙街区共投放1 200辆，如果两个街区共有15万人，试求a 的值．
9．某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．
(1)求这种笔和本子的单价；
(2)该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
参考答案：
专题1 分式的运算及化简求值
类型1 分式的运算
1．计算：
(1)解：原式＝2x x 2－1·x ＋1x
＝
2x （x ＋1）（x －1）·x ＋1x ＝2x －1
. (2)解：原式＝a （a ＋b ）（a －b ）－b （a －b ）（a ＋b ）（a －b ）
＝a －ab ＋b 2
a 2－
b 2.
2．(1)12m 2－9＋23－m ＋2m ＋3
； 解：原式＝12（m ＋3）（m －3）＋－2（m ＋3）（m ＋3）（m －3）＋2（m －3）（m ＋3）（m －3）
＝12－2m －6＋2m －6（m ＋3）（m －3）
＝0.
(2)x 2＋xy x 2－xy ÷(x ＋y)÷xy xy －y 2
； 解：原式＝x （x ＋y ）x （x －y ）·1x ＋y
·y （x －y ）xy ＝1x
. (3)16－m 216＋8m ＋m 2÷m －42m ＋8·m －2m ＋2
. 解：原式＝（4－m ）（4＋m ）（4＋m ）2·2（m ＋4）m －4·m －2m ＋2
＝4－2m m ＋2
. 3．(1)(1x ＋1＋1x －1
)·(x 2－1)； 解：原式＝x －1＋x ＋1（x ＋1）（x －1）
·(x ＋1)(x －1) ＝2x.
(2)(3x ＋1－1x )÷2x 2－x x 2＋2x ＋1
； 解：原式＝[3x x （x ＋1）－x ＋1x （x ＋1）]·x 2＋2x ＋12x 2－x
＝3x －x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2
x （2x －1）
＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2
x （2x －1）
＝x ＋1x 2
. (3)m 2m 2＋2m ＋1÷(1－1m ＋1
)； 解：原式＝m 2
（m ＋1）2÷m ＋1－1m ＋1
＝m 2
（m ＋1）2·m ＋1m
＝m m ＋1
. (4)(12－x ＋1)÷x －3x 2－4·x x 2＋4x ＋4
. 解：原式＝3－x 2－x ·（x ＋2）（x －2）x －3·x （x ＋2）2
＝x x ＋2
. 4．解：原式＝x －y x ·x x 2－2xy ＋y 2
＝1x －y
. 当x ＝2，y ＝－1时，原式＝13
. 5．解：原式＝a ＋1－1a ＋1·（a ＋1）2a （a －1）＝a ＋1a －1
. 把a ＝3代入，得原式＝2.
6．解：原式＝x ＋1－（x －1）（x ＋1）（x －1）
·2（x ＋1）（x －1）x ＝2（x ＋1）（x －1）
·2（x ＋1）（x －1）x ＝4x
. 将x ＝2代入，得原式＝42
＝2. 7．解：∵x ，y 满足|x －1|＋(y ＋2)2＝0，
∴x －1＝0，y ＋2＝0.∴x ＝1，y ＝－2.
原式＝x ＋y －x ＋y （x －y ）（x ＋y ）·x －y 2y ＝1x ＋y
. 当x ＝1，y ＝－2时，原式＝11－2
＝－1.
8．解：原式＝[（x －1）2x （x －1）＋（x ＋2）（x －2）x （x ＋2）
]·x ＝(x －1x ＋x －2x )·x ＝2x －3. ∵x 为满足－3＜x ＜2的整数，
∴x ＝－2，－1，0，1.
∵x 要使原分式有意义，
∴x ≠－2，0，1.
∴x ＝－1.
当x ＝－1时，原式＝2×(－1)－3＝－5.
9．解：原式＝(x 2－3x －1
－2)·(x －1)＝x 2－3－2(x －1)＝x 2－3－2x ＋2＝x 2－2x －1. ∵x 2－2x －3＝0，∴x 2－2x ＝3.
∴原式＝x 2－2x －1＝3－1＝2.
10．解：∵x ＋y ＝xy ，
∴原式＝y ＋x xy
－(1－x －y ＋xy) ＝x ＋y xy
－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0
＝0.
专题2 分式方程的解法
1．(1)1 200x －1 2001.5x
＝10； 解：原方程可化为120x －1201.5x
＝1. 方程两边同乘1.5x ，得
180－120＝1.5x .解得x ＝40.
检验：当x ＝40时，1.5x ≠0，
所以原分式方程的解为x ＝40.
(2)42x ＋1＝x 2x ＋1
＋1； 解：方程两边同乘(2x ＋1)，得
4＝x ＋2x ＋1.解得x ＝1.
检验：当x ＝1时，2x ＋1≠0，
所以原分式方程的解为x ＝1.
(3)1x －2＝1－x 2－x
－3. 解：方程两边同乘(x －2)，得
1＝x －1－3x ＋6.解得x ＝2.
检验：当x ＝2时，x －2＝0.
因此x ＝2不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解．
2．(1)x x －1＋1x 2－1
＝1；
解：方程两边同乘(x ＋1)(x －1)，得
x(x ＋1)＋1＝(x ＋1)(x －1)．解得x ＝－2.
检验：当x ＝－2时，得(x ＋1)(x －1)≠0，
所以原分式方程的解为x ＝－2.
(2)x x ＋1＝2x 3x ＋3
＋1. 解：两边同乘3(x ＋1)，得
3x ＝2x ＋3(x ＋1)．解得x ＝－32
. 检验：当x ＝－32
时，3(x ＋1)≠0， 所以原分式方程的解为x ＝－32
. 3．D
4．C
5．B
6．k ＜6且k ≠3．
7．A
8．1或2．
9．1或53
．
专题3 分式方程的实际应用
1．C
2．A
3．解：设原计划需x 个月，则甲单独完成需要x 个月，乙单独完成需要(x ＋6)个月，由题意，得
4×(1x ＋1x ＋6)＋(x －4)×1x ＋6
＝1，解得x ＝12. 经检验，x ＝12是原分式方程的解．
答：原来规定修好这条公路需12个月．
4．解：设乙每年缴纳养老保险金为x 万元，则甲每年缴纳养老保险金为(x ＋0.2)万元，根据题意，得
15x ＋0.2＝10x
.解得x ＝0.4. 经检验，x ＝0.4是分式方程的解，且符合题意．
∴x ＋0.2＝0.4＋0.2＝0.6(万元)．
答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元、0.4万元．
5．解：(1)设第一批玩具每套的进价是x 元，由题意，得
2 500x ×1.5＝4 500x ＋10
.解得x ＝50. 经检验，x ＝50是分式方程的解．
答：第一批玩具每套的进价是50元．
(2)设每套售价是y 元，由题意，得
两次共购进这种玩具2 50050
×(1＋1.5)＝125(套)． 125y －2 500－4 500≥(2 500＋4 500)×25%，
解得y ≥70.
答：每套售价至少是70元．
6．解：(1)设A 种花木的数量是x 棵，B 种花木的数量是y 棵．根据题意，得
?????x ＋y ＝6 600，x ＝2y －600.解得?
????x ＝4 200，y ＝2 400. 答：A 种花木的数量是4 200棵，B 种花木的数量是2 400棵．
(2)设安排t 人种植A 种花木，则安排(26－t)人种植B 种花木．根据题意，得 4 20060t ＝ 2 40040（26－t ）
，解得t ＝14. 经检验，t ＝14是原分式方程的解，且符合题意．
∴26－t ＝12.
答：安排14人种植A 种花木，安排12人种植B 种花木，才能确保同时完成各自的任务．
7．解：(1)设这项工程的规定时间是x 天，根据题意，得
(1x ＋11.5x )×15＋5x
＝1. 解得x ＝30.
经检验x ＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
(2)由(1)可知，乙完成该项工程是45天，则由甲、乙两队合做完成，所需时间为：1÷(130
＋145
)＝18(天)． 则该工程施工费用是：18×(6 500＋3 500)＝180 000(元)．
答：该工程的费用为180 000元．
8．解：问题1
设A 型车的成本单价为x 元，则B 型车的成本单价为(x ＋10)元，依题意，得 50x ＋50(x ＋10)＝7 500，解得x ＝70.
∴x ＋10＝80.
答：A ，B 两型自行车的单价分别是70元和80元．
问题2
由题意，得1 500a ×1 000＋ 1 2008a ＋240a
×1 000＝150 000，解得a ＝15. 经检验，a ＝15是所列分式方程的解．
故a 的值为15.
9．解：(1)设这种笔单价为x 元，则本子单价为(x －4)元，由题意，得
30x －4＝50x
，解得x ＝10. 经检验，x ＝10是原分式方程的解．
则x －4＝6.
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元．
(2)设恰好用完100元，可购买这种笔m 支和购买本子n 本，由题意，得 10m ＋6n ＝100.
整理，得m ＝10－35
n. ∵m ，n 都是正整数，
∴①n ＝5时，m ＝7，②n ＝10时，m ＝4，③n ＝15，m ＝1.
∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔1支，购买本子15本．