湖北小池滨江高级中学2019-2020学年高二下数学期末模拟试卷
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．设集合P={3，log 2a}，Q={a ，b }，若{}1P Q =，则P Q ?=（ ）
A ．{3，1}
B ．{3，2，1}
C ．{3， 2}
D ．{3，0，1，2}
2．在平面四边形ABCD ，(1,3)AC =，(9,3)BD =-，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．
710
2
B
．
272
C ．15
D ．
910
2
3．在平面直角坐标系中，由坐标轴和曲线3cos 02y x x π?
?=≤≤ ??
?所围成的图形的面积为（ ）
A ．2
B ．
5
2
C ．3
D ．4
4．在二项式2
6
()2a x x
+
的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x 和圆
22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A ．
14
6
π
+
B ．
146
π
- C ．
4
π D ．
16
5．已知点M 的极坐标为π(5,)3，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是( ) A ．π(5,-)3
B ．4π(5,)3
C ．2π(5,)3
-
D ．5π(5,)3
-
6．从8名女生和4名男生中选出6名学生组成课外活动小组，则按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为（ ）
A ．4284612C C C
B ．3384612
C C C C ．6
12
612C A D ．42846
12
A A A 7．已知：0x >，0y >，且21
1x y
+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()4,2-
B ．(][),42,-∞-+∞
C ．()2,4-
D ．(][),24,-∞-?+∞
8．已知随机变量X 的分布列表如下表，且随机变量23Y X =+，则Y 的期望是（） X
-1
1
P 1
2
1
3
m
A．
3
B．
3
C．
1
3
D．
1
6
9．设2
{|430}
A x x x
=-+，{|(32)0}
B x ln x
=-<，则(
A B=)
A．
3
(1,)
2
B．(1，3]C．
3
(,)
2
-∞D．3(
2
，3]
10．若关于x的不等式2
2ln0
x a x
+-<有解，则实数a的取值范围是( )
A．
1
,ln2
2
??
-∞--
?
??
B．
1
,ln2
2
??
-∞-
?
??
C．
1
ln2,0
2
??
--
?
??
D．
1
ln2,
2
??
--+∞
?
??
11．如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为1
x
y e
=-，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（）
A．
2
3
e-
B．
1
3
e-
C．
4
3
e
-
D．
5
3
e
-
12．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中，中位数为22，则x=（）
A．21B．15C．22D．35
二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13．若实数x，y满足221
x y
+=，则xy的取值范围是__________；
14．在ABC
△中，90
ABC
∠=?，4
AB=，3
BC=，点D在线段AC上，若45
BDC
∠=?，则
BD=________.
15．事件,,
A B C相互独立，若
1
()
6
P A B?=，
1
()
8
P A B C
??=，则()
P A B C
??=____.
16．已知实数x，y满足不等式组
20,
250,
20,
x y
x y
y
--≤
?
?
+-≥
?
?-≤
?
且2
z x y
=-的最大值为a，则2
cos d
2
x
a x
π
?=_____．
三、解答题：（本题共6个小题，共74分）
17．（本题共12分）
在ABC
?中，内角,,
A B C所对的边分别为,,
a b c，且222
b a
c ac
=+-.
（1）求角B 的大小；
（2）求sin sin A C +的取值范围. 18．（本题共12分） 已知函数()()()2
122
e x
f x x ax ax a =--
+∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当2x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围． 19．（本题共12分）
已知点()()2,0,2,0-M N ，动点P 满足条件PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （1）求W 的方程；
（2）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 20．（本题共12分）
同底的两个正三棱锥内接于半径为R 的球，它们的侧面与底面所成的角分别为12,.αα求： （1）侧面积的比； （2）体积的比；
（3）角12αα+的最大值． 21．（本题共12分）
某单位共有员工45人，其中男员工27人，女员工18人.上级部门为了对该单位员工的工作业绩进行评估，采用按性别分层抽样的方法抽取5名员工进行考核. （1）求抽取的5人中男、女员工的人数分别是多少；
（2）考核前，评估小组从抽取的5名员工中，随机选出3人进行访谈.求选出的3人中有1位男员工的概率；
（3）考核分笔试和答辩两项.5名员工的笔试成绩分别为78，85，89，92，96；结合答辩情况，他们的考核成绩分别为95，88，102，106，99.这5名员工笔试成绩与考核成绩的方差分别记为2
2
12,s s ，试比较2
1s 与
22s 的大小.（只需写出结论）
22．（本题共14分）
已知函数()()
2
2kx
f x x x e =- (,k R e ∈为自然对数的底数).
(1)若1k =,求函数()f x 的单调区间；
(2)在(1)的条件下，求函数()f x 在区间[]0,m 上的最大值和最小值.
参考答案
一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．B 【解析】
分析：由{}1P Q ?=求出a 的值，再根据题意求出b 的值，然后由并集运算直接得答案. 详解：由{}1P Q ?=，
2log 1a ∴=，即2a =，
{}{},2,1Q a b ∴==，
则{}3,2,1P Q ?=. 故选：B.
点睛：本题考查了并集及其运算，考查了对数的运算，是基础题. 2．C 【解析】 【分析】
首先根据0AC BD =得到AC BD ⊥，再求四边形ABCD 的面积即可. 【详解】
因为1(9)330AC BD =?-+?=，所以AC BD ⊥，
所以四边形ABCD 的面积11
1522
S AC BD =?==. 故选：C 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于简单题. 3．C 【解析】 【分析】
根据余弦函数图象的对称性可得2
3cos xdx S π
=?
，求出积分值即可得结果.
【详解】
根据余弦函数图象的对称性可得()2
20
3cos 3sin 3103S xdx x
π
π
===-=?
，故选C.
【点睛】
本题主要考查定积分的求法，考查数学转化思想方法，属于基础题． 4．B 【解析】 【分析】
用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积． 【详解】
（x 1+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162r
r r r
a T C x x --+??= ???
, 令11﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4
462a C ?? ???，可得4
462a C ?? ???
＝15，解得a ＝1．
曲线y ＝x 1和圆x 1+y 1＝1的在第一象限的交点为（1，1） 所以阴影部分的面积为()1
223100
1
11-x-x |4
42346
dx x x π
ππ??=
--=- ????． 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5．D 【解析】 【分析】 由于
3π 和53π-是终边相同的角，故点M 的极坐标53π?? ???，也可表示为553π?
?- ??
?
，． 【详解】
点M 的极坐标为53π?? ???，，由于
3π
和53π-是终边相同的角，
故点M 的坐标也可表示为553π??- ??
?
，
， 故选D ． 【点睛】
本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，属于基础题． 6．A
【解析】按性别分层抽样男生 女生各抽4人和2人；从8名女生中抽4人的方法为4
8C 种；，4名男生中
抽2人的方法为24
C 种；所以按性别分层抽样组成课外活动小组的概率为42
84
6
12
.C C C
7．A 【解析】 【分析】
若2
22x y m m +>+恒成立,则2x y +的最小值大于22m m +,利用均值定理及“1”的代换求得2x y
+的最小值,进而求解即可. 【详解】
由题,因为21
1x y
+=,0x >,0y >,
所以()2142224448x y x y x y y x ??++=+++≥+=+= ???
,当且仅当4x y y x =,即4x =,2
y =时等号成立,
因为2
22x y m m +>+恒成立,则228m m +<,即2280m m +-<,解得42m -<<, 故选:A 【点睛】
本题考查均值不等式中“1”的代换的应用,考查利用均值定理求最值,考查不等式恒成立问题. 8．A 【解析】 【分析】
由随机变量X 的分布列求出m ，求出()E X ，由23Y X =+，得()()23E Y E X =+，由此能求出结果． 【详解】
由随机变量X 的分布列得：
11
123
m ++=， 解得1
6
m =，
()1111
1012363
E X ∴=-?+?+?=-，
23Y X =+，
()()27
23333
E Y E X ∴=+=-+=．
故选：A ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
【解析】 【分析】
利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可。 【详解】
{|13}A x x =，3
{|0321}{|1}2
B x x x x =<-<=<<；
∴3
(1,)2
A B ?=，故选A ．
【点睛】
本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算． 10．A 【解析】 【分析】
先将不等式转化为2ln 2a x x <-，然后构造函数2
()ln 2f x x x =-，只要a 小于()f x 的最大值即可
【详解】
解：由22ln 0x a x +-<，得2ln 2a x x <-，令2
()ln 2(0)f x x x x =->，则
2
'
114()4(0)x f x x x x x
-=-=>
当102x <<时，'()0f x >；当12
x >时， '
()0f x < 所以()f x 在1
(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减
所以当12
x =时，()f x 取最大值1111
()ln 2ln 22242f =-?=--，
所以1
ln 22
a <--
故选：A 【点睛】
此题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题 11．D 【解析】 【分析】
通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】
由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：()()1
100
1|2x x e dx e x e -=-=-?，
故所求概率为25133
e e
---=，故选D. 【点睛】
本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等. 12．A 【解析】 【分析】
数据的个数为偶数个，则中位数为中间两个数的平均数. 【详解】
因为数据有8个，所以中位数为：23
222
x +=，所以解得：21x =， 故选：A. 【点睛】
本题考查中位数的计算问题，难度较易.当一组数据的个数为偶数时（从小到大排列），中位数等于中间两个数的平均数；当一组数据的个数为奇数时（从小到大排列），中位数等于中间位置的那个数. 二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分） 13．11,22??
-
????
； 【解析】 【分析】
令cos x θ=，sin y θ=，可将xy 化为1
sin 22
θ，根据三角函数值域可求得结果. 【详解】
221x y += ∴可令cos x θ=，sin y θ=
1
cos sin sin 22
xy θθθ∴==
[]sin 21,1θ∈- 11,22xy ??
∴∈-????
本题正确结果：11,22??
-???
? 【点睛】
本题考查利用三角换元的方式求解取值范围的问题，关键是能够将问题转化为三角函数的值域的求解.
14 【解析】
【分析】
根据题意，由于题目中给出了较多的边和角，根据题目列出对应的正余弦定理的关系式，能较快解出BD 的长度. 【详解】
根据题意，以点A 为原点，AC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系。过点B 作BE 垂直AC 交AC 于点
E ，则11
622
ABC S AC BE AB BC ?=
?=?=,又因为在Rt ABC ?中，5AC ==,所以
125BE =
,165AE =,故5
BD =【点睛】
本题主要考查学生对于正余弦定理的掌握，将几何问题转化为坐标系下的问题是解决本题的关键. 15．
124
【解析】 【分析】
由于事件,C C 为对立事件，故()()()P A B P A B C P A B C ?=??+??，代入即得解. 【详解】
由于事件,C C 为对立事件，
()()()P A B P A B C P A B C ∴?=??+??，且1()6P A B ?=
，1()8
P A B C ??= 故111
()6824
P A B C ??=
-= 故答案为：124
【点睛】
本题考查了互斥事件的概率求法，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于基础题. 16．3π 【解析】
作出可行域，目标函数可变为2y x z =-，令0z =，作出2y x =，由平移可知直线过4,2时z 取最大值，则max
6a z ==．则()ππ
2
ππ
0000
6cos 3cos 33sin |3|3π2x dx x dx x x =+=+=??．故本题应填3π．
三、解答题：（本题共6个小题，共74分） 17．（1）3
B π
=（2）3
3] 【解析】 【分析】
（1）由已知边的关系配凑出余弦定理的形式，求得cos B ，根据B 的范围求得结果；（2）利用两角和差正弦公式和辅助角公式将sin sin A C +36A π??
+
??
?
，由20,
3
A π??
∈ ?
?
?
可求得6A π+的范围，进36A π?
?+ ??
?的值域，从而得到所求范围.
【详解】
（1）由2
2
2
b a
c ac =+-得：2221
22
a c
b a
c +-=，即：1cos 2B =
()0,B π∈ 3
B π
∴=
（2）()sin sin sin sin sin sin cos
cos sin
3
3
A C A A
B A A A π
π
+=++=++
33sin 326A A A π?
?=+=+ ??
? 20,
3
A π??
∈ ?
?? 5,666A πππ??
∴+∈ ?
??
1sin ,162A π????∴+∈ ? ?????