第一组计量经济学理论与方法字数10000
非线性模型理论及其应用研究
天津财经大学马薇袁铭
摘要
本文对长记忆模型（ARFIMA）及其估计方法，平滑转移自回归模型（STAR）的一般形式与拓展形式，经济过程中的非线性检验以及模型选择检验进行简要介绍和初步研究，并在此基础上引入了分整平滑转移自回归模型（FI-STAR）。在模型应用方面，本文使用FI-STAR模型，结合使用GARCH模型修正模型残差，给出了研究微观金融市场“杠杆效应”和股指联动性的分析框架，也对使用STAR族模型研究微观市场数据进行了初步尝试。
关键词：ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTAR
Abstract
This paper emphasis on the ARFIMA model and its estimation as well as provide a brief sketch on the basic form and some extensions of smooth transition autoregressive model. Then, we review the nonlinear test and model specification test of a given economic process and introduce the fractional integrated STAR model. Finally, for the model appliance, we subtly combine the FI-STAR model with GARCH model as an adjustment of the residuals to provide a framework of the research on the “leverage effect”and interactions between different stock market. These preliminary explorations are still as some attempts of using STAR family model to analysis the micro economic and market processes.
Key word: ARFIMA、STAR、LSTAR、ESTAR
作者简介
马薇性别女出生日期1958.12.21 学位：博士学位职称教授（博士生导师）天津财经大学
袁铭性别男出生日期1982 05 12 天津财经大学博士研究生研究方向计量经济学
引言
现实中，自然、社会经济现象各因素之间一般存在非线性的复杂关系。长期以来，因受自身能力约束，人们难以有效识别与分析。在问题研究中，往往采用牛顿还原论的思维模式，力图将其转化或逼近成线性关系处理。作为数学、理论统计学的一个研究方向，目前非线性数据的线性化工作取得了重要进展，建立了较完备理论方法体系，成功应用于自然科学领域。人们关注的热点已转向社会经济领域中的应用。
由于不可能针对每一组非线性数据设计单独的分解方法，所以通过非线性模型分类，针对类型设计出相应的线性转换或逼近方法成为此项研究的主流。而非线性模型族的识别则成为基础性的工作。对于非线性经济数据的线性转化而言，合理性判断应是其能否较充分反映原有的经济关系。
一、ARFIMA模型及其估计
长期记忆及分整的概念是由Granger和Joyeux（1980）[1]提出的。他们认为，对于许多时间序列来说，差分序列的谱密度函数表现出过度差分的现象；同时，原始序列也表现出长期相关性，这与稳定ARMA模型相悖。因此，Granger和Joyeux引入分数差分算子将原始序列转换为平稳的ARMA序列过程。
一般形式的线性ARFIMA(p,d,q)模型具有如下形式：
（1.1）其中和分别为p阶和q阶滞后算子多项式，L为滞后算子，为了满足时间序列的平稳性要求，需要约束算子多项式的特征根都在单位圆外，分数阶差分算子通常还可以写作：
（1.2）ARFIMA模型的检验与估计主要Geweke，Porter和Hudak（1983）[2]提出的半参数谱分析方法（GPH）。该方法的核心思想是分数阶差分参数d等于时序谱密度函数在处的斜率，
对于d的估计还有研究人员给出了基于最大似然函数的参数化估计方法，例如Sowell（1992）提出的精确最大似然估计法，还有Fox和T aqqu（1983）给出的频域近似最大似然估计法。这两种方法都能够同时估计模型的短记忆和长记忆参数，但计算起来较为复杂，并且依赖对ARFIMA中高频部分的正确设定，也就是说差分参数d的估计结果对ARMA中滞后阶数p，q的选择较为敏感。
总之，在长记忆参数d的估计问题上，参数方法比半参数方法的效率高，但是计算量庞大，并且受限于模型的错误识别；相对地，半参数方法的计算量较小，对模型的错误识别具有稳健型，但效率较低。因此，可以考虑使用贝叶斯思想将两类方法结合起来，例如可以使用半参数估计方法，如GPH方法得当参数d的初始估计并构造d和残差的先验分布，然后在此基础上，使用近似极大似然估计方法（Baron，1995）得当d的贝叶斯估计，从而使长记忆参数d的估计更加准确、稳健。
二、平滑转移自回归模型及其非线性检验
平滑转移自回归模型（STAR）是Granger和T er?svirta（1993）[3]提出的，作为机制转换类模型的一种，STAR模型可以使在两个极端机制之间的变化成为平滑或逐渐的变化。下面就STAR模型的一般形式、拓展形式，STAR模型的检验展开讨论。
一般来说，两机制的STAR(p)模型可以写作：
（2.1）
函数用来协调经济过程在两种机制（或）之间的转换，并且这种转换是平滑的。是转移变量，可以是（1）滞后内生解释变量（）；（2）外生解释变量（）；（3）滞后内生变量的线性或非线性函数（）；（4）线性时间趋势，即使STAR模型具有时变的特征。
对于函数形式的选择一般有两种：logistic形式的（LSTAR）或指数形式（ESTAR）的。一阶Logistic形式的函数可以写作：
（2.2）其中，参数c是两个机制转换的门限值，的值随着转移变量值的递增从0单调递增至1，并有；参数决定了logistic函数值变化的平滑程度，即从一种机制向另一种机制转变的平滑程度。如果非常大，则两种机制之间的转换几乎是瞬间实现的。更一般的，可以将一阶Logistic形式的转换函数拓展为n阶的Logistic函数，用来捕捉经济过程中两种机制的多重转换关系，即：
（2.3）指数型STAR（ESTAR）的转换函数可以写作：
（2.4）ESTAR 的转换函数关于是对称的，并且无论趋近于负无穷或者正无穷都有；若转换速度参数或，都将退化为常数（0或1）使得ESTAR模型退化为线性模型。
在实证研究中，LSTAR模型对从一种机制转换至另一种机制时，呈现规律的平滑转移过程的时间序列具有较强的解释能力，因而适合分析经济过程非对称机制调整的情况；反之，ESTAR模型则更适于描述具有对称机制转换的经济过程。
虽然两机制STAR模型能够满足经济研究大部分应用，但也可以将更多机制加入STAR模型中，从而得到多重机制平滑转移自回归模型简称MRSTAR。典型的三机制STAR的形式如下：
（2.5）如果假设，则该模型的自回归参数随着的增加平滑地从通过变化到。更一般的多重机制STAR模型可以写作：
（2.6）关于多重机制STAR模型的构造问题一般采用“封装”的思想，例如构造一个四重机制STAR模型，可以通过将两个不同的双机制模型封装来得到，即：
（2.7）在（1.11）式中若假定和是内生解释变量的线性组合（），并且施加约束：，则可以得到MRSTAR模型衍生模型，即变系数平滑转移
模型，该模型实际上是人工神经网络模型（ANN）的一个特例。更多关于MRSTAR模型的讨论详见Van Dijk 与Franses（1999）[4]。
同样在上式中若令，则得到时变STAR模型（TVSTAR）[5]，用来解决STAR模型中参数估计不一致的问题，典型的TVSTAR模型可以写作：
（2.8）其中，
与此同时，可以将一元STAR模型拓展为多元的情形，即向量STAR模型。令是一个
时间序列向量，则k维二机制向量STAR模型可以写作：
（2.9）
其中，是向量；是矩阵；是k维向量白噪声过程。基于向量STAR模型的研究包括STAR-ECM模型（Granger和Swanson，1996）[6]（将非线
性或者非对称误差修正机制引入）以及共同非线性（向量时间序列的非线性是由同一个非线性部分产生的）的识别与检验。
3.STAR模型的检验
STAR模型的检验主要涉及两个方面：（1）非线性检验，即检验原始时间序列是否呈现非线性特征；（2）模型选择检验，即如果确定建立非线性模型，检验选择的转换变量和过渡函数是否合适；（3）模型设定检验，即检验估计的模型是否存在残差序列相关、残余非线性问题，以及参数估计是否稳定。本文的研究重点主要是STAR模型的非线性检验和模型选择检验。
非线性检验的核心思想是Luukkonen、Saikkonen和（1988）[7]提出的，即将转换函数
用适当的泰勒级数展开式近似值替代，这样就避免了不能直接对线性与非线性假设进行检验的问题，并且在线性原假设成立的条件下，LM统计量渐进服从分布。该方法有两个优点：（1）不需要估计备择假设下
的模型；（2）可以运用蒙特卡洛模拟方法，根据渐进分布理论得到检验临界值。表1是针对LSTAR和ESTAR 非线性检验的辅助回归、检验原假设，及在线性原假设成立的情况下统计量的渐进分布。其中，
，。
统计量的提出是为了避免当不同机制之间的差别仅体现在截距上统计量失效的问题；统计量的提出是因为指数形式的转换函数存在两个拐点，因而用一阶泰勒级数展开式作为转换函数的近似值不足以概括出模型的特征。尽管如此，在检验势上，没有足够的证据表明统计量比统计量要强。下面以统计量为例介绍STAR模型的非线性检验过程。
（1）在线性原假设下，估计模型，计算其残差平方和；
（2）估计统计量的辅助回归式，计算其残差平方和；
（3）计算统计量的值：
（2.10）如果研究的经济过程样本容量较小，则应该使用F统计量来计算LM检验的临界值[8]，即：
（2.11）基于同样的思想和辅助回归式，还可以进行模型选择检验，
即选择LSTAR模型还是ESTAR模型作为转换函数能够更好地描述经济过程的特征。模型选择检验使用的三个原假设如下：