北京市新学道临川学校2020-2021学年九年级数学
期终试题(江西卷)
九年级数学试卷(江西卷）
考试范围：九年级上下册；考试时间：120分钟；
题号一二三总分
得分
注意事项：
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
分卷I
分卷I注释
评卷人得分
..
一、单选题(注释)(共10题；共30分)
1、如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形
，转动这个四边形，使它形状改变，当，时，等于（）
A.
B. C. D.
2、某种药品原价为元/盒，经过连续两次降价后售价为元/盒．设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（）
A. B.
C. D.
3、一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和1个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球，一个白球的概率为（）
A.1
4B.1
2
C.2
3
D.3
4
4、(3分) 下列各组线段单位：cm中，成比例的是．
A. 1，2，3，4
B. 6，5，10，15
C. 3，2，6，4
D. 15，3，4，10
5、对于函数y＝4
x
，下列说法错误的是（）
A.点（2
3
，6）在这个函数图象上 B.这个函数的图象位于第一、三象限
C. 这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形
D. 当x＞0时，y随x的增大而增大
6、计算sin30°·tan45°的结果是( )
A. 1
2B. √3
2
C. √3
6
D. √2
4
7、如图所示，⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON垂直AB，垂足为N，则ON的长度为（）
A.5
B.6
C.8
D.10
8、抛物线y＝﹣2（x+6）2+5的顶点坐标（）
A.（﹣6，5）
B.（6，5）
C.（6，﹣5）
D.（﹣2，5）
9、sin45°+cos45°的值等于（）
A.√2
B.√3+1
2
C.√3
D.1
10、已知抛物线y=ax2+bx+c中，4a﹣b=0，a﹣b+c＞0，抛物线与x轴有
两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2．则下列结论：
①abc＜0，②c＞0，③a+b+c＞0，④4a＞c，其中，正确结论的个数
是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
分卷II
分卷I I 注释
评卷人得分
..
二、填空题(注释)(共8题；共24分)
11、正方形、菱形、矩形的对角线都具有的共同特征是
_____________ ．
12、关于的方程有两个不相等的实数根，则
的取值范围为________．
13、甲、乙、丙、丁4名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中
随机选出2名同学打第一场比赛，其中有乙同学参加的概率是_____________ ．
14、如图，已知DE∥BC，AD＝3，AB＝9，AE＝2.5，则
EC＝．
15、若y＝是反比例函数，则m=________.
16、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，tanA＝，则AC＝_____．
17、如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=70°，∠CAB=50°，点D在⊙O上，则∠ADB的
大小为 .
18、如图，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；
③b 2﹣4ac＞0；④a＞b，
正确的结论是_____（只填序号）
评卷人得分
..
三、解答题(注释)(共7题；共66分)
19、(8分)计算下列各题．
(1)sin230°+cos245°+√2sin60°·tan45°；
(2)cos230°+cos260°
tan60°×tan30°
+ sin45°
20、(8分)解方程：
(1)x2－2x－8＝0; (2)(x－2)(x－5)＝－2.
21、(8分)如图，四边形ABCD是正方形，△EBC 是等边三角形．
(1) 求证：△ABE≌△DCE；
(2) 求∠AED的度数．
22、(8分)如图，一次函数y＝kx+ b（k≠0）的图象与反比例
函数y＝（m≠0）的图象相交于C、D两点，和x轴交于A
点，y轴交于B点．已知点C的坐标为
（3，6），CD＝2 BC．
（1）求点D的坐标及一次函数的解析式；
（2）求△COD的面积．
23、(12分)由下列条件解直角三角形：在Rt△ABC中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8，（2）已知b=10，∠B=60°．（3）已知
c=20，∠A=60°.
24、(10分)如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AB? BE．
25、(12分)如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
(1) 若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
(2) 在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；
(3) 设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P的坐标．
试卷答案
1、B
【分析】
首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形AB CD，AB=2，，易得△ABC是等边三角形，即可得到答案．
连接AC，
∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，
∴AB=BC，
∵，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2．
故选：B．
【点睛】
本题考点：菱形的性质.
2、C
【分析】
设该药品平均每次降价的百分率为
x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程．
设该药品平均每次降价的百分率为
x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，故：25（1﹣x）
2＝16．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题．原来的数量（价格）为
a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到
a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）
2．增长用“+”，下降用“﹣”．
3、C
【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中取到的是一个红球，一个白球的结果数为4， 所以取到的是一个红球，一个白球的概率= 4
6 = 2
3 ．
故选C ．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出取到的是一个红球，一个白球的结果数，然后根据概率公式求解．
4、C
【分析】
根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对每一项进行分析即可． 【详解】
A 、1×4≠2×3，故本选项错误；
B 、5×15≠6×10，故本选项错误；
C 、2×6=3×4，故选项正确；
D 、3×15≠4×10，故选项错误． 故选：C ． 【点睛】
此题考查了比例线段，用到的知识点是成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
5、D
把x =2
3代入函数解析式即可判断出A 选项正误；根据反比例函数的性质和图象可判断B 、C 、D 选项的正误.A.把x =2
3代入函数y ＝4
x 得y =6，所以点（2
3，6）在这个函数图象上，故A 选项正确；
B.函数y ＝4
x 的图象位于第一、第三象限，故B 选项正确；
C.反比例函数图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形，故C 选项正确；
D.对于函数y ＝4
x ，当x >0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故D 选项错误. 故选D.
本题考查了反比例函数的图象和性质.掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键.
6、A
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可得.
【详解】sin30°·tan45°
=1
×1
2
=1
，
2
故选A.
【点睛】本题考查了含有特殊角的三角函数值的式子的计算，熟记
特殊角的三角函数值是解题的关键.
7、B
【分析】
根据⊙O的半径为10，弦AB的长度是16，ON⊥AB，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
【详解】
解：由题意可得，
故选：B．
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的主要内容，利用垂径定理解答问题．
8、A
【分析】
根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标．
【详解】
∵ y ＝﹣2（ x +6） 2+5是抛物线解析式的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(?6,5). 故选：A. 【点睛】
本题考查二次函数的性质.
9、A
根据sin45°=√2
2，cos45°=√
2
2
进行计算即可得出答案．sin45°+cos45°＝√22+√2
2
＝√2. 故选A.
本题考查了特殊角的三角函数值.牢记特殊角的三角函数值是解题的关键.
10、B
由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.∵4a -b =0,
∴抛物线的对称轴为x =?b
2a =-2,
∵a-b+c ＞0,
∴当x =-1时,y ＞0,
∵抛物线与x 轴有两个不同的交点且这两个交点之间的距离小于2, ∴抛物线与x 轴的两个交点的横坐标位于-3与-1之间,b 2-4ac ＞0, ∴16a 2-4ac =4a （4a-c ）＞0, 据条件得图象:
∴a＞0,b＞0,c＞0,
∴abc＞0,4a-c＞0,
∴4a＞c,
当x=1时,y=a+b+c＞0,
综上,正确的选项有②③④共3个．
故选B.
本题主要考查二次函数图象和性质,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象和性质.
11、对角线互相平分
【解答】解：正方形的对角线互相垂直、平分，相等且每一条对角线平分一组对角；菱形的对角线互相垂直、平分且每一条对角线平分一组对角；矩形的对角线互平分，相等，
所以正方形、菱形、矩形的对角线都具有的共同特征是：对角线互相平分．故答案为：对角线互相平分．
【分析】根据正方形、菱形及矩形的对角线的性质进行分析，从而得到答案．
12、且
【分析】
根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且△＞0，即（2 k+1）2﹣4 k? k＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
∵关于x的方程kx2+（2 k+1）x+ k＝0有两个不相等的实数根，∴
k≠0且△＞0，即（2 k+1）2﹣4 k? k＞0，∴k且k≠0．
故答案为：k且k≠0．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+ bx+ c＝0（a≠0）根的判别式△＝b2﹣4
ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
13、["1
2
"]
【解答】解：列表如下：
所有等可能的情况有12种，其中含有乙的情况有6种，
则P（有乙同学参加）= 6
12= 1
2
，
故答案为：1
2
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出有乙同学参加的情况数，即可求出所求．
14、5
分析：根据平行线得出相似，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出AC即可．
详解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD
AB =AE AC
，
∵AD=3，AB=9，AE=2.5，∴AC=7.5，∴CE=7.5﹣2.5=5．
故答案为：5．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，关键是能根据相似得出正确的比例式．
15、-3
【分析】
根据反比例函数的定义，由且，即可求出m的值.
由题意得
且，
解之得
.
故答案为：-3.
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，
k≠0）的函数叫做反比例函数.
16、12
【分析】
根据正切的定义得tan A= ，则可设BC=3 t, AC=4 t,利用勾股定理计算出
AB=5 t,
则5 t=15,解得t=3,然后计算AC的长．
解：如图,
∵tanA= ,
∴设 BC =3 t , AC =4 t , ∴ AB =
=5 t ,
∴5 t =15,解得 t =3, ∴ AC =12． 【点睛】
本题主要考查了解直角三角形,在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
17、60°
∵∠ABC =70°，∠CAB =50°，∴∠C =60°， ∴∠D =∠C =60°. 故答案为60°.
点睛：熟练应用圆的性质.
18、 ②③④
【分析】
运用二次函数的图形与性质进行判断即可. 【详解】
解析:①因为抛物线开口向下,所以a<0.因为抛物线的对称轴为直线x=-1＜0, b ＜0,因为抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴上,所以c>0.所以abc>0.故①错误; ②因为由图像得当x=一3时,y ＜0,所以9a-3b+c<0.故②正确; ③因为图像与z 轴有两个交点,所以b 2﹣4ac ＞0.故③正确;
④因为抛物线的对称轴为直线x=-1, ,b=2a
所以a-b=a-2a=-a ＞0,所以a>b.故④正确. 故正确的有②③④， 故答案：②③④. 【点睛】
本题主要二次函数的图形与性质，注意牢记公式及数形结合是解题的关键.
19、（1）3
4+√6
2；（2）1+√
2
2
. 将特殊角的三角函数值代入进行计算即可.（1）原式
=（1
2）2+（√2
2）2+√2×√3
2×1=14+1
2+√62=3
4+√6
2
；
（2）原式=(√3
2)2+(1
2
)2√3×
√33
+√22=1+√22. 本题考查了特殊角的三角函数值.牢记特殊角的三角函数值并按实数的运算顺序进行计算是解题的关键.
20、（1）x 1＝－2，x 2＝4；（2）x 1＝3，x 2＝4.
分析：（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
详解：（1）分解因式得：（x ﹣4）（x +2）=0，解得：x 1＝－2，x 2＝4； （2）方程整理得：x 2﹣7x +12=0，分解因式得：（x ﹣3）（x ﹣4）=0，解得：x 1=3，x 2=4．
点睛：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解法是解答本题的关键． 21、
证明：∵四边形ABCD 是正方形，△ABC 是等边三角形， ∴BA=BC=CD=BE=CE ，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠ECD=30°， 在△ABE 和△DCE 中，
，
∴△ABE ≌△DCE （SAS ）
【分析】（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD ，∠ABE=∠DCE=30°，由此即可证明； ∵BA=BE ，∠ABE=30°， ∴∠BAE=
（180°﹣30°）=75°，
∵∠BAD=90°， ∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°， ∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°．
【分析】（2）只要证明∠EAD=∠ADE=15°，即可解决问题；
22、（1）（9，2），y＝﹣x+8；（2）24
【分析】
（1）由点
C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数系数
m的值，根据比例关系即可找出点
D的横坐标，由反比例函数图象上点的坐标特征和m得值即可得出点
D的坐标，再结合点C、
D的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数解析式求出点
A的坐标，通过分割图形结合三角形的面积公式即可得出结论．
（1）∵反比例函数y（m≠0）过点C（3，6），∴m＝3×6＝18．
∵CD＝2 BC，BD＝BC+ CD，∴BD＝3 BC，∴点D的横坐标为3×3＝9．
∵点D在反比例函数y的图象上，∴点D的坐标为（9，2）．
把点C（3，6）、点D（9，2）代入一次函数y＝kx+ b（k≠0）中得：，解得：，∴一次函数的解析式为y x+8．
（2）令一次函数y x+8中y＝0，则0 x+8，解得：x＝12，即点A的坐标为（12，0），∴S△COD＝S△OAC﹣S△OAD OA?（y C﹣y D）
12×（6﹣2）＝24．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐
标特征、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）求出点
A 的坐标．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
23、（1）见解析； （2）见解析；（3）见解析.
根据勾股定理及锐角三角函数即可求解.（1）c =2+b 2=√42+82 =4√5； （2）在RtΔABC 中，a =b tanB =b tan600=√3=10√3
3
， c =b
sinB =10
sin60°=
√32
=
20√3
3
, ∠A =90°-∠B =90°-60°=30°；
（3）a = c ×sin A =20×√
3
2=10√3，b =c ×cos60°=20×1
2
=10． ∠B =90°-∠A =90°-60°=30°.
本题考查了解直角三角形.灵活应用勾股定理、锐角三角函数是解题的关键.
24、(1)证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）连接OD 、BD ，根据圆周角定理可得∠ADB ＝90°，继而得出点D 是AC 中点，判断出OD 是三角形ABC 的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE ＝90°，这样可判断出结论．
（2）根据题意可判断△BED ∽△BDC ，从而可得BD2＝BC?BE ，将BC 替换成AB 即可得出结论．
证明：（1）连接 OD 、 BD ，则∠ ADB ＝90°（圆周角定理）， ∵ BA ＝ BC ，
∴ CD ＝ AD （三线合一），
又∵ AO ＝ OB ，
∴ OD 是△ ABC 的中位线， ∴ OD ∥ BC ， ∵∠ DEB ＝90°， ∴∠ ODE ＝90°，即 OD ⊥ DE ， 故可得 DE 为⊙ O 的切线；
（2）∵∠ EBD ＝∠ DBC ，∠ DEB ＝∠ CDB ， ∴△ BED ∽△ BDC ，
∴ ，
又∵ AB ＝ BC ， ∴
，
故 BD 2＝ AB ? BE ．
【点睛】
此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，解答本题的关键是得出点D 是AC 中点，求出∠ODE 是直角，有一定难度．
25、
【分析】（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；（2）设直线B C 与对称轴x=﹣1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=﹣1代入直线y =x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；（3）设P （﹣1，t ），又因为B （﹣3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（﹣1+3） 2+t 2=4+t 2 ， PC
2=（﹣1） 2+（t ﹣3） 2=t
2
﹣6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
解：依题意得： {?b
2a =?1a +b +c =0c =3
，
解之得： {a =?1
b =?2
c =3
，
∴抛物线解析式为y=﹣x 2﹣2x+3
∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），
∴把B （﹣3，0）、C （0，3）分别代入直线y=mx+n ， 得 {?3m +n =0n =3
，
解之得：{m=1
n=3
，
∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3
【分析】略。
解：设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，
∴M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）【分析】略。
解：设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴BC 2=18，PB 2=（﹣1+3）2+t 2=4+t 2， PC 2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t 2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t
2﹣6t+10解之得：t=﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2﹣6t+10=4+t
2解之得：t=4，
③若点P为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2﹣6t+10=18解之得：t
1= 3+√17
2，t 2= 3?√17
2
；
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+√17
2
）或（﹣1，
3?√17
2
）．
【分析】略。