随着生活水平的提高和医疗卫生条件的改善，人类死亡率呈不断下降的趋势，人类寿命在不断延长。据联合国人口信息网（POPIN）的统计，1995～2005年中国、印度、日本、韩国、美国和巴西6个国家的出生人口平均预期寿命增长了20.5年，其中增幅最大是中国，增长了28.4年。人口死亡率的持续下降和寿命的不断延长，导致很多国家面临越来越高的老年依赖比①，给公共养老体系和养老金给付带来巨大的压力。
死亡率预测是人口科学的关键部分，也是人口学界和统计学界研究的重点。作为养老产品定价和养老金财务计划的基础，死亡率预测在养老金制度安排、产品供给和社会个体退休规划中都起着重要的作用。然而，大量研究结果表明，很多国家依据经验数据对人口死亡率下降和预期寿命增长趋势的预测普遍存在偏低的现象（Koissi等，2006；Stoto，1983）。这一方面使世界各国养老保障事业的发展滞后于人口老龄化进程；另一方面也给养老金的成本核算和养老产品供给者的经营带来巨大风险，严重影响各类养老计划的可持续发展。本文通过对不同死亡率模型的优劣和适用范围的比较，选择Lee-Carter模型对中国历史死
Lee-Carter死亡率模型的估计与应用*——
—基于中国人口数据的分析
李志生刘恒甲
*本研究获国家自然科学基金（70801063）资助。
①老年人口依赖比是指65岁以上的老年人口与15～64岁人口的比例。
亡率数据进行拟合，以检验Lee-Carter模型在中国的实用性和表现形式，通过比较不同模型估计方法的拟合效果和预测能力，得出最优的模型估计方法和模型参数，在此基础上对未来中国出生人口的平均预期寿命进行点估计和Bootstrap区间估计。
一、死亡率模型
死亡率数据最直接的来源是人口调查统计结果和保险业经验生命表。但前者反映的只是死亡率的历史状况，不能直接用来对死亡率进行预测，后者则是源于参保人的经验数据，并不具有广泛的代表性。在死亡率预测中，除了基于生物医学的方法和融合社会经济因素影响的因果模型外，最重要的一类是趋势外推模型，此类模型被广泛用于寿险精算、年金定价、长寿风险管理等方面。从模型的特征看，趋势外推模型可分为静态模型、动态模型和连续模型三类。
静态死亡率模型也称为确定型死亡率模型，主要包括：Gompertz（1825）提出的指数模型（Gompertz模型）、Makeham（1860）在Gompertz模型的基础上提出的改进指数模型（Makeham 模型）、Helligman等（1980）针对不同年龄人群提出的分年龄静态死亡率模型（HP模型）。考虑到死亡率变动的不确定性及死亡率变动与年龄、时间的相关性，Lee等（1992）提出了一个简洁的动态死亡率模型。在Lee-Carter模型的基础上，很多学者对其进行了改进，如Renshaw 等（2006）的包含出生年效应的Lee-Carter模型和Cairns等（2006）的两因素年龄队列效应模型。第三类模型借鉴了金融经济领域广泛应用的连续模型，称为连续随机死亡率模型。Dahl （2004）对死亡力和连续利率的相似性进行了分析，提出根据死亡力的期限结构，将随机利率模型演化为死亡率模型；Biffis（2005）研究了死亡风险和信用风险的相似性，并提出了带有人口统计参数特征的死亡力仿射模型。
上述三类模型中，静态模型由于没有考虑未来死亡率变化的不确定性，不能描绘死亡率随时间变化的动态特征，一般只用于对历史数据的拟合，而很少用于预测。连续随机死亡率模型虽然在数据拟合方法上有所创新，但由于其发展较晚，模型的长期动态变化在生物学上的合理性及模型预测结果的稳健性都有待进一步研究。在动态死亡率模型中，虽然Lee-Carter模型最初的提出是针对美国的人口死亡率，但大量研究表明，Lee-Carter模型对很多国家的数据都有很好的拟合（Lee等，1994；Wilmoth，1996；Tuljapurkar等，2000）。王晓军、蔡正高（2008）通过比较分析后提出中国人口死亡率数据适合用Lee-Carter模型进行模拟。虽然很多学者对Lee-Carter模型进行了改进，但是改进后的模型在使用上的复杂性并没有使其得到更为广泛的应用，加之本研究并不需要涉及人口学或生物学的更深层次，因此本文选择被学者们广泛应用的Lee-Carter模型对中国的死亡率数据进行拟合和预测。
二、Lee-Carter模型及其拟合方法
Lee-Carter模型的主要思路是将死亡率的变化分解为时间因子t和年龄因子x。如果用
m x，t表示时间t年龄为x岁的人群的中心死亡率，那么m x，t满足以下函数关系：
ln（m x，t）=αx+βx k t+εx，t（1）其中，αx为依赖于年龄因子的参数，反映分年龄人口死亡率自然对数的平均水平；k t
为依赖于时间因子的参数，通常称为死亡指数，反映人口死亡随时间变化的速度；βx表示年龄因子对k t的敏感度；εx，t是均值为0、方差为σ2ε的误差项。
为了在模型的参数估计中得到唯一解，Lee-Carter模型同时进行以下假定：
∑T
k t=0，∑xβx=1（2）
t
基于上述假设，αx的估计值α赞x可以表示为ln（m x，t）在时间维度上的平均值：
α赞x=∑T t ln（m x，t）/T=ln［∏T t m1/T x，t］（3）利用Lee-Carter模型进行死亡率预测通常需三步来实现：（1）使用历史死亡率数据估计参数αx、βx和k t；（2）通过移动平均自回归方法预测k t的取值；（3）将k t的预测值和αx、βx参数代入模型，以获得死亡率的预测值。Lee-Carter模型参数的估计方法有两大类，一是非似然估计方法，主要包括矩阵奇异值分解法（SVD）、最小二乘法（OLS）和加权最小二乘法（WLS）；二是似然估计方法，应用最多的是极大似然估计方法（MLE）。
（一）矩阵奇异值分解法
为了求解模型，Lee和Carter假设误差项对所有x和t都具有相同的方差，提出了一个两阶段估计方法。在第一阶段，通过对矩阵ln（m x，t）-α赞x进行奇异值分解得到：
SVD［ln（m x，t）-α赞x］=∑r i=1ρi U x，i V t，i（4）其中，r为矩阵ln（m x，t）-α赞x的秩，ρi为矩阵［ln（m x，t）-α赞x］从大到小排列的奇异值，U x，i和V t，i是对应的两个奇异向量。通过对实际数据的拟合，Lee和Carter发现奇异值ρ1通常远远大于其他奇异值，使用奇异值分解结果的第一项进行参数估计就能得到很好的结果①。如果选择这种近似方法来估计βx和k t，那么［ln（m x，t）-α赞x］≈ρ1U x，1V t，1，进一步分析并结合式（2）可得到β赞x=U x，1/∑x U x，1和k赞t=ρ1V t，1∑x U x，1。
矩阵奇异值分解使用纯数学近似的方法对βx和k t同时进行估计，加之所使用的数据是死亡率的对数，而非直接的死亡率，这会使死亡率的拟合值与实际值产生较大偏差。为此，在第二阶段，还需对结果进行修正。常见的做法是对k赞t进行再估计，再估计的原则是使实际的分年龄死亡人数d x，t之和等于拟合的分年龄死亡人数之和，即∑x d x，t=∑x e x，t eα赞x+β赞x k赞t，其中
e x，t为t时年龄为x的人口总数，即暴露人口数。
①拟合方差能够解释90%以上离差平方和，这一结论后来也相继被很多研究所证实（Lee等，1994；
Wilmoth，1996；Tuljapurkar等，2000），本文后面采用奇异值分解结果的第一项得到的拟合方程对死亡率变异的解释率也达到了97.4%。
（二）最小二乘法
最小二乘法是另一种求解Lee-Carter 模型参数的简洁方法。
根据式（2）和式（3），通过以下两个步骤即可求得βx 和k t 的估计值：第一步，将式（1）两边对年龄x 求和，得到k 赞t =∑x ［ln （m x ，t ）-α赞x ］；第二步，利用k 赞t 对［ln （m x ，t ）-α赞x ］进行线性回归，建立回归方程ln （m x ，t ）-α赞x =βx k 赞t +εx ，t ′，
然后基于最小二乘法最小化∑x ，t ［ln （m x ，t ）-α赞x -β赞x k 赞t ］2，可以得到β赞x =∑T t =1k 赞t （
ln m x ，t -α赞x ）/∑T t =1k 赞2t 。虽然最小二乘法求解模型时使用的也是死亡率的对数，但由于k t 和βx 是通过两步先后进行估计，第二步利用最小二乘法对βx 的估计能有效地调整第一步产生的拟合偏差，因此不需对βx 或k t 进行再调整。
（三）加权最小二乘法
奇异值分解法和最小二乘法对不同年龄人群的死亡率赋予了相同的权重，但在现实情况下，不同年龄人群对应的人口数和死亡人口数都存在较大的差异，因此这两种方法在死亡率很低的条件下使用效果较差（Koissi 等，2006）。为此，Wilmoth （1996）提出采用加权最小二乘法来估计Lee-Carter 模型。
加权最小二乘法对k t 的估计和最小二乘法相同。Wilmoth 证明ln （m x ，t ）的方差近似等于死亡人数d x ，t 的倒数，因此可以将d x ，t 作为残差平方和的权重。最小化经加权处理后的残差
平方和∑x ，t d x ，t ［ln （m x ，t ）-α赞x -β赞x k 赞t ］2，得到βx =∑T t =1d x ，t k t （ln m x ，t -αx ）/∑T t =1d x ，t k 2
t 。
与最小二乘法一样，加权最小二乘法也不必对参数的估计结果进行再调整。
（四）极大似然估计
Brouhns 等（2002）去掉了估计Lee-Carter 模型时所作的εx ，t 同方差假设，
提出了似然估计的方法。他们假设死亡人数服从泊松分布，即d x ，t ~Poisson （e x ，t e
α赞x +β赞x k 赞t ）。通过推导，最小化以下似然函数，即可实现模型的估计：
l （α，β，k ）=∑x ，t ［d x ，t （αx +βx k t ）-e x ，t e
αx +βx k t
］+constant （5）
这一方法也称为泊松对数双线性模型法。针对双线性特征项βx k t 和对数项ln （m x ，t ）给模型估计带来的困难，本文利用Goodman （1979）的参数迭代方法来实现三类参数的估计。从参数初始值，α赞(0)x =0、β赞(0)x =1和k 赞(0)t =0①开始，
按以下步骤更新参数：α
赞(ν+1)x
=α赞(ν)x
+∑t （d x ，t -d 赞(ν)x ，t ）∑t d 赞(ν)x ，t
，β赞(ν+1)x =β赞(ν)x ，k 赞(ν+1)t =k 赞(ν)t ；k 赞(ν+2)t =k 赞(ν+1)t +∑t （d x ，t -d 赞(ν+1)x ，t ）β赞(ν+1)
x ∑t d 赞(ν)x ，t （β赞(ν+1)x ）
2，α赞(ν+2)x =α赞(ν+1)x
，β赞(ν+2)x =β赞(ν+1)x ；①也可以采用随机值作为参数初始值。
∑t（d x，t-d赞(ν+2)x，t）k赞(ν+2)t
β赞(ν+3)x=β赞(ν+2)x+
，α赞(ν+3)x=α赞(ν+2)x，k赞(ν+3)t=k赞(ν+2)t。
∑t d赞(ν+2)x，t（k赞(ν+2)t）2
其中，第ν次更新需满足条件d赞(ν)x，t=e x，t eα赞(ν)x+β赞(ν)x k赞(ν)t。当参数更新使式（5）的增加量很小（比如小于10-6）时停止迭代，得到参数估计值。
三、数据与拟合结果
（一）原始数据的选择及处理
本文采用的原始数据来源于1993～2008年的《中国人口统计年鉴》中的分年龄组死亡率数据、死亡人口和暴露人口数据，包括0～4岁、5～9岁……90岁以上共19个年龄分组。其中，1996年的《中国人口统计年鉴》并未提供相关分组死亡率指标，所以我们得到的数据区间为1992～1994年、1996～2007年，共15年。
为获得出生人口的平均预期寿命，本文基于统计年鉴中0～4岁组和0岁人口的死亡人口数据和暴露人口数据，经过计算将0～4岁组的死亡率拆分为0岁组与1～4岁组。另外，超高龄人口死亡率的变化不太稳定，对整个人口结构的影响很大。但是，《中国人口统计年鉴》将90岁以上人口合并为一组进行统计，并未像0～89岁那样给出更为详细的分组数据。为了能够在估计模型的过程中得到反映90岁及以上人口死亡率变化特征的参数值，本文采用Coale 等（1990）提出的死亡率分组扩展方法，将90岁及以上分组扩展为90～94岁、95～99岁和100岁及以上3个分组。最终得到并采用15年22个年龄分组的死亡率数据。
（二）拟合结果
4种方法对代表死亡率自然对数平均水平的参数的估计结果如表1所示，其中SVD、OLS和WLS求解αx的方法相同。0岁组和65岁及以上年龄分组的死亡率自然对数值相对较高，而1～4岁组至60～64岁组相对较低。
表14种方法下αx的估计值
年龄组（岁）SVD、OLS和WLS M LE年龄组（岁）SVD、OLS和WLS M LE
0-3.7131-3.740650～54-5.2776-5.2712 1～4-6.6114-6.626555～59-4.7849-4.7811 5～9-7.5307-7.503860～64-4.2461-4.2431 10～14-7.7218-7.701665～69-3.7278-3.7463 15～19-7.2381-7.211570～74-3.1519-3.2007 20～24-6.8418-6.830675～79-2.7930-2.7856 25～29-6.7567-6.743480～84-2.3051-2.2973 30～34-6.5974-6.592485～89-1.9326-1.9188 35～39-6.3785-6.370390～94-1.2379-1.2055 40～44-6.0515-6.049395～99-0.4748-0.4760 45～49-5.6600-5.6567100+0.00000.0000
图1给出了参数βx 和k t 的估计结果。从中可以看出，4种方法得到的死亡率指数k t 的估计值均呈近似线性下降的趋势，表明死亡率随时间推移而减小的速度较为稳定，与历史死亡率总体趋于下降的特征一致。4种方法得到的βx 估
计值在不同年龄组间具有相似的走势。从图1βx 的估计值看，
低龄组人口的βx 值很高，特别是0岁组和1～4岁组。这主要是由于新生人口具有较高的死亡率，对死亡率趋势的变化也最为敏感。85～89岁及以上高龄组的βx 值呈下降趋势，并趋近于0，其原因在于高龄人口的死亡率特征随时间的变化较小，实际死亡率对死亡率指数不敏感。
从模型的拟合程度来看，4种方法都表现出良好的效果，SVD 、OLS 、WLS 和MLE 得到的拟合方程对死亡率离差平方和的解释程度分别为97.39%、97.51%、97.48％和98.83%。为了进一步比较不同方法的拟合优劣，我们对残差的统计特征进行分析。残差是否独立和是否具有相同的概率分布是检验模型拟合好坏的重要指标。我们通过残差分布的三维图可以有效地检验其独立性和同分布性。如果残差序列表现出随机正态分布的特征，残差图中将不会出现明显的条状区域。
图2中，如果残差在同一年份的不同年龄组之间趋于一致，表明同方差性假设不成立；而残差值在相同年龄组的不同年份上趋于一致，则表明违反了残差独立性假设。我们发现，SVD 和OLS 方法的拟合残差在低龄人口分组中表现出明显的异方差特征，
WLS 和MLE 方法的拟合残差则呈现出更好的随机分
布特征。这主要是因为不同年龄人群的实际人口数和死亡人口数存在较大差异，SVD 和OLS 方法对不同年龄人口的死亡率赋予相同的权重，并不能满足误差项同方差的假设。此外，WLS 和M LE 方法拟合残差的绝对值也相对较小，并且基本对称分布于0附近，说明对所有年龄分组死亡率的拟合效果趋于一致。综上所述，我们认为WLS 、M LE 方法克服了SVD 、OLS 方法不适用于低龄人口死亡率估计和同方差假设的不足，具有更好的拟合效果。
四、模型的预测效果
下面检验使用不同估计方法得到的拟合模型的预测效果。我们以1992～2002年的死亡率数据对2003～2007年的死亡率进行预测，并将预测结果与2003～2007年的实际死亡率进行比较。我们利用ARIMA 模型实现时变参数的预测，建立以下模型：
（1-∑p
i =1准i L i ）
（1-L ）d k t =λ+（1+∑q
i =1θi L i
）εt -1（6）
其中，L 为滞后算子，p 为自回归项数，q 为移动平均项数，d 为使k t 成为平稳序列所做的差分次数，
λ为常数项，ε为误差项。根据Box-Jenkins 方法，利用前文中得到的k t 值对式（6）进行拟合，发现最优的模型选择为ARIM A
（0，1，0），即k t =k t -1+λ+εt 。表2的数据显示，ARIM A （0，1，0）模型对4种估计方法得到的指数均有较好的拟合，由于OLS 和WLS 求解k t 的方法相同，因此得到相同的模型参数。
将k t +1…k t +n 代入Lee-Carter 模型即可得到时间t +1到t +n 的死亡率预测值。根据1992～2002年的死亡率数据，分别对0岁、20～24岁、60～64岁、80～84岁4个年龄组在2003～2007年的死亡率进行预测，表3列出了4种方法在不同年份针对不同年龄组的预测
偏差的平均水平。首先，平均预测偏差在不同年龄组上存在差异，20～24岁和60～64岁两组的预测偏差较小，而0岁组和80～84岁两组的预测偏差较大。产生上述结果的主要原因是在所有年龄分组中，婴幼儿及高龄人口死亡率的变化本身具有较大的不稳定性，这给死亡率预测带来一定难度。其次，平均预测偏差在不同年份也存在差异，随着时间的推移，预测偏差有逐步增大的趋势。可见，从总体上看，短期预测效果好于长期预测效果，这主要是由于预测偏差随着时间的推移存在累积的现象。
图3绘出了不同方法在不同时间、针对不同年龄组的预测偏差。显然，除了低估0岁组的死亡率外，
M LE 方法均高估了其他3个年龄组的死亡率，预测值与实际值存在较大偏差，其中对0岁组的平均预测偏差达-0.0186，对其余3组的平均预测偏差为0.0952。SVD 和OLS 两种方法在大多数情况下也存在一定的预测偏差，平均偏差分别为0.0033和0.0045。
表2
ARIMA （0，1，0）模型的估计参数
模型参数
λR-squared t λProb.SVD -0.79720.9192-2.65190.0021OLS -0.85350.9030-2.61130.0227WLS -0.85350.9030-2.61130.0227M LE
-0.7188
0.8535
-1.5893
0.1380
估计方法
比较而言，WLS 方法的预测表现最好，从平均水平看存在一定的低估（平均预测偏差为-0.0008
），但在不同时间、针对不同年龄组的预测偏差在方向和大小上都存在差异。
五、未来人口死亡率和人口平均预期寿命的估计
根据上述分析，无论是从模型对历史
数据的拟合效果，还是从模型基于历史数据的预测效果来看，WLS 方法估计得到的死亡率模型均有较好的表现。下面以WLS 方法得到的死亡率模型为基础，对不同年份、不同年龄组人口未来死亡率和平均预期寿命进行估计，并利用Bootstrap 方法对平均预期寿命进行区间估计。
（一）未来人口死亡率
基于中国1992～2007年的死亡率数据，本文利用WLS 方法求解Lee-Carter 模型，并对2008～2017年分年龄组人口死亡率进行预测，结果如表4所示。表4数据显示，90～94岁和95～99岁两个高龄组的死亡率随时间变化而下降的趋势不明显，这主要是由于其本身具有较高的死亡率，与前文得出的高龄人口βx 值较低的结论是一致的。
图4绘出了2008、2011、2014和2017年人口死亡年龄的分布情况。可以看到，死亡人口的年龄分布表现出一定的左偏特征，而且随着时间的推移，左偏的特征越来越明显。这表示越来越多的人将在更高的年龄才会死亡，人口平均预期寿命呈现不断增加的趋势。
（二）未来人口平均预期寿命
估计分年龄人口预期寿命的最直接的方法是通过对目标时间、目标人群中具有相同年
表3
4种方法预测偏差的平均值
年龄组（岁
）2003年2004年2005年2006年2007年年平均0-0.0077-0.0298-0.0022-0.00190.0031-0.007720～240.00000.00030.00010.00010.00000.000160～640.00320.00210.00330.00490.00560.003880～84-0.00620.00160.00480.01940.01630.0072平均值
-0.0027
-0.0064
0.0015
0.0056
0.0062
0.0009
图3
2003～2007年死亡率预测值与实际值之差
龄的一个随机抽样进行跟踪调查。但是，跟踪调查一批人的整个生命过程在现实中是难以实现的，而且这种方法得到的结果也是多年以前的历史寿命。因此，实际计算中通常采用生命表方法，即以目标时间各年龄组人口的死亡率水平来代替分
年龄人口在不同年龄的死亡率水平，并计算各年龄人口的平均生存人数，由此推算
出分年龄人口在目标时间的预期寿命。
基于WLS 方法得到的死亡率模型，对2008～2017年0岁、65岁和85岁人口的平均预期寿命进行估计，结果如表5所示。
接下来用Bootstrap 方法对2008～2017年中国出生人口的平均预期寿命进行区间估计。Bootstrap 方法有两种实现方式，一是根据原有数据的具体分布进行再抽样来得到Bootstrap 数据，也叫参数Bootstrap 方法；二是对模型拟合的残差进行再抽样得到Bootstrap 数据，通常称为残差Bootstrap 。残差Bootstrap 不需要知道原有数据的具体分布特征，
是一种非参数方法。表4
未来人口死亡率的预测结果‰年龄组（岁
）2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年
08.857.887.02 6.25 5.57 4.96 4.41 3.93 3.50 3.121～40.650.600.550.510.470.430.400.370.340.315～90.340.320.310.290.280.260.250.240.230.2110～140.300.280.270.260.250.240.230.220.210.2015～190.470.440.420.400.380.360.350.330.310.3020～240.750.720.690.670.640.610.590.570.540.5225～290.850.820.790.760.740.710.690.660.640.6230～34 1.15 1.13 1.11 1.09 1.07 1.05 1.03 1.010.990.9735～39 1.39 1.36 1.33 1.30 1.27 1.25 1.22 1.19 1.16 1.1440～44 2.06 2.03 2.00 1.96 1.93 1.91 1.88 1.85 1.82 1.7945～49 2.75 2.68 2.61 2.54 2.47 2.41 2.34 2.28 2.22 2.1650～54 3.88 3.76 3.65 3.54 3.43 3.32 3.22 3.12 3.02 2.9355～59 6.07 5.85 5.64 5.44 5.25 5.06 4.88 4.70 4.53 4.3760～6410.139.749.368.998.658.317.997.687.387.0965～6915.8715.1414.4313.7613.1312.5211.9411.3810.8510.3570～7425.4223.9522.5721.2720.0418.8817.7916.7615.8014.8875～7945.3043.7642.2840.8539.4738.1336.8435.5934.3933.2280～8469.9867.2064.5361.9759.5157.1554.8852.7050.6148.6085～89100.4696.3592.4188.6385.0181.5378.2075.0071.9368.9990～94242.54237.64232.83228.13223.51219.00214.57210.23205.98201.8295～99
652.13
655.67
659.22
662.80
666.40
670.01
673.64
677.30
680.97
684.67
图4
死亡人口年龄分布
①残差方程为ξd =sign （d x ，t -d 赞x ，t ）×［d x ，t ln （d x ，t /d 赞x ，t ）-（d x ，t -d 赞x ，t ）］1/2；死亡率估计值m 赞x ，t =d 赞x ，t /e x ，t
。本文采用第二种方法，对模型的拟合残差进行Bootstrap 并通过残差方程①求解出死亡率的估计值，进而获得未来死亡率的区间估计。图5为2000次残差Bootstrap 的预测结果。
基于生命表的人口平均预期寿命求解方法，假设人口结构和死亡率在未来不发生改变，即未来不同年龄组人口的死亡率和现在是一致的。但是，现实中不同年龄组人口的死亡率是随时间的推移而
改变的，一般表现为下降趋势。因此基于生命表的平均预期寿命估计方法存在低估未来人口寿命的风险，这是长寿风险的主要来源之一。Lee-Carter 模型通过分析人口死亡率变化的动态特征，首先对未来人口死亡率进行合理的预测，然后基于死亡率的预测值对人口平均预期寿命进行估计，这在一定程度上克服了由于假定未来人口死亡率不变而带来的平均预期寿命低估的缺陷。
六、结论
本文利用中国1992～2007年的历史死亡率数据对Lee-Carter 死亡率模型进行了量化分析，结果表明，Lee-Carter 模型对中国死亡率数据具有很好的拟合，但不同参数估计方法得到的结果存在差异，从拟合模型的解释率和拟合残差的统计特征看，加权最小二乘法得到的估计模型具有最好的拟合效果。为了比较不同拟合模型的预测效果，本文利用1992～2002年的死亡率数据对2003～2007年的死亡率进行了预测，并将预测结果和实际死亡率数据进行比较，结果显示，加权最小二乘法得到的死亡率模型具有最小的预测偏差。利用加权最小二乘法得到的最优拟合模型，本文对未来中国分年龄组人口死亡率和预期寿命进行了预测，并通过Bootstrap 方法给出了相应的区间估计。
人口死亡率特征及其动态发展趋势不仅关系到政府政策的制定和社会资源的再分配，也涉及社会个体的养老、
医疗和保险等诸多方面。人口死亡率的持续下降和平均预期寿命的不断延长是近半个世纪以来世界各国人口发展的基本态势。寿命的延长一方面提高了退休生活的成本；另一方面也加大了退休计划中的风险因素———长寿风险。目前国内外学者
年龄（岁
）2008年2009年2010年2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年073.8274.2374.6375.0175.3875.7476.0976.4276.7577.076514.2014.4314.6514.8715.0815.2915.4915.6915.8916.0885
1.96
1.98
2.00
2.02
2.04
2.06
2.08
2.09
2.11
2.12
表5
部分年龄人口平均预期寿命的预测结果
年图52008～2017年出生人口平均预期
寿命在95%置信区间下的区间估计
关于长寿风险的讨论还局限在定性的层面上，在定量计算方面还没有形成系统的研究成果。本文关于Lee-Carter死亡率模型在中国的适用性和应用研究是长寿风险管理等相关问题的基础，将为长寿风险的识别和量化、年金产品的定价、养老产品的设计、个体退休计划的制订、养老保障体系的完善等提供重要参考。结合本文得到的最优死亡率模型，利用不同的下方风险计量方法构建长寿风险评估体系和定量计算矩阵，是未来研究的重点与方向。
参考文献：
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（责任编辑：朱萍）
Chinese Journal of Population Science
A bimonthly
No.３June１，２０１０
ABSTRACTS
Urbanization as an Engine for Expanding Domestic Demand and Sustaining Economic Growth
Gu Shengzu Li Hua Yi Shance·2·Urbanization plays a very important role in expanding domestic demand and promoting economic growth.This paper analyses the transformation opportunities in the post-crisis era,the background of urbanization at the present stage,and the significance of urbanization for China’s economic development.In particulary,this paper argues balanced development of large,medium-sized and small cities and towns,suggests new ways of financing,and discusses the importance of providing citizenship to migrant workers.
The Explanation for Urbanization Fluctuation in China：The Impulsion of Industrialization Fluctuation
and Servicization Fluctuation Zhu Yingming·11·By using trend-eliminating method,this paper measures urbanization fluctuation,industrialization fluctuation,and servicization fluctuation in China,and briefly analyses the characteristics of these fluctuations.The results suggest that urbanization fluctuation could be divided into six developing stages in China.Industrialization fluctuation is the most violent one,servicization fluctuation is the mildest,and urbanization fluctuation is in-between.Urbanization fluctuation lags behind servicization fluctuation,and servicization fluctuation lags behind industrialization fluctuation.Urbanization fluctuation mainly results from impulsion itself,while there is fewer effect of industrialization impulsion and servicization impulsion.The curves of impulse response of urbanization fluctuation to industrialization fluctuation and servicization fluctuation are respectively obvious sine waves,but there are obvious differences between time lags of impulse response and strength of impulsion.The effect of industrialization fluctuation on urbanization fluctuation is significantly negative,while the effect of servicization fluctuation on urbanization fluctuation is significantly positive.
The Evolution of Gravity Centers for Inter-Provincial Migration in China’s Reform Era Wang Guixin Xu Li·23·Based on a new perspective of gravity center for population movements,this paper discusses the patterns and changes of regional inter-provincial migration in China in the period of reform and opening up.By examining the relationships between gravity centers of population migration and gravity centers of population,together with the gravity economic centers,we find a close linkage between relative population distribution,population migration and regional economic development.Since the beginning of reform and opening up,the inter-provincial migration has played an important role in balancing population and economy,as well as coordinating regional development.Thus we come to the conclusion that migration from west to east is still an effective way to achieve a balanced and coordinated development of population distribution and economy.
A Study on Migration to work,Reverse Export of Capital，and Transfer of Arable Land Cao Ya Chen Hao·35·
By using the modified C-D model and statistical data over recent years,this paper finds that the fixed and single mode of arable land operation generates a repulsive force on the factor holders,and the contract management of arable land narrows the marginal differences of homogeneous factors.This suggests that the adjustment of the mode of agricultural land management would contribute to the optimization of factor allocation.The results of the regression analysis show that the marginal outputs of the non-homogeneous labor factors of the two departments increase year by year,but there are actually divergent trends in the output gap,which requires functional compensation of agricultural land to offset the income gap of the departments.Further analysis on the role of the factor prices indicates that adjustment for the mode of agricultural land management between the immediate and long-term benefits would be an effective way to achieve a balanced factor configuration.
Estimation and Application of the Lee-Carter Model：Based on Demographic Data of China
Li Zhisheng Liu Hengjia·46·The main objective of this paper is to study the performance and application of the Lee-Carter Model in https://www.doczj.com/doc/af16576533.html,ing Chinese age-specific mortality data from1992to2007,this paper estimates the Lee-Carter Model by the methods of singular value decomposition, ordinary least square,weighted least square and maximum likelihood estimation.The empirical results indicate that the weighted least square method provides the best performance,with respect to the goodness-of-fit and predictive ability.Based on the optimally estimated Lee-Carter model,the paper finally forecasts the mortality rate and expected lifetime of Chinese people in the next ten years.
中国人口增长预测 摘要: 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。对此，我们建立了短期与长期两种预测人口增长的模型，并对附录中城镇乡的人口演变趋势做拟合与分析。 本文的建模过程选用了1996年到2005年的人口数据。短期人口预测用曲线的直接拟合，分析出人口的增长趋势。人口的出生率与死亡率均符合指数函数bt =+，利 y ae c 用logistic模型求出人口最大上限 x，据此拟合人口增长的指数函数x（t），预测 m 2006-2011年的人口数量。长期预测中，建立灰色动态模型GM（1,1）预测中国人口长期增长趋势。在解系数的过程中运用了最小二乘法，得出预测人口数据的方程)0(?x，并预测2011年到2015年的人口数量。在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词: 曲线拟合、灰色动态模型、最小二乘法、自然增长率
一、问题的重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。 二、符号说明 nianfen 年份 chusheng 出生率 bata0 估计的参数值 nlinfit 非线性拟合函数 1 y出生率函数 2 y死亡率函数 m x人口上限 t 时间 x（t）人口增长函数 X(0)中国各年人口总数 X(1) X(0)的一次累加序列 Z(1) X(1)的紧邻均值生成数列 -a 发展系数 b 灰色作用量 )0(?x人口预测值 c 均方差 k ?相对误差 三、模型的假设 1.假设人口迁入迁出对问题产生的影响可以忽略； 2.忽略社会环境、自然、经济、文化水平的对人口的影响； 3.长期预测中，不考虑出生率、死亡率等因素的影响。 四、模型的建立与求解 4.1中国人口短期预测的模型建立与求解 根据查找资料得到，人口死亡率，出生率与人口增长符合指数增长的模型bt y ae c =+。模型选取了1996年到2005年的全国人口进行nlinfit拟合。（代码见附录一） 处理人口增长函数时，考虑到人口数量受资源等因素的约束，中国人口将有一个上限。定义函数时，用“人口上限与指数函数相减”模式。死亡率、出生率等客观因素很大程度上影响着中国人口的变化趋势。而且随着环境等的因素，中国的总人口最终会趋 向一个固定值，即最大容纳量x m，由logistic模型求出。假设x m 在短时间内不会改变， 则可利用逐年的历史数据来计算出人口增长率的变化情况。 设x(t)为第t年中国总人口数，r为人口的增长率，x m 为中国人口的最大容纳量。
中国人口预测模型 摘要 本文对人口预测的数学模型进行了研究。首先，建立一次线性回归模型，灰色序列预测模型和逻辑斯蒂模型。考虑到三种模型均具有各自的局限性，又用加权法建立了熵权组合模型，并给出了使预测误差最小的三个预测模型的加权系数，用该模型对人口数量进行预测，得到的结果如下： 其次，建立Leslie 人口模型，充分反映了生育率、死亡率、年龄结构、男女比例等影响人口增长的因素，并利用以1 年为分组长度方式和以5 年为分组长度方式预测短期 据： 模型检验以上模型的正确性 关键字：一次线性回归灰色序列预测逻辑斯蒂模型Leslie 人口模型BP神经网络
一、问题重述 1.背景 人口增长预测是随着社会经济发展而提出来的。由于人类社会生产力水平低，生产发展缓慢，人口变动和增长也不明显，生产自给自足或进行简单的以货易货，因而对未来人口发展变化的研究并不重要，根本不用进行人口增长预测。而当今社会，经济发展迅速，生产力达到空前水平，这时的生产不仅为了满足个人需求，还要面向社会的需求，所以必须了解供求关系的未来趋势。而人口增长预测是对未来进行预测的各环节中的一个重要方面。准确地预测未来人口的发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。 2.问题人口增长预测有短期、中期、长期预测之分，而各个国家和地区要根据实际情况进行短期、中期、长期的人口预测。例如，中国人口预期寿命约为70 岁左右，因此，长期人口预测最好预测到70 年以后，中期40—50 年，短期可以是 5 年、10 年或20 年。根据2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录一)及《中国人口年鉴》收集的数据(附录二)，再结合中国的国情特点，如老龄化进程加速，人口性别比升高，乡村人口城镇化等因素，建立合理的关于中国人口增长的数学模型，并利用此模型对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，同时指出此模型的合理性和局限性。 二、问题的基本假设及符号说明 问题假设 1．假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值。 2．假设本问题所研究的是一个封闭系统，也就是说不考虑我国与其它国家的人口迁移问题。 3．不考虑战争瘟疫等突发事件的影响 4．在对人口进行分段处理时，假设同一年龄段的人死亡率相同，同一年龄段的育龄妇女生育率相同。 5．假设各年龄段的育龄妇女生育率呈正态分布6．人类的生育观念不发生太大改变，如没有集体不愿生小孩的想法。7.中国各地各民族的人口政策相同。 符号说明 a i(t) ------------------ 第t 时间区间内第i个年龄段人口总数 c i(t) ------------------ 第t 时间区间内第i个年龄段人口总数占总人口的比例 c i k(t) ------------------ 第t 时间区间内第i 个年龄段中第k 年龄值人口总数占总人 口的比例 A(t) ------------------ 第t 时间区间内各年龄段人口总数的向量 P(t) ------------------- 第t 时间区间各年龄段人口总数向量转移矩阵 b i(t) ------------------- 第t时间区间内第i 个年龄段人的生育率
我国人口出生率和人口死亡率对总人口数的影响的分析报告 班级12会计2班 学号1211029108 姓名吕永生 时间2014年12月
摘要 人口普查指在统一确定的时点，按照统一的调查表式、项目和填写方法，由政府组织对全国或一个地区的全部人口的社会、经济特征资料，逐人地进行搜集、整理、汇总、评价、分析和公布的全过程。是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源。人口普查提供的资料具有法律效力，被用于分配人民代表或议员名额，进行行政管理，制定政策和拟订建设计划；用于商业网点的铺设和劳动力的分配；以及用于广泛的人口研究工作。，我国以2010年11月1日零时为标准时点进行了第六次全国人口普查。在国务院和地方各级人民政府的统一领导下，在全体普查对象的支持配合下，通过广大普查工作人员的艰苦努力，目前已圆满完成人口普查任务。本文先通过分析2012年之前总人口数变化，从而研究我国人口出生率和人口死亡率对总人口数的影响。 关键词：总人口数，人口出生率，人口死亡率；人口变化
目录 摘要 (1) Abstract (2) 引言 (4) 一、我国总人口数的关联分析 (5) （一）我国总人口数的参数估计 (5) （二）我国总人口数的假设检验 (7) 二、模型多重共线性的诊断及补救 (8) （一）模型多重共线性的诊断 (8) （二）多重共线性的补救措施 (10) 三、模型自相关的诊断及补救 (11) （一）模型自相关的诊断 (11) （二）模型自相关的补救措施 (13) 小结与建议 (16) 参考文献 (17)
引言 15组有关人口总数，人口出生率，人口死亡率的统计数据。并运用计量经济学的分析方法，建立相应的回归模型以及运用一些相关分析方法对所建模型进行分析，以更好的说明因素间的关系，即总人口数，人口出生率，人口死亡率之间的关系。 一、影响我国总人口数主要因素的关联度分析 （一）我国总人口数要素的参数估计 为了更好的进行对我国总人口数变化主要因素的分析，我们选取我国1998年至2012年的总人口数、人口出生率率和人口死亡率的统计资料，如表1所示。 年份总人口数（万人）人口出生率（‰）人口死亡率（‰） 1998年124671 15.64 6.5 1999年125786 14.64 6.46 2000年126743 14.03 6.45
MALTHUS人口模型 一、摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…… 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，
有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划的重要依据。我们根据人口预测的重要意义及其特点，并采用了英国人口学家马尔萨斯提出的预测人口的指数增长模型（MALTHUS模型），合理的建立了中国人口发展MALTHUS模型并对中国未来人口进行了初步预测，进而对中国未来人口和经济发展做出合理的规划。 二、问题提出 我国是世界上人口最多的国家，故人口问题是我国最严重的问题。我们通过历年中国人口数量的数据，并采用了英国人口学家马尔萨斯提出的预测人口的指数增长模型（MALTHUS模型），建立合理的数学模型来解决下列问题： 1．建立数学模型寻找出往年人口增长规律； 2．根据目前我国的国情与政策，预测未来中国人口将增长到哪个数据； 3．根据对未来人口的预测数据，结合当今社会的发展趋势，提出有利于发展中国特色社会主义现代化的合理的人口和经济的发展规划。 三、符号说明
中国人口增长趋势预测 摘要 人口总数的预测对未来资源分配，划分有着重要的意义，本文根据人口预测模型结合所给数据进行人口预测，并进行模型改进结合最小二乘法拟合出较理想的人口变化趋势。 第一问中，采用Logistic模型描述了人口的增长规律，通过简要的假设设置相应的预测系数 第二问中，根据表中所给的数据，运用Matlab以及Excel得出人口随时间变化的曲线 第三问中，通过运用非线性最小二乘法拟合，Matlab编程得到相关的系数x =r 万人，并判断模型的可用性。 .0 248205= 0253 m 第四问中，根据所得的模型，带入相关数值得到2030年人口数量将达到144210万人 第五问中，通过改进求解拟合参数的方法，将非线性最小二乘法改为线性最小二乘法估计模型参数，通过分析可知2030年可能会达到我国人口数量的峰值近似为145168万人，与国家人口预测结果基本相符合。 关键词：Logistic模型；最小二乘估计；Matlab；线性拟合
一. 问题提出 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料，对于表中所给出的数据，研究人口增长的规律。 问题一，作出适当的简化假设，在此基础上建立中国大陆人口群体增长的数学模型。 问题二，对表中所给出的数据，画出1949~2017年中国大陆人口总数随时间变化的曲线； 问题三，对第1问模型中的参数进行估计 问题四，预测2030年中国大陆的人口总数。 问题五，模型的评价与改进。 二．问题分析 由于人口的增长受到自然资源，环境条件等因素的影响，因此第一问的模型选取应该选用能够反映阻滞作用对人口增长率的影响，使增长率r能够随着人口数量的增长而下降，基于此选择了典型的人口增长模型logistic函数，并对相应的参数进行设置。 第二问中由Matlab能够得到表中数据的变化趋势。 第三问中对于大数据处理要得到模型中的相应参数需要用最小二乘法进行系数估计，通过分析曲线的特点评价模型的可用性。 在第四问，根据模型带入相应的时间预测对应的人口总数。 第五问中，由分析可知，线性最小二乘法估计参数要比非线性最小二乘法估计参数的精度要更高，因此通过观察人口增长率的曲线可以近似拟合成一次函数的现象，将估计参数的方法改为线性最小二乘法估计参数，并结合数据实际曲线，确定相应的模型参数。 三．模型的基本假设 （1）生育模式相对不变 （2）所用数据真实可靠 （3）不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影 （4）较短的时期内的死亡率是稳定的
我国进入每年死亡人口千万时代，我国死亡人口数量 和人口死亡率预测 为了让读者理解和辨别我的分析和判断，我首先介绍我是如何分析的，应用哪些理论分析。 第一步：我通过第五次人口普查数据和第六次人口普查数据，计算出我国2000年—2010年间的分年龄段人口平均死亡率。然后通过计算公式逆推出预测公式。用这个公式，我计算出2010年—2020年，这十年我国死亡人口数量。我用中国社会科学院在《2013年中国经济形势分析与预测》蓝皮书的预测结果，我国2020年60岁以上老龄人口为2.48亿这个数据，结合2010年的人口普查数据，得出的死亡人口数据与我的相近，所以，这个方法是可靠的方法。 第二步：分析我国的第五次人口普查数据和第六次人口普查数据，对比计算出的分年龄段人口死亡率。我发现，我国2010年—2020年有大量人口进入高死亡率期，我国60—64岁的死亡率为23.38‰（即超过10‰的死亡率），2000年到2010年，平均每年进入人口数量为：1096万人，2010年到2020年，平均每年进入人口数量为：1600万人，比上一个十年，平均每年增长了约500万人。2020年到2030年，平均每年进入人口数量是：2303万人，比上一个十年平均每年增长了700万人。由于大量人口进入高死亡年龄，这意味着，我国死亡人口数量将不断增加，结合我国人口平均预期寿命为：74.83岁，依据人口分年龄段死亡率数据，运用统计学理论，死亡人口数量最大的部分集中于74.83岁这个年龄附近，因此可以估计，我国2030年一年的死亡人口数量超过1600万人。估计这一年死亡人口数量为1800万人。 第三步：运用理想人口年龄金字塔理论和我国死亡人口数据，即人口死亡率计算公式和结论，一个社会的人口死亡率都应大于10‰，所以可以推论，我国的人口死亡率会不断上升，死亡人口数量也会不断上升。结合我国的实际情况和社会发展情况，应用这个理论和我国死亡人口数据来验证和检验我的结论和预测，表明我的结论和预测是符合实际情况的，是符合科学要求的预测。 介绍预测应用的理想人口年龄金字塔理论 不增长理想人口年龄金字塔模型
中国人口预测模型 天津师范大学数学科学学院 1003班 刘瑶（10505135）周丽（10505110） 2013年6月17日星期一
中 国 人 口 预 测 模 型 摘 要 为了加快中国的经济建设进程，全面落实科学的发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。我们确定人口发展战略，必须既着眼于人口本身的问题，又处理好人口与经济社会资源环境之间的相互关系，构建社会主义和谐社会，统筹解决人口数量、素质、结构、分布等问题。 本文是以《中国人口统计年鉴》公布的部分人口数据为基准（其他部分数据通过网站查询得到），通过合理的假设和数学模型得到了对于中国人口增长预测的统计模型。对Leslie 人口模型改进，构建了反映生育率和死亡率变化率负指数函数。基于leslie 的改 进模型： (t)X B B B +(t)X A A A =t)▽n +X(t 22) -(n 3 2112) -(n 3 21 此模型考虑到了生育率的变化，并是针对总人口分布处理的，克服了leslie 模型的不足，很适合做长期预测。得到结论：人口数量先增大后减小，峰值出现在2040年，届时人口数量将达到最大，为15.869亿。 关键词: 人口预测, Leslie 人口模型改进 , 长期预测 一 问题的背景 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。新中国成立50多年来，我国人口发展经历了前30年高速增长和后20年低速增长两大阶段：从建国初期到上世纪70年代初，中国人口再生产由旧中国的高出生、高死亡率进入高出生、低死亡率的人口高增长时期，1950-1975年人口出生率始终保持在30‰以上, 最高达到37‰（附录1）。70年代以后，人口过快增长的势头得到迅速扭转，人口出生率、自然增长率、妇女总和生育率有了明显下降，人口出生率由70年代初的33‰大幅度下降到80年代的21‰, 妇女总和生育率也由6下降到2.3左右。90年代以来，随着我国经济高速发展，人民文化和健康水平逐步提高，计划生育工作的不断深入，在20-29岁生育旺盛人数年均超过1亿的情况下, 人口出生率依然呈现大幅下降的趋势，到2000年底人口出生率从1990年的21.06‰下降到14.03‰，自然增长率由1990年的14.39‰下降到7.58‰, 妇女总和生育率也下降到2以下。进入90年代末期, 我国人口再生产实现了低出生、低死亡、低增长的历史性转变，我国用20多年时间完成了国外近200年的历程。到2000年底全国总人口为12.6743亿, 成功实现了“九五”计划将人口控制在13亿的奋斗目标。 中国政府自1980年在全国城乡实行计划生育基本国策以来成果卓著，据国家计生委“计划生育投入与效益研究”课题组的研究成果，20年共少生2.5亿个孩子。若从70年代算起，至今至少少生3亿人口，这有效地控制了人口的快速增长，为中国现代化建设、全面实现小康打下坚实的基础, 这同时也是对世界人口的增长和控制做出了杰出贡献。但是由于中国人口基数大，人口增长问题依然十分严峻，1990-1999年每年平均净增人口约1300万，这仍然对我国社会和经济产生巨大的压力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、
中国人口预测模型 专业：数学与应用数学姓名：蒲世吉指导教师：焦玉娟 摘要本文针对我国人口现状，综合考虑城镇和乡村男女性比率、出生率、死亡率及国内人口迁移等因素，建立人口发展方程，结合最优控制原理及曲线拟合等技术，分别建立了城镇和乡村男、女性人口变化模型.通过实际数据的检验，结果表明该模型能够较好地刻画我国目前的人口现状,从而用它可以预测我国人口的未来发展趋势并为国家进行相关人口政策的制定提供必要的理论指导. 根据模型预测，在2015年，我国人口将达到139846万人；在2030年，我国人口将达到峰值144679万人；在2050年将达到141527万人.这与国家人口发展战略研究报告中预测的数据接近.从全国总人口变化曲线上直接看来，在国家人口政策相对稳定的情况下，2030年后我国人口逐渐有所减少. 关键词人口模型,人口发展方程,最优化控制原理,人口增长率 ABSTRACT This paper concerns the status of our country's population,with consideration of the sex ratio ,birthrate ,mortality and inland migration of counties and towns, this paper establish both the male and female population model of the chinese counties and towns with optimal control theory and curve fitting and so on. Through checking the model with real data, the results manifest that this model
2007全国数学建模中国人口增长预测 摘要： 针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。 为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。 为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。 在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。 关键词：出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。
数学建模论文 论文题目：中国人口的预测模型 学院：理学院 专业：数学与应用数学 姓名：陈保锋 学号：200812010117 2010 年5月9日
目录 一摘要 (3) 二问题的提出 (3) 三问题分析 (3) 四模型假设 (4) 五符号说明 (4) 六模型建立 (5) 模型一 (5) 模型建立 (5) 模型求解 (5) 模型二 (7) 模型建立 (7) 模型求解 (8) 七模型检验 (9) 九参考文献 (10) 【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10) 【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11) 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)
一摘要 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。 关键词：人口模型中国人口数量 二问题的提出 人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。 三问题分析 通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际
关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题:1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了 Logistic 、灰色预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了 Logistic 阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历 史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合， 对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测， 得出在 2040 年时，中国人口有 14.32 亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、 出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理 论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后， 为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响， 本文建立了 GM(1,1) 灰色预测模型，对 2014 至 2040 年的人口数目进行了预测，同时还用 2002 至 2013 年的 人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测， 得出 2040 年时，中国人口有 14.22 亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄 一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab 对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 0.0419775(1)17255.816531.2t X t e ?+=?-。 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况，人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数0.032735617965.017372.5t Y e ?=?-；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021年，深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词:GM(1,1)灰色模型 Logistic 阻滞增长模型 线性拟合 非线性拟合
l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件
中国人口年龄结构预测模型摘要：本文根据中国0-14岁，15-59岁，60岁及以上三个不同阶段人口从 1990年到2010年间的人口所占比例，利用matlab数据拟合，建立线性增长模型，并对2020年的人口年龄结构以及人口总数进行预测，得出人口总数为140536万，人口老龄化加剧。 关键字：人口预测年龄结构老龄化 matlab excel 拟合 问题重述 根据中国1990年到2010年人口年龄结构情况（如下表），建立线性模型，并预测2020年中国人口年龄结构，同时画出拟合效果的图形。 1990年到2010年我国人口年龄结构 表1990到2010年中国人口总数（万） 模型分析 根据所给的数据，我们借助excel首先作出图进行观察分析：（如下图）
模型建立 模型一：线性增长模型。（即为y=ax+b模型） 1、模型假设： 忽略环境对人口的影响，假设人口无限增长，人口增长率是恒变量。 2、模型变量和函数定义： A 人口增长率； x B 初始时刻的人口数量，即：(0) 3、模型建立： 依照上面的假设和定义，我们可以构造如下模型：
这是借助EXCEL相关工具得出的公式，为使结果更一步精确，我们借助
利用MATLAB求得系数a1= —0.0063 b1=12.8012 a2= 0.0037 b2=—6.7409 a3= 0.0026 b3=—5.0677 因此模型为： Y1=—0.0063x+12.8012 Y2=0.0037x—6.7409 Y3= 0.0026 x—5.0677 对比以上两种方法得到的a和b可以看出我们所用的方法误差较小
4、模型结果分析： 从拟合的结果可以看出，老年人口总数和老龄化系数会增加，老龄化程度加剧，建议国家对计划生育政策作出调整，增加0-14岁人口总数，从而减缓人口老龄化加剧程度，进而优化社会结构，增加人民福利。 参考文献 [1]胡守信，李柏年.基于MATLAB的数学实验[M].北京：科学出版社.2004年6月; [2]扬启帆，康旭升，等.数学模型[M].北京：高等教育出版社.2006年5月; [3]于学军.《中国人口科学》2000年第2期，时间：2000-4-6，中国人口信息网. 附录: 以下为所用程序部分代码： >> x=[1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010]; >> y=[0.6373 0.6306 0.6323 0.6355 0.6456 0.6664 0.6691 0.6834 0.6823 0.6867 0.7014]; >> plot(x,y,'g*'); hold on b=polyfit(x,y,2);%进行2次拟合，b是多项式前面的值。就如2次拟合中y=ax+b,a,b的值。yy=polyval(b,x);%得到拟合后y的新值 plot(x,yy,'r-')%画拟合图 ;>> a=polyfit(x,y,1) a = 0.0037 -6.7409 >> x=[1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010]; >> y=[0.0858 0.0932 0.0976 0.1059 0.1113 0.1046 0.118 0.1236 0.133 0.1401 0.1326]; >> plot(x,y,'g*'); hold on b=polyfit(x,y,2);%进行2次拟合，b是多项式前面的值。就如2次拟合中y=ax+b,a,b的值。yy=polyval(b,x);%得到拟合后y的新值 plot(x,yy,'r-')%画拟合图 ;>> a=polyfit(x,y,1) a = 0.0026 -5.0677 >> x=[1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010]; >> y=[0.2769 0.276 0.2701 0.2586 0.2431 0.229 0.2129 0.193 0.1847 0.1732 0.166]; >> plot(x,y,'g*'); hold on b=polyfit(x,y,2);%进行2次拟合，b是多项式前面的值。就如2次拟合中y=ax+b,a,b的值。yy=polyval(b,x);%得到拟合后y的新值 plot(x,yy,'r-')%画拟合图
北方民族大学学士学位论文论文题目:中国人口增长预测模型 院(部)名称:信息与计算科学学院 学生姓名:赖银波 专业:数学与应用数学学号:20040291指导教师姓名:高义讲师 论文提交时间: 2008年5月26日 论文答辩时间: 2008年5月30日 学位授予时间: 北方民族大学教务处制
中国人口增长预测模型 摘要 本课题来源于2007年全国大学生数学建模竞赛甲组A题，本文以中国人口发展为研究对象，首先综合分析题目提供的信息讨论了已有的一些预测方法及其适用的范围和优缺点，然后结合我国人口发展现状和题目提供的数据表确立了以2000年人口普查数据为基础数据、以大学生数学建模提供的2001年到2005年的各分量数据为预测指导方向、以2006年和2007年的公报数据为结果检验参照数据的整体建模思想，并在建模过程中提出了人口年龄推移算法，即通过上一年年末市镇乡男女各年龄人口数量、育龄妇女生育率和人口死亡率，计算出本年的出生人口数和死亡人口数，并结合2001年到2005年市镇乡人口比拟合出未来人口迁移变化式，在此基础上根据上一年年末人口总数加上当年出生人口数和迁进人口数，减去当年死亡人口数和迁出人口数，获得本年年末人口数量．依次进行推移，对未来30年中国人口进行预测．预测结果显示在未来30年中国人口规模将保持增长的趋势，2010年为13.4亿，2020年为13.9亿，并在2034年达到峰值14.2亿，中国人口实现零增长. 在此期间人口自然增长率持续平稳下降，妇女生育保持稳定的低水平，死亡率保持较低水平，人口抚养比持续下降，城镇化水平进一步提高，人口年龄结构继续向老年型人口转变. 文章最后结合预测结果提出了我国未来应继续坚持贯彻实施计划生育政策和加强关注农村老年人口等人口政策的建议． 关键词：中国人口数学模型人口预测人口政策 I
我国人口数量的相关分析 一，寻找相关数据 二，进行模型的建立 打开Eviews，建立一个新的Workfile。数据类型为时间序列，1979~2012年。
输入被解释变量y与5个解释变量（如图所示） 将数据导入group中
分别观察y与x1,x2,x3,x4,x5的散点图，Y与x1的散点图： Y与x2的散点图：
Y与x4的散点图：
观察上述散点图发现y与x1，x2，x3，x4，x5为非线性关系，因此对其进行非线性模型的线性化处理。 三，对模型进行参数估计 首先对模型进行线性化处理 对其进行模型回归，输入ls y c z1 z2 z3 z4 z5 得到如下图所示回归结果
回归结果为 i Y ^ =-123441.8-3988.052Z 1 +5043.003Z 2 +6105.032Z 3 -11.015X 4 +20443.4Z 5 i Y ^ =-123441.8-3988.05log(X 1 )+5043.0log(X 2 )+6105.03log(X 3 )-11.015X 4 +20443.4 log(X 5 ) t =(-5.5428) (-2.2016) (0.7198) (7.8404) (-5.3888) (6.2395) R 2 =0.997258 2— R =0.996769 F=2037.054 DW=0.981736 (1)经济意义检验 β1=-3988.052，说明出生率每增加单1%，我国总人口减少3988.052单位； β2=5043.003，说明死亡率每增加单1%，我国总人口增加5043.003单位； β3=6105.032，说明人均可支配收入每增加1个单位，我国总人口增加6105.032单位； β1=-11.015，说明受高等教育人数每增加1个单位，我国总人口减少11.015单位； β1=20443.4，说明医疗机构数每增加1个单位，我国总人口增加20443.4单位； (2)统计检验 ○ 1拟合优度检验 可决系数R 2 =0.997258，修正后的可决系数2 — R =0.996769，表明拟合结果相当好。 ○ 2T-检验 由表可知各参数的t 统计量为 β1为t 1=-2.2016 β2为t 2=0.7198 β3为t 3=7.8404
中国人口增长预测模型 张孟琦、王光昭、陈阔 指导教师：杨亚莉 （空军工程大学，西安 L25） 摘要：本文从中国60年代开始出现的回声婴儿潮现象，以及如今中国城乡人口生育差异和男女比例失调等特点出发，将市、镇、乡中不同性别人口按年龄段分别处理，并引入农村人口向城镇迁移的因素，建立起一个关于中国人口增长的常微分方程组初值问题的数学模型和Leslie矩阵迭代模型。还利用该模型对中国未来人口的增长变化进行了预测。并通过MATLAB软件编程分别建立长、短期男女人口比例模型，针对男女比例失调问题，就中国男女比例变化趋势对未来中国人口的增长变化的影响进行了预测与讨论。 关键词：回声婴儿潮；男女比例；老龄化；城镇化
1、引言： 近年来中国出生人口性别比持续升高，第五次全国人口普查为117，2003年抽样调查为119，个别省份超过130。2005年1%抽样调查为118.58。城乡均出现异常，农村失调程度更为严重。预计到2020年，20－45岁男性将比女性多3000万人左右。同时，中国也是目前世界上唯一一个采取干涉生育措施的国家，因此我们想就此对我国未来男女比例的影响做出分析。 在这里我们要引入回声婴儿潮（Echo baby boom）的概念来分析我国的人口情况。下图（底图来源：世界银行）是中国1962年以来40多年间的人口自然增长率曲线(蓝色)： 因为1962年之前有过5年左右的非自然增长，所以我们把50年代的数据不计入分析过程。进入60年代，随着“三年困难时期”结束，生产在一定程度上恢复稳定，又加上鼓励生育，所以在1962
年-1971年期间第一个稳定的婴儿潮B，其峰值发生在1966年（红线1）。70年代中期开始调整了生育政策，并且随着生产生活的模式的变化，之后人口增长率陡降。80年代以后，婴儿潮B的大多数女性开始进入生育年龄（当时全国平均是22岁），开始迎来了第二批稳定生育高峰，婴儿潮C，这个C的形状是B的复制，就像回声一样一波一波的，所以称为（第一）回声婴儿潮，发生在1982年-1991其峰值出现在1988年（红线2，即1966+22，完全符合生育年龄均值）。现阶段是平均生育年龄是27岁，随着回声婴儿潮C中出生的人口逐渐进入生育年龄，理论上潮D的峰值应该出现在2015年，但是尽管现在全国已经放开二孩政策，近几年的曲线却较为平缓，回声婴儿潮D并没有如期而至。通过分析，我们认为这主要是由于人们生育观念改变导致的，因而我们可以认为在未来如果不考虑世界大战、重大灾害等重大事件，总人口自然增长率将不会有较大波动，我们将在这个条件下建立模型推算未来的男女比例。 2.模型的预备知识 2.1模型假设 1）不考虑国境间人口流动对人口统计的影响； 2）不考虑所统计的数字中的人口漏报的现象； 3）不考虑各地方生育法规的灵活性政策对全国人口政策影响； 4）不考虑针对少数民族的特殊政策；
中国人口增长预测与控制 摘要 针对中国人口的实际特点，建立了中国人口增长的数学模型，得到了中国人口随年份变化的增长率，解决了中国人口中短期和长期的人口预测与控制问题，包括人口总数、年龄结构、性别比、城乡比变化等各因素的预测与控制研究。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国人口增长影响因素主要包括老龄化进程的加速、出生人口性别比的升高和乡村人口城镇化。而老龄化程度、出生人口性别比和城镇化程度是由死亡人口、出生人口及城、镇、乡迁移人口所决定的。因此，人口增长的根本性影响因素是环境条件（决定死亡率）及国家政策（决定出生人口数量及性别结构）。 我们要解决的问题是：首先对中国人口增长做出分析；其次建立人口增长的数学模型，对人口在一至十年的中短期内及二十五年的长期内的增长情况做出预测，并向国家提出政策上的建议；最后将此模型与经典模型做出比较，指出差异及此模型的优缺点。 二、假设和符号说明 2.1 问题的假设
假设一每一年的人口总数，人口结构及分布和其他有关各量仅在年末发生变化，变化顺序是：一部分人先死亡，然后一部分人生小孩，最后一部分人迁移 假设二本文中所提到的婴儿出生率指的是婴儿出生且在一岁前存活的概率 假设三生育妇女一年只生一胎 假设四九十岁以上的人口变化对总人口变化影响不大，因此不予以考虑 假设五人口的迁移路径仅考虑从村到镇，从村到城 假设六国际迁入迁出对于人口的影响较小 三、问题分析 为了与机理分析结合求得较精确的结果，可以建立递推模型，利用附录中所给数据确定未知参数，进而确定描述中国人口增长的数学模型，并用此进行中短期、长期预测。 首先，由于人口增长受多个因素影响，我们分别建立描述各因素的数学模型，包括：死亡率模型、出生人口模型、生育性别比模型和迁移模型。由于死亡率模型和生育性别比有性别差异，各模型皆有城、镇、乡差异，所以需将男性人口与女性人口，城、镇、乡人口分开考虑。 其次，由于中短期、长期预测时问题的复杂程度不同，侧重点不同，因此中短期、长期预测的模型有所差异。中短期预测仅利用现有数据的变化趋势进行预测，长期预测需要通过机理分析得到。 最后，要检验模型的准确性，必须参照别的模型实际数据，因此我们用两个经典的模型：Logistic模型和Leislie模型进行求解并与本文模型进行比较。