积分的应用
定积分的应用 平面图形面积
1、图形由0)(≥=x f y ,a x =,b x =及0=y 围成：
?=b
a
dx x f A )(.
2、 图形由)(x f y =,)(x g y =,a x =及b x =围成：
?-=b
a
dx x g x f A )]()([,
其中：],[),()(b a x x g x f ∈≥.
3曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出时，在],[21t t t ∈上所围图形的面积公式为
dt t x t y A t t )()(2
1
'=?
4曲边扇形的面积
由曲线)(θ?=r 及矢径)(,βαβθαθ<==所围成的曲边扇形的面积公式为
θ
θ?θβ
α
βαd d r A ??==22)]([2121
例1求由x y 22
=,4-=x y 所围成的图形的面积A .
解：由 ???-==4
22x y x y 得 ???-==22y x 或 ???==48
y x .
?--+=4
2 2]21)4[(dy y y A .18642
14
232=???
???-+=-y y y
例2
计算由曲线3)cos 1(=+θr 和直线1cos =θr 所围成图形的面积
解：??
?==+1
cos 3)cos 1(θθr r 解之得3
,2πθ±==r . 则 θθ
θθθθπ
π
πd d S ]cos 1)cos 1(9[]cos 1)cos 1(9[2130223322??-+=-+=- 3cos 29][tan 2
cos 229cos 1)cos 1(960430304302302-=-=-+=????ππππ
πθθθ
θθθθt
dt d d d 3
23]tan 31[tan 293)tan 1(sec 2960360
22=-+=-+=?ππ
t t dt t t
平面曲线的弧长
光滑（即连续可微分的）曲线)(x y y =在区间[a ，b ]上的弧长公式为
dx y s b
a
21'+=?
.
曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出，则t 在区间[a ，b ]上的弧长为
?
'+'=b
a
dt t y t x s )()(22.
曲线由极坐标方程)(θr r =给出，则曲线上弧AB 的长为
?
?
'+==B
A
d r r ds s B A θθθθθ)()(22）
（）
（.
例 计算曲线]2
,0[,2πθθ∈=r 的弧长（如图7—5所示） 解法1 （对θ的积分）,2θθd dr =得r
dr d 2=θ，弧微分
θθθθd rd dr ds 2
2
2
4)()(+=+= 1)]16
1[(38])4[(31423
2023
2202
2
3
-+=+=+=?πθθθθπd S 解法2 （对r 的积分）θ从0到2
π
，则r 由0变到42
π，而dr r ds 4
1+=.由上可得
弧长为]1)16
1[(38])41[(38412
3
240234
2
2
-+=+=+=
?
πππr dr r S 旋转体的侧面积
1函数)(x f y =在],[b a 上绕x 轴旋转的旋转体的侧面积公式为dx x f x f S b
a )(1)(22'+=?π.
2曲线],[),(d c y y x ∈=?绕y 轴旋转所成曲面的表面积公式dy y y S d c )(1)(22??π'+=?.
例1 计算圆222R y x =+在21x x x ≤≤上的弧段绕x 轴旋转一周所形成的球面的表面积 解对曲线22x R y -=,21x x x ≤≤应用公式得
)(22121222
1
2
1
x x R Rdx dx y y S x x x x -=='+=??πππ
当R x R x =-=21,时，则得半径为R 球的表面积公式24R S π=
如果平面曲线由参数方程βα≤≤??
?==x t y y t x x )
()(给出，那么由它绕x 轴旋转所得旋转体的
侧面积公式为dt t y t x t y S ?'+'=β
α
π)()()(222. 例2 计算由星形线????
?==t
R y t R x 3
3
sin cos 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。 解 由曲线的对称性及公式得
220
42
2
02
2
2
2
3
5
12cos sin 12)cos sin 3()sin cos 3(sin 22R tdt t R
dt t t R t t R t R S ππππ
π
=
=+?=?
? 例3 求抛物线)0(202x x px y ≤≤=绕x 轴、y 轴旋转所成曲面的表面积
解（1）绕x 轴旋转所成曲面的表面积
dx x
p px S x 20
)2(
1220+=?
π?+=0022x dx p x p π ])2[(3
2])2(32[32
00320
p p p x p p x p x -+=+?=ππ
（2）绕y 轴旋转所成曲面的表面积
dx p x x dy p
y
p y dy y y S x y d
c ??
?+=+='+=00020
22)2(22)(124)(1)(2ππ??π 00222]24ln 162)4[(2x px x p x p px x p x +++-++
=πp
p
x x p p x x p x ++-++=00200022ln )2(2)4[(4π
旋转体的体积
1、立体由0)(≥=x f y 绕x 轴旋转一周及a x =,b x =围成,其体积
?=b
a
dx x f V 2)]([π.
2、若曲线y =)(x y 在],[b a 上绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为
dx x xy V b
a
y )(2?=π.
例1 求由)0()(222h r r h y x <<=-+绕x 轴旋转一周所成环体的体积
解：本旋转体是由曲线221)(x r h x y -+=及222)(x r h x y --=在区间],[r r x -∈
形绕x 轴旋转而成的旋转体之差。
即
dx
x r h dx x r h dx x r h x r h V r r
r
r
r
r
?
??----?=-=----+=2222222222244])()[(πππ
h r r h 22224
1
24πππ=??=
例2 求摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱，0=y ，绕x 轴旋转所产生的旋转体的体积。
解 摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱，则]2,0[π∈t
???-++-=-==ππππππ20332033202]cos )2cos 1(2
3
cos 31[)cos 1(dt
t t t a dt t a dx y V
323522
5
a a πππ=??=
平面截面积已知的立体体积
立体在],[b a 中每一点x 处的截面积为
)(x A ,其体积
?=b
a
dx x A V )(.
例1 一平面过半径为R 的园柱底中心，并与底面
成α夹角.计算平面截圆柱体所得立体的体积V ． 解:αtan 21
)(2222x R x R x A -?-=
),(tan 2
1
22x R -?=α )(R x R ≤≤-. ∴ ααtan 3
2)(tan 21)(3 2
2 R dx x R dx x A V R R R
R =-==??--.
物理学上的应用
1平面的重心:由曲线)(x f y =,)(x y ?=和直线a x =,b x =所围成平面，且)()(x x f ?≥，设平面的密度是均匀的，而该平面的重心坐标为),(ηξ，则
??
--=
b
a
b
a
dx
x x f dx x x f x )]()([)]()([??ξ
， ??--=b
a
b a
dx
x x f dx x x f )]()([)]()([2122
??η. 2.变力所作的功:设有一变力，其方向平行于x 轴，大小为)(x f F =.则在微小区间],[dx x x +上变力F 对质点所作的微小功W ?的近似值是,)(dx x f dW =则dW 就是W 的功“元素”。所以在力F 的作用下，将质点从x 轴上的1x 点移至2x 点所作的功为 ?=21
)(x x
dx x f W
3.液体的压力:如果垂直面积是由曲线)(x f y =与x 轴及两直线21,x x x x ==所围成的曲边梯形，则取距液面为x ，高度为dx ，宽为)(x f 的矩形横条上所受的压力为压力元素为dx x xf dF )(γ=.于是整个垂直面积所受压力为
?=2
1)(x x dx x xf F γ
例1 求抛物线)0(,22>==a x ay y ax 所围成图形面积的重心，面密度为常数
解 由重心横坐标公式得20
9]332[]452[)]()([)]()([03
23042
5
a a
x x a a x x a dx x x f dx x x f x a a
b a b
a
=--=--=????ξ 因图形关于x y =对称，故重心必在对称轴上，即20
9a ==ξη，所以重心为)20
9,209(a a G
例 2 半径为R 米的圆板垂直浸入水中，圆板中心在水面下)(R h h >米处。试求板面所受的压力.
解 沿水面作y 轴，过圆板中心垂直向下为x 轴，建立坐标系，则圆板的周界方程为
222)(R y h x =+-或22)(h x R y --±=。注意到γ=1及图形的对称性，则全板上所受的压力为
h
t R x R
h R
h dx
h x R x F +=+-=
--=?
sin 2
2)(2222
22cos )sin (2hR tdt R h t R ππ
π=+?-（吨）
微分法在几何上的应用:
)()()(),,()
()()
(000000000t z z t y y t x x z y x M t z t y t x ωψ?ωψ?'-='-='-???
??===处的切线方程：在点空间曲线
0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t M ωψ?处的法平面方程：在点
},,{,0),,(0
),,(y
x y
x
x z x z
z y z y G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F ????
?=== 则切向量若空间曲线方程为： ，则：上一点曲面),,(0),,(000z y x M z y x F =
)
,,(),,(),,(30))(,,())(,,())(,,(2)}
,,(),,,(),,,({1000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x z y x z y x -=
-=-=-+-+-=、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：
二重积分
1二重积分的运算
（1）直角坐标下二重积分的运算
1） 若D 为-X 型区域，即?
?
?≤≤≤≤b x a x y x D )
()(:21??，则
????=D
x x b
a
dy y x f dx d y x f )
()
(21),(),(??
σ
2） 若D 为-Y 型区域，即?
?
?≤≤≤≤d y c y x y D )
()(:21ψψ，则
???
?
=D
y y d
c
dx y x f dy d y x f )
()
(21),(),(ψψσ
（2） 极坐标下二重积分的计算
若?
?
?≤≤≤≤βθαθθ)
()(:21r r r D ，则
???
?=D
r r rdr r r f d d y x f )()
(21)sin ,cos (),(θθβ
αθθθσ
2曲面面积：设曲面S 的方程：),(y x f z =D xoy 面上的投影区域为在曲面S 的面积公式
??++=D
y x f f S σd 122
例1 求圆锥22z y x +=
在圆柱体x y x ≤+22内那一部分的面积.
解：由题意即求曲面22z y x +=，}|),{(),(22x y x y x D y x ≤+=∈的面积，由面
积计算公式
.421z z 12
2222222π=++++=++=???
??D
D
y
x dxdy y x y y x x dxdy S
3平面薄板的重心：密度分布为),(y x ρ的平面薄板D 的重心坐标为
????????=
=
D
D
D
D
d ),(d ),( ,d ),(d ),(σ
ρσ
ρσ
ρσ
ρy x y x y y y x y x x x .
例1 设薄片所占的闭区域D 为介于两个圆r a =cos θ,r b =cos θ
(0< b )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的质心(形心)。 解 由D 的对称性可知:0y = A d d rdr b a D a b === -????- σθππ π θ θ 2 2 224 cos cos () ????- ==θ θ π πθθ σcos cos 2 2 2 cos b a D y dr r d xd M ??- -??????-=??????=2 2 4332 2 cos cos 3cos )(31cos 31π ππ πθ θθθθθd a b d r b a 2!!4!)!14()(32cos )(323320 43 3πθθπ ?--=-=?a b d a b ) (8 33a b -= π 所以 )(22 2a b a ba b A M x y +++= = 4平面薄板的转动惯量：密度分布为),(y x ρ的平面薄板D 对坐标轴的转动惯量为 σρσρd y x x j d y x y J D y D x ),(,),(22????==； ),(y x r 为点),(y x 到l 的距离函数一般转动轴的转动惯量为 . ,),(),(2σρd y x y x r J D l ??= 例1．求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面的中心轴的转动惯量. 解：设}|),{(2 22 2 2 1R y x R y x D ≤+≤=，密度为ρ，则 )(2 )(2 221320 222 1 R R m dr r d d y x J R R D += =+=????π θρσρ. 例2．求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量. 解：设圆盘为}|),{(2 2 2 R y x y x D ≤+=，密度为ρ，对y 轴的转动惯量为 2 02320 24 cos 2 1 R m dr r d d x J R D = ==????θθρσρπ . 例3 求密度均匀的圆环D 对于垂直于圆环面而过圆环的中心的轴的转动惯量．m 为圆环的质量. 解 设圆环D 为2 22 2 2 1R y x R ≤+≤，密度为ρ,则 () () () 212 241422222 R R m R R d y x J D += -= +=??πρ σρ， 5平面薄片对质点的引力:设有一平面薄片,占有xoy 面上的闭区域D ,在点 ),(y x 处的面密度为),(y x ρ,假定),(y x ρ在D 上连续,现计算该薄片对位于z 轴上点)1,0,0(0M 处的 单位质量质点的引力。 在闭区域D 上任取一个小的闭区域σd ,),(y x 是σd 内的任一点,他的质量近似等于 σρd y x ),(,于是薄片对质点的引力近似值为2),(r d y x k σ ρ,引力的方向于向量 )10,,(-y x 一致,其中222z y x r ++= ,k 为引力常数.于是 ?? ?? ?? ?-=?=?=D z D y D x r d y x k F r yd y x k F r xd y x k F 333 ),(),(),(σ ρσ ρσ ρ 三重积分 1三重积分的计算 （1）直角坐标下三重积分的计算法： 若?? ? ??≤≤≤≤≤≤Ωb x a x y y x y y x z z y x z )()(),(),(:2122，则 ???Ω dV z y x f ),,,(? ? ?=) ,() ,() () (2121),,(y x z y x z x y x y b a dz z y x f dy dx （2）柱面坐标系下三重积分的计算法： 若?? ? ??≤≤≤≤≤≤Ωβθαθθθθ)()(),(),(:2122r r r r z z r z ，则 ??? Ω dV z y x f ),,,(? ? ?=) ,() ,() () (2121),s i n ,c o s (θθθθβ α θθθr z r z r r dz z r r f rdr d （3）球面坐标系下三重积分的计算法： 若?? ? ??≤≤≤≤≤≤Ωβθαθ??θ?θ?θ?)()(),(),(:2122r r r ，则 ???Ω dV x y x f ),,,(? ? ?=) ,() ,(2) () (2121)c o s ,s i n s i n ,c o s s i n (s i n θ?θ?θ?θ?β α ?θ?θ???θr r dr r r r r f d d 2重心：设V 是密度为()z y x ,,ρ的空间物体，()z y x ,,ρ在V 上连续，因V 的质量为 (,,)V M x y z dxdydz ρ=???，V 对yz 平面的静力矩为(,,)V x x y z dxdydz ρ???，由重心坐标 的概念有，以z y x ,,分别表示V 的重心的各个坐标，应有 (,,)x V M x x y z dxdydz ρ=???，所以 ??????Ω Ω = dV z y x dV z y x x x ),,,(),,,(0ρρ，??????Ω Ω = dV z y x dV z y x y y ),,,(),,,(0ρρ， ??????Ω Ω = dV z y x dV z y x z z ),,,(),,,(0ρρ。 例3 求密度均匀的上半椭球体的重心． 解 设椭球体由式122 222 2≤++c z b y a x ，0≥z 表示 由对称性知x =y =0，由前节的例5的结果，可得 z =V zdv V ????= abc zdxdydz V π3 2 ???=83c . 3转动惯量：质点A 对轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和到转动轴l 的距离r 的平方的 乘积，即2 mr J =. 当讨论空间物体V 的转动惯量问题时，利用讨论质量、重心等相由的 方法可得：设空间物体V 的密度函数为()z y x ,,ρ，它对x 轴的转动惯量为 x J =() ()???+V dxdydz z y x z y ,,22 ρ， y J = () ()???+V dxdydz z y x x z ,,22 ρ， z J = () ()???+V dxdydz z y x y x ,,22 ρ， 对xy 平面的转动惯量为 xy J = ()???V dxdydz z y x z ,,2 ρ， 对yz 平面的转动惯量为 yz J = ()???V dxdydz z y x x ,,2ρ， 对zx 平面的转动惯量为 zx J = ()???V dxdydz z y x y ,,2ρ， 对原点的转动惯量为 O J = () ()???++V dxdydz z y x z y x ,,222 ρ. 例1设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量． 解 设球体由式2 222R z y x ≤++表示，密度函数为222z y x k ++=ρ，则它对切 平面R x =的转动惯量为 ()???-++=V dxdydz R x z y x k J 2 222 =()???-ππ?θ??θ200032 sin cos sin R dr r r R d d k =6 911R k π. 4对质点的引力:求密度为()z y x ,,ρ的立体对立体外一质量为1的质点A 的引力． 设A 的坐标为()ζηξ,,，V 中点的坐标用()z y x ,,表示。我们用微元法来求V 对A 的引力， V 中质量微元dV dm ρ=对的引力在坐标轴上的投影为 dV r x k dF x ρξ3-=，dV r y k dF y ρη3-=，dV r z k dF zx ρζ 3-=， 其中k 为引力系数， ()()()222ζηξ-+-+-=z y x r 是到的距离。于是力F 在三个坐 标轴上的投影分别为 ??? -=V x dV r x k F ρξ 3， ??? -=V y dV r y k F ρη 3， ??? -=V z dV r z k F ρζ 3 ， 所以 F= F F i F z y x ++. 例7 设球体V 具有均匀密度ρ，求对球外一点A （质量为1）的引力（引力系数为k ）。 解 设球体由式2 222R z y x ≤++表示，球外一点A 的坐标为()a ,0,0（a R <）由对 称性 ==y x F F ???-=V z dV r z k F ρζ 3()??? ? ? ? ??-++-=V dV a z y x a z k ρ3 2 22=k R a ρπ32 34 - 常见曲面方程 平面的方程： ),,(},,,{0)()()(10000000z y x M C B A n z z C y y B x x A ==-+-+- ，其中、点法式： 02=+++D Cz By Ax 、一般方程： ?? ? ??+=+=+===-=-=-pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x 000000};,,{,参数方程：其中空间直线的方程： 曲面方程: 1椭球面122 2222=++c z b y a x )0,,(>c b a 2椭圆抛物面22 22b y a x z += )0,0(>>b a 3双曲抛物面22 22b y a x z +-= )0,0(>>b a 4椭球锥面22 222 b y a x z += )0,0(>>b a 5单叶双曲面122 2222=-+c z b y a x )0,,(>c b a 6双叶双曲面122 2222-=-+c z b y a x )0,,(>c b a 同号）（抛物面：q p z q y p x ,,2272 2=+ 定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+ 成人高考（专升本）高等数学二 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 第二节不定积分的基本公式和直接积分法（Basic Formula of Undefined Integral and Direct Integral） 课题：1.不定积分的基本公式 2.不定积分的直接积分法 课堂类型：讲授 教学目的：熟练掌握不定积分的基本公式，对简单的函数能用直接积分法进行积分。教学重点：不定积分的基本公式 教学难点: 直接积分法 教具：多媒体课件 教学方法： 教学内容： 一、不定积分的基本公式 由于不定积分是求导的逆运算，所以由导数的基本公式对应地可以得到不定积分的基本公式。 二、不定积分的直接积分法 利用不定积分的性质和基本公式，可以求出一些简单函数的不定积分，通常把这种求不定积分的方法叫做直接积分法。 例１ 求32x dx ? 解 3 3 3 222x dx x dx x dx ==??? 例 ２ 求 (2 3cos x x dx -+? 解 ( 2 3cos 3 x x dx x -+===? 导数的基本公式 ( )1222()01 ()1()()ln 1 (ln )(sin )cos (cos )sin (tan )sec (cot )csc (sec )sec tan (csc )csc cot (arcsin )1 (arctan )1(arccos )1 (cot )1x x x x C x x x e e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x arc x ααα+'='='=+'='='= '='=-'='=-'='=-'= '= +'='=- +21 (log )ln a x x x a '= 不定积分的基本公式 ( ) 1 22 2011ln ln ||cos sin sin cos sec tan csc cot sec tan sec csc cot csc arcsin arctan 1x x x x dx C dx x C x x dx C a e dx e C a a dx C a dx x C x xdx x C xdx x C xdx x C xdx x C x xdx x C x xdx x C x C dx x C x αα α+==+=+≠-+=+=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=+=++?????????????2arccos arc cot 11 log ln a x C dx x C x dx x C x a =-+=-++=+?? 七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0 ? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二） 定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样， ·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下： 以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则 法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ?? 定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 5. 掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] 1.理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 2.掌握定积分的基本性质 3.理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 4.熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 5.掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 6.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 7.掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。 第四章多元函数微分学 [复习考试要求] 1.了解多元函数的概念，会求二元函数的定义域。了解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续的概念。 3.理解二元函数一阶偏导数和全微分的概念，掌握二元函数的一阶偏导数的求法。掌握二元函数的二阶偏导数的求法，掌握二元函数的全微分的求法。 4.掌握复合函数与隐函数的一阶偏导数的求法。 5.会求二元函数的无条件极值和条件极值。 6.会用二元函数的无条件极值及条件极值解简单的实际问题。 第五章概率论初步 [复习考试要求] 1.了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。 2.掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。 3.理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。 4.理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。 5.会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。 6.了解随机变量的概念及其分布函数。 7.理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。 8.会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 [主要知识内容] （一）数列的极限 1.数列 定义按一定顺序排列的无穷多个数 称为无穷数列，简称数列，记作{x n }，数列中每一个数称为数列的项，第n 项x n 为数列的一般项或通项，例如 （1）1，3，5，…，（2n -1），…（等差数列） （2）（等比数列） （3） （递增数列） （4）1，0，1，0，…，…（震荡数列） 都是数列。它们的一般项分别为 （2n-1）,。 对于每一个正整数n ，都有一个x n 与之对应，所以说数列{x n }可看作自变量n 的函数x n =f （n ），它的定义域是全体正整数，当自变量n 依次取1,2,3…一切正整数时，对应的函数值就排列成数列。 在几何上，数列{x n }可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点x 1,x 2,x 3,...x n,…。 2.数列的极限 定义对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 无限地趋于一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列{x n }以常数A 为极限，或称数列收敛于A ，记作 比如： 无限的趋向0 ，无限的趋向1 否则，对于数列{x n }，如果当n →∞时，x n 不是无限地趋于一个确定的常数，称数列{x n }没有极限，如果数列没有极限，就称数列是发散的。 比如：1，3，5，…，（2n-1），… 1，0，1，0，… 数列极限的几何意义：将常数A 及数列的项依次用数轴上的点表示，若数列{x n }以 A 为极限，就表示当n 趋于无穷大时，点x n 可以无限靠近点A ，即点x n 与点A 之间的距离|x n -A| 趋于0。 比如： 无限的趋向0 无限的趋向1 （二）数列极限的性质与运算法则 1.数列极限的性质 定理1.1（惟一性）若数列{x n }收敛，则其极限值必定惟一。 定理1.2（有界性）若数列{x n }收敛，则它必定有界。 注意：这个定理反过来不成立，也就是说，有界数列不一定收敛。比如： 1，0，1，0，…有界：0，1 2.数列极限的存在准则 定理1.3（两面夹准则）若数列{x n },{y n },{z n }满足以下条件： （1） ， （2）， 则 定理1.4若数列{x n }单调有界，则它必有极限。 3.数列极限的四则运算定理。 定理1.5 （1） （2） （3）当时， （三）函数极限的概念 1.当x →x 0时函数f （x ）的极限 （1）当x →x 0时f （x ）的极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的极限是A ，记作 或f （x ）→A （当x →x 0时） 例y=f （x ）=2x+1 x →1,f （x ）→? x<1x →1 x>1x →1 （2）左极限 当x →x 0时f （x ）的左极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的左边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的左极限是A ，记作 或f （x 0-0）=A （3）右极限 当x →x 0时，f （x ）的右极限 定义对于函数y=f （x ），如果当x 从x 0的右边无限地趋于x 0时，函数f （x ）无限地趋于一个常数A ，则称当x →x 0时，函数f （x ）的右极限是A ，记作 或f （x 0+0）=A 例子：分段函数 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>? 第二节 定积分计算公式和性质 一、变上限函数 设函数在区间上连续，并且设x 为上的任一点， 于是， 在区间 上的定积分为 这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为 如果上限x 在区 间上任意变动，则对 于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在 上定义了一个以x 为自变量的函数，我们把 称为函数 在区间 上 变上限函数 记为 从几何上看，也很显然。因为X 是上一个动点， 从而以线段 为底的曲边梯形的面积，必然随着底数 端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10） 图 5-10 定积分计算公式 利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度作直线运动，那么在时间区间上所经过的路程s 为 另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数，那么物体 从t=a 到t=b 所经过的路程应该是（见图5-11） 即 由导数的物理意义可知：即 是 一个原函数，因此，为了求出定积分，应先求出被积函数 的原函数 ， 再求 在区间 上的增量 即可。 如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分的一般 方法： 设函数在闭区间上连续， 是 的一个原函数， 即 ，则 图 5-11 这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成 牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算 因为是的一个原函数所以 例 2 求曲线 和直线x=0、x= 及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为 二、定积分的性质 设 、 在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以 得到定积分以下几个简单性质： 图 5-12 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] 1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 2.熟练掌握不定积分的基本公式。 3.熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。 4.熟练掌握不定积分的分部积分法。 郑州大学毕业论文 题目：不定积分的常用求法 指导老师：任国彪职称：讲师 学生姓名：王嘉朋学号：20082100428 专业：数学与应用数学（金融数学方向） 院系：数学系 完成时间：2012年5月25日 2012年5月25日 摘要 微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。 关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。 Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis. A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral. Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions 精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a 严格依据大纲编写： 笔记目录 第一章极限和连续 第一节极限 [复习考试要求] 1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] 1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 2.会求函数的间断点。 3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。 第二章一元函数微分学 第一节导数与微分 [复习考试要求] 1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。 3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。 5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。第二节导数的应用 [复习考试要求] 1.熟练掌握用洛必达法则求“0〃∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。 2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单调性证明简单的不等式。 3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。 4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线 第三章一元函数积分学 第一节不定积分 高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法: 樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分 分析: 1-3 ? - IK ）-忑.旦r x 二）祝成）；网＞＜可久切 二2氐化如（長）寸 a 花不直押、朱 J 、 解： 2少弋協“尤十C__ -辿迪牆H JS m 弟 R Eff 洱 ->1和弟r 直 - —7朮呻' g 丄 U P A J 齐—系卩￡.§计 一 H a8~t ' J 乂 u D y " ?朮? p o r t v 卩 J (r 4 5*〉J" 卩?对渎 t-k )+c p T + T d ? g T + c m -辿」 当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx定积分的方法总结
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