电子设计工程EleｃtroniｃDesign Engineering 第25卷Vol.25第2期No.22017年1月Jan.2017
收稿日期：201６－01－04稿件编号：201６01012作者简介：马康（1992—），男，江苏淮安人，硕士研究生。研究方向：智能计算。
矩形件排样优化的问题[1]是指将不同数量、大小
不一的矩形件按照特定的顺序，采取某种排布策略
排放到矩形板材上（在本文中，假定矩形板材宽度一
定，长度不限），同时满足特定的约束条件，并且使得
板材的利用率能够最大化[2]。矩形件排样优化的问题
广泛存在于钣金下料、造纸工业、玻璃切割、家具生
产等现代制造、加工行业中。当前社会的发展对于资
源的消耗日益增大，特别对于钢材等工业原料的需
求越来越大。提高原材料的利用率对于保护生态环
境，提高企业的生产率进而获得更大的经济效益。然
而，矩形件排样优化问题属于NP 完全问题，无法在
短时间内求得最优解。难点主要在于如下两点：第一，矩形件在板材上面进行布局的策略，即排布算法；第二，矩形件的排放顺序。目前，通常采用启发式算法，例如遗传算法[3]，模拟退火算法[4]，蚁群算法[5]，粒子群算法[６]等，再结合某种排布规则，例如BL 算法[7]，最低水平线算法[８]，分层排布算法[9]等。文中将分布估计算法与一种改进的最低水平线搜索算法结合起来求解矩形件排样优化问题。1问题描述适应度函数和约束条件，问题可描述为：给定大小不一的一组矩形件和一个矩形板材，假定矩形板分布估计算法求解矩形件排样优化问题
马康，高尚
（江苏科技大学，计算机科学与工程学院，江苏镇江212003）
摘要：矩形件排样是一个平面二维优化布局的问题，由于其众多的约束条件和计算上的复杂性，在短时间内求其最优解相当困难，属于典型的NP 完全问题。针对矩形件排样问题，本文采取一种改进的最低水平线搜索算法，通过判断排样中产生的废弃空闲区域的位置关系，对邻接的空闲区域进行有效的合并，并结合分布估计算法求解矩形件排样优化问题。最后，通过模拟实验，采用本文算法求解后矩形板材的利用率为93.75%，充分体现了本文算法的有效性。
关键词：优化排样；矩形件；分布估计算法；最低水平线搜索算法
中图分类号：TN05文献标识码：A 文章编号：1６74－６23６（2017）02－0049－0６
Solution to optimize cutting pattern in rectangular packing problem based on
estimation of distribution algorithm
MA Kang ，GAO Shang
（School of Computer Science and Engineering ，Jiangsu University of Science and Technology ，Zhenjiang
212003，China ）
Abstract:Reｃtangular paｃking is a planar layout optimiｚation problem and NP－ｃomplete problem ，It is diffiｃult to find its exaｃt global optimum in a short time beｃause of the numerous ｃonstraints and the high ｃomplexity of ｃomputation.Faｃing the problem of reｃtangular paｃking ，This paper took the improved Lowest Horiｚontal Searｃh Algorithm and the Estimation of Distribution Algorithms （EDAs ）to solve the reｃtangular paｃking problem ，whiｃh make full use of the spaｃe area by merging adjaｃent free area based on the position relationship of wasted free area whiｃh produｃed by reｃtangular paｃking.Finally ，with the simulation experiment ，utiliｚation ratio of reｃtangular plate is 93.75%with the algorithm of this paper ，whiｃh proved the effeｃtiveness of the algorithm.
Key words:optimiｚation layout ；reｃtangular ；EDA ；lowest horiｚontal searｃh algorithm
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万方数据
目录 第一章绪论 (1) 1.1课题背景及研究意义 (1) 1.2图像复原问题及其研究现状 (2) 1.3染色体图像分类问题及其研究现状 (5) 1.4生物信息数据整合问题及其研究现状 (8) 1.5研究内容与创新点 (10) 1.6结构安排 (11) 第二章基于单向和二阶全变分正则的遥感图像去条带方法 (13) 2.1引言 (13) 2.2MAP模型 (14) 2.2.1图像退化模型 (14) 2.2.2Shen-MAP模型 (15) 2.3USTV模型 (16) 2.3.1符号说明 (17) 2.3.2分裂的Bregman方法求解模型 (19) 2.4实验结果与分析 (22) 2.4.1参数选取 (22) 2.4.2实验比较 (23) 2.5本章小结 (28) 第三章基于张量分解的染色体图像分类算法 (29) 3.1引言 (29) 3.2张量介绍 (32) 3.2.1基本概念 (32) 3.2.2张量分解 (37) 3.3染色体分类算法 (40) 3.3.1染色体分割 (41) 3.3.2训练阶段 (43) 3.3.3测试阶段 (44) 3.4实验结果与分析 (44) 3.4.1参数选取 (45)
3.4.2实验比较 (45) 3.5本章小结 (53) 第四章基于联合非负矩阵分解的精神分裂症数据整合方法 (54) 4.1引言 (54) 4.2JNMF框架 (56) 4.2.1数据预处理 (56) 4.2.2JNMF模型 (56) 4.2.3收敛性证明 (58) 4.3Module的确定 (60) 4.3.1变量选取 (60) 4.3.2显著性估计 (60) 4.4实验结果与分析 (61) 4.4.1参数选取 (61) 4.4.2Module的分析 (61) 4.5本章小结 (64) 第五章基于组稀疏联合非负矩阵分解的数据整合方法 (65) 5.1引言 (65) 5.2NMF相关的模型 (67) 5.2.1NMF模型 (67) 5.2.2NMF变体模型 (67) 5.3GSJNMF数据整合框架 (69) 5.3.1GSJNMF模型 (69) 5.3.2收敛性证明 (71) 5.3.3Module的确定 (73) 5.3.4显著性估计 (73) 5.3.5参数选取 (74) 5.4实验结果与分析 (75) 5.4.1模拟数据 (75) 5.4.2真实数据 (79) 5.5本章小结 (89) 第六章总结与展望 (90) 6.1工作总结 (90) 6.2工作展望 (91)
矩形件排样程序的实现王晨浩-试题b
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矩形件排样程序的实现 王晨浩 摘要 针对样板矩形排样程序的实现问题,本人通过实施FORTRＡN90编程,采用直接明了的数字排列的方式,直观清晰的展现了一个矩形样板中矩形件排样的最优方案。而程序语言本身，结构明朗,层次清晰，适合懂本语言的人斟酌损益和修缮完美；程序运行系统,清晰明朗的输入输出步骤,将程序层序化和普遍化展现淋漓；程序表述方式，人性化的中文语言提示，将程序的可接受度和观赏度大大提高。 本程序采取了通过对板面和具体矩形的数字化展现,通过对整体的数字比较描摹和判定板面的整体矩形排列方式,最终以一个具体的数字排列，实现对矩形排列的宏观显现。关键词:ＦORTＲAN90程序,矩形排列方案，板面矩形设计 一、问题重述 （一) 问题简介 工业上经常需要在一块大板材上下料得到若干个小的矩形件,使得板材的利用率最高，即所剩余的边角料最少。例如在一块宽１5、高无限制的矩形板材上,排列2５块尺寸已知的小矩形,2５块小矩形的尺寸如表1,板材的利用率达10０％,如图１所示。
图1 一种排样方案 表１ 小矩形的尺寸 序号 宽 高 1 1２ 6 2 4 7 ３ ６ 7 ４ 10 ２ ５ 2 ５ ６ 6 4 7 ４ 2 8 ４ 6 9 7 ９ 10 4 5 11 6 4 12 4 6 13 ６ 3 14 4 ５ １5 2 4 16 8 ４ １７ 8 6 1８ 8 3 １９ 6 3 ２0 2 6 ２１ 8 2 22 3 5 2３ ２ ５ 2４ 3 4 ２5 2 4 如果上述排样方案未知，即不知道图1的排法，那么如何将这２5块小矩形按照某种次序排在一个大的板材上呢?目前这仍是一个世界难题。 通常要求在一个排样图中,任何一个矩形件在不超出板材边界的情况下,按照一个排样方案(给定的次序）采用下列一些方法来安排实际矩形件的排列，对于一个排样方案(解）},{R P D =,其中),,,(21n p p p P =，),,,(21n r r r R =,p i 为矩形件的序号,r i 为排样方式，r i =１表示将矩形件旋转90°， r i =０表示矩形件不旋转。将第i 个矩形件安排在板材上的过程中,均不能再往下、往左移动，则称其满足B Ｌ条件(ｂo ｔtom-l ｅｆｔ-con ｄｉｔｉｏn ，B Ｌ-c ｏｎdition)。
矩形件排样程序实现（要求：只能由一个学生独立完成，不得抄袭）工业上经常需要在一块大板材上下料得到若干个小的矩形件，使得板材的利用率最高，即所剩余的边角料最少。例如在一块宽40、高15的矩形板材上，排列25块尺寸已知的小矩形，25块小矩形的尺寸如表1，板材的利用率达100%，如图1所示。 图1 一种排样方案 表1 小矩形的尺寸 序号宽高 1 1 2 6 2 4 7 3 6 7 4 10 2 5 2 5 6 6 4 7 4 2 8 4 6 9 7 9 10 4 5 11 6 4 12 4 6 13 6 3 14 4 5 15 2 4 16 8 4 17 8 6 18 8 3 19 6 3 20 2 6 21 8 2 22 3 5 23 2 5 24 3 4 25 2 4 如果上述排样方案未知，即不知道图1的排法，那么如何将这25块小矩形
按照某种次序排在一个大的板材上呢？目前这仍是一个世界难题。 通常要求在一个排样图中，任何一个矩形件在不超出板材边界的情况下，按照一个排样方案（给定的次序）采用下列一些方法来安排实际矩形件的排列，对于一个排样方案（解）},{R P D =，其中),,,(21n p p p P =，),,,(21n r r r R =，p i 为矩形件的序号，r i 为排样方式，r i =1表示将矩形件旋转90°, r i =0表示矩形件不旋转。将第i 个矩形件安排在板材上的过程中，均不能再往下、往左移动，则称其满足BL 条件（bottom-left-condition ，BL-condition ）。 基于BL 条件，有一种下台阶算法，具体步骤如下： (1) 将零件1p 排放在板材的左下角，若11=r 则将其旋转90°后再排放，求出排放后所占板材的最大高度； (2) 将i p ),,3,2(n i =根据其排样方式置于板材右边最大高度处，向下向左移动i p ，且向下移动优先（即原本已无法再向下移动，故开始向左移动，而在向左移动的过程中若发现又能继续向下移动，则先向下移动），直至i p 无法向下向左移动为止（即接触到其他零件或板材边界），并求出此时的最大高度； (3) 重复上述过程，直至所有零件排放完毕，最后所得最大高度即为所需板材高度。 其排样过程如图2所示，就好象下台阶一样，于是形象地称之为下台阶算法。 图2 下台阶算法的排样过程 剩余矩形排样法是目前所提出的一种有效的排样算法，该方法记录了所有可利用的空间，更能合理地分配给待排样的矩形件，提高了每个排样方案的板材利用率，更接近最优排样方案。例如对于同一个矩形件序列)4,3,2,1(进行排样，
矩形件排样程序的实现 王晨浩 摘要 针对样板矩形排样程序的实现问题，本人通过实施FORTRAN90编程，采用直接明了的数字排列的方式，直观清晰的展现了一个矩形样板中矩形件排样的最优方案。而程序语言本身，结构明朗，层次清晰，适合懂本语言的人斟酌损益和修缮完美；程序运行系统，清晰明朗的输入输出步骤，将程序层序化和普遍化展现淋漓；程序表述方式，人性化的中文语言提示，将程序的可接受度和观赏度大大提高。 本程序采取了通过对板面和具体矩形的数字化展现，通过对整体的数字比较描摹和判定板面的整体矩形排列方式，最终以一个具体的数字排列，实现对矩形排列的宏观显现。关键词：FORTRAN90程序，矩形排列方案，板面矩形设计 一、问题重述 （一）问题简介 工业上经常需要在一块大板材上下料得到若干个小的矩形件，使得板材的利用率最高，即所剩余的边角料最少。例如在一块宽15、高无限制的矩形板材上，排列25块尺寸已知的小矩形，25块小矩形的尺寸如表1，板材的利用率达100%，如图1所示。
图1 一种排样方案 表1 小矩形的尺寸 序号 宽 高 1 12 6 2 4 7 3 6 7 4 10 2 5 2 5 6 6 4 7 4 2 8 4 6 9 7 9 10 4 5 11 6 4 12 4 6 13 6 3 14 4 5 15 2 4 16 8 4 17 8 6 18 8 3 19 6 3 20 2 6 21 8 2 22 3 5 23 2 5 24 3 4 25 2 4 如果上述排样方案未知，即不知道图1的排法，那么如何将这25块小矩形按照某种次序排在一个大的板材上呢？目前这仍是一个世界难题。 通常要求在一个排样图中，任何一个矩形件在不超出板材边界的情况下，按照一个排样方案（给定的次序）采用下列一些方法来安排实际矩形件的排列，对于一个排样方案（解）},{R P D =，其中),,,(21n p p p P =，),,,(21n r r r R =，p i 为矩形件的序号，r i 为排样方式，r i =1表示将矩形件旋转90°, r i =0表示矩 形件不旋转。将第i 个矩形件安排在板材上的过程中，均不能再往下、往左移动，则称其满足BL 条件（bottom-left-condition ，BL-condition ）。
第26卷第1期2005年2月 青岛科技大学学报 Jour nal ofQ i n gdao University o f Science and Techno logy V o.l26No.1 Feb.2005 文章编号:1672-6987(2005)01-0065-05 二维矩形排样问题的启发式算法 邵巍,隋树林,杜军威 (青岛科技大学自动化与电子工程学院,山东青岛266042) 摘要:矩形件优化排样问题具有多个算法,但是这些算法均有一些局限性,如排列不规则,计算量巨大等等。本文给出了单一尺寸的矩形排样问题的几种启发式算法,它克服了现有众多排样算法执行效率低的缺陷,使板料排样的执行效率和优化率均得以显著提高,并用D elphi编程实现,可直接应用于实际问题中。 关键词:排样问题;启发式算法;De l p h i 中图分类号:TP391文献标识码:A So m e K i nd of A lgorith m s for the Opti m al Layout of Rectangul ar Part S HAO W e,i SU I Shu-li n,DU Jun-we i (College ofAu t o m ati on and E l ectron i c E ngi neeri ng,Q i ngdao U nivers it y of Sci en ce and T echnol ogy,Q i ngdao266042,Ch i na) A bstract:There are l o t o f algor ith m s on the opti m al layout o f rectancular par,t butm ost of the a l g orit h m s have som e li m its(such as irregu lar arrange m en,t excessive ca lculating,etc.). K inds o f heuristic algorithm is g iven i n th is paper.It overco m es sone proble m s for m ost o f a l g o-rithm s at a lo w executi n g rate can high ly enhance the executive rate and i n crease the radio of the opti m izati o n.It carried it out w ith De l p h i language,these a l g orith m s can be used w e ll in practice. K ey words:layou;t heuristic algorithm;Delphi 切割(cuttingprob le m)和装填问题(pack i n g-proble m)统称为布局问题,属于复杂的组合最优化范畴,已经证明即使是最简单的布局问题,也是NP完全问题,因此,绝大部分有效的解决布局问题的算法都是启发式的方法[1~6]。由于许多企业应用板材数量巨大,所以提高很少的利用率便可节省很多原材料,大大降低成本。本工作针对现有众多排样算法执行效率低的缺陷,给出了单一尺寸的矩形排样问题的几种启发式算法。 1数学模型的建立及算法 设在L*W(分别记各边为上L,下L,左W,右W)的矩形内放入a*b的小矩形,不妨设a\b,要使得大矩形中放入尽量多的小矩形。 1.1方法1 先设在下L边上排列n个a,m个b,自下到上依次排列各矩形,并记在垂直方向上堆放t个b,k个a,尽量使得W方向排列尽量多的小矩形,直到不能再放置a或b边,如图1(a)所示。 此种排法的约束条件可描述为: L-b 高效稀疏编码算法 1 Introduction 稀疏编码提供了发现对于外来刺激简明表示的一系列算法；给予未标记的输入数据，它学习可以抓住数据高水平特征的基函数。当一个稀疏编码算法英语到自然图像时，学习的基函数就类似于视觉皮层中的神经元感受野；此外，当应用到其他自然刺激例如语音和视频时，稀疏编码产生局部基函数。不同于其他无监督学习技术例如主成分分析，稀疏编码可以应用到学习超完备基函数，其中基函数的维度大于输入数据维度。稀疏编码同样可以通过稀疏化它们的刺激来生成基函数之间抑制模型。同样的性质可以在生物神经元中观察到，这样使得稀疏编码得到视觉皮层的合理模型。 尽管关于稀疏编码模型有良好的前景，我们认为它们的发展很大程度上被昂贵的计算代价所阻碍。特别是学习大维度，超完备代表时就会极度耗费计算资源。在这篇文章中，我们提出了一类基于变量两组子集的交替优化的高效稀疏编码。这类优化问题是凸问题；特别地，对于第一个子集的优化是一范数最小二乘问题；第二个子集则是二范数最小二乘问题。我们描述了每个算法并经验地分析了它们的表现。我们的方法允许我们高效地学习来及自然图像的高维度超完备基函数。我们证明了结果学习基展示了终止情况和对于传统感受野之外刺激的调整。此外，稀疏编码同样提供了对于V1区神经元这些现象的局部解释。在最近的工作中，我们展示了学习高水平特征的简明表示可以应用到监督分类任务。 2 Preliminaries 稀疏的目标就是将输入向量表示为少量的（未知的）“基函数”的加权线性组合。这些基函数可以抓住输入数据中的高水平特征。具体地说，每个输入的向量可以简单地由基函数和稀疏加权向量或系数使得来表示。这些基函数是超完备的（n>k），这样可以抓取输入数据的大量值。 稀疏编码是可以使用无标签数据自动获取良好的基向量。标准生成模型假设重构误差是，且是标准高斯分布协方差为。为了支持稀疏系数，每个系数的优先分布定义为，其中是稀疏函数，是一个常数。例如，我们可以使用如下函数： 收稿日期:2002-11-20. 作者简介:王华昌(1968-),男,讲师;武汉,华中科技大学塑性成形模拟及模具技术国家重点实验室(430074). 一种矩形件优化排样综合算法 王华昌 陶献伟 李志刚 (华中科技大学塑性成形模拟及模具技术国家重点实验室) 摘要:提出了应用于矩形件优化排样中的关键算法:条料生成算法与填充算法.把二者融合在一起,提出了一种适用于矩形件优化排样的最小残料算法.该算法依据残料大小决定条料,并对空白矩形进行有效填充,可快速得到排样结果.将其与模拟退火算法相结合,能够跳出局部搜索,最终可获得近似总体最优的排样结果.关 键 词:矩形件优化排样;条料生成算法;填充算法;最小残料算法;模拟退火算法中图分类号:T G316 文献标识码:A 文章编号:1671-4512(2003)06-0009-04 矩形件优化排样是指有多种不同矩形件,每种矩形件需要若干个,尽可能多地排放,使给定的矩形板材利用率最高.矩形件优化排样问题实质是一个组合优化的二维布局问题,具有工件种类多、数量大等特点,是计算复杂性最高的一类NP 完全问题,至今还无法找到解决该问题的有效多项式时间算法. 国内外已经有不少专家学者在这个领域做了很多研究工作,并且取得了一些成果,例如背包算法[1]、组块技术[2]等,都能够得到较好的排样效果.但是,前者是近似优化算法,后者是局部搜索方法,达不到排样的总体最优.而不经任何处理的模拟退火排样算法虽然可达到近似最优解,却不适合/一刀切0的下料工艺,只适合/正交切割0. 为获得总体最优解,作者提出了最小残料算法.该算法是一种接近最优解的局部搜索算法,适用于矩形件毛坯的优化排样.将其与模拟退火算法思想相结合,能随机地接受某些劣化解,跳出局部极小点,因而有较强的全局搜索能力.同时,可满足排样速度快、板材利用率高的要求和/一刀切0高效率下料工艺,从而较好地解决了现行排样算法中存在的上述问题. 1 最小残料算法 1.1 数据结构 设板材的长度为l,宽度为w ,工件种类数为n,则矩形工件基本信息存储如下: typedef struct tagRect { int w ;M 工件宽度 int l ;M 工件长度 int n ;M 工件数目}Rect,*pRect; 矩形工件输出坐标如下:typedef struct tag Point { int x 1;M 当前输出工件左下角点横坐标 int y 1;M 当前输出工件左下角点纵坐标 int x 2;M 当前输出工件右上角点横坐标 int y 2;M 当前输出工件右上角点纵坐标}XPoint,*pXPoint;1.2 约束条件和目标函数 排样的基本目标是使得排样所用的板材数尽可能少,以提高材料的利用率;排样的基本约束条件是矩形件之间不能有相互重叠区域,并且矩形件不能有排出板材的部分.排样规则为每一个矩形件可以被横向排放或者纵排.排样方式为从板材的最左下角开始排到板材的右上角结束一块板材的排样.设板材左下角的坐标为(0,0),(x 1i ,y 1i )和(x 2i ,y 2i )为第i 块矩形工件在板材上左下角和右上角坐标,那么他们的关系为 x 2i =x 1i +Rect [i].l ; y 2i =y 1i +Rect [i].w , 或者 x 2i =x 1i +Rect [i].w ;y 2i =y 1i +Rect [i].l , 其中前者为横排时同一矩形件坐标关系,后者为 第31卷第6期 华 中 科 技 大 学 学 报(自然科学版) V ol.31 No.62003年 6月 J.Huazhong U niv.of Sci.&T ech.(Nature Science Editio n) Jun. 2003高效稀疏编码算法
一种矩形件优化排样综合算法
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