解析函数展开成幂级数的方法分析
姓名：媛媛
学号： 1
专业：物理教育
指导教师：莉莉
解析函数展开成幂级数的方法分析
某某大学物理与电气信息工程学院
摘要：将解析函数展开成幂级数的方法不一，且比较复杂。本论文着重介绍了将解析函数展开成幂级数的几种方法以及分析。
关键词：解析函数，幂级数，展开，奇点等。
一前言
解析函数的应用及现状：解析函数边值问题和广义解析函数边值问题在奇异积分方程方面有广泛的应用，它们在弹性力学、流体力学方面也有重要的应用。这些方面的理论及其应用，主要是由苏联学者建立和发展起来的。自20世纪60年代以来，中国的数学工作者在这些方面也做了不少工作。
关于解析函数的不同定义在20世纪初被证明是等价的。基于魏尔斯特拉斯的定义，区域上的解析函数可以看作是其内任一小圆邻域上幂级数的解析开拓，关于解析开拓的一般定义是，f（z）与g（z）分别是D与D*上的解析函数，若DÉD* ，且在D*上f（z）=g（z）。则称f（z）是g（z）由D*到D的解析开拓。解析开拓的概念可以推广到这样的情形：f（z）与g（z)分别是两个圆盘D1与D2上的幂级数，在D1∩D2上f（z)=g（z)则也称f与g互为解析开拓，把可以互为解析开拓的（f（z），Δ）的解析圆盘Δ全连起来，作成一个链。它们的并记作Ω，得到了Ω上的一个解析函数，称它为魏尔斯特拉斯的完全解析函数，这里可能出现这样的情形，在连成一个链的圆盘中，有一些圆盘重叠在一起，但在这些重叠圆盘的每一个上的解析函数都是不一样的，它们的每一个都称为完全解析函数的分支。这样的完全解析函数实际是一个多值函数。黎曼提出
将多值解析函数中的那些重叠的圆盘看作是不同的“叶”，不使他们在求并的过程中只留下一个代表，于是形成了一种称为黎曼面的几何模型。将多值函数看作是定义于其黎曼曲面上的解析函数，这样多值解析函数变成了单值解析函数。解析函数的基本性质：解析函数的导函数仍然是解析函数；单连通域内解析函数的环路积分为0；复连通域内，解析函数的广义环路积分（即包括内外边界，内边界取顺时针为正）为0。[1]
由于解析函数概念可推广为广义解析函数（基于把解析函数的实部、虚部所满足的柯西－黎曼方程组推广为较一般的一阶偏微分方程组），因此解析函数边值问题也可推广为广义解析函数边值问题，这是把函数论与偏微分方程结合起来的一个方向。
幂级数是分析学研究的重点之一，然而在组合数学中，幂级数也占有一席之地。作为母函数，由幂级数概念发展出来的形式幂级数是许多组合恒等式的来源。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。实数的小数记法也可以被看做幂级数的一种。
解析函数的相关问题与幂级数的相关问题已被研究很久，上述就是研究成果的很小很小的一部分，但在这里我们只讨论解析函数展开成幂级数的方法与分析。
二 幂级数的解析性
定理：幂级数∑∞
=-0)(n n n a z c 的和函数，f （z ）是收敛圆内的一个解析函数，且
其各阶导数为：()()(1)
(1)()p n p n n p f z c n n n p z a ∞-==--+-∑，其中，p 为自然数，
()()(0,1,2,)!
p p f a c p p ==。 三 解析函数的泰勒展开
通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值。
泰勒(Taylor)展开定理：设f （z ）在区域D ：0||z z R -<内解析，则在D 内f （z ）可展为泰勒级数：000()(), (||)n n n f z a z z z z R +∞
==--<∑，其中，
()010()1() (0,1,2,)2i ()!n n n C f z f d a n z n ξξπξ+===-?。且展式是唯一的。特别地，当
00z =时，级数()0(0)!n n n f z n ∞
=∑称为麦克劳林级数。 泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出代入即可，这种方法称为直接展开法。[2]当f （z ）较复杂时，求()0()n f z 比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：
20111, !2!!n z n n z e z z z z n n ∞
===+++++<∞∑ 1212240(1)11(1)cos 1, (2)!2!4!(2)!
n n n n
n z z z z z z n n ++∞=--==-++++<∞∑ 2121
350(1)11(1)sin , (21)!3!5!(21)!n n n n n z z z z z z z n n ++∞=--==-++++<∞++∑
2011, 11n n n z z z z z z ∞===+++++<-∑
例：将函数()1
z f z z =
+，在|1|2z -<内展开成幂级数。 解：1()111z f z z z ==-++ 11(1)2
z =--+ 0111111(1)122212
n n n z z ∞=-??=-?=-- ?-??
+∑ 10(1)1(1), (12)2n
n
n n z z ∞+=-=---<∑ 还有在直接利用基本展开公式时，还可以利用替换法求得，例如：将函数31()z f z z
-=，以z=-1为中心展开为幂级数。 解：令1z ξ=+，即3312(1)z z ξξ--=-，利用0
(1)m m k k k z a z ∞=+=∑得到，3
30(1)()k k k a ξξ∞--=-=-∑，所以31()z f z z -=302()k
k k a
ξ∞-=ξ-=-∑。 四 零点的孤立性及唯一性定理
定义：如果f （z ）在a 点及其邻域内解析，f （a ）=0，则称z=a 为f （z ）的零点。设f （z ）在z=a 点及其邻域内解析，则当｜z-a ︱充分小时，f （z ）=()0n
n n a z a ∞
=-∑,故若z=a 为零点，则必有0110m a a a -==???==,0m a ≠。此时，称z=a 点为f （z ）的m 阶零点，相应地()()()()10m f a f a f a -'==???=,()()0m f a ≠?
()()()m
f z z a z =-?,其()z ?中在a 的邻域内解析且不等于零。
解析函数零点的一个重要性质是它的孤立性。
解析函数的零点孤立性定理：若f （z ）不恒等于零，且在0||z z R -<内解析，z=a 为零点，则必能找到z=a 的一个邻域，使f （z ）在此邻域内无其他零点。[3]
五 解析函数的洛朗展开
一个函数除了可在解析点作泰勒展开外，有时还需要将它在奇点附近展开成幂级数，这时就得用洛朗展开。
洛朗定理：设f （z ）在以b 为圆心的环形区域12||R z b R <-<上单值解析，则对于环域内的任何z 点，f （z ）可以用幂级数展开为()()n n n f z a z b ∞=-∞=
-∑，12||R z b R <-<，其中，()()11
2n n C f a d i b π+ζ=ζζ-?，C 是环域内绕内圆一周的任意一
条闭合曲线。
洛朗的展开条件也可以放宽为f （z ）在区域12||R z b R <-<内单值解析。[4]
六 解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展开
奇点：f （z ）在0z 不解析，但在0z 的任一邻域内总有f （z ）的解析点，则0z 称为f （z ）的奇点。
孤立奇点：如果f （z ）在点a 的某一去心邻域{}K a -：0＜︱z-a ︱＜R 内解析，点a 为f （z ）的奇点，则称a 为f （z ）的一个孤立奇点。[5]
定理：如果a 为f （z ）的一个孤立奇点，则必存在正数R ，使得f （z ）在a 的去心邻域{}K a -：0＜︱z-a ︱＜R 内可展成洛朗级数。
例：函数sin
1
z z -，奇点z=1，在其去心邻域01z <-<∞内进行洛朗展开。 解：1sin sin(1)11
z z z =+-- 11sin1cos cos1sin 11z z =?+?-- 22100(1)(1)sin1cos1(2)!(1)(21)!(1)n n
n n n n n z n z ∞
∞+==--=?+?-+-∑∑
23221
cos1sin1cos1sin1cos1sin1(1)(1)12!(1)3!(1)(2)!(1)(21)!(1)n n n n z z z n z n z +=+--++-+-+----+-七 化成微分方程法
用下面的例子说明这种方法。
例：将函数11()z f z e
-=以00z =为中心展开成幂级数。 解：()()
()21f z f z z '=-，于是，()()()210z f z f z '--=
对上逐次求导有，
()
()()()21230z f z z f z "'---=， ()
()()()()()2
314520z f z z f z f z "'---+=， … 令z=0则，依次可得到：()0f e '=，()03f e "=，()()3013f e =，…
八 结论
解析函数在不同的形式下，用不同的方法展开成幂级数，每个方法有每个方法的简便之处。所以，在以后遇到解析函数展开成幂级数的问题，首先想想条件，例如，想想泰勒展开定理或洛朗定理的使用条件，在分析适用于哪方法，最后以最简洁的方法解决，而不是盲目地试用各种方法。
参考文献：
[1] 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB 解法与可视化[M].：清华大学出版社，2004.
[2] 王海英. 解析函数中的罗必达法则[J]. 安顺学院学报, 2009,(03) .
[3] 梁会. 解析函数的几个等价条件的证明及其应用[J]. 毕节学院学报, 2010,(04) .
[4] 潮兰萍. 代数基本定理的八种证明方法[J]. 安徽广播电视大学学报, 2002,(02) .
[5] 朱石焕. 复变函数展成幂级数的一种新方法[J]. 安阳师范学院学报, 2000,(02) .