第一课时两圆的公切线（一）
教学目标：
（1）理解两圆相切长等有关概念，掌握两圆外公切线长的求法；
（2）培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆外公切线长的求法向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
理解两圆相切长等有关概念，两圆外公切线的求法．
教学难点：
两圆外公切线和两圆外公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）实际问题（引入）
很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，给我们以一条直线和两个同时相切的形象．（这里是一种简单的数学建模，了解数学产生与实践）
（二）两圆的公切线概念
1、概念：
教师引导学生自学．给出两圆的外公切线、内公切线以及公切线长的定义：
和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线．
(1)外公切线：两个圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
(2)内公切线：两个圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
(3)公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
2、理解概念：
(1)公切线的长与切线的长有何区别与联系?
(2)公切线的长与公切线又有何区别与联系?
(1)公切线的长与切线的长的概念有类似的地方，即都是线段的长．但公切线的长是对两个圆来说的，且这条线段是以两切点为端点；切线长是对一个圆来说的，且这条线段的一个端点是切点，另一个端点是圆外一点．
(2)公切线是直线，而公切线的长是两切点问线段的长，前者不能度量，后者可以度量．
（三）两圆的位置与公切线条数的关系
组织学生观察、概念、概括，培养学生的学习能力．添写教材P143练习第2题表．
（四）应用、反思、总结
例1、已知：⊙O1、⊙O2的半径分别为2cm和7cm，圆心距O1O2=13cm，AB是⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别是A、B．求：公切线的长AB．
分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．（组织学生分析，教师点拨，规范步骤）
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．
过O1作O1C⊥O2B，垂足为C，则四边形O1ABC为矩形，
于是有
O1C⊥C O2，O1C= AB，O1A=CB．
在Rt△O2CO1和．
O1O2=13，O2C= O2B- O1A=5
AB= O1C=(cm)．
反思：（1）“转化”思想，构造三角形；（2）初步掌握添加辅助线的方法．
例2*、如图，已知⊙O1、⊙O2外切于P，直线AB为两圆的公切线，A、B为切点，若PA=8cm，PB=6cm，求切线AB的长．
分析：因为线段AB是△APB的一条边，在△APB中，已知PA和PB的长，只需先证明△PAB是直角三角形，然后再根据勾股定理，使问题得解．证△PAB是直角三角形，只需证△APB中有一个角是90°(或证得有两角的和是90°)，这就需要沟通角的关系，故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以∠CPB=∠ABP，∠CPA=∠BAP．因为∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°，所以2∠CPA+2
∠CPB=180°，所以∠CPA+∠CPB=90°，即∠APB=90°，故△APB是直角三角形，此题得解．解：过点P作两圆的公切线CD
∵AB是⊙O1和⊙O2的切线，A、B为切点
∴∠CPA=∠BAP∠CPB=∠ABP
又∵∠BAP+∠CPA+∠CPB+∠ABP=180°
∴2∠CPA+2∠CPB=180°
∴∠CPA+∠CPB=90°即∠APB=90°
在Rt△APB中，AB2=AP2+BP2
说明：两圆相切时，常过切点作两圆的公切线，沟通两圆中的角的关系．
（五）巩固练习
1、当两圆外离时，外公切线、圆心距、两半径之差一定组成()
(A)直角三角形(B)等腰三角形(C)等边三角形(D)以上答案都不对．
此题考察外公切线与外公切线长之间的差别，答案(D)
2、外公切线是指
(A)和两圆都祖切的直线(B)两切点间的距离
(C)两圆在公切线两旁时的公切线(D)两圆在公切线同旁时的公切线
直接运用外公切线的定义判断．答案：(D)
3、教材P141练习（略）
（六）小结（组织学生进行）
知识：两圆的公切线、外公切线、内公切线及公切线的长概念；
能力：归纳、概括能力和求外公切线长的能力；
思想：“转化”思想．
（七）作业：P151习题10，11．
第二课时两圆的公切线（二）
教学目标：
（1）掌握两圆内公切线长的求法以及公切线与连心线的夹角或公切线的交角；
（2）培养的迁移能力，进一步培养学生的归纳、总结能力；
（3）通过两圆内公切线长的求法进一步向学生渗透“转化”思想．
教学重点：
两圆内公切线的长及公切线与连心线的夹角或公切线的交角求法．
教学难点：
两圆内公切线和两圆内公切线长学生理解的不透，容易混淆．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念：公切线、内外公切线、内外公切线的长．
（2）两圆的位置与公切线条数的关系．（构成数形对应，且一一对应）
（二）应用、反思
例1、（教材例2）已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为4厘米和2厘米，圆心距为10厘米，AB是⊙O1和⊙O2的一条内公切线，切点分别是A，B．
求：公切线的长AB。
组织学生分析，迁移外公切线长的求法，既培养学生解决问题的能力，同时也培养学生学习的迁移能力．
解：连结O1A、O2B，作O1A⊥AB，O2B⊥AB．
过O1作O1C⊥O2B，交O2B的延长线于C，
则O1C= AB，O1A=BC．
在Rt△O2CO1和．
O1O2=10，O2C= O2B+ O1A=6
∴O1C=(cm)．
∴AB=8（cm）
反思：与外离两圆的内公切线有关的计算问题，常构造如此题的直角梯行及直角三角形，在Rt△O2CO1中，含有内公切线长、圆心距、两半径和重要数量．注意用解直角三角形的知识和几何知识综合去解构造后的直角三角形．
例2（教材例3）要做一个图那样的矿型架，将两个钢管托起，已知钢管的外径分别为200毫米和80毫米，求V形角α的度数．
解：(略)
反思：实际问题经过抽象、化简转化成数学问题，应用数学知识来解决，这是解决实际问题的重要方法．它属于简单的数学建模．组织学生进行，教师引导．
归纳：（1）用解直角三角形的有关知识可得：当公切线长l、两圆的两半径和R+r、圆心距d、两圆公切线的夹角α四个量中已知两个量时，就可以求出其他两个量．
，；
（2）上述问题可以通过相似三角形和解三角形的知识解决．
（三）巩固训练
教材P142练习第1题，教材P145练习第1题．
学生独立完成，教师巡视，发现问题及时纠正．
（四）小结
（1）求两圆的内公切线，“转化”为解直角三角形问题．公切线长、圆心距、两半径和三个量中已知任何两个量，都可以求第三个量；
（2）如果两圆有两条外(或内)公切线，并且它们相交，那么交点一定在两圆的连心线上；
（3）求两圆两外(或内)公切线的夹角．
（五）作业
教材P153中12、13、14．
第三课时两圆的公切线（三）
教学目标：
（1）理解两圆公切线在解决有关两圆相切的问题中的作用, 辅助线规律，并会应用；
（2）通过两圆公切线在证明题中的应用，培养学生的分析问题和解决问题的能力．
教学重点：
会在证明两圆相切问题时，辅助线的引法规律，并能应用于几何题证明中．
教学难点：
综合知识的灵活应用和综合能力培养．
教学活动设计
（一）复习基础知识
（1）两圆的公切线概念．
（2）切线的性质，弦切角等有关概念．
（二）公切线在解题中的应用
例1、如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的公切线，B，C为切点．若连结AB、AC会构成一个怎样的三角形呢？
观察、度量实验（组织学生进行）
猜想：（学生猜想）∠BAC=90°
证明：过点A作⊙O1和⊙O2的内切线交BC于点O．
∵OA、OB是⊙O1的切线，
∴OA=OB．
同理OA=OC．
∴OA=OB=OC．
∴∠BAC=90°．
反思：（1）公切线是解决问题的桥梁，综合应用知识是解决问题的关键；（2）作两圆的公切线是常见的一种作辅助线的方法．例2、己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆的弦AB交小圆于C，D．
求证：∠APC＝∠BPD．
分析：从条件来想，两圆内切，可能作出的辅助线是作连心线O1O2，或作外公切线．
证明：过P点作两圆的公切线MN．
∵∠MPC=∠PDC，∠MPN=∠B，
∴∠MPC－∠MPN=∠PDC－∠B，
即∠APC＝∠BPD．
反思：（1）作了两圆公切线MN后，弦切角就把两个圆中的圆周角联系起来了．要重视MN的“桥梁”作用．（2）此例证角相等的方法是利用已知角的关系计算．
拓展：（组织学生研究，培养学生深入研究问题的意识）
己知：如图，⊙O1和⊙O2内切于P，大圆⊙O1的弦AB与小圆⊙O2相切于C点．
是否有：∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．
答案：有∠APC＝∠BPC即PC平分∠APB．如图作辅助线，证明方法步骤参看典型例题中例4．
（三）练习
练习1、教材145练习第2题．
练习2、如图，已知两圆内切于P，大圆的弦AB切小圆于C，大圆的弦PD过C点．
求证：PA·PB=PD·PC．
证明：过点P作两圆的公切线EF
∵AB是小圆的切线，C为切点
∴∠FPC=∠BCP，∠FPB=∠A
又∵∠1=∠BCP-∠A∠2=∠FPC-∠FPB
∴∠1=∠2∵∠A=∠D，∴△PAC∽△PDB
∴PA·PB=PD·PC
说明：此题在例2题的拓展的基础上解得非常容易．
（三）总结
学习了两圆的公切线，应该掌握以下几个方面
1、由圆的轴对称性，两圆外(或内)公切线的交点(如果存在)在连心线上．
2、公切线长的计算，都转化为解直角三角形，故解题思路主要是构造直角三角形．
3、常用的辅助线：
（1）两圆在各种情况下常考虑添连心线；
（2）两圆外切时，常添内公切线；两圆内切时，常添外公切线．
4、自己要有深入研究问题的意识，不断反思，不断归纳总结．
（四）作业教材P151习题中15，B组2．
探究活动
问题：如图1，已知两圆相交于A、B，直线CD与两圆分别相交于C、E、F、D．
(1)用量角器量出∠EAF与∠CBD的大小，根据量得结果，请你猜想∠EAF与∠CBD的大小之间存在怎样的关系，并证明你所得到的结论．
(2)当直线CD的位置如图2时，上题的结论是否还能成立?并说明理由．
(3)如果将已知中的“两圆相交”改为“两圆外切于点A”，其余条件不变（如图3），那么第（1）题所得的结论将变为什么？并作出证明．
提示：（1）（2）（3）都有∠EAF+∠CBD=180°．证明略（如图作辅助线）．
说明：问题从操作测量得到的实验数据入手，进行数据分析，归傻贸霾孪耄 っ鞑孪氤闪ⅲ 庖彩?a href=https://www.doczj.com/doc/af1316202.html,/Class/034/ target=_blank>数学发现的一种方法．第(2)、(3)题是对第(1)题结论的推广和特殊化．第(3)题中若CD移动到与两圆相切于点C、D，那么结论又将变为∠CAD＝9
0°．
两圆的公切线
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圆与圆的位置关系教案 【教学目标】 1．能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 2．通过圆与圆的位置关系的学习，体会用代数方法解决几何问题的思想． 3．通过本节内容的学习，进一步体会到用坐标法解决几何问题的优越性，逐步养成自觉应用坐标法解决几何问题的习惯． 【教学重难点】 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系． 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系． 【教学过程】 ㈠复习导入、展示目标 问题：如何利用代数与几何方法判别直线与圆的位置关系？ 前面我们运用直线与圆的方程，研究了直线与圆的位置关系，这节课我们用圆的方程，讨论圆与圆的位置关系． ㈡检查预习、交流展示 1.圆与圆的位置关系有哪几种呢？ 2．如何判断圆与圆之间的位置关系呢？ ㈢合作探究、精讲精练 探究一：用圆的方程怎样判断圆与圆之间的位置关系？ 例1.已知圆 C 1：01322 2 =++++y x y x ，圆C 2 ： 02342 2 =++++y x y x ，是 判断圆C 1 与圆C 2 的位置关系. 解析：方法一，判断圆与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据连心线的长与两半径长的和或两半径长的差的绝对值的大小关系，判断圆与圆的位置关系. 解:(法一) 圆C 1 的方程配方,得4 923)1(2 2 = +?? ? ??++y x . 圆心的坐标是??? ??- -23,1,半径长2 3 1 =r . 圆C 2 的方程配方,得4 1723)2(2 2 = +? ? ? ??++y x .
圆心的坐标是?? ? ??--23,2,半径长 2 172= r . 连心线的距离为1, 217321+= +r r ,2 3 1721-=-r r . 因为 2 17 312317+<<-, 所以两圆相交. (法二) 方程 01322 2 =++++y x y x 与02342 2 =++++ y x y x 相减,得 2 1 = x 把2 1= x 代入01322 2=++++y x y x ,得 011242 =++y y 因为根的判别式016144>-=?,所以方程011242 =++y y 有两个实数根,因此两 圆相交. 点评:巩固用方程判断圆与圆位置关系的两种方法. 变式2 2 2 2 (1)(2)(2)1(2)(5)16x y x y ++-=-+-=与的位置关系 解：根据题意得，两圆的半径分别为1214r r ==和，两圆的圆心距 5.d == 因为 12d r r =+，所以两圆外切． ㈣反馈测试 导学案当堂检测 ㈤总结反思、共同提高 判断两圆的位置关系的方法: (1)由两圆的方程组成的方程组有几组实数解确定； (2)依据连心线的长与两半径长的和12r r +或两半径的差的绝对值的大小关系． 【板书设计】 一．圆与圆的位置关系 （1）相离，无交点 （2）外切，一个交点 （3）相交，两个交点；
与圆有关的位置关系（讲义）?知识点睛 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________． ①点在圆外?_____________； ②点在圆上?_____________； ③点在圆内?_____________． 三点定圆定理：_________________________________． 注：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r表示__________． ①直线与圆相交?____________； ②直线与圆相切?____________； ③直线与圆相离?____________． 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________； 切线的性质定理：__________________________________．*切线长定理：______________________________________ __________________________________________________．注：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆 的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．*3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示 _________． ①圆与圆外离?_________________； ②圆与圆外切?_________________； ③圆与圆内切?_________________； ④圆与圆内含?_________________； ⑤圆与圆相交?_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 正多边形的中心：___________________________________； 正多边形的半径：___________________________________； A
第11讲与圆有关的位置关系 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习与圆有 关的三类位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系，重点掌握各种与圆位置关系的判断方法，其次学习切线的有关性质与判定以及切线长定理及应用，能够结合已知题意证明相关切线，最后掌握圆的外接三角形与三角形内切圆概念。本节课的重点是三类位置关系的判断方法以及切线的性质与判定定理，属于中考重点内容，也是难点之一，希望同学们能够好好学习，扎实基础。 知识梳理 讲解用时：25分钟 与圆有关的位置关系 （1）点与圆的位置关系 点与圆的位置关系有3种，设⊙Ｏ的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有： ⊙点P在圆外⊙ｄ＞r ⊙点P在圆上⊙d=r ⊙点P在圆内⊙ｄ＜r 注意： 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆 心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系。
（2）直线与圆的位置关系 直线和圆的3种位置关系： ⊙相离：一条直线和圆没有公共点； ⊙相切：一条直线和圆只有一个公共点，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点； ⊙相交：一条直线和圆有两个公共点，这条直线叫圆的割线； 判断直线和圆的位置关系： ⊙直线l和⊙Ｏ相交⊙ｄ＜r ⊙直线l和⊙Ｏ相切⊙d=r ⊙直线l和⊙Ｏ相离⊙ｄ＞r （3）圆与圆的位置关系 ⊙外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部； ⊙相交：两个圆有两个公共点； ⊙内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部； ⊙内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部。 判断圆和圆的位置关系： ⊙两圆外离⊙ｄ＞R+r； ⊙两圆外切⊙d=R+r； ⊙两圆相交⊙Ｒ﹣r＜d＜R+r（R≥ｒ）； ⊙两圆内切⊙d=R﹣r（R＞r）； ⊙两圆内含⊙ｄ＜R﹣r（R＞r）．
点、直线、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 审稿： 【学习目标】 1.理解并掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2数量关系的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系
如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径
长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲
例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且
直线与圆、圆与圆的位置关系—知识讲解（提高） 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆、圆与圆的各种位置关系； 2.理解切线的判定定理、性质定理和切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，并熟练 掌握以上内容解决一些实际问题； 3.了解两个圆相离(外离、内含)，两个圆相切(外切、内切)，两圆相交，圆心距等概念．理解两圆的位 置关系与d、r1、r2之间的等价条件并灵活应用它们解题． 【要点梳理】 要点一、点和圆的位置关系 1．点和圆的三种位置关系： 由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有 2．三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等. 要点诠释： （1）点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系； （2）不在同一直线上的三个点确定一个圆. 要点二、直线和圆的位置关系 1．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线． (2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． (3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 2．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径．
o C B A 24．2．1 点和圆的位置关系（第六课时） 一．学习目标： 1、掌握点和圆的三种位置关系及数量间的关系， 2、通过探求点和圆三种位置关系，渗透数形结合、分类讨论等数学思想 二．学习重点、难点： 重点：点和圆的三种位置关系； 难点：点和圆的三种位置关系及数量间的关系； 教学过程 一、预习检测： 1、圆的定义是 2、放暑假了,爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞掷飞镖比赛。他们把靶子钉在一面墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜。如下图中A 、B 、C 三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，就这一轮来讲，很显然，_____的成绩好。 若把靶子看作以O 点为圆心的圆，你能得出点和圆有几种位置关系吗？ 二、合作探究： （一）自学指导： 阅读课本P92 并完成以下各题 点和圆的位置关系：若设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那点和圆的位置关系可表示成怎样的数量关系？ ?d ＞r ； ?d=r ?d ＜r （二）交流展示，精讲解惑 例：如图，在ABC ?中，?=∠90ACB ，?=∠30A ，AB CD ⊥，cm AC 3=，以点C 为圆心，3cm 为半径画⊙C ，请判断A 、B 、D 与⊙C 的位置关系，并说明理由. （三）当堂训练 1、已知⊙O 的半径为5cm ，有一点P 到圆心O 的距离为3cm ，求点P 与圆有何位置关系？ 2、⊙O 的半径为10cm ，A 、B 、C 三点到圆心的距离分别为8cm 、10cm 、12cm ，则点A 、B 、C 与 ⊙O 的位置关系是：点A 在 ；点B 在 ； 点C 在 ； 3、若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P 的坐标（5，8），则点P 的位置为（ ） A ．⊙A B ．⊙A 上 C ．⊙A 外 D ．不确定 4、⊙O 的直径18cm ，根据下列点P 到圆心O 的距离，判断点P 和圆O 的位置关系． （1）PO ＝8cm （2）PO ＝9cm （3）PO ＝20cm 5、已知⊙O 的半径为5cm ，P 为一点，当cm OP 5=时，点P 在 ；当OP 时， 点P 在圆；当cm OP 5>时，点P 在 . 6、正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A 。 课后反思：
如何讲解直线与圆位置关系 【摘要】我觉得在整个数学教学过程中，既要体现学生的主体地位，更要强调教师的主导地位，所以尽量恰当的利用多媒体课件并采用“启发式”问题教学法，科学地教会学生清晰的思维和严谨的推理模式。 【关键词】直线与圆位置关系 一、巧妙提问题，创情景引入 问题1“轮船的航线和台风的问题” 问题2直线与圆有哪些位置关系？请学生例举生活中具有直线与圆位置关系的事物。 问题3从“形”上来看，可以用哪些数学量来判断直线与圆的位置关系？ 问题4三种位置关系下，直线与圆的公共点个数分别在发生哪些改变？ 问题5我们现在已学习了直线的方程和圆的方程，怎样根据这两个方程来判断直线与圆的位置关系？ 设计意图。通过上述问题，把学生的思维从生活中引进数学，激发学生学习的好奇心和探究意识。问
题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始抓住了学生的注意力，此时再深入问题，进入第二环节. 二、自己建构知识，探究发现问题 （学生活动）学生对于以上问题1，在图形的情境下，很容易想到初中熟悉的知识，然后对问题1到4给出答案，问题5从“形”的研究变成了“数”的研究，学生可能一时回答不出来。 （教师活动）学生解决的问题3就是判断直线与圆位置关系的“几何法”，即通过圆心到直线的距离与半径的大小进行比较来判断位置关系，让学生画出三种位置关系的图示，同桌之间总结对应的圆心到直线的距离与半径的大小关系。 （学生活动）完成直线与圆三种位置关系与公共点个数的表格。为了引导学生解决问题5，先让学生思考求直线与圆的公共点的求法，进一步提出：问题6求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系。 （学生活动）通过观察，从两直线的交点坐标的求解是联立方程组得到的这一思想出发，可初步得到求直线与圆的交点的坐标也可转化为求的解。 （教师活动）在引导学生解决问题6同时，诱导学生对于方程组的解的个数与交点的个数，及直线与圆的位置关系的进一步的思考。再提出：问题7 方程
5.6 圆与圆的位置关系 学习目标 1.了解圆与圆的5种位置关系。 2.经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并运用相关结论解决问题。 知识详解 1.定义： （1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离。 外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离。（图（1）） 内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含（图（5））。两圆同心是两圆内含的一个特例。（图（6）） （2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切 外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（2）） 内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切。这个唯一的公共点叫做切点。（图（4）） （3）两个圆有两个公共点，此时叫做这两个圆相交。（图（3）） 注意： （1）两圆外离与内含时，两圆都无公共点，但同时要考虑内部和外部的因素。两圆外切与内切也有这样的比较。 （2）两圆外切和内切统称两圆相切，即外切和内切的共性是公共点的个数唯一。 （3）两圆位置关系的五种情况也可归纳为三类：相离（外离和内含）；相交；相切（外切和内切）。 从两圆的公共点的个数考虑，无公共点则相离；有一个公共点则相切；有两个公共点则相交。除以上关系外，还有一种关系：“不在同一直线上的三个点确定一个圆”判断出这两个圆是同一个圆。即重合；在同一平面内任意两圆只存在以上五种位置关系。 2. 两圆位置关系的数量特征
圆与圆的位置关系 【教学目标：】 1、 知道圆与圆之间的五种位置关系. 2、 经历探索两圆的位置关系与两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系的过程，并能运用相 关结论解决有关问题. 3、 在动手实践的过程中体会分类的思想，增强探究的意识和能力. 【教学重点、难点：】 知道圆与圆之间的五种位置关系及两圆半径、圆心距的数量关系间的内在联系 【教学过程：】 一、创设情境 导入新课 1、导入：我们已研究过点与圆、直线与圆的位置关系。 直线与圆的有几种位置关系？有几种判定方法？（板书：公共点个数、d 与r 的数量关系） 过渡：那么圆与圆又有怎样的位置关系呢？（板书课题） 2、操作与思考：（1）画⊙O 1 （2）拿出透明纸上的⊙O 2，放在同一平面内，让 ⊙O 2 从⊙O 1的外部逐渐向⊙ O 1移动. （3）在移动过程中，⊙O 1与⊙O 2的位置关系发生了怎样的变化？你能描述这种 变化吗？ 3、多媒体展示5种位置关系的图片 【设计意图：通过情境，唤醒旧知，为用类比迁移的办法研究圆与圆的位置关系作铺垫】 二、探索新知： 1、问题：你能把上述位置归类吗？你为什么这样归类？ 2、归纳： 1）两圆位置关系的五种情况归纳为三类： 相离 、 相切 、 相交 . （1）两圆相离包括外离和内含 （2）两圆相切包括外切和内切； 2）给出五种情况具体的描述性定义 (1）外离： （2）外切： （3）相交： （4）内切： （5）内含： （同心圆是特例） 【设计意图：通过公共点的个数说明两圆的位置关系，形象直观】 3、介绍连心线（过两圆圆心的直线）.问：上述图形有何特征？（轴对称图形） 4、观察并思考：两圆的切点与连心线有什么关系？ （如果两圆相切，那么切点一定在连心线上）
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
考点一 直线与圆的位置的关系 【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文）） 若直线y b = +与圆221x y +=相切， 则b =（ ） A ．3 ± B ． C ．2± D ．【答案】C 【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0） 1,2b =∴=±.故选C 【一隅三反】 1．（2018·福建高一期末）若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆22:4230C x x y y ++-+=相切，则直线l 与 圆2 2:(2)3D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 【答案】A 【解析】圆C 的方程可化为()()2 2 212x y ++-=，故圆心为()2,1C - ，半径C r =.由于直线l ： 10kx y -+=和圆C =k 0<解得1k =-，所以直线l 的方程为 10x y --+=，即10x y +-=.圆D 的圆心为()2,0D ，半径为D r D 到直线l 的距离为 2 = 【答案】D 【解析】圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为(0,0)O ，半径为1， 因为圆心(0,0)O 到直线y ＝x ﹣1 12 = <， 所以直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1相交， 因为001≠-，所以直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为相交但直线不过圆心. 故选：D 3．（2020·辉县市第二高级中学高二期中（文））“点(),a b 在圆22 1x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆 221x y +=相离”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若点(),a b 在圆2 2 1x y +=内，则221a b +< 则圆心O 到直线10ax by ++= 的距离1d => 则直线10ax by ++=与圆2 2 1x y +=相离 反之直线10ax by ++=与圆22 1x y +=相离，则圆心O 到直线10ax by ++= 的距离1d = >， 即221a b +<，则点(),a b 在圆2 2 1x y +=内 所以“点(),a b 在圆2 2 1x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆2 2 1x y +=相离”的充分必要条件 故选：C 考点二 弦长 【例2】（2020·全国高三其他（文））直线21y x =+被圆2 2 1x y +=截得的弦长为（ ） A ．1 B C ． 5 D 【答案】C 圆与圆的位置关系Revised on November 25, 2020 第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一 .直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： > （1）直线l和⊙O相离?d r 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l 和⊙O 相切 ?d r = 此时:直线和圆有唯一公共点，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点． （3）直线l 和⊙O 相交 ?0d r ≤< 此时:直线与圆有两个公共点，这时的直线叫做圆的割线． 2. 切线 的判定定 理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的性质: （1）与圆只有一个公共点； （2）圆心到切线的距离等于半径； （3）圆的切线垂直于过切点的半径. 切线的识别: （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况 : l l （1 （2 （3 （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二. 圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、内含. 圆心距：两圆圆心的距离叫做圆心距. 设两圆的圆心距为12O O d =，半径为0r R <<，则有： （1）外离：没有公共点 ，两圆外离? d R r >+ （2）外切：有唯一的公共点，两圆外切?d R r =+ （3）相交：有两个公共点， 两圆相交?R r d R r -<<+ （4）内切：有唯一的公共点，两圆内切?d R r =- （5）内含：没有公共点，两圆内含?0d R r ≤<- （1） （2） （3） （4） （5） 2. 相切两圆的性质 连心线：经过两个圆的圆心之间的直线. 相切两圆的性质：相切两圆的连心线经过切点. 注 ：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 5.5 直线与圆的位置关系 学习目标 1．复习切线的概念，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。2．理解切线的性质并能熟练运用. 知识详解 1. 直线与圆的位置关系的定义及有关概念。 直线和圆有三种位置关系：相交、相切、相离 （1）直线与圆相交：直线与圆有两个公共点时，这条直线叫做圆的割线，交点叫做割点。 （2）直线与圆相切：直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。 （3）直线与圆相离：直线与圆没有公共点，叫做直线与圆相离。 2. 直线与圆的位置关系的性质和判定。 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d （1）直线l与⊙O相交＜＝＞d＜r； （2）直线l与⊙O相切＜＝＞d＝r； （3）直线l与⊙O相离＜＝＞d＞r。 3. 切线的性质定理： （1）文字语言：圆的切线垂直于过切点的半径 （2）符号语言：∵直线l切⊙O于点A，∴l⊥AO 4. 切线的判定定理： （1）文字语言：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）符号语言：∵OA⊥AB，A在⊙O上，∴AB是⊙O的切线。 说明：一条直线只有同时满足上述定理中的两个条件时，才是圆的切线，千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线。 5. 切线的判定方法。 判定切线有三种方法： 方法：（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。 （2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线。 （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 说明：在证明切线的过程中，有时需添加半径，有时需添加垂线段，这两种方法简记为（1）“连半径，证垂直”（2）“作垂直，证半径” 6. 三角形内切圆的作法。 已知：△ABC，求作ABC的内切圆 7. 三角形的内切圆，三角形内心的概念。 与三角形三边都相切的圆有且只有一个，这个圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 如图：⊙O为△ABC的内切圆，O为△ABC的内心。 说明：（1）三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，即当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线平分三角形的内角。 （2）三角形的内心到三边的距离是相等的。 8. 三角形内心与外心的区别。 三角形的内心是三个角平分线的交点，它到三边的距离相等， 三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。 9.切线长的概念。 已知过圆外一点P可以作圆的两条切线，点P与两切点之间的线段的长叫做点P到⊙O 的切线长。 切线是直线，不可度量，而切线长是线段，可以度量，两者区别很明显。 10.切线长定理。 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 【典型例题】 例1. 如图，直线l与⊙O的位置关系为（） A．相交 B．相切 C．相离 4.2.2 圆与圆的位置关系 一、内容和内容解析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修2》第四章第4.2.2节《圆与圆的位置关系》第一课时，主要内容有用坐标法判断圆与圆的位置关系，两圆相交时的相交弦方程。 从教材安排顺序来看，在本小节之前学生学习了直线的方程、圆的方程，能够运用方程研究直线与直线、直线与圆的位置关系，再学习圆与圆的位置关系，旨在本章初步形成坐标法研究几何问题的基本思想和解题步骤，为后面选修系列1-1、2-1中的“圆锥曲线与方程”等解析几何的学习打下基础。 本节课主要通过类比直线和圆的位置关系，利用数形结合思想，用坐标法来研究圆与圆的位置关系，一种方法是找到代数方程中的几何量（圆的圆心和半径），利用圆心距与半径和差的大小进行比较来得到两圆的位置关系；另一种方法是利用方程的思想，通过研究方程组的解的个数翻译为几何图形的公共点的个数，从而得出两圆的位置关系。在熟练运用之后，能够对两种方法的优劣作一个简单的对比，并能用圆的方程通过数形结合的思想解决一些简单的几何问题。 二、目标与目标分析 1.掌握判断两个圆的位置关系的方法，能够根据给定的圆的方程判断圆与圆的位置关系； 2.理解两种判断方法的数学本质与不同的适用范围； 3.通过方程与曲线的关系，理解两圆相交时相交弦方程的得来。 其中教学重点是：圆与圆的位置关系的两种判定方法及其操作步骤；教学的难点是：两种判断方法的数学本质与适用范围。 三、教学问题分析 学生在第三章以及第四章的前面小节已经学习和研究了直线的方程、直线与直线的位置关系、圆的方程、圆与圆的位置关系，初步了解了坐标法的思想与方法，能够数形结合利用方程解决一些简单的几何问题，具备了良好的学习基础，在本堂课的学习中可能在以下方面还存在一些问题： 直线与圆、圆与圆的位置关系知识点及题型归纳 知识点精讲 一、 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交 二、 直线与圆的位置关系判断 1. 几何法（圆心到直线的距离和半径关系） 圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则 d = 则d r ?直线与圆相离 2. 代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数） 由222 0()()Ax By C x a y b r ++=?? -+-=? ，消元得到一元二次方程20px qx t ++=，2 0px qx t ++=判别式为?，则： 则0?>?直线与圆相交； 0?=?直线与圆相切； 0?），且两圆的圆心距为d ，则： 则d R r <+?两圆相交； d R r =+?两圆外切； R r d R r -<<+?两圆相离 d R r =-?两圆内切； 0d R r ≤<-?两圆内含（0d =时两圆为同心圆） 四、 关于圆的切线的几个重要结论 （1） 过圆222 x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=. （2） 过圆 222 ()()x a y b r -+-=上一点 00(,) P x y 的圆的切线方程为 200()()()()x a x a y b y b r --+--= （3） 过圆 220 x y Dx Ey F ++++=上一点 00(,)P x y 的圆的切线方程为 00 00022 x x y y x x y y D E F ++++? +?+= （4） 求过圆2 2 2 x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条； ②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论.设切线方程为00()y y k x x -=-，利用圆心 直线与圆的位置关系—知识讲解 【学习目标】 1.理解并掌握直线与圆的三种位置关系； 2.理解切线的判定定理和性质定理. 【要点梳理】 要点一、直线与圆的位置关系 1.切线的定义： 直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切. 2．直线和圆的三种位置关系： (1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交． (2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点． (3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 3．直线与圆的位置关系的判定和性质． 直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 一般地，直线与圆的位置关系有以下定理： 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么， （1）d＜r直线l与⊙O相交； （2）d=r直线l与⊙O相切； （3）d＞r直线l与⊙O相离. 要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 要点二、切线的性质定理和判定定理 1．切线的性质定理： 圆的切线垂直于过切点的半径. 要点诠释： 切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直. 2．切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 要点诠释： 切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 要点三、三角形的内切圆 1．三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 要点诠释： (1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； (2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). 【典型例题】 类型一、直线与圆的位置关系 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？ (1)r=2厘米； (2)r=2.4厘米； (3)r=3厘米 【答案与解析】 解：过点C作CD⊥AB于D， 在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=3，BC=4，得AB=5， ，∴AB·CD=AC·BC， ∴ AC BC34 CD===2.4 AB5 ?? (cm)， 初中数学：圆与圆的位置关系 1．理解直线与圆的位置关系； 2．能够证明切线及利用切线解决相关问题． 美丽的日食 模块一．圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系可以是两圆相交．两圆相切(内切或外切)．两圆相离．两圆内含． 设两个圆为1O e ．2O e ，半径分别为1R ．2R ，且12R R ≥，1O 与2O 间距离为d ，那么就有 12d R R >+?两圆相离； 12d R R =+?两圆相外切； 12d R R =-?两圆相内切； 1212R R d R R -<<+?两圆相交； 12d R R <-?两圆内含(这里12R R ≠)． 2. 连心线的性质 连心线是指通过两圆圆心的一条直线．连心线是它的对称轴． 两圆相切时，由于切点是它们唯一的公共点，所以切点一定在对称轴上． 如果两圆1O e ．2O e 相交于A ．B 两点，那么12O O 垂直平分AB ． 例题精讲 重难点 课前预习 如果两个半径不相等的圆1O ．圆2O 相离，那么内公切线交点．外公切线交点都在直线12O O 上，并且 直线12O O 上，并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角． 如果两条外公切线分别切圆1O 于A ．B 两点．切圆2O 于C ．D 两点， 那么两条外公切线长相等，且AB ． CD 都被12O O 垂直平分． 【例1】 （2011?张家界）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆 的半径是（ ） A ．16厘米 B ．10厘米 C ．6厘米 D ．4厘米 【巩固】（2011?襄阳）在ABC △中，90C ∠=?，3AC cm =，4BC cm =．若A e ，B e 的半径分别为1cm ， 4cm ，则A e 与B e 的位置关系是（ ） A ．外切 B ．内切 C ．相交 D ．外离 【巩固】（2010?泸州）已知1O e 与2O e 的半径分别为2和3，若两圆相交，则两圆的圆心距m 满足（ ） A ．5m = B ．1m = C ．5m > D ．15m << 【巩固】（2010?黔南州）已知1O e 和2O e 的半径分别为1和4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距12 O O 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【巩固】（2011?台湾）若有两圆相交于两点，且圆心距离为13公分，则下列哪一选项中的长度可能为此两 圆的半径（ ） A ．25公分，40公分 B ．20公分，30公分 C ．1公分，10公分 D ．5公分，7公分 【巩固】（2010?淄博）已知两圆的半径分别为R 和r （R r >），圆心距为d ．如图，若数轴上的点A 表示R r -， 点B 表示R r +，当两圆外离时，表示圆心距d 的点D 所在的位置是（ ） A ．在点 B 右侧 B ．与点B 重合 C ．在点A 和点B 之间 D ．在点A 左侧 【例2】 （2011?台湾）如图，圆A ．圆B 的半径分别为4．2，且?12AB =．若作一圆C 使得三圆的圆心 在同一直在线，且圆C 与圆A 外切，圆C 与圆B 相交于两点，则下列哪个是圆C 的半径 典题精讲 例1如图2-3-(3,4)-3已知圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的两交点为P 、Q ，且OP ⊥OQ(O 为原点)，求圆的方程. 图2-3-(3,4)-3 思路分析:涉及到直线与圆的交点问题，可以联立方程求解. 解法一:设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2). 由???=+-++=-+, 06,03222c y x y x y x 消去x,得(3-2y)2+y 2+(3-2y)-6y+c=0， 即5y 2-20y+12+c=0. 由韦达定理，得y 1+y 2=4，y 1y 2= 512c +. 如图2.3(3.4)3所示， ∵OP ⊥OQ ， ∴2 211x y x y ?=-1， 即123232 211-=-?-y y y y . 解得9-6(y 1+y 2)+5y 1y 2=0. ∴9-6×4+5× 512c +=0，解得c=3. 从而所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0. 解法二:设过圆x 2+y 2+x-6y+c=0与直线x+2y-3=0的交点P 、Q 的圆的方程为x 2+y 2+x-6y+c+λ(x+2y -3)=0， 即x 2+y 2+(1+λ)x -(2λ-6)y+c-3λ=0. ∵OP ⊥OQ ，故该圆过原点,c-3λ=0,① 且圆心(21λ+-，2 62--λ)在直线x+2y-3=0上, 21λ+-+2·(2 62--λ)-3=0.② 由①②求得λ=1，c=3. 故所求圆的方程为x 2+y 2+x-6y+3=0. 绿色通道：在解析几何中，更多的是把垂直转化为斜率问题，而较少利用勾股定理.在判定直线与圆的位置关系时，应选择能体现圆的几何性质的方法，即用圆心到直线距离与半径作比较，这样更简捷. 与圆有关的位置关系及圆中的计算（讲义） ?课前预习 1.半径为r的圆的周长为__________，面积为__________． 2.如图，圆心角为n°的扇形的弧长为_______，面积为________． 3.已知圆上一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为120°，则圆的半径为____________． 4.默写圆周角定理的相关推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 推论2：________________________________________； _______________________________________________． 推论3：圆内接四边形对角互补． 5.我们知道扇形能够围成圆锥，如图，从半径为4的⊙O上剪下一个圆心角度数为n的扇形，用其 围成一个圆锥，在围成的过程中，扇形的弧长与底面圆的周长恰好相等．已知圆锥底面圆的半径为1，则n的值为__________． 6.根据给出的圆锥的相关信息，画出圆锥的三视图，并标注相关线段长． ?知识点睛 与圆有关的位置关系， 关键是找d．和r．． 1.点与圆的位置关系 d表示__________的距离，r表示___________．①点在圆外：_____________； A 主视图左视图俯视图 ②点在圆上：_____________； ③点在圆内：_____________． 2.直线与圆的位置关系 d表示__________________的距离，r 表示__________． ①直线与圆相交：____________； ②直线与圆相切：____________； ③直线与圆相离：____________． 切线的性质定理：__________________________________； 切线的判定定理：__________________________________ __________________________________________________． *切线长定理：______________________________________ __________________________________________________． *3. 圆与圆的位置关系 d表示__________的距离，R表示________，r表示_________． ①圆与圆外离：_________________； ②圆与圆外切：_________________； ③圆与圆内切：_________________； ④圆与圆内含：_________________； ⑤圆与圆相交：_________________． 4.圆内接正多边形 _______________________________叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的_________. 中心角：___________________________________________； 边心距：___________________________________________． 5.圆中的计算公式 弧长公式：____________________． 扇形面积公式：①________________；②________________． 圆锥的侧面积公式：_________________________________． 圆锥的全面积公式：__________=__________+__________． 扇形及其所围圆锥间的等量关系： ①________________________________________________； ②________________________________________________． ?精讲精练 1.矩形ABCD中，AB=8，BC ，点P在AB边上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心， PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（） A．点B，C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内 C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B，C均在圆P内 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=60°，BC=4 cm，以点C为圆 A圆与圆的位置关系
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