关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨——_曲面曲线的基本公式及其系数的几何意义_的教学设计

关于微分几何中曲面曲线教学的一些探讨——"曲面曲线的基

本公式及其系数的几何意义"的教学设计

作者：苏雅拉图， 额尔敦巴雅尔

作者单位：苏雅拉图(内蒙古师范大学,数学科学学院)， 额尔敦巴雅尔(内蒙古师范大学,附属中学,内蒙古,呼和浩特,010022)

刊名：

内蒙古师范大学学报（教育科学版）

英文刊名：JOURNAL OF INNER MONGOLIA NORMAL UNIVERSITY(EDUCATION SCIENCE)

年，卷(期)：2008,21(1)

参考文献(7条)

1.M P do Carmo Differential Geometry of Curvesand Surfaces 1976

2.王幼宇.刘继志微分几何讲义 2005

3.梅向明.黄敬之微分几何 2004

4.姜国英.陈维恒微分几何 1992

5.陈省身.陈维恒微分几何 1983

6.吴大仁微分几何 1982

7.苏步青.胡和生.沈纯理微分几何 1980

本文链接：https://www.doczj.com/doc/af11667287.html,/Periodical_nmgsfdxxb-jykx200801038.aspx

平曲线要素计算

拉坡后，坡度差已知，变坡点高程已知，切线上各点和高程也就知道了。选定竖曲线半径R ，用竖距计算公式求出切线上各点的竖距，切线高程减竖距就是竖曲线高程。竖距公式如下： 一、路线转角、交点间距的计算 （一）在地形图上量出路线起终点及各路线交点的坐标： ()()()21Q 23810,27180JD 2399626977JD 2468426591D 、，、，、()3JD 24848025885，、()4JD 2535025204，、()ZD 2606225783， （二）计算公式及方法 设起点坐标为()00,QD X Y ，第i 个交点坐标为(),,1,2,3,4,i i i JD X Y i =则坐标增量11,i i i i DX X X DY Y Y --=-=- 交点间距D =象限角 arctan DY DX θ= 方位角A 是由象限角推算的： 转角1i i i A A α-=- 1.1JD QD 与之间： 坐标增量10=2396623810=1860DX X X =--> 1026977271802030DY Y Y =-=-=-<

交点间距275.33D m === 象限角 203 arctan arctan 47.502186 DY DX θ-=== 方位角036036047.502312.498A θ=-=-= 2.12JD JD 与之间： 坐标增量21X =2468423966=6880DX X =--> 21Y 26591269773860DY Y =-=-=-< 交点间距788.89D m === 象限角 386 arctan arctan 29.294688 DY DX θ-=== 方位角136036029.294330.706A θ=-=-= 转角110=330.706312.49818.208A A α-=-= 3. 23JD JD 与之间： 坐标增量32X =2484024684=1560DX X =--> 32Y 25885265917060DY Y =-=-=-< 交点间距723.03D m === 象限角 706 arctan arctan 77.54156 DY DX θ-=== 方位角236036077.54282.46A θ=-=-= 转角221=282.46330.70648.246A A α-=-=- 4. 34JD JD 与之间： 坐标增量43X =2535024840=5100DX X =--> 43Y 25204258856810DY Y =-=-=-< 交点间距850.8D m === 象限角 510 arctan arctan 53.171681 DY DX θ===- 方位角336036053.171306.829A θ=-=-= 转角332=306.829282.4624.369A A α-=-=

4.5常见曲面的参数方程

§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为

2.2常见曲线的参数方程

2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，和小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程和普通方程的互化

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人教B版选修44

高中数学第2章参数方程2.4一些常见曲线的参数方程讲义新人 教B 版选修44 学习目标：1.了解圆的渐开线和摆线的参数方程．(重点)2.了解渐开线与摆线的参数方程的推导过程．(难点) 1．摆线 (1)定义 一圆周沿一直线作无滑动滚动时，圆周上的一定点M 的轨迹称为摆线． (2)参数方程 ????? x ＝a (t －sin t )y ＝a (1－cos t ) (t 是参数)． 2．圆的渐开线 (1)定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定不动的圆盘的侧面上，把绳拉紧逐渐展开，绳的外端点随之移动，且绳的拉直部分始终和圆相切．绳的端点移动的轨迹就是一条圆的渐开线，固定的圆称为渐开线的基圆． (2)参数方程 ? ?? ?? x ＝a (cos t ＋t sin t )y ＝a (sin t －t cos t )(t 是参数)． 思考：圆的渐开线和摆线的参数方程中，参数t 的几何意义是什么？ [提示] 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母a 是指基圆的半径，而参数t 是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角 t .显然点M 由参数t 惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐 标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单． 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母a 是指定圆的半径，参数t 是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A ．只有圆才有渐开线 B ．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形 C ．正方形也可以有渐开线 D ．对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 [解析] 不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线；渐开线和摆线的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同；对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同． [答案] C 2．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12π D ．14π [解析] 根据条件可知圆的摆线的参数方程为? ?? ?? x ＝3t －3sin t y ＝3－3cos t (t 为参数)，把y ＝0代 入可得cos t ＝1，所以t ＝2k π(k ∈Z )．而x ＝3t －3sin t ＝6k π(k ∈Z )．根据选项可知应选C. [答案] C 3．半径为4的圆的渐开线的参数方程是________． [解析] 将a ＝4代入圆的渐开线方程即可． [答案] ? ?? ?? x ＝4(cos t ＋t sin t ) y ＝4(sin t －t cos t ) 4．给出某渐开线的参数方程? ?? ?? x ＝3cos t ＋3t sin t y ＝3sin t －3t cos t (t 为参数)，根据参数方程可以看 出该渐开线的基圆半径是______，当参数t 取π 2 时，对应的曲线上的点的坐标是________． [解析] 与渐开线的参数方程进行对照可知，a ＝3，即基圆半径是3，然后把t ＝π 2代入， 可得????? x ＝3π2，y ＝3. [答案] (3π 2 ，3)

第三章 常见曲面球面和旋转面

第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂

足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的

缓和曲线要素及公式介绍

11.2.1 带缓和曲线的圆曲线的测设 为了保障车辆行驶安全，在直线和圆曲线之间加入一段半径由∞逐渐变化到R的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 目前常用的缓和曲线多为螺旋线，它有一个特性，曲率半径ρ和曲线长度l成反比。数学表达为： ρ∝1/l 或ρ·l = k ( k为常数) 若缓和曲线长度为l0，和它相连的圆曲线半径为R，则有： ρ·l = R·l0 = k 目前我国公路采用k = 0.035V3（V为车速，单位为km/h），铁路采用k = 0.09808V3，则公路缓和曲线的长度为l0 = 0.035V3/R , 铁路缓和曲线的长度为：l0 = 0.09808V3/R 。 11.2.2 带缓和曲线的圆曲线的主点及主元素的计算 带缓和曲线的圆曲线的主点有直缓点ZH、缓圆点HY、曲中点QZ、圆缓点YH、缓直点HZ 。

带缓和曲线的圆曲线的主元素及计算公式： 切线长 T h = q＋(R＋p)·tan(α/2) 曲线长 L h = 2l0＋R·(α－2β0)·π/180° 外矢距 E h = (R＋p)·sec(α/2)－R 切线加长 q = l0/2－l03/(240R2) 圆曲线相对切线内移量 p = l02/(24R) 切曲差 D h = 2T h －L h 式中：α 为线路转向角；β0为缓和曲线角；其中q、p、β0缓和曲线参数。 11.2.3 缓和曲线参数推导 dβ = dl/ρ = l/k·dl 两边分别积分，得： β= l2/(2k) = l/(2ρ)

当ρ = R时，则β =β0 β0 = l0/(2R) 若选用点为ZH原点，切线方向为X轴，垂直切线的方向为Y轴，建立坐标系，则： dx = dl·cosβ = cos[l2/(2k)]·dl dy = dl·sinβ = sin[l2/(2k)]·dl 考虑β很小，sinβ和cosβ即sin(l2/(2k))和cos(l2/(2k))可以用级数展开，等式两边分别积分，并把k = R·l0代入，得以曲线 长度l为参数的缓和曲线方程式： X = l－l5/(40R2l02)＋…… Y = l3/(6Rl0)＋…… 通常使用上式时，只取前一、二项，即： X = l－l5/(40R2l02) Y = l3/(6Rl0) 另外，由图可知， q = X HY－R·sinβ0 p = Y HY－R(1－cosβ0) 以β0= l0/(2R)代入，并对sin[l0/(2R)]、cos[l0/(2R)]进行级数展开，取前一、二项整理可得：q = l0/2－l03/(240R2) p = l02/(24R) 若仍用上述坐标系，对于圆曲线上任意一点i，则i点的坐标X i、Y i可以表示为： Xi = R·sinψi＋q Yi = R·(1－cosψi)＋p 11.2.4 带缓和曲线的圆曲线的主点桩号计算及检核 ZH桩号 = JD桩号－T h

微分几何第四版答案(三)曲面的第二基本形式

§3曲面的第二基本形式 1. 计算悬链面r r ={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式. 解 u r ={sinhucosv,sinhusinv,1},v r ={-coshusinv,coshucosv,0} uu r ={coshucosv,coshusinv,0},uv r ={-sinhusinv,sinhucosv,0}, vv r ={-coshucosv,-coshusinv,0},2u r E = cosh 2u,v u r r F =0,2v r G =cosh 2u. 所以错误!未找到引用源。 = cosh 2u 2du + cosh 2u 2dv . n = 2 F E G r r v u = }sin sinh ,sin cosh ,cos cosh {cosh 1 2 v u v u v u u , L=11 sinh cosh 2 u , M=0, N= 1 sinh cosh 2 u =1 . 所以错误!未找到引用源。 = -2du +2dv 。 2. 计算抛物面在原点的2 2212132452x x x x x 第一基本形式,第二基本形式. 解 曲面的向量表示为}22 5,,{22212121x x x x x x r , }0,0,1{}25,0,1{)0,0(211 x x r x ,}0,1,0{}22,1,0{)0,0(212 x x r x ,}5,0,0{11 x x r , }2,0,0{21 x x r ,}2,0,0{22 x x r , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , 错误!未找到引用源。=2221dx dx , 错误!未找到引用源。=2 22121245dx dx dx dx . 3. 证明对于正螺面r r ={u v cos ,u v sin ,bv},-∞

圆曲线要素及计算公式

圆曲线要素及计算公式

前言 《礼记》有云：大学之道，在明德，在亲民。在提笔撰写我的毕业设计论文的时候，我也在向我的大学生活做最后的告别仪式。我不清楚过去的一切留给现在的我一些什么，也无从知晓未来将赋予我什么，但只要流泪流汗，拼过闯过，人生才会少些遗憾！ 非常幸运能够加入水利工程这个古老而又新兴的行业，即将走向工作岗位的时刻，我仿佛感受到水利行业对我赋予新的历史使命，水利是一项以除害兴利、趋利避害，协调人与水、人与大自然关系的高尚事业。水利工作，既要防止水对人的侵害，更要防止人对水的侵害；既要化解自然灾害对人类生命财产的威胁，又要善待自然、善待江河、善待水，促进人水和谐，实现人与自然和谐相处。这种使命，更让我用课堂中的知识用于实际生产中来。特别是这两个月来的毕业设计，我越发感觉到学会学精测量基础知识对于我贡献水利是多么的重要。所以，我越发不愿放弃不多的大学时光，努力提高自己的实践动手能力，而本学期的毕业设计，为我提供了绝好的机会，我又怎能放弃？

刚刚从老师那里得到毕业设计的题目和任务时，我的心里真的没底。作为毕业设计的主体工作，我们主要运用电子水准仪对某幢建筑物进行变形观测与计算，布设控制点进行平面控制测量和高程控制测量；用全站仪进行了中心多边行角度和距离的测量，并用条件平差原理进行平差，通过控制点的放样来计算土的挖方量，还有圆曲线的计算与测设。而我研究的毕业课题是圆曲线测设。 大学的最后一个学期过得特别快，几乎每天扛着仪器，奔走在校园的每个角落，生活亦很有节奏。今天我提笔写毕业论文，我的毕业设计也接近尾声。不管成果如何，毕竟心里不再是没底了，挑着两个多月的辛苦换来的数据和成果，并不断的完善他们，心里感觉踏实多了。 在本次毕业设计论文的设计中要感谢水利系为我们的工作提供了测量仪器，还有各指导老师的教导和同学的帮助。 摘要：在公路、铁路的路线圆曲线测设中，一般是在测设出曲线各主点后，随之在直圆点或圆直点进行圆曲线详细测设。本文通过仪器安置

教程(圆曲线缓和曲线计算公式

[教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公 式) 未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院 第九章道路工程测量 (road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设 一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量 (road construction survey) 。 （一）勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey)

1、初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图 (topographical map of a zone) 和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量 (road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。 本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。 二、中线测量 (center line survey) 1、平面线型：由直线和曲线（基本形式有：圆曲线、缓和曲线）组成。 2、概念：通过直线和曲线的测设，将道路中心线的平面位置测设到地面上，并测出其里程。即测设直线上、圆曲线上或缓和曲线上中桩。 三、交点 JD(intersecting point) 的测设 （一）定义：路线的转折点，即两个方向直线的交点，用 JD 来表示。 （二）方法： 1、等级较低公路：现场标定 2、高等级公路：图上定线——实地放线。

缓和曲线要素及计算公式

缓和曲线要素及计算公式 缓和曲线：在直线与圆曲线之间加入一段半径由无穷大逐渐变化到圆曲线半径的曲线，这种曲线称为缓和曲线。 缓和曲线的主要曲线元素 缓和曲线主要有ZH 、HY 、QZ 、YH 、HZ 5个主点。 由此可得： q P R q T T h ++=+=2 tan )(α R P R E h -+=2 sec )(α s h L R L 2180)2(0+-=πβα 180 )2(0R L y πβα-= 式中：h T －缓和曲线切线长 h E －缓和曲线外矢距 h L －缓和曲线中曲线总长 y L －缓和曲线中圆曲线长度

缓和曲线与圆曲线区别： 1. 因为缓和曲线起始端分别和直线与圆曲线顺滑的相接，因此必须将原来的圆曲线向内移动一段距离才能够接顺，故曲线发生了内移（即设置缓和曲线后有内移值P 产生） 2. 缓和曲线的一部分在直线段，另一部分插入了圆曲线，因此有切线增长值q; 3. 由于有缓和曲线的存在，因此有缓和曲线角0β。 缓和曲线角 0β的计算： R L S 2/0=β(弧度)= R L S π90 (度) 内移值P 的计算： ()m R L P S 242 = 切线增长值q 的计算： )(240223 m R L L q S S -= P －缓和曲线内移值 q －缓和曲线切线增长值 0β－缓和曲线首或尾所采用的缓和曲线段分别的总缓和曲线角。 S L －缓和曲线两端各自的缓和曲线长。 R －缓和曲线中的主圆曲线半径 α－偏转角

缓和曲线主点桩号： ZH 桩号=JD 桩号-h T HY 桩号=ZH 桩号+S L QZ 桩号=HY 桩号+2y L YH 桩号=QZ 桩号+ 2 y L HZ 桩号=ZH 桩号+h L 另外、QZ 桩号、YH 桩号、HZ 桩号还可以用以下方式推导： QZ 桩号=ZH 桩号+ 2 h L YH 桩号=HZ 桩号-S L HZ 桩号=YH 桩号+S L 切线支距法计算坐标： 缓和曲线段内坐标计算如式： 2 2540S P p L R L L -=X s P RL L Y 63 = 进入净圆曲线段内坐标计算如式： ?? ??????- ?? ???+=R L L R q X s p π1802 sin ? ??????????- ?? ? ?? -???+=R L L R P Y s p π1802cos 1

5常见曲面的参数方程

§ 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线

圆曲线缓和曲线计算公式

圆曲线缓和曲线计算公式

圆曲线缓和曲线计算公式 2011-09-13 15:19:36| 分类：默认分类|字号订阅 第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式) 学习园地2010-07-29 13:10:53阅读706评论0 字号：大中小订阅 [教程]第九章道路工程测量(圆曲线缓和曲线计算公式)未知2009-12-09 19:04:30 广州交通技术学院第九章道路工程测量(road engineering survey) 内容：理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的

计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。（一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资

微分几何习题解答(曲面论一)

第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

常见曲面的参数方程

§４、5 常见曲面得参数方程 本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面得参数方程得建立。 掌握直纹面得参数方程、 本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是 则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是 其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则 再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程 (4、5.1) 特别地,当母线为坐标面上得径线 时,(4。５、１)成为 (4.5.２) 例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。２)得其参数方程为 (4、5。3) 它与§2。１中得球面参数方程得形式就是相同得。 (４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。 利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、 把(４.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即 (4、5。４) 反之,有 (4。5.５) 当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。 例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,

微分几何曲面doc

§3.1曲面及其相关概念 1. 曲面及其参数表示 曲面的坐标形式的参数方程: . 曲面的向量形式的参数方程: , . 简记为 , . 称为曲面的参数或曲纹坐标．也称是点的参数或曲纹坐标. 例1 (1) 圆柱面 cos，sin，z = z, . 其中常数为截圆的半径． 当, 时, , , . 于是 是点的曲纹坐标.

(2) 球面 cos cos，cos sin，sin， . 这里, 称为经度，称为纬度. 是球面的半径． 当, 时, , , . 于是 是点的曲纹坐标. (3) 旋转面 把xz平面上一条曲线 ：x =， 绕z轴旋转，得旋转面: x =，y =，． 当, 时, , , . 于是 是点的曲纹坐标. (4) 连续函数的图象

该曲面的参数方程为. 和是参数(曲纹坐标). 是点的曲纹坐标. 坐标曲线 曲线：, 即. 曲线：, 即. 一般地, 通过每一点, 有唯一一条曲线和唯一一条曲线. 曲纹坐标网

例2 （1）圆柱面（例1（1））: cos，sin，z = z. （2）球面（例1（2））: cos cos，cos sin，sin. (3) 旋转面（例1（3））: x =，y =，． (4) 连续函数的图象（例1（4）） 2. 光滑曲面曲面的切平面和法线 在曲面上的(,)点处, u-曲线的切向量, v-曲线的切向量．

定义曲面的正则点(正常点) P0(,): r(,)和 r(,)不平行. 正则曲面: 处处是正则点的曲面. 例在双叶双曲面的一叶(、和均为正的常数, , )上, 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量 ; 经过点的曲线的方程为, 该曲线在点的切向量 . 由于在上的任何点处, 和不平行, 故上的点都是正则点, 从而是正则曲面. 定理3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的参数表示． 曲面Σ上一点P0处的切方向(方向): Σ上的经过P的曲线Γ在P0的切方向. 曲面：r = r(u, v)上曲线Γ的(曲纹)坐标式参数方程----Γ: u = u(t)，v = v(t). Γ的向量式参数方程: r = r(u(t), v(t)) = r(t). 其切方向 (t) = r+ r. 也可写为 d r = r u du + r v dv.

平曲线要素计算

一、路线转角、交点间距的计算 （一）在地形图上量出路线起终点及各路线交点的坐标： ()()()21Q 23810,27180JD 2399626977JD 2468426591D 、，、，、()3JD 24848025885，、 ()4JD 2535025204，、()ZD 2606225783， （二）计算公式及方法 设起点坐标为()00,Q D X Y ，第i 个交点坐标为(),,1,2,3,4,i i i JD X Y i =则坐标增量11,i i i i D X X X D Y Y Y --=-=- 交点间距D = 象限角 arctan D Y D X θ = 方位角A 是由象限角推算的： 转角1i i i A A α-=- 1.1JD Q D 与之间： 坐标增量10=2396623810=1860D X X X =--> 1026977271802030 D Y Y Y =-=-=-< 交点间距275.33D m == = 象限角 203arctan arctan 47.502 186 D Y D X θ-=== 方位角0 36036047.502312.498 A θ=-=-= 2.12JD JD 与之间： 坐标增量21X =2468423966=6880D X X =--> 21Y 26591269773860 D Y Y =-=-=-< 交点间距788.89D m = = =

象限角 386arctan arctan 29.294 688 D Y D X θ-=== 方位角1 36036029.294330.706 A θ=-=-= 转角1 10=330.706312.49818.208 A A α -=-= 3. 23JD JD 与之间： 坐标增量32X =2484024684=1560 D X X =--> 32Y 25885265917060D Y Y =-=-=-< 交点间距723.03D m == = 象限角 706arctan arctan 77.54 156 D Y D X θ-=== 方位角2 36036077.54282.46 A θ=-=-= 转角2 21=282.46330.70648.246 A A α -=-=- 4. 34JD JD 与之间： 坐标增量43X =2535024840=5100 DX X =--> 43Y 25204258856810D Y Y =-=-=-< 交点间距850.8D m == = 象限角 510arctan arctan 53.171 681 D Y D X θ===- 方位角3 36036053.171306.829 A θ=-=-= 转角3 32=306.829282.4624.369 A A α -=-= 5. 4ZD JD 与之间： 坐标增量4X =2606225350=7120 D X X =--> 4Y 25783252045790D Y Y =-=-=> 交点间距917.706D m == = 象限角 579arctan arctan 39.118 712 D Y D X θ=== 方位角0 39.118 A θ== 转角4 43=39.118312.49892.289 A A α -=-=

第二章第二节曲面的参数方程

第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。

一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。

二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，

道路曲线计算公式

高速公路线路(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道)坐标计算公式 时间:2009-12-27 21:40:34 来源:本站作者:未知我要投稿我要收藏投稿指南 高速公路的一些线路坐标、高程计算公式(缓和曲线、竖曲线、圆曲线、匝道) 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程： 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n的取值如下：

当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与计算第一缓和曲线时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标 切线角计算公式： 二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH点的切线方位角：α ⑥点ZH的坐标：x Z，y Z 计算过程：

说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1，公式中n的取值如下： 当只知道HZ点的坐标时，则： l为到点HZ的长度 α为过点HZ的切线方位角再加上180° K值与知道ZH点坐标时相反 x Z，y Z为点HZ的坐标 三、曲线要素计算公式

公式中各符号说明： l——任意点到起点的曲线长度（或缓曲上任意点到缓曲起点的长度）l1——第一缓和曲线长度 l2——第二缓和曲线长度 l0——对应的缓和曲线长度 R——圆曲线半径 R1——曲线起点处的半径 R2——曲线终点处的半径