高等代数其实是代数学基础，在数学系课程中相对比较简单。因为其高度形式化和抽象化，初学者往往不适应。就内容而言，高等代数除了多项式的基础外主要是线性代数，包括行列式、线性方程组、矩阵和线性空间。作为数学分支的代数具有与初等数学中代数不同的特点。初等代数主要就是计算，方程的求根或式子的化简。在本科数学专业教学计划上，从高等代数开始，经过抽象代数，最后到群和环等专业选修课，代数学演变成对带有运算的结构进行刻画、分类等研究的学科。这种形式化，在一定程度上体现了现代数学高度抽象化的特点。 在学习高等代数书时，要注意下列几点。 第一，适应研究对象的抽象和扩展。高等代数开篇，就会引入数域的概念，作为数系概念的抽象。数域概念的特点是突出了数的两种运算的特性。随着学习的深入，会相继出现过去没有接触过的新研究对象，如映射、高维向量、矩阵、线性空间、变换等。这些新的研究对象分别由各自的运算规律而界定。这样将个别的演算抽象出共同的规律，并因此实现理论应用的广泛性。因此，对新的研究对象要特别注意所定义的相应运算。 第二，深入理解等价和化简的概念。等价是相同和相等关系的抽象和推广，用自反、对称和传递3个性质刻画。高等代数中有大量的等价关系，如线性方程组的同解、矩阵的等价、矩阵的合同、矩阵的相似、线性空间的同构等。每种等价的结构，可用种最简单的形式代表，这样就有了各种标准形。构造标准形的过程就是在保持等价的前提下化简。各种等价类的标准形式的数量特征也很重要，如秩、维数、惯性指数等。 第三，注意不同结构的联系。特别是矩阵是高等代数的核心内容。矩阵可以表示线性方程组，矩阵可以表示给定基下的线性变换，对称矩阵对应着二次型。 第四，熟悉化繁为简的常用技巧。在许多证明中，善于把问题转化为实质相同但更简单的形式。这类过程常用“不失一般性”开头。可以把向量组或矩阵的行或列重新排列，也可以选择线性空间的特定组基，或者直接写成矩阵的某种标准形式。在计算行列式等题目中，善于递推、类比等。求和号的应用也能突出问题的本质而略去重复繁复的枝节。 上次说高等代数，感觉意犹未尽，现在再补充几句。 就高等代数内容而言，我自己概括为3点加2块，如果不算抽象代数的入门知识的话。3点
浙江工业大学2020年 硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲 科目代码、名称: 861 高等代数 专业类别：■学术学位□专业学位 适用专业: 数学 一、基本内容 1、多项式 要求掌握一元多项式及其整除问题、多项式函数、最大公因式、重因式和因式分解定理等有关概念和基本结论，能够进行多项式的有关计算和有关问题的证明。 2、行列式 （1）定义与性质 要求熟悉排列、逆序、对换等概念；理解行列式的定义；掌握行列式的性质。 （2）计算与证明 掌握行列式的计算技巧和方法，能较熟练地计算行列式和证明有关行列式的结论。 3、向量的线性相关性与线性方程组 （1）n维向量空间 掌握n维向量空间的定义、向量组线性相关与线性无关等概念并能证明有关结论。 （2）向量组的秩和矩阵的秩 掌握向量组的秩、矩阵的秩等有关概念，可利用矩阵秩的概念讨论线性方程组的可解性，并能证明有关结论。 （3）线性方程组解的结构 掌握线性方程组解的判定定理，会求有解的线性方程组的通解，熟练掌握线性方程组常用的解法，并能证明有关结论。 4、矩阵 （1）矩阵的概念与运算 熟练掌握矩阵的运算法则，如矩阵的加、减、数乘、乘法、转置、方阵的伴随阵和取行列式等。熟悉方阵与行列式的关系。会求方阵的幂，会求解矩阵方程等。 （2）矩阵的逆、分块矩阵 掌握可逆矩阵、奇异矩阵、非退化矩阵等概念。会计算方阵的伴随矩阵，能计算可逆阵的逆矩阵。能利用分块方法进行矩阵运算。能证明有关结论。 （3）初等矩阵与初等变换 掌握矩阵的初等变换和初等矩阵的概念，明确二者关系。能熟练进行矩阵的初等变换，能熟练利用初等变换求解线性方程组，并能进行有关证明。 (4) 相似矩阵与矩阵合同 熟悉相似矩阵与矩阵合同的概念，能求矩阵变换并能判断矩阵是否能对角化，熟练掌握矩阵对角化的方法，能证明有关结论。 5、二次型 （1）基本概念与基本变换 掌握二次型、二次型的标准型、对称矩阵等概念、明确彼此的关系。可将二次型化为标准型，可求与对称矩阵合同的对角矩阵，可由已知对称矩阵求二次型及其标准型，并能证明有关结论。 （2）正定、负定二次型 掌握正定、负定二次型、半正定、半负定矩阵等概念及其判别方法，并能证明有关结论。 6、线性空间 (1)基本概念: 掌握线性空间、维数、基、坐标、线性子空间及直和等概念，并能证明基本性质。
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果2 0,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2 A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ??=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且 11 (*)|| A A A -= .
8．设B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆可得.**)*(A B AB = 二、 选择题 1．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵()T B B =-,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）. (A) AB BA - (B) AB BA + (C) 2()AB (D) BAB (A)(D)为对称矩阵，（B ）为反对称矩阵，（C ）当,A B 可交换时为对称矩阵. 2. 设A 是任意一个n 阶矩阵，那么（ A ）是对称矩阵. (A) T A A (B) T A A - (C) 2A (D) T A A - 3．以下结论不正确的是（ C ）. (A) 如果A 是上三角矩阵，则2 A 也是上三角矩阵； (B) 如果A 是对称矩阵，则 2A 也是对称矩阵； (C) 如果A 是反对称矩阵，则2A 也是反对称矩阵； (D) 如果A 是对角阵，则2 A 也是对角阵. 4．A 是m k ?矩阵, B 是k t ?矩阵, 若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是（B ） (A ) AB 的第j 行元素全等于零； (B )AB 的第j 列元素全等于零； (C ) BA 的第j 行元素全等于零； (D ) BA 的第j 列元素全等于零；
§5.6 矩阵可对角化的判别 设是级可对角化矩阵，则存在 级可逆矩阵A n n P ，使 121n P P A λλλ???????= ?? ??? ? 令 12[,,,n P ]ααα= ，则 ,12i i i A i λα,α,,n == 因P 可逆，故n ααα,,,21 线性无关，12,,,αα n α都不是零向量，所以n λλλ,,,21 是的特征值， A n ααα,,,21 是对应这些特征值的个线性无关的 A n 特征向量。 定理 级矩阵可相似对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。 n A A n 证明 必要性 前面已证。
充分性 设级矩阵有线性无关的特征向量 n A n 21,,,n ααα ，它们对应的特征值为21,,,n λλλ ，则 i i i A αλα=， n i ,,2,1 = 令 21[,,,n P ]ααα= ，因 n ααα,,,21 是 个线性无关的 元列向量，故n n P 是级可逆矩阵。 n 又 12[] [,,,]n A AP ααα= 21[,,,n A A A ]ααα= 1221[,,,n n ]λαλλαα= 2 211[,,,] n n λλααλα??? ?? ?=????? ? 2 1n P λλλ????? ?=????? ?
故 12 1 n P AP λλλ???? ?? ?=????? ? 即 可对角化。▌ A 例 已知矩阵 111222111A ?????=????????? 有特征值（二重）和 02?，对应的特征向量分别为 , (1,1,0)(1,0,1)T T ?(1,2,1)T ??, 因 111 102011 0???≠ 故这三个特征向量线性无关，于是 可对角化。令 A
801 《高等代数》考试大纲 一、考试要求 1．掌握基本的代数运算方法，包括：行列式的计算，矩阵运算（乘法、求秩、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量），线性方程组解的判定及求解，多项式运算（带余除法，辗转相除法，综合除法）等. 2．掌握基本的代数分析技巧，包括：向量的线性相关和线性无关性，向量空间的基与维数，线性方程组解的结构, 线性变换和矩阵的关系，方阵可相似对角化的判定,对称矩阵与二次型，一元多项式的整除性及因式分解. 3．掌握代数的基本几何背景，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间和酉空间，正交变换与正交矩阵, 对称变换与对称矩阵, 主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程. 二、考试内容 第一部分多项式 1.一元多项式的定义和基本运算； 2.多项式的带余除法与综合除法，多项式整除性的常用性质； 3.多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法； 4.不可约多项式的概念及性质，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式； 5.多项式函数与多项式的根的概念及性质； 6.代数基本定理，复数域和实数域上多项式的因式分解定理，Vieta定理； 7.整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法； 8.多元多项式概念及字典排列法，对称多项式. 第二部分行列式 1. 线性方程组和行列式的关系，排列、n阶行列式及其子式和代数余子式； 2. 行列式的性质及行列式的基本计算方法； 3. 克拉默法则. 第三部分线性方程组
1.线性方程组求解的消元法； 2.矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩； 3.线性方程组可解的判别法； 4.两个多项式的结式和多项式的判别式. 第四部分矩阵 1. 矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算法则； 2.逆矩阵概念，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质，求可逆矩阵的逆矩阵的方法； 3.矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则. 第五部分向量空间 1. 向量空间及子空间的定义； 2.向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关性的判定条件和性质，向量组的极大无关组； 3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换式； 4.向量空间的同构及其性质； 5.齐次线性方程组的解空间与基础解系；线性方程组的结构式通解. 第六部分线性变换 1. 向量空间线性映射概念及其相关性质； 2.线性变换的运算和矩阵的相似关系； 3.不变子空间及其性质； 4.方阵的特征值和特征向量； 5.可以对角化的矩阵. 第七部分欧氏空间和酉空间 1. 向量空间中向量的内积、长度、夹角的定义及性质,规范正交基,Schmidt 正交化方法； 2. 正交变换与正交矩阵的定义和性质； 3. 对称变换与实对称矩阵，实对称矩阵的正交相似对角化； 4.酉空间的定义及其基本性质，酉变换和酉矩阵. 第八部分二次型 1. 二次型与对称矩阵，矩阵的合同关系； 2.复数域和实数域上的二次型，用正交变换化实二次型为标准形的方法； 3.正定二次型与正定矩阵，实对称矩阵正定的判定条件和性质； 4.主轴定理, 利用二次型理论化简二次曲面方程.
高等代数（北大*第三版）答案 目录 第九章 欧氏空间 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵； 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =， (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα， 由于A 是正定矩阵，因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量
)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε， 的度量矩阵为 )(ij b B =，则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 2211211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。 4) 由定义，知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα ， α== β== 故柯西—布湿柯夫斯基不等式为 2.在4 R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。 解 1)由定义,得 012)1(32112),(=?+-+?+?=βα， 所以 2,π βα>= <。 2)因为 1813521231),(=?+?+?+?=βα， 1833222211),(=?+?+?+?=βα， 3633221133),(=?+?+?+?=βα， ,,ij i j ij i j i j i j a x y a y y ≤ ∑
高等代数与解析几何（Higher Algebra and Analytic Geometry） 课程教学大纲 一、课程编号：040504，040505 二、课程类别：必修课 课程学时：160学时 适用专业：信息与计算科学 先修课程：初等代数、初等几何 三、课程的性质与任务 《高等代数与解析几何》是数学、通信、计算机、信息等专业学生的重要的基础课程，是现代信息科学中不可缺少的数学工具。主要目的是掌握本门课程的基本理论和基本方法。 四、教学主要内容及学时分配 （一）向量代数（20学时） （二）行列式（14学时） （三）线性方程组与线性子空间（24学时） （四）矩阵（20学时） （五）线性空间与欧几里德空间（20学时） （六）几何空间的常见曲面（12学时） （七）线性变换（16学时） （八）线性空间上的函数（10学时） （九）坐标变换与二次曲线方程的化简（4学时） （十）一元多项式理论（16学时） （十一）多项式矩阵与若当典范形（4学时） 五、教学基本要求 （一）理解向量的概念，掌握向量的线性运算、内积、外积、混合积运算；熟悉向量间垂直、共线、共面的条件；会用坐标进行向量的运算。 （二）理解n阶行列式的概念及性质，掌握常见类型的行列式的计算；熟悉克兰
姆法则。理解矩阵及初等变换的概念。 （三）理解n维向量的概念、线性相关与线性无关的定义，了解几个相关结论。理解线性方程组解的结构，熟练掌握求解方法；会用线性方程组理论判别n维向量组的线性相关性；掌握求直线、平面方程的方法；理解线性子空间、基、维数、坐标的概念，了解简单性质。 （四）理解向量组及矩阵的秩，掌握求逆矩阵、秩的方法；熟悉线性方程组有解判别条件；理解线性映射与矩阵的对应关系。 （五）理解线性空间、欧氏空间、同构、和、直和的概念，了解其性质；掌握施密特正交化方法；了解最小二乘法；会求直线或平面的夹角、点到平面的距离；了解正交矩阵的性质。 （六）了解常见二次曲面的方程及形状，会求简单的旋转曲面、柱面、锥面的方程。 （七）掌握基变换与坐标变换公式，熟练掌握求特征值、特征向量的方法，熟悉可对角化的条件。理解矩阵相似的概念、性质，会求过渡矩阵。 （八）理解对称变换、二次型的概念及性质，会将二次型化成典范形；熟悉正定二次型的判定方法。 （九）了解平面坐标变换公式，会对二次曲面进行分类。 （十）理解一元多项式的整除、最大公因式、不可约的概念；掌握带余除法、辗转相除法、余数定理及艾森斯坦因判别法；会判断多项式有无重因式（或重根）；会求整系数多项式的有理根。 （十一）了解多项式矩阵及相关概念；了解将多项式矩阵化为smith正规形；了解多项式矩阵相似的条件；知道矩阵的若当典范形的求法；了解极小多项式与不变因子、行列式因子的关系。 六、课程内容的重点和深广度要求 线性空间、线性变换、一元多项式、空间解析几何与向量代数的基本概念、基本理论、基本方法。 七、对学生课外作业的要求 （1）提倡并鼓励与同学讨论作业，但最终的作业必须独立完成； （2）作业书写规范、整洁，作业量符合要求，否则作业成绩的等级将打折扣； （3）按时交作业；缺交作业的次数达到应交次数的三分之一、将被取消考试资格。
15年试题的特点是，数分高代都比14年的难上了一个量级，有很多送分数的题目，所以卷面看起来简单，但是送分的题目有限，剩下的大部分是要么会做要么完全不会做的东西，所以显得难度挺大的。至少高等代数今年突然上升，变得比华东师范的题目还都要难一点。而数学分析难度实际上是略微下降了。 《高等代数部分》 太多太多都忘掉了，想了好久好久还是只能说个大概了，实在没办法考完都4个月了。 我先都不是按照顺序的，因为记不得顺序。题量很大。最后想想考过的题目其实明年绝对不会再考到，考的知识点也不一定还会见到，所以还是把考到的一些知识点列出来吧，很多都很偏僻。 1. 求秩为1的矩阵的复jordan标准型 2. 如果矩阵A可以对角化，那么A相似于A 3.两个矩阵在实数域上相似等价于在复数域上相似 4.幂等矩阵的秩等于迹 5.矩阵AB与矩阵BA有相同的非零特征值，并且其重数相同 6.倒数第二题是一个很难的题目，类似于丘维声《高等代数学习指导书（上）》394页例11 ，当然了比这个例题要难很多，但是差不多就是这种类型，可以注意一下（题目真的记不住了，而且这题目我以前也没见过原题，没法查找） 7.考了一个最大公因式的题目，最大公因式的知识点自己准备一下就好，没什么好说的，要求举一个反例也是很简单的例子。 8.丘维声《高等代数学习指导书（上）》416例11原题 9.线性方程组考了一个20分的大题目，而且很难，非齐次的方程组，系数还含有待定的a,b,c，告诉我们一些秩的条件，然后叫我们求出abc，并且证明秩的一些结论。建议在方程组（非齐次线性方程组很容易被忽略）上花点时间，真的这题目猝不及防，确实极难，我做完整个卷子才回来做了这题。 10.最后一题是一个其貌不扬的题目，看起来很easy其实是灰常灰常不简单的。原题见丘维声《高等代数学习指导书（下）》262页例11 15年的高代比14年难了太多，几乎没有完全白送的题目。顺便提一下，14年唯一一个难题是要考生证明极分解定理，其它都是很平庸的，但也说明，复习高代如果只是用北大第三版可能也是可以的，但是要考得很稳妥的话，是不够的，还是需要再看一点补充的内容的。 《数学分析》部分 1.一些关于数列和连续函数简单的概念和反例考察：