第四讲 二次函数
一、选择题
1.已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) ；B ．(－1,2]；C ．[－1,2] ； D ．[2,5)； 答案 C
解析 二次函数f (x )＝－x 2＋4x 的图像是开口向下的抛物线， 最大值为4，且在x ＝2时取得， 而当x ＝5或－1时，f (x )＝－5， 结合图像可知m 的取值范围是[－1,2]．
二、填空题
2．函数f (x )＝x 2＋2x ，若f (x )>a 在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________；②恒成立，则a 的取值范围为________．
答案 a <15 a <3
解析 ①f (x )>a 在区间[1,3]上恒有解，等价于a <[f (x )]max ， 又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝3时，[f (x )]max ＝15， 故a 的取值范围为a <15.
②f (x )>a 在区间[1,3]上恒成立，等价于a <[f (x )]min ， 又f (x )＝x 2＋2x 且x ∈[1,3]，当x ＝1时，[f (x )]min ＝3， 故a 的取值范围为a <3.
3．对实数a 和b ，定义运算“?”：1
1,,b a b a b a a b ->??=?
-≤?
，设函数f (x )＝(x 2－2x )?(x －
3)(x ∈R)．若函数y ＝f (x )－k 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数k 的取值范围是__________．
解析 因为1
1,,,b a b a b a a b ->??=?
-≤?
所以f (x )＝(x 2－2x )?(x －3)
＝?
????x 2－2x ，（x 2
－2x ）－（x －3）≤1x －3，（x 2
－2x ）－（x －3）＞1 ＝?
????x 2－2x ，1≤x ≤2x －3，x ＜1或x ＞2. y ＝f (x )－k 的图象与x 轴恰有两个公共点， 即y ＝f (x )的图象与y ＝k 的图象恰有两个公共点．
由图知当且仅当－1＜k ≤0时，y ＝f (x )的图象与y ＝k 的图象恰有两个公共点，
故所求k 的取值范围是(－1，0]． 答案 (－1，0]
28 (),,()(),___________.
f x x ax b x R y R f y f x y a =++?∈?∈=+【例】设函数，若使得则的最大值是
2
2
222
222
2
222111241424414411442
():()()();()(),(),(),(),,,
()a a F y f y y y a y b y b a F y b a a a f x x ax b x b f x b a a b b a a b b a --??=-=+-+=++- ??
???
-∴∈-+∞?
??????
?=++=++-∴∈-+∞?
? ?????
????--+∞?-+∞????????
-∴-≤-?≤
解设又要满足题设条件,只须:
2201520
42 (()()|()|___f x x x x f x f a x t t =-+--=【例5】衢州质检)
已知函数，若关于的方程:有个不同的实数根，且所有实数根之和为，则实数的取值范围为．
()()()()123412341423123422
4222
22121:()()|()|.
()|()||[()]||()|()(),
|()|,.|||(g x f x f a x g a x f a x f a a x f a x f x g x a
g x x t f x f a x x x x x x x x x a
x x x x a x x x x a a a g x x x --=-+--=-+=-<<
===+解设＝+因为=，所以的图像关于直线对称设＝+的个根为，，，，则+=+=所以+++=由题设知，所以，所以＝-()22222
21221121210
2122101211213
01122
312)()|,,,||||,,,,()()(),
,x x x x x x x x x x x x x x x x g g x g g g x t --?--<-≥?
--≤
??=== ?????
?
??
-或--易知的最小值为作出的图像如图所示，由图可知的取值范围为
三、解答题
4．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，设f (x )＝x 的两个实根为x 1，x 2. (1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求实数a 的值；
(2)如果x 1<2
2－1
2
(2)略 解析 (1)若b ＝2，则f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由f (x )＝x ，得ax 2＋2x ＋1＝x . 即ax 2＋x ＋1＝0，由|x 2－x 1|＝2，得(x 2－x 1)2＝4，∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4. ∴(1a )2－41
a ＝4，得a ＝2－12
(a >0)． (2)由f (x )＝x ，得ax 2＋bx ＋1＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＋1＝0.
设g (x )＝ax 2
＋(b －1)x ＋1，则2040()()g g ?
即?????
4a ＋2b －1<0，16a ＋4b －3>0.
画出点(a ，b )的平面区域知该区域内有点均满足2a －b >0.
从而2a >b ，∴x 0＝－
b
2a
>－1. 5.已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实数) (1)若a ＝1，作出函数f (x )的图象；
(2)设f (x )在区间[1，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式． 解析 (1)当a ＝1时，
f (x )＝x 2
－|x |＋1＝?
????x 2＋x ＋1，x ＜0，
x 2－x ＋1，x ≥0，作图如右：
(2)当x ∈[1，2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1，
若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1，2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3. 若a ≠0，则f (x )＝a (x －
12a )2＋2a －1
4a
－1， f (x )的图象的对称轴是直线x ＝1
2a
.
当a ＜0时，f (x )在区间[1，2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.
当0＜12a ＜1，即a ＞1
2时，f (x )在区间[1，2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.
当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f (12a )＝2a －1
4a －1.
当2＜12a ，即0＜a ＜1
4时，f (x )在区间[1，2]上是减函数，
g (a )＝f (2)＝6a －3.
∴g (a )＝?????6a －3，a ＜1
4
，
2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a ＞12
.
6.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝?
????f （x ），x >0，
－f （x ），x <0，
求F (2)＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解析 (1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b
2a ＝－1，
解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.
则F (x )＝?
????（x ＋1）2
，x >0，
－（x ＋1）2
，x <0. 故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，
原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1
x
－x 在(0，1]上恒成立．
又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1
x －x 的最大值为－2，
故－2≤b ≤0.
7.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2()f x x x =+ （1）求函数()y g x =的解析式；
（2）若()()()3h x g x m f x =-?+在[]1,1-上是增函数，求实数m 的取值范围. （1）解：2()g x x x =-+；
（2）解：2()(1)(1)3h x m x m x =--+-+， 当10m -->，即1m <-时，对称轴112(1)
m
x m -=
≤-+，∴31m -≤<-；
当10m --=，即1m =-时，()23h x x =+，符合题意，∴1m =-； 当10m --<，即1m >-时，对称轴112(1)
m x m -=
≥+，∴1
13m -<≤-；
综上，1
33
m -≤≤-； 8.已知函数11()2f x x x ??
=
+ ???
，11()2g x x x ??=- ???．
（1）求函数()()()2h x f x g x =+的零点；
（2）若直线()
:0,,l ax by c a b c ++=为常数与()f x 的图像交于不同的两点A B 、，与
()g x 的图像交于不同的两点C D 、，求证：AC BD =；
（3）求函数()()()22*
()n
n
F x f x g x n N =-∈????????
的最小值．
解：（1
）由题31()0223x h x x x =
-=?=±
()h x
的零点为3
x =± （2）设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y
()2
220112ax by c a b x cx b y x x ++=???+++=???=+ ?????
，则12
22c x x a b +=-+ 同理由()2
220112ax by c a b x cx b y x x ++=???++-=???=- ?
????
，则34
22c x x a b +=-+
则AB 中点与CD 中点重合，即AC BD =
（3）由题2221
11()2n n
n
F x x x x x ?????
?=+--?? ? ?????????
()1223262362212222222122222n n n n n n
n n n n n C x C x C x C x ------=
++++ ()()()()1222232662236226212222
2222212
n n n n n n n n n n n n n n n C x x C x x C x x C x x ----------??=++++++++?? ()13232122222122222
n n n n n n n C C C C --≥++++ 1≥，当且仅当1x =±时，等号成立
所以函数()F x 的最小值为1
22201511114
211021.()()(,).
(),()[]()()()[],f x x ax b a b R a b f x g a f x b a b =++∈=+--≤-≤【例1】浙江文设函数当时求函数在，上的最小值的表达式．已知函数在，上存在零点，求的取值范围．
2
22
2
2
2
111422211124
2211122
211124
22412224
:(),(),,
()[]()()()()[]()(),(),,a a a b f x x x a a f x g a f a a a
a g a f a a f x g a f a a a a g a a a a ??=+=++=- ???≤--==++≤≤==-=-=+++≤-∴=-≤+解当时对称轴为当时，函数在，上递减，则；
当-＜时，即有--＜，则(-)；
当＞时，函数在，上递增，则-．
-＜-2.
a ????
???>??
22
222
201121202111222201222221009229322222199323
1:(),(),,,()
,,
,(),s t f x t s t a t t b a s t s t b
t t t t t t st t t
t t t t t t t t t b t =≤≤+=-?--≤-≤≤≤-≤≤??=++?-≤≤-≤≤++-??-≤-≤=-++≤-??+++??
--≤≤-≤≤-+≤解设是方程的解，且-，
则由于由此当时由和得当
-22
22
22022222030302239,,
,,
,t t t t st t t t t t b t t
b --≤≤++--≤<-≤<∴-≤<++?--?＜时由于-和故的取值范围是
22201521241612(),.()()()()[,]f x x x x a a R f x f x x a =+-∈≤≤∈【例】(浙江五校第一次联考)已知函数其中求函数的单调区间；
若不等式在上恒成立，求的取值范围．
222
223330033
2416112min max min ()():()()()()(,)(,)()();()(,)(,)(,).
()(),(),
()()[,],()(x a a x a f x a a x x a a f x a a f a a f x a a
a f x a a f x f x f x f R x x f ?--+≤?
=?--
>??
≥-∞+∞=<-∞+∞≥≤∈= 解当时，在和上均递增，，则在上递增当时，在和上递增，在上递减由题意只需首先，由可知，在上恒递增则15
1121422
55
2441652211
12212416122
15
15
22
max max ),
()()(),
()[,]()(),
a a a a f x f x f a a a f x f x f a a a R a =+-≥≤-≥≥==-≤≤≤≤-==-≤-≤≤--≤≤-≤≤，解得或其次，当时，在上递增，故，解得当时，在上递增，故，解得综上：或
2015111021().
(),()()()f x mx x a x m a f x a f x =--+===【例3】(浙江五校第二次联考)已知函数若，试讨论函数的单调性；
若，试讨论的零点的个数；
22101110005005()
:()(),
()
()(,][.,)[,.]x x x f x x x x x x x f x ?-+≥?=-+=?-++
在和上为增函数，在上为减函数；
2110111
11
0011111301
1301
:()(),
,,()()f x mx x x x x mx x x y y mx y mx x m m m m x m y m mx y x x x m y mx y x x =--+==-=--=
==-=<<≥<---≤<-+==<--=-+==>-解的零点，除了零点以外的零点即方程的根作图和由图可知当直线的斜率：
当时有一根；当时有两根；当时，有一根；当时，有一根；当和相切时）没有实数根；
当和
相切时）有3013111311011300111,;:
,();,();,().
m m f x mx x x x m m m m f x mx x x m m f x mx x x -+<-≤<-+=--+==-+<-≥==--+-+<<<=--+一根;
当时有两根综上当函数有且仅有一个零点当或或时函数有两个零点当或时有三个零点
()()()()()[]()()()()201511120312302 (.();
(),,(),,.
f x x x a x R a y f x a y f x x M a x M a f x M a x a =--+∈==∈=∈??∈??≤【例4】浙江五校第一次联考文科)已知函数当时，求使成立的的值当，求函数在上的最大值；对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，
都有试求出这个正数，并求它的取值范围
()()()
()()()[]()()()[][]()()()2
2
2
111
21
2011224
0112112121
23122max max :();
(),,:
()()()=1,(),(),,,
,,,,,,,,x x ax x a f x x ax x a a a f x f f a f f f f a a f x f x f a
a f x a a f x f a a a a f x =?-++≥?=?-+
()a a a a f x f a
a
a f x a a a ??????
?
???---=->==- ? ??
???<≤??
=<
上递增，且x=是函数的对称轴，由于表明：综上
()()
(
)
(
)( (
)
(
)
()
2
2
2
2
2
3012
1
24
1212
4
1212
4
max
(),,()
(),
,,
,,
,
,,
,
x f x f x
a a
f
a
M a x ax
a M a
a
M a x ax
a M a
M a
∈+∞=≥-=-
-≤--+=-
≥==
->--+=-
<<==
=
解当时，故问题只需在给定区间内恒成立,由分两种情况讨论：
当时是方程较小的根
即
当时,是方程较大的根
即
综上
(
(
()(0
,.
a
M a
a
?
≥
?
?
∈
<<
且
【例6】(2015?浙江模拟)已知函数f(x)=x2+4|x－a|(x∈R)．
(1)存在实数x1、x2∈[－1，1]，使得f(x1)=f(x2)成立，求实数a的取值范围；
(2)对任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤k成立，求实数k的最小值．
【解析】：解：(1)函数f(x)=x2+4|x－a|
2
2
44
44
,
,
x x a x a
x x a x a
?+-≥
?
=?
-+<
??
，
由题意可得函数f(x)在[－1，1]上不单调，
当a≥1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，不满足条件．
当a≤时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，不满足条件．
∴－1＜a＜1，此时，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增，
(2)∵对任意的x1、x2∈[－1，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤k成立，
设函数f(x)在[－1，1]上的最大值为M(a)，最小值为m(a)，
当a≥1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，M(a)=f(－1)=4a+5，m(a)=f(1)=4a－3．当a≤时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，M(a)=f(1)=5－4a，m(a)=f(－1)=－4a－3．∴－1＜a＜1，函数f(x)在[－1，a]上单调递减，在(a，1]上单调递增，m(a)=f(a)=a2，M(a)=m ax{f(1)，f(－1)}={5－4a，5+4a}．
即当0＜a＜1时，M(a)=5+4a，当－1＜a＜0时，M(a)=5－4a．
综上可得，M(a )－m(a )=2281145014510,,,a a a a a a a a ≤-≥??
=-++<
或，
由对任意的x 1、x 2∈[－1，1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤k 恒成立， 可得k≥M(a )－m(a )， 故当a ≥1 或a ≤－1时，k≥8；
当0≤a ＜1时，k≥－a 2+4a +5=9－(a －2)2，由9－(a －2)2∈[5，8)，可得k≥8； 当－1＜a ≤0时，k≥－a 2－4a +5=9－(a +2)2，由9－(a +2)2∈[5，8)，可得k≥8． 综合可得，k≥8．
()2701010 (),()[,],[,],()?,();,.
f x x bx c b c R f x f x f x =++≥∈--【例】已知二次函数，若关于的定义域为时值域也是符合上述条件的函数是否存在若存在求出的表达式若不存在请说明理由
220022
40411001241022110
42111224
22110
min max min max :():,,,
(),,();()(),,()b b f x x b b c b b b f f b b c c f f b c b c b b f f b b c f f b c =-≥∴-≤??
-===-??=-??
<-≤≤
=-=????=--+=????
-==-=-??
<-≤-≤
解函数的对称轴为且①若-即时或舍去②若-即1时22200121200212min max ();(),,(),:(),(),
b c f f b b
b f f
c f x x f x x x =-????==??=-=??-≤-≥????
==??=-=+或均舍去③若即时所以存在满足条件的函数分别为
()[)29101302122 (),(),,(),(),.
()();()()(),,.
f x x bx c b c R f x f x f x f x f m f n m n m n =++∈=≤≤≤+∞=<<+【例】设二次函数，且时恒成立是区间上的增函数求的解析式若且求的取值范围
()
222222214321222124343460224601212:().();
():()|(),,:;
()(),
(),,,(),,(,):()(,)f x x x f x f x x x m n f m f n m m n n m n m n m n t m t n g n n tn t t n g n =-+===<<<=?-+=--++-++=+==-=-+-+=∈解略解法一画出|的草图,由解得或由题设或知由即:设则代入上式可得由题设可知方程在上有解①若
在()(
)
222
2210426802081404406281201224
242
121206881402444,()()()(,),()():()()((g t t t t g t t t t t t t t t t t t g n g g t t t t t t t t >??>???>?-+>>+<-?????∈???≥??><-+>???
???<<<<<
或或②若在上有唯一零点则
即(
)
2222024442401432432420124224);(,:()(),(,),()()(,),,(,t t m n f m f n t t f m m m t m f n n n t n m n s s t s s m n ??
【例10】对*n ∈N ，定义函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤．
（1）求证：()n y f x =图像的右端点与1()n y f x +=图像的左端点重合；并回答这些端点
在哪条直线上．
（2）若直线n y k x =与函数2()()n f x x n n =--+，1n x n -≤≤（2n ≥，*n ∈N ）的
图像有且仅有一个公共点，试将n k 表示成n 的函数．
（3）对*n ∈N ，2n ≥，在区间[0,]n 上定义函数()y f x =，使得当1m x m
-≤≤（*m ∈N ，且1m =，2，…，n ）时，()()m f x f x =．试研究关于x 的方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数（这里的n k 是（2）中的n k ），并证明你的结论．
解：[证明]（1）由()n f n n =得()n y f x =图像右端点的坐标为(,)n n ，由1()n f n n +=得
1()n y f x +=图像左端点的坐标为(,)n n ，故两端点重合．
并且对*n ∈N ，这些点在直线y x =上．
[解]（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程2()n x n n k x --+=在1n x n -≤≤上有两个相等的实数根．
整理方程得22(2)0n x k n x n n +-+-=，
由22(2)4()0n k n n n ?=---=
，解得2n k n =± 此时方程的两个实数根1x ，2x 相等，由122n x x n k +=-，
得122[2(22
n
n k x x n n -==
=-±=， 因为121n x x n -=≤≤
，所以只能2n k n =-2n ≥，*n ∈N ）．
（3）当2n ≥
时，2n k n =-， 可得12n k <<，且n k 单调递减．
① 当3n ≥时，对于21i n -≤≤，总有1n i k k <<，亦即直线n y k x =与函数()i f x 的图像总有两个不同的公共点（直线n y k x =在直线y x =与直线i y k x =之间）．
对于函数1()f x 来说，因为12n k <<，所以方程1()n k x f x =有两个解：10x =，
22n x k =-(0,1)∈．
此时方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为2(1)121n n -+=-．
（16分）
② 当2n =时，因为212k <<，所以方程21()k x f x =有两个解．此时方程2()f x k x =（02x ≤≤）的实数解的个数为3．
综上，当2n ≥，*n ∈N 时，方程()n f x k x =（0x n ≤≤，*n ∈N ）的实数解的个数为21n -．
例11．已知函数D x x f y ∈=),(，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数m ，总存在非零常数T ，恒有)()(x f m T x f ?>+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类增周期函数，周期为T .若恒有)()(x f m T x f ?=+成立，则称函数)(x f 是D 上的m 级类周期函数，周期为T .
（1）已知函数ax x x f +-=2
)(是[)∞+,3上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a 的
取值范围；
（2）已知 1=T ，)(x f y =是[)∞+,0上m 级类周期函数，且)(x f y =是[)∞+,0上的单调递增函数，当[)1,0∈x 时，x
x f 2)(=，求实数m 的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分.
（Ⅰ）已知当[]4,0∈x 时，函数x x x f 4)(2
-=，若)(x f 是[)∞+,0上周期为4的m 级
类周期函数，且)(x f y =的值域为一个闭区间，求实数m 的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数k ，使函数kx x f cos )(=是R 上的周期为T 的T 级类周期函数，若存在，求出实数k 和T 的值，若不存在，说明理由.
【解答】（1）由题意可知： )(2)1(x f x f >+，
即)(2)1()1(2
2
ax x x a x +->+++-对一切[)∞+,3恒成立， ()1212
--<-x x a x ，
∵3x ≥