指数幂、指数函数、对数、对数函数练习
一、选择题
1、下列以x 为自变量的函数中,是指数函数的是( )
A 、(4)x y =-
B 、x y π=
C 、4x y =-
D 、2,(01)x y a a a +=>≠且
2、有下列四个命题:其中正确的个数是( )
①正数的偶次方根是一个正数; ②正数的奇次方根是一个正数;
③负数的偶次方根是一个负数; ④负数的奇次方根是一个负数。
A .0
B .1
C .2
D .3
3、下列式子正确的是( )
A .1236(1)(1)-=-
B 3
52=-
C .2
5a =- D .1
200-=
4、如果log 7[log 3(log 2x )]=0,那么21
-x 等于( )
A .31
B .321
C .221
D .3
31
5、2
5)a (log 5-(a ≠0)化简得结果是( )
A .-a
B .a 2
C .|a |
D .a
6、3
log 9log 28的值为( )。 A .2 B .12 C .23
D .32
7、函数 ( )的图象是( )
8、若a > 0,则函数11x y a -=+的图像经过定点 ( )
A.(1,2)
B.(2,1)
C.(0,1
1a +) D.(2,1+a )
9、(2011·济南模拟)定义运算a ?b =????? a (a ≤b )
b (a >b ),则函数f
(x )=1?2x 的图象大致为(
)
10、函数f (x )=x 2-bx +c 满足f (1+x )=f (1-x )且f (0)=3,则f (b x )与f (c x
)的大小关系是( )
A .f (b x )≤f (c x )
B .f (b x )≥f (c x )
C .f (b x )>f (c x )
D .大小关系随x 的不同而不同
11、函数y =|2x -1|在区间(k -1,k +1)内不单调,则k 的取值范围是( )
A .(-1,+∞)
B .(-∞,1)
C .(-1,1)
D .(0,2)
12、已知a >0且a ≠1,f (x )=x 2-a x ,当x ∈(-1,1)时,均有f (x )<12
,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,12
]∪[2,+∞) B .[14,1)∪(1,4] C .[121)∪(1,2] D .(0,14)∪[4,+∞) 13、已知f (x )=log a |x -1|在(0,1)上递减,那么f (x )在(1,+∞)上( )
A .递增无最大值
B .递减无最小值
C .递增有最大值
D .递减有最小值
14、已知函数f (x )=a x +log a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2+6,则a 的值为( )
A.12
B.14
C .2
D .4 15、若函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为( )
A.14
B.12
C .2
D .4 16、若函数f (x )=a x +log a (x +1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ,则a 的值为( )
A.14
B.12
C .2
D .4 17、已知函数f (x )=|lg x |,若a ≠b ,且f (a )=f (b ),则ab =( )
A .1
B .2 C.12 D.14
18、函数y =x |x |
log 2|x |的大致图象是( )
19、已知图中曲线C 1,C 2,C 3,C 4分别是函数y =log a 1x ,y =log a 2x ,y =log a 3x ,y =log a 4x 的图象,
则a 1,a 2,a 3,a 4的大小关系是( )
A .a 4<a 3<a 2<a 1
B .a 3<a 4<a 1<a 2
C .a 2<a 1<a 3<a 4
D .a 3<a 4<a 2<a 1
20、函数f (x )=lg(x -1)+4-x 的定义域为( )
A .(1,4]
B .(1,4)
C .[1,4]
D .[1,4)
二、填空题
1、 函数y =a x (a >0,且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a 2
,则a 的值是________. 2、求下列各式的值
(1
)122[(]
-= (2
)(1221??-????= (3)=3264 3、化简
(1)()0,0535*******≠≠÷????? ??--b a b a
b a = (2))3()6)(2(65613121
2132b a b a b a -÷-=
4、若log x (2+1)=-1, 则x = 。
5、已知f (e x )=x ,则f (5)等于 。
6、对数式)5(log )2(a a -- 中实数a 的取值范围是 。
7、已知函数f (x )=??
???<+≥)4()1()4()21(x x f x x , 则f (log 23)=_________
8、(2)若1
1
225x x -+=,则21
x x +的值是
(3).若13a a -+=,求下列各式的值:
(1)11
22a a -+= ;(2)22a a -+= ; 9、函数y =log 13(-x 2+4x +12)的单调递减区间是________. 10、已知0<a <1,0<b <1,如果a
log b (x -3)<1,则x 的取值范围是________. 三、解答题
1、求函数y
=2的定义域、值域和单调区间.
2、(2011·银川模拟)若函数y =a 2x +2a x -1(a >0且a ≠1)在x ∈[-1,1]上的最大值为14,求a 的值.
3、已知函数f (x )=3x ,f (a +2)=18,g (x )=λ·3ax -4x 的定义域为[0,1].
(1)求a 的值;
(2)若函数g (x )在区间[0,1]上是单调递减函数,求实数λ的取值范围.
4、计算
(1)()()[]2175.034303101.016287064
.0-++-+??? ??----
(2)()3263425.0031323228765
.1??? ??--?+?+??? ??-?-
(3) log 2.56.25+lg 1001
+ln e +3log 122+ (4)lg25+lg2lg50+(lg2)2
4、解下列方程
(1)2233800x x +---= (2)1321(0.5)4x x --=
5、已知 log 18 9=a ,18b =5:用a , b 表示 log 36 45。
6、已知函数f (x )=x 2+(lg a +2)x +lg b 满足f (-1)=-2,且对一切实数x ,都有f (x )≥2x 成立,求实数a 、b 的值.
7、函数f (x )=log 12
(3x 2-ax +5)在[-1,+∞)上是减函数,求实数a 的取值范围.
指数与指数幂的运算 【知能点】 知能点1:有理数指数幂及运算性质 1、有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂()n n a a a a a n N *=??? ?∈个 ; (2)零指数幂)0(10≠=a a ; (3)负整数指数幂()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义。 2、有理数指数幂的性质 (1)()0,,m n m n a a a a m n Q ==>∈ (2)()()0,,n m mn a a a m n Q =>∈ (3)()()0,0,m m m ab a b a b m Q =>>∈ ① 引例:a >0 102 5 a a === → ?=; 3 23 3 3 23 2 )(a a a == → ?=. ① 定义分数指数幂: 规定* 0,,,1)m n a a m n N n =>∈> ;*1 0,,,1)m n m n a a m n N n a -= = >∈> ③ 练习:A.将下列根式写成分数指数幂形式: (0,,1)a m n N n *>∈>; ; 例 1:把下列各式中的a 写成分数指数幂的形式 (1)5 256a =;(2)4 28a -=;(3)765a -=;(4)()353,n m a m n N -+=∈ 解:(1)1 5 256a =;(2)1428a - =;(3)6 7 5a - =;(4)533 m n a - = 例 2:计算 (1)32 9; (2)32 16- 解:(1)() 3 3322 3 2 2 2 933 327? ====;(2)() 332312 2 116 4 464 - ---====
§2.1.1指数与指数幂的运算(2) 学习目标 1. 理解分数指数幂的概念; 2. 掌握根式与分数指数幂的相互转化; 3 掌握有理数指数幂的运算. 预习案 预习课本P 50—P 52 页内容 1.正数a 的正分数指数幂=n m a (),,0*N n m a ∈> 2.正数a 的负分数指数幂=- n m a (),,0*N n m a ∈> 3.s r a a ?= (其中),,0Q s r a ∈> 4.s r a )( = (其中),,0Q s r a ∈> 5.s b a )(?= (其中),0,Q s b a ∈> 预习自测 1. 求下列各式的值: (1)3 28 (2)2 1100- (3)2 39- 2.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(式中字母都是正数): (1)a a ?2 (2)323a a ? (3)a a 3.计算下列各式(式中字母都是正数): (1)(2a 3 2b 2 1)(-6a 2 1b 3 1)÷(-3a 6 1b 6 5); (2)(m 4 1n 8 3- )8. 我的疑问
探究案 自主探究一: (1)观察以下式子,并总结出规律:a >0, ①510a =55 2)(a =a 2 =a 5 10; ②8a =2 4)(a =a 4 =a 2 8; ③4 12 a =44 3)(a =a 3 =a 4 12; ④210a =22 5)(a =a 5 =a 2 10. (2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗? 4 35,357,57a ,n m x (x>0,m,n∈+N ,且n>1). (3)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗? (4)0的正分数指数幂等于多少?0有负指数幂吗? (5)负整数指数幂的意义是怎样规定的? 合作探究 例1. 已知231 21 1322[()()] a b a b ab a ------==求的值. 变题1:已知31 =+-x x ,求下列各式的值:(1)2 12 1- +x x 例2. 比较63123,11,5的大小.
指数与指数幂的运算 课题:指数与指数幂的运算 课型:新授课 教学方法:讲授法与探究法 教学媒体选择:多媒体教学 学习者分析: 1.需求分析:在研究指数函数前,学生应熟练掌握指数与指数幂的运算,通过本节内容将指数的取值范围扩充到实数,为学习指数函数打基础. 2.学情分析:在中学阶段已经接触过正数指数幂的运算,但是这对我们研究指数函数是远远不够的,通过本节课使学生对指数幂的运算和理解更加深入. 学习任务分析: 1.教材分析:本节的内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如推广思想,逼近思想,教材充分关注与实际问题的联系,体现了本节内容的重要性和数学的实际应用价值. 2.教学重点:根式的概念及n次方根的性质;分数指数幂的意义及运算性质;分数指数幂与根式的互化. 3.教学难点:n次方根的性质;分数指数幂的意义及分数指数幂的运算. 教学目标阐明:
1.知识与技能:理解根式的概念及性质,掌握分数指数幂的运算,能够熟练的进行分数指数幂与根式的互化. 2.过程与方法:通过探究和思考,培养学生推广和逼近的数学思想方法,提高学生的知识迁移能力和主动参与能力. 3.情感态度和价值观:在教学过程中,让学生自主探索来加深对n 次方根和分数指数幂的理解,而具有探索能力是学习数学、理解数学、解决数学问题的重要方面. 教学流程图: 教学过程设计: 一.新课引入:
(一)本章知识结构介绍 (二)问题引入 1.问题:当生物体死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内含量P 与死亡年数t 之间的关系: (1)当生物死亡了5730年后,它体内的碳14含量P 的值为 (2)当生物死亡了5730×2年后,它体内的碳14含量P 的值为 (3) 当生物死亡了6000年后,它体内的碳14含量P 的值为 (4)当生物死亡了10000年后,它体内的碳14含量P 的值为 122 12?? ???6000 5730 12?? ???100005730 12?? ? ??
2.1.1 指数与指数幂的运算(2课时) 第一课时根式 教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念; 2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质; 3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质 教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解 教学方法:学导式 教学过程: (I)复习回顾 引例:填空 m n =(m,n∈Z); a+
(II )讲授新课 1.引入: (1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为m n a a ÷可看作m n a a -?,所以m n m n a a a -÷=可以归入性质m n m n a a a +?=;又因为n b a )(可看作 m n a a -?,所以n n n b a b a =)(可以归入性质()n n n ab a b =?(n ∈Z)),这是为下面学习分 数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n 次根式(*N n ∈)的概念。 (2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如: 分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则2叫做32的5次方根,类似地,若2n =a ,则2叫a 的n 次方根。由此,可有:
2.n 次方根的定义:(板书) 问题1:n 次方根的定义给出了,x 如何用a 表示呢?n a x =是否正确? 分析过程: 解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为5)2(-=-32,所以-2是-32的5次方根; 因为632a )a (=,所以a 2是a 6的3次方根。 结论1:当n 为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n 次方根是正数,负数的n 次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a 的n 次方根可表示为n a x =。 从而有:3273=,2325-=-,236a a = 解:因为4216=,16)2(4=-,所以2和-2是16的4次方根;
课题:指数与指数幂的运算(一) 课 型:新授课 教学目标: 了解指数函数模型背景及实用性必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念 教学重点:掌握n 次方根的求解. 教学难点:理解根式的概念,了解指数函数模型的应用背景 教学过程: 一、复习准备: 1、提问:正方形面积公式?正方体的体积公式?(2a 、3a ) 2、回顾初中根式的概念:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根;如果一 个数的立方等于a ,那么这个数叫做a 的立方根. → 二. 讲授新课: 1. 教学指数函数模型应用背景: ① 探究下面实例,了解指数指数概念提出的背景,体会引入指数函数的必要性. 实例1.某市人口平均年增长率为1.25℅,1990年人口数为a 万,则x 年后人口数为多少万? 实例2. 给一张报纸,先实验最多可折多少次(8次) 计算:若报纸长50cm ,宽34cm ,厚0.01mm ,进行对折x 次后,问对折后的面积与厚度? ② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析,我国未来20年GDP (国内生产总值)年平均增长率达7.3℅, 则x 年后GDP 为2000年的多少倍? 书P52 问题2. 生物死亡后,体内碳14每过5730年衰减一半(半衰期),则死亡t 年后 体内碳14的含量P 与死亡时碳14的关系为57301()2 t P =. 探究该式意义? ③小结:实践中存在着许多指数函数的应用模型,如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学. 2. 教学根式的概念及运算: ① 复习实例蕴含的概念:2(2)4±=,2±就叫4的平方根;3327=,3就叫27的立方根. 探究:4(3)81±=,3±就叫做81的?次方根, 依此类推,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根. ② 定义n 次方根:一般地,若n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根.( n th root ),其中1n >,n *∈N 例如:328=2= ③ 讨论:当n 为奇数时, n 次方根情况如何?, 例如: 33-, 记:x 当n 为偶数时,正数的n 次方根情况? 例如: 4(3)81±=,81的4次方根就是3±, 记: 强调:负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即. 0= ④ 练习:4b a =,则a 的4次方根为 ; 3b a =, 则a 的3次方根为 . ⑤ radical ), 这里n 叫做根指数(radical exponent ), a 叫做被开方数(radicand ). ⑥ 计算2→ 探究: n 、n n a 的意义及结果? (特殊到一般) n a =. 当n 是奇数时,a a n n =;当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?- 3、例题讲解