第七章 不等式
第一部分 三年高考荟萃
2010年高考题
一、选择题
1.（2010上海文）15.满足线性约束条件23,23,0,0
x y x y x y +≤??+≤?
?≥??≥?的目标函数z x y =+的最大值是
（ ）
（A ）1. （B ）3
2
. （C ）2. （D ）3. 答案 C
解析：当直线z x y =+过点B(1,1)时，z 最大值为2
2.（2010浙江理）（7）若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥??
--≤??-+≥?
且x y +的最大值为9，
则实数m =
（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）2 答案 C
解析：将最大值转化为y 轴上的截距，将m 等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
3.（2010全国卷2理）（5）不等式
26
01
x x x ---＞的解集为 （A ）{}
2,3x x x -＜或＞ （B ）{}
213x x x -＜，或＜＜
（C ） {}
213x x x -＜＜，或＞ （D ）{}
2113x x x -＜＜
，或＜＜ 【答案】C
【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.
【解析】
利用数轴穿根
法解得-2＜x ＜1或x ＞3，故选C
4.（2010全国卷2文）(5)若变量x,y 满足约束条件1325x y x x y ≥-??
≥??+≤?
则z=2x+y 的最大值为
（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】C ：本题考查了线性规划的知识。 ∵ 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与y x = 与325x y +=的交点为最优解点，
∴即为（1，1），当1,1x y ==时max 3z =
5.（2010全国卷2文）（2）不等式
3
2
x x -+＜0的解集为 （A ）{}
23x x -<< （B ）{}2x x <- （C ）{}23x x x <->或 （D ）{}
3x x > 【解析】A ：本题考查了不等式的解法
∵ 3
2x x -<+，∴ 23x -<<，故选A
6.（2010江西理）3.不等式
22
x x x x --> 的解集是（ ） A. (02)，
B. (0)-∞，
C. (2)+∞，
D. (0)∞?+∞（-，0）， 【答案】 A
【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身，值为负数.2
0x x
-<，解得A 。 或者选择x=1和x=-1,两个检验进行排除。
7.（2010安徽文）（8）设x,y 满足约束条件260,260,0,x y x y y +-≥??
+-≤??≥?
则目标函数z=x+y 的最大值是
（A ）3 （B ） 4 （C ） 6 （D ）8 答案 C
【解析】不等式表示的区域是一个三角形，3个顶点是(3,0),(6,0),(2,2)，目标函数z x y =+在(6,0)取最大值6。
【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大值.
8.（2010重庆文）（7）设变量,x y 满足约束条件
0,0,
220,x x y x y ≥??
-≥??--≤?
则32z x y =-的最大值为 （A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6 解析：不等式组表示的平面区域如图所示，
当直线32z x y =-过点B 时，在y 轴上截距最小，z 最大 由B （2,2）知max z =
4
解析：将最大值转化为y 轴上的截距，可知答案选A ，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题
10.（2010重庆理数）（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y 的最小值是 D. 112
A. 3
B. 4
C. 答案 B
解析：考察均值不等式
9
2
2
228)2(82??
? ??+-≥?-=+y x y x y x ，整理得()()0322422
≥-+++y x y x
即()()08242≥++-+y x y x ，又02>+y x ，42≥+∴y x
11.（2010重庆理数）（4）设变量x ，y 满足约束条件01030y x y x y ≥??
-+≥??+-≤?
，则z=2x+y 的最大值
为
A.—2
B. 4
C. 6
D. 8 答案 C
解析：不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点B （3,0）的时候，z 取得最大值6
12.（2010北京理）（7）设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥??
-+≥??-+≤?
表示的平面区域为D ，若指数函数
y=x
a 的图像上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是
（A ）(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞] 答案：A
13.（2010四川理）（12）设0a b c >>>，则2
211
21025()
a ac c a
b a a b ++-+-的最 小值是
（A ）2 （B ）4 （C ）
（D ）5 解析：2
21121025()
a ac c a
b a a b +
+-+- ＝2
2
11(5)()
a c a a
b ab ab a a b -+-++
+- ＝2
11(5)()()
a c a
b a a b ab a a b -++
+-+-
≥0＋2＋2＝4
当且仅当a －5c ＝0,ab ＝1,a (a －b )＝1时等号成立 如取a
b
＝2,c
＝5
满足条件. 答案：B
14.（2010四川理）（7）某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克A 产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 （A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案：B
解析：设甲车间加工原料x 箱，乙车间加工原料y 箱
则70
106480,x y x y x y N +≤??
+≤??∈?
目标函数z ＝280x ＋300y
结合图象可得：当x ＝15,y ＝55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验.
15.（2010天津文）(2)设变量x ，y 满足约束条件3,1,1,x y x y y +≤??
-≥-??≥?
则目标函数z=4x+2y 的最大
值为
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2 【答案】B
【解析】本题主要考查目标函数最值的求法，属于容易题，做出可行域，如图由图可知，当目标函数过直线y=1与x+y=3的交点
（2，1）时z 取得最大值10. 16.（2010福建文）
17.（2010全国卷1文）（10）设1
23log 2,ln 2,5a b c -===则 （A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D) c b a << 答案C
【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=
21log 3, b=In2=21
log e
,而22log 3log 1e >>,所以a 2 5 - 222log 4log 3>=>,所以c 321log ,b =ln2=2 1log e , 3 221log log 2e <<< ，32211112log log e <<<； c =12 1 5 2 - = <=，∴c 0,20,y x y x y ≤?? +≥??--≤? 则2z x y =-的最大 值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 答案B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. x +20y -=【解析】画出可行域（如右图），11 222 z x y y x z =-?=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为max 12(1)3z =-?-=. 19.（2010全国卷1理）（ 8）设a =3log 2,b =ln2,c =1 2 5 -,则 （A ） a 20.（2010全国卷1理） 21.（2010四川文）（11）设0a ＞b ＞，则() 2 11 a a b a a b + + -的最小值是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 答案：D 解析：() 2 11a ab a a b + +- ＝2 11() a a b ab ab a a b -++ +- ＝ 11 () () ab a a b ab a a b ++-+ - ≥2＋2＝4 当且仅当ab＝1,a(a－b)＝1时等号成立 如取a b ＝ 2 满足条件. 22.（2010四川文）（8）某加工厂用某原料由车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天功能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为 （A）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱 （B）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱 （C）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱 （D）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱 答案：B 解析：解析：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱 则 70 106480 , x y x y x y N +≤ ? ? +≤ ? ?∈ ? 目标函数z＝280x＋300y 结合图象可得：当x＝15,y＝55时z最大本题也可以将答案逐项代入检验 . 23.（2010山东理） 24.（2010福建理）8．设不等式组x 1x-2y+30y x ≥?? ≥??≥? 所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1 Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( ) A ． 285 B ． 4 C ． 12 5 D ．2 【答案】B 【解析】由题意知，所求的||AB 的最小值，即为区域1Ω中的点到直线3490x y --=的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示 ， 金太阳新课标资源网 可看出点（1，1）到直线3490x y --=的距离最小，故||AB 的最小值为 |31419| 245 ?-?-? =，所以选B 。 二、填空题 1.（2010上海文） 2.不等式204 x x ->+的解集是 。 【答案】{}24|<<-x x 解析：考查分式不等式的解法 204 x x ->+等价于（x-2）(x+4)<0,所以-4 -≤??+≥? ，则目标函数z ＝3x －y 的最大值 为 . 【答案】5 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 当直线z ＝3x －y 过点C （2,1）时，在y 轴上截距最小 此时z 取得最大值5 3.（2010辽宁文）（15）已知14x y -<+<且23x y <-<， 则23z x y =-的取值 是 . （答案用区间表示） 【答案】 (3,8) 【解析】填(3,8). 利用线性规划，画出不等式组1 423 x y x y x y x y +>-??+ ?->??- 4.（2010辽宁理）（14）已知14x y -<+<且23x y <-<，则23z x y =-的取值范围是_______（答案用区间表示） 【答案】（3，8） 【命题立意】本题考查了线性规划的最值问题，考查了同学们数形结合解决问题的能力。 金太阳新课标资源网 【解析】画出不等式组14 23 x y x y -<+ <- 线经过x-y=2与x+y=4的交点A （3，1）时，目标函数有最小值z=2×3-3×1=3；当直线经过x+y=-1与x-y=3的焦点A （1，-2）时，目标函数有最大值z=2×1+3×2=8. 5.（2010安徽文）(15)若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)． ①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④3 3 3a b +≥； ⑤11 2a b +≥ 【答案】①，③，⑤ 【解析】令1a b == ，排除②②；由21a b ab =+≥≤，命题①正确； 222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，命题③正确；112 2a b a b ab ab ++= =≥，命题⑤正确。 6.（2010浙江文）（15）若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是 。 【答案】18 7.（2010山东文）（14）已知,x y R +∈，且满足134 x y +=，则xy 的最大值为 . 【答案】3 8.（2010北京文）（11）若点p （m ，3）到直线4310x y -+=的距离为4，且点p 在不等式2x y +＜3表示的平面区域内，则m= 。 【答案】-3 9.（2010全国卷1文）(13)不等式 22 032 x x x -++ 的解集是 . 【答案】{ }21,2 x x x -<<->或 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法 【解析】: 2 2032x x x -++ ()() ()()()2 0221021x x x x x x -?>?-++>++，数轴标根得：{} 21,2x x x -<<->或 金太阳新课标资源网 10.（2010全国卷1理）(13) 1x ≤的解集是 . 11.（2010湖北文）12.已知：2,x y -式中变量,x y 满足的束条件,1,2y x x y x ≤?? +≥??≤? 则z 的最大值 为______。 【答案】5 【解析】同理科 12.（2010山东理） 13.（2010安徽理） 14.（2010安徽理）13、设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥?? --≤??≥≥? ，若目标函数 ()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为________。 【答案】 4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是 金太阳新课标资源网 1 (0,0),(0,2),(,0),(1,4)2 ，易见目标函数在(1,4)取最大值8， 所以844ab ab =+?=， 所以4a b +≥=，在2a b ==时是等号成立。所以a b +的最小值为4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得4ab =，要想求a b +的最小值，显然要利用基本不等式. 15.（2010湖北理）12.已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件, 1,2,y x x y x ≤?? +≥??≤? ，则z 的 最大值为___________. 【答案】5 【解析】依题意，画出可行域（如图示）， 则对于目标函数y=2x-z ， 当直线经过A （2，－1）时， z 取到最大值，max 5Z =. 16.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称 2ab a b +为a ，b 的调和平均数。如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半圆。过点C 作AB 的垂线交半圆于D 。连结OD ，AD ，BD 。过点C 作OD 的垂线，垂足为E 。则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数， 线段 的长度是a,b 的几何平均数，线段 的长度是a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =? ，故CD ，即CD 长度为a,b 的几何平均数，将 OC=, 222 a b a b a b a CD OD +-+- === 代入O D C E O C C D ?=?可 得CE = 故2()2()a b OE a b -== +，所以ED=OD-OE= 2ab a b +，故DE 的长度为a,b 的调和平均数. 17.（2010江苏卷）12、设实数x,y 满足3≤2 xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43 y x 的最大值 金太阳新课标资源网 是 。。 【答案】 27 【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。 22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy =?∈，43 y x 的最大值是27。 三、解答题 1.（2010广东理）19.（本小题满分12分） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设该儿童分别预订,x y 个单位的午餐和晚餐，共花费z 元，则 2.54z x y =+。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x ≥0， x ∈N y ≥0， y ∈N 即 3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x ≥0， x ∈N y ≥0， y ∈N 作出可行域如图所示： 金太阳新课标资源网 经试验发现，当x=4,y=3 时，花费最少，为 2.54z x y =+=2.5×4+4×3=22元． 2.（2010广东文）19.（本题满分12分） 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？ 解：设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为F ，则F y x 45.2+=，由题意知： 64812≥+y x 4266≥+y x 54106≥+y x 0,0>>y x 画出可行域： 变换目标函数：4 85F x y +- = 金太阳新课标资源网 3.（2010湖北理）15.设a>0,b>0,称 2ab a b +为a ，b 的调和平均数。如图，C 为线段AB 上的点，且AC=a ，CB=b ，O 为AB 中点，以AB 为直径做半圆。过点C 作AB 的垂线交半圆于D 。连结OD ，AD ，BD 。过点C 作OD 的垂线，垂足为E 。则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数， 线段 的长度是a,b 的几何平均数，线段 的长度是a,b 的调和平均数。 【答案】CD DE 【解析】在Rt △ADB 中DC 为高，则由射影定理可得2CD AC CB =? ，故CD ，即CD 长度为a,b 的几何平均数，将 OC=, 222 a b a b a b a CD OD +-+- === 代入O D C E O C C D ?=?可 得CE = 故2()2()a b OE a b -== +，所以ED=OD-OE=2ab a b +，故DE 的长度为a,b 的调和平均数. 金太阳新课标资源网 2009年高考题 第一节 简单不等式及其解法 一、选择题 1.（2009安徽卷理）下列选项中，p 是q 的必要不充分条件的是A.p:a c +＞b+d , q :a ＞b 且c ＞d B .p :a ＞1,b>1 q :()(01)x f x a b a a =->≠，且的图像不过第二象限 C .p : x=1, q :2 x x =D .p :a ＞1, q : ()log (01)a f x x a a =>≠，且在(0,)+∞上为增函数答案 A 解析 由a ＞b 且c ＞d ?a c +＞b+d ，而由a c +＞b+d a ＞b 且c ＞d ，可举反例。选A 。 2.（2009安徽卷文）“”是“且”的 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 A 解析 易得a b c d >>且时必有a c b d +>+.若a c b d +>+时，则可能有a d c b >>且，选A 。 3.（2009四川卷文）已知a ，b ，c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 B 解析 显然，充分性不成立.又，若a －c ＞b －d 和c ＞d 都成立，则同向不等式相加得 a ＞b 即由“a －c ＞b －d ”?“a ＞b ” 4.（2009天津卷理）a b +<<10,若关于x 的不等式2()x b -＞2 ()ax 的解集中的整数恰 金太阳新课标资源网 有3个，则 A.01<<-a