第九章基于信号补偿的鲁棒控制方法
9.1 基于信号补偿的鲁棒控制原理
考虑一实际受控对象：
其中u为受控对象的输入，y为受控对象的输出。受控对象的描述可以视为在一标称受控对象的基础上加入了一个等价干扰:
其中等价干扰q描述受控对象中包含的不确定性（时变非线性）、外界干扰等。
基于信号补偿的鲁棒控制原理：首先，忽略等价干扰的影响，对于标称受控对象设计标称控制器，使得标称闭环控制系统具有期望的控制性能；其次，设计鲁棒补偿器产生鲁棒补偿信号，抑制等价干扰的影响，实现鲁棒控制。
标称控制器设计
其中r为外部指令信号。
例：考虑2阶受控对象：
()()()()(),,,y t h y
t y t u t t = 考虑如下三种情形：
(1)标称受控对象
()()()y t y t u t =+
(2)参数摄动受控对象
()()()()[][][]
1,1,1,1,1,2y t ay
t by t cu t a b c =??+∈?∈?∈
(3)时变非线性摄动受控对象
鲁棒补偿器
设计基于信号补偿的鲁棒控制系统
()()()()()()()()()
()()22
sin **cos 12cos y t y t t y
t y t y t u t u t t u t =+
+
+++
实际受控对象可描述为
()()()()
()()()()()()(),,,y t y t u t q t q t h y
t y t u t t y t u t =++=??
即
()()()2
1
1
o y G s u q u q s =+=
+? 其中()q t 被称为等价干扰。 标称受控对象可描述为
()()()
()21
,1
o o o o N s y G s u G s D s s ===?
欲设计控制器，使得输出()y t 跟踪如下参考模型的输出()m y t ：
()()()()()2
213,31m m m m m N s y W s r W s D s s s ??
===??+??
+
基于信号补偿的鲁棒控制器设计：
控制输入()u t 由两部分组成：标称控制输入和鲁棒补偿输入，即
()()()o u t u t v t =+ （1）
标称控制器设计：
()()()
y r o u N s y N s r
u D s +=
（2）
则对于标称受控对象，令()()o u t u t =，有
()()()()()
y r o o u N s y N s r N s y D s D s +=
即
()()()()()()
o r o u o y N s N s y r D s D s N s N s =? （3）
若选择(),u D s ()y N s 和()r N s ，满足
()()()()()
()()()
o u o y m o r m D s D s N s N s D s N s N s N s ?== （4）
则式(3)成为
()()
m m N s y r D s =
即输出()y t 将渐近跟踪参考模型的输出()m y t 。 求解代数方程(4)，得
()()()()28233219
u y r D s s s N s s N s =++=?+= 即标称控制器为
()2
9321823
o r s y u u s s ?+==
++
鲁棒补偿器设计：将式(1)的控制输入()u t 代入实际受控对象，得
()()()
()()
()()()()()o o o o y r o o u N s y G s u q u v q D s N s y N s r
N s v q D s D s =+=++??+=++??????
即
()()()()()
()()()()
o r o u o u o y N s N s r N s D s v q y D s D s N s N s ++=
?
()()()()
()
o u m m N s D s v q W s r D s +=+
为了抑制等价干扰q 的影响，期望的鲁棒补偿输入信号为
()()()()v q y t y t u t ?=?=???
由于v ?
中包含了输出()y t 的微分，上述期望的鲁棒补偿输入信号不可实现，故
引入鲁棒滤波器
()()()
f f N s F s D s =
构成鲁棒补偿器如下：
()()()
()()
2
1f f
N s v F s q s y u D s =?=?
??
为了消除v ?
中包含的微分，鲁棒滤波器()F s 的相对阶次需要大于或等于2。
如果选取鲁棒滤波器为
()()1f
F s ps s f
=
++
则鲁棒补偿器为
()221f s y f u v ps s f
??+=
++
其中鲁棒滤波器的参数可选取为100f =或1000f =，0.1p f
=
。
9.2 永磁同步电动机高精度鲁棒伺服控制
电动机模型
永磁同步电动机的模型如下
:
p p p l p d d
d d q q q q q q
d d a a q di u Ri L n L i dt
di u Ri L n L i n dt d J B T n i dt ωωωφω
ωφ?
=+???
?
=+++??
?++=??
（1）
上式中的符号定义为：,d q i i 分别为定子电流在直轴和交轴上的分量，,d q u u 分别为定子电压在直轴和交轴上的分量，ω是机械转速，R 是定子电枢电阻，L 是电枢电感，对于表贴式永磁同步电动机，电感在直轴和交轴上的分量相等d q L L L ==，p n
是极对数，a f φ=，
其中f φ是永磁转子的磁链，J 和B 分别为总等效转动惯量和总等效摩擦系数，l T 是负载转矩。
为了将d，q 轴的状态解耦，对d i 进行独立的PI 控制，控制输入为
*?
()di d dp d
d k u k i i s ??=+?????
并令参考电流为*
0d
i =，因此实际的d i 会在0附近抖动，可以当作扰动处理。系统模型简化为：
p p T
q
q a q i a q di L Ri n u k dt
n d B i dt
J J φωωφωω?=??++Δ???
?=?+Δ?? （2） 其中p i d k n Li Δ=是d 轴交叉干扰项，T l
T J
Δ=?为转矩干扰项。设计q 轴的内环电流控制器如下：
p q qr a u Ri n φω=+
整理得到系统的状态空间模型为：
p T 00q i q qr a di R k L i R dt i n B d J J dt φωω???Δ??
????????????=++???????
?Δ?????????????
????
（3） 因为电感L 的值比较小，可将（3）视为奇异值扰动模型进行处理。令0L =模型简化为
p T a qr n d B
i dt
J
J
φωω=?+Δ
（4） 根据奇异值扰动模型的定理，如果简化模型是最终有界指数收敛，则当电感L 充分小时，
原模型也是最终有界指数收敛的。
假设1：转矩扰动T Δ为分段连续时变并一致有界的，满足：
T T μΔ≤
其中T 0μ≥为已知常数。
令,,a J B φ的标称值分别是00,J B ,0a φ，且令10p 001
a k n J φ=, 0200
B k J =，则模型（4）可改写为：
1020?qr d k i k h dt
ωω=?+ （5） 其中，?h
称为等价干扰，包括参数扰动以及转矩扰动， 定义为 12T
?qr h k i k ω=Δ?Δ+Δ 10011p a p a k n n J J φφΔ=
?，020
B
B k J J Δ=?
假设2：参数扰动1k Δ和2k Δ是分段连续时变且一致有界的，存在已知常数1[0,1)μ∈和20μ≥满足：
1
110
k k μΔ≤，22k μΔ≤ 设计控制器时希望实际转速ω跟踪一个转速参考信号r ω，它由下面的参考模型给出：
()m r W s r ω=，()()()
m m m N s W s D s =
（6）
这里s 是微分算子，()m D s 是一个首一的Hurwitz 多项式，r 是参考输入。参考模型可如下选取：
()()2
m 2
2m 2n
n n
N s D s s s ωζωω
==++
这里n ω和ζ是正常数，可以根据期望的响应时间，超调量和带宽进行选取。
假设3：参考输入r 是分段连续时变且一致有界的，存在已知常数0r μ≥满足：
r r μ≤
控制器设计
所设计的鲁棒控制器分为标称控制器和鲁棒补偿器两部分 0?qr qr qr i i i =+
（7）
其中0qr i 是标称控制输入，?qr i 是鲁棒补偿输入。
设计标称控制器如下
0qr r
i s αωβγ
+=
+ （8）
其中α, β和γ均为正常数，令其满足下面等式
()()()()
2010m 10m s s k k D s k N s γαβ++?=????= （9）
根据式（9）可得：
2
2202010
10
2,,n n n k k k k γωωγζωαβ?=?+=
=
假设参考模型的时间常数小于标称模型的时间常数，则0γ>.
将标称控制器（8）代入标称模型（模型（5）中令扰动项?0h =），可得：
()()
m m N s r D s ω=
可见如此设计的标称控制器使得标称控制系统的输入输出特性与参考模型一致。
为了抑制等价干扰?h
的影响，设计鲁棒补偿器如下：
10
1??()qr i
F s h k =? （10）
其中()f
F s s f
=
+是鲁棒滤波器。 将（7），（8）代入（10），得 ()201010
1?()qr qr i F s s k k i k ω??=?+??? ()20100101
qr f s k k i s k ω??=?
+??
? （11） 整个鲁棒控制器描述如下： ()02010010
1
qr qr qr f i i s k k i s k ω??=?+??? （12） 其中0qr i 由式（8）给定。可看出（12）是线性时不变的，整个控制器结构简单，其中只有参数f 是待定的。如果ω和qr i 的幅值上界与参数f 无关，则当鲁棒滤波器()F s 的带宽充分宽
时，可期望10?qr k i 充分近似?h
?，从而抑制?h 的影响。在下面的理论证明中将看到，如何依据系统的参数和转矩的不确定性选取f 的值。
图1
是整个控制系统的结构框图。
图1控制系统的结构框图
鲁棒性能分析
定义转速跟踪误差为：
r e ωω=?
（13）
控制器可改写为如下形式：
101?()r qr r e i F s h s k s αωβαγγ+=??+++ 选取系统状态
2,e x s γ=
+3?,h
x s f =+2
1x x s
=
则控制器可由状态表示如下：
2310qr qr f i x x i k α=??+ （14）
其中第三项为有界项：
r qr r i
s αωβγ
+=+ （15）
考虑整个控制系统，将式（7）、（8）和（10）代入式（5）可得
()()10
1020?1()k k r s k F s h s αωβωγ++=+?+ 整理得
()()201010?s s k k k r s h s s f
γαωβγ++??????=++
根据（9）有
()()
m 1?
D s e h s s s f
γ=?
++ （16）
系统方程（16）的状态空间描述为：
2
100?2100
1n n
h f ωζω????
????=???+?????????????
x x （17）
()2
21n
n e ωζωγ??=??????x
（18）
需要指出在推导等式（16）时，所有信号的初始状态均假设为零，但在鲁棒特性证明中
也考虑了初始状态不为零的情况。
根据式（14）和（18），等价扰动?h
可如下表示： 1232210?qr r T f h k x x i k e k k αω??=Δ??++Δ?Δ+Δ????
()2
21122
123102n n k x k k x k f k x h
k ωαζωγ=?Δ?Δ+Δ???????Δ?+Δ+????
（19）
其中
12qr r T h k i k ω=Δ?Δ+Δ
（20）
因为参考模型和标称模型中的参数均为常数，并且参考模型是稳定的，所以r ω有界；
又因为参数摄动、负载转矩扰动均有界，因此式（15）和（20）中的qr i 和h
均为有界，且与鲁棒补偿器参数f 无关。假设 h μ为正常数，其满足
h ≤ 定理1：如果假设1，2和3成立，由系统（5）和鲁棒控制器（14）组成的控制系统具有如下特性：
1. 存在一个足够大的常数*f ，当*f f ≥时，系统中的所有状态有界；
2. 如果系统中的初始状态为()00x =，则对任意给定常数0ε>，存在一个足够大的常数*f ，当*f f ≥时，跟踪误差e 满足
()2,0e t t ε≤?≥
3. 如果系统中的初始状态为()00x ≠，则对任意给定常数0ε>，存在足够大的常数*
f 和0T ε>，当*f f ≥时，跟踪误差e 满足
()2,e t t T εε≤?≥
证明：定义
2
01
2m n
n ωζω??
=??????
A
因为参考模型（6）稳定，故Lyapunov 方程：
T
m m +=?PA A P I
有正定解1
22
3p
p p p ??
=????
P ，其中 122
3211
1
,421114n
n n
n n n p p p ζωωζωωζωω??=
++=????
??=+????
选取如下的正定函数作为Lyapunov 函数：
[]12123
2T
x V x x x x ??=+????P 则对于系统（17），函数V 的导数为
[]()222121
233
3222
122133233
2
2131223
2
1233100?222122222222T n
n V x x x x x fx x h x x p x x p x x fx k x x k k x x k f k x x h
k ωαζωγ??=??+?+?????
=??????Δ?Δ+Δ???????Δ?+Δ+????
P
()(){
}
222
122213
312232123102222n n h
x x p k x x p k k x x k
f f k x k ωαζωγ≤??+??Δ+??Δ+Δ??????Δ?++Δ??
T h V x x ρ=??Q
（21）
其中ρ是待定的正常数，Q 为33×矩阵：
12
123
21
2311p p q p p q q q q ρρρρ????
??=????????
Q （22）
2
122n q p k ω=+Δ
()23122n q p k k αζωγ=+Δ+Δ?????
13210212k q f k k ρ??
??
Δ=++Δ???????
???
令()1λP 和()2λP 是P 的特征值。选择
()()121
2max ,ρλλ≤
????
P P
（23）
可推导得
121231/2001/2q q q q q ??
??≥??
????
Q 若要保证0≥Q ，只需满足22
312
/2q q q ≥+，即
22
12121012
k f k q q k ρ??
Δ++Δ≥+???
?
（24）
根据假设2，有：
2
1221n q p q μω≤+
23110222n q p k q μαμζωγ≤++?
1
110
110k k μΔ+
≥?> 因此为使式（24）成立，可选取鲁棒补偿器参数f 满足 (
)2121212
f q q ρμμ?≥+++
即满足
()
2
12
1141f f μ?????≥? （25）
这样，根据式（21）得不等式 h
V V ρ≤? 因此
()(
)0t V t e V ρ?≤
进一步推导可知，系统状态满足
()()()(
)()(
)212231
0min ,1,20t i t x t e V P P i x t e V ρρλλ????≤
???????=≤+
（26）
根据式（17）、（18）和（26）可得：
()(
)20,0t e e t e V t ρμ???
≤≥??? （27）
其中 ()()()24
12323min ,n n e P P ωζωγμλλ??
+??
?=+????
。 不等式（26）和（27）表明系统状态以及转速误差是渐近收敛到一个有界域内，并且当
鲁棒补偿器参数f 充分大时，该域的范围可以充分小。
如果初始条件为零，即()00V =，则对任意给定的正常数ε，令2
22h e f μμρε??
=????，
{}12max ,f f f ?=，则当f f ?≥
ε≤，因此转速跟踪误差满足
()2,0e t t ε≤≥
当初始条件()00x ≠时，令2
3h e f μμρε??=????，{}13max ,f f f ?=，()201ln e V T εμρε??
=??????
，则当f f ?≥，不等式（25）成立，且转速跟踪误差满足
()2,e t t T εε≤≥
实验结果
为了验证所设计的鲁棒控制器的有效性，搭建了基于永磁同步电动机和基于DSP 的逆变器的实验平台，控制系统中的永磁同步电动机是四通公司的750W 电动机，标称参数见表1。电流通过霍尔元件测量，转速通过码盘（8192ppr）测量。
图2 试验平台
表1.永磁同步电动机的标称参数
0 2.875
R =Ω
00.0085L =Η
00.0816Wb f φ=
00.00185Nms/rad
B =
200.0008Nms /rad
J =4p n =
3Nm
lr T =
根据表1中的参数可以计算出10500k =和
20 2.3125k =。
参考模型参数要根据期望的转速特性来确定，这里选为60rad/s n ω=和0.9ζ=，这样参考模型的带宽为44.8rad/s，过渡过程时间为0.07s，超调量为0.15%。鲁棒补偿器参数选为150f =。
注1：参考模型参数要根据期望的转速跟踪特性来确定，而整个系统的控制效果是与参考模型的输出基本一致的。其中，参考模型的带宽一定要小于电动机以及变频器的带宽，以保证控制指令能正常执行。
注2：鲁棒补偿器参数不能选择过小，否则会把等价干扰信号中的有用信息滤掉，达不到期望的效果。也不能过大，否则会引入噪声，导致系统振动。
实验中让电动机伺服系统跟踪30rad/s 的阶跃指令信号。对4种情况进行了实验。实验1中，在没有负载的情况下，只采用标称控制器进行控制，控制效果如图3。实验2中，在标称控制器的基础上加上鲁棒补偿器，控制效果如图4。可以看出加上鲁棒补偿器后，转速和电流抖动均明显改善。且转速很好的跟踪了参考模型的输出转速。
图3 标称控制器控制下的转速和电流曲线
图4 鲁棒控制器控制下的转速和电流曲线
实验3中，为了验证鲁棒控制器对负载转矩变化的作用，我们用另一套PMSM 伺服系统与上述系统对拖，进行负载转矩变化实验。负载转矩变化如下：
00,
0250%*,2l l l r T t s T T s t =≤
≤??
整个系统的控制效果见图5。从q 轴电流曲线的变化可以看出输出转矩随着负载转矩的
变化发生了变化，但转速曲线只是在转矩阶跃变化瞬间有一点抖动，并立刻恢复到了期望值。
图5 转矩变化时系统的转速和电流曲线
实验4中，在轴上增加了一个大惯性负载，从而改变了负载特性，这时转动惯量变化为1.5*o J J ≈，同时摩擦系数也发生一定的变化，而负载转矩变化同实验3。整个系统的控制效果如图6所示。可以看出q 轴电流曲线的幅值（尤其是启动时）要比实验3中的大，这是因为转动惯量等负载特性发生变化，要实现期望的转速跟踪，需要更大的输出转矩。可见转速曲线也能很好地跟踪期望转速，发生负载转矩阶跃变化时，也只有很小的抖动且能很快恢复。
图6 转矩变化和负载特性变化时系统的转速和电流曲线
9.3三自由度直升机鲁棒LQR 姿态控制
三自由度直升机
由Quanser 公司生产的三自由度直升机如图1所示。
图1 三自由度直升机
结构和受力示意图如图2所示。
m f
F m h
l p 0
>0
λ>a
l
图2 三自由度直升机结构和受力示意图
符号：
()t ξ, ()p t , ()t λ - The elevation angle, the pitch angle and the travel angle respectively, deg ;
()f v t , ()r v t - The control voltages of the front motor and the rear motor respectively, deg ; f K - The motor force-thrust constant, /N V ;
h m - The mass of the helicopter, kg ; w m - The mass of the counterweight, kg ;
f m , b m - The mass of front and back motors respectively, k
g ; a l - The distance between travel axis and helicopter body, m ;
h l - The distance between pitch axis and each motor, m ; w l - The distance between travel axis and counterweight, m ;
J ξ, p J - The moments of inertia about the elevation axis and pitch axis respectively, 2kg m ?;
g - The gravitational acceleration constant, 9.812/m s .
三自由度直升机俯仰和横滚运动可描述为
()()
()()()cos ()cos ()()()()f a f r h a p f h f r J t K l v t v t p t m gl t J p t K l v t v t ξξξ=+?=?
(1)
考虑不确定性和外部扰动，俯仰和横滚运动可描述为
()()1234123()()sin ()()()cos () cos ()()
()()sin ()()()()f r p p p f r p t a t a t a v t v t p t a t d t p t a p
t a p t a v t v t d t ξξξξξξξξξ=+++++=++?+
(2)
其中()i d t (i ξ=, p ) 包含外部扰动, j a ξ (1j =, 2, 3, 4) 和pj a (1j =, 2, 3) 为参数
N j j j a a a ξξξ=+Δ, N
pj pj pj a a a =+Δ
其中j a ξΔ和pj a Δ为参数不确定性，上标N 表示参数的标称值。 N j a ξ(1j =, 2, 3,
4) 和N
pj a (1j =, 2, 3) 定义为
10N a ξ=, 20N a ξ=, 3/N N N N f a a K l J ξξ=, 4/N N
N N h a a m gl J ξξ=?,
10N p a =, 20N p a =, 3/N N N N
p f h p
a K l J =
假设 A : 参数不确定性j a ξΔ (
1j =, 2, 3, 4)和pj a Δ (1j =, 2, 3)是有界的，
满足33N i i a a Δ<
(i ξ=,
p ). 假设 B : 横滚角由于机械约束，取值范围为(),22p t p p δδππ??
∈?
+?????
其中p δ是
一正常数. 定义
133max cos ()(),22N a a p t p t p p ξξξδδππρ?
?
??=?∈?
+????????
?
133N
p p p a a ρ=?.
注 A : 由假设 A 和假设B ，可知 130N i i a ρ≤< (
i ξ=, p ).
假设 C : 外部扰动,()i d t
(i ξ=,
p )是有界的.
目的：设计鲁棒最优控制器使得俯仰角()t ξ和横滚角()p t 分别跟踪给定的参考轨迹()r t ξ和()r p t .
假设D : 期望的俯仰角()r t ξ和横滚角
()r p t 以及其一阶和二阶导数()k r ξ(0k =, 1, 2)
和()k r p (0k =, 1, 2)均是一致有界的.
鲁棒LQR 控制器设计
模型(2)可改写成：
12341
2
3
()()()()()
()()()()()N N N N N
N N p p p p p t a t a t a u t a q t p t a p
t a p t a u t q t ξξξξξξξξξ=++++=+++ (3)
其中
()()()f r u t u t u t ξ=+, ()()()p f r u t u t u t =?
()11223344112233()()()sin ()() cos ()()cos () ()
()()()sin ()() ()()()
N N N N N N p p p p p N
p p p p q t a a t a t a t a p t a u t a t a d t q t a a p t a p t a p t a a u t d t ξξξξξξξξξξξξξξξ=?+?+?+?+=?+?+?+
(4)
()i q t (i ξ=, p ) 被称为等价干扰, 其包含不确定参数、非线性和有界外部干扰. 定义()i X t (i ξ=, p )s
[]123()()()()T
i i i i X t x t x t x t =, i ξ=, p
(5)
其中 1()()()r x t t t ξξξ=?, 1()()()p r x t p t p t =?, 21()()i i x t x t = , 31()()i i x t x t =
(i ξ=, p ). 引入3()i x t 以设计静态反馈控制器，改善标称闭环系统的稳态特性.
误差系统的状态空间描述为
3124312()()[()()() ()()]
()()[()()() ()()]
N N r
r N N r N N p p p p p p r p r N
p r p X t A X t B a u t t a t a t a q t X t A X t B a u t p t a p
t a p t q t ξξξξξξξξξξξξξ=+?++++=+?+++ (6)
其中
2
1
1000,11
00N
N i i i i A a a B ????
????==????????????
, i ξ=, p 控制由三部分构成：标称前馈控制器、标称LQR 控制器和鲁棒补偿器:
()()()()FF LQR RC i i i i u t u t u t u t =++,
i ξ=, p (7)
其中()FF i u t 为标称前馈控制输入, ()LQR i u t 为标称LQR 控制输入，()RC i u t 为鲁棒补偿
输入.
Step A : 标称前馈控制器构成为
()
43
3
1()()1()()FF N r N FF
p
r N p u t t a a u t p t a ξξξξ=
?=
(8)
此控制器被用于获取误差系统，为设计标称LQR 控制器和鲁棒补偿器做准备.
Step B : 标称LQR 控制输入 ()LQR i u t (i ξ=,
p ) 是针对如下标称误差系统设计的
3()()()N LQR i i i i i i
X t A X t B a u t =+ ,
i ξ=, p
(9)
考虑如下性能指标：
2
0()()(())T LQR i i i i i J X t Q X t r u t dt ∞
??=+?
?∫, i ξ=, p 其中i Q 为一正定矩阵，i r 为一正数。LQR 控制器的状态反馈增益阵i K 为
1T i i i i K r B P ?=,
i ξ=, p
其中i P 是如下Riccati 代数方程的正定解
10T T
i i i i i i i i i i A P P A r PB B P Q ?+?+=,
i ξ=, p
LQR 控制器构成如下：
3
1
()()LQR i i i N
i u t K X t a =?
, i ξ=, p
(10) Step C : 设计鲁棒补偿器产生补偿信号，
抑制式(6)中的等价干扰()i q t
(i ξ=, p )的影响. 鲁棒补偿器构成如下：
3
1
()()()(),
, RC i i i N i i i
i i i
u s F s q s a f g F s i p s f s g ξ=?=
=++
(11)
其中()i F s 为鲁棒滤波器，s 为微分算子或拉氏变换算子，i f 和i g 为待定正常数。
如果i f 和i g 为充分大，()RC i u t (i ξ=, p 将近似3()/N i i q t a ? (
i ξ=, p )，从而抑制()i q t 的作用.
由 (6), (7)和(8), 有
()
111213
()()()()
()()N N
i i i i i i N
LQR RC i i
i
q t x t a x t a x t a
u
t u
t =???+ ,
i ξ=, p
式(11)的()RC i u t 可实现为
()211121322111123
3()()()() ()()()()()()(, )()(),()N N
i i i i i i i i N LQR RC i i
i N i i i i i i i i RC i i i i
i i i N N i i z t g z t g a g a x t a u t u t z t f z t f g a x t z t f g i p f g u t x t z t a a ξ=??+?++=?=++++=?
+
(12)
如上构成的控制器的框图如图Fig. 3所示.
图3 鲁棒LQR 控制系统框图
鲁棒控制性能分析 令
ic i i i A A B K =?, i ξ=, p (13)
其中ic A 为稳定矩阵，i K 有如下形式
1
2
3[]i i i i K k k k =, i ξ=, p
定义
3
1
3221123()det()()
(+()())
ic ic ij j N N
i i i i i d s sI A s s s k a s k a s k =?=?=?+?+∏ (14)
其中ij s (i ξ=, p ;1j =, 2, 3) 是()0ic d s =的根， 1i s (i ξ=, p )是正实数. 定义范数
max sup ()
i i
t x
x t ∞
≥=, 110()max ()ij i
j w W s w t dt ∞??
==????
∑∫
其中1()[()],n i n h t h t x R ×=∈, 1(())m n w L W s R ?×=∈， 1()L ?? 表示拉氏反变换. 引理A : 如果ic A (i ξ=, p )是稳定矩阵, i f , i g (i ξ=, p )充分大，且满足
0i i f g > , 则存在与无关i f 和i g 的正常数i λ (i ξ=, p ) ，满足
1331
()(1)i
ic i i i
sI A B F g λ?×??≤
,
i ξ=, p
(15)
证明:显然
()13333
11
1
1
11
1
()(1)()(1)
ic i i i i i i sI A B F s I B
F s s ψ?××??≤+?+, i ξ=, p (16)
令
鲁棒控制理论中的H∞控制理论 （浙江大学宁波理工学院信息科学与工程分院自动化） 【摘要】首先简要的介绍了鲁棒控制中的H∞控制理论，并把其发展分为两个阶段，而后就上当已存在的H∞控制的主要成果进行了讨论和归纳，还指出了H∞控制理论尚未解决的问题。 【关键词】H∞控制理论；非线性系统；时滞；范数 1.概述 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓鲁棒性，是指标称系统所具有的某一种性能品质对于具有不确定性的系统集的所有成员均成立，如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。主要的鲁棒控制理论有：Kharitonov区间理论；H∞控制理论；结构奇异值理论u理论； 鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。 2．H∞控制理论出现的背景及意义 1981年，加拿大著名学者Zames在其论文中引入了H∞范数作为目标函数进行优化设计，标志着H∞控制理论的诞生。Zames考虑了这样一个单入单出( SISO)系统的设计问题: 假设干扰信号属于某一有限能量的已知信号集，要求设计一个反馈控制器，使闭环系统稳定，且干扰对系统的影响最小。要解决这样的问题就必须在能够使闭环系统稳定的所有控制器中选出一个控制器使之相应的灵敏度函数的H∞范数最小。 虽然Zames 首先提出了H∞最优化问题，但是他没能给出行之有效的解法。
非线性系统的鲁棒自适应控制 Robust Adaptive Control of Uncertain Nonlinear Systems 郝仁剑3120120359 摘要：本文以非线性系统的控制问题为背景，介绍了多种经典的非线性系统的控制方法以及研究进展，分析了各种控制方法存在的优点和不足。着重介绍了鲁棒自适应控制在非线性系统中的应用，结合该领域的近期研究进展和实际应用背景，给出对鲁棒自适应控制的进一步研究目标。 关键词：非线性系统鲁棒控制自适应控制 1.前言 任何实际系统都具有非线性特性，非线性现象无处不在。严格地说，线性特性只是其中的特例，但是非线性系统与线性系统又具有本质的区别。由于非线性系统不满足叠加原理，因此非线性特性千差万别，这也给非线性系统的研究带来了很大的困难。同时，对于非线性系统很难求得完整的解，一般只能对非线性系统的运动情况做出估计。众所周知，控制理论经历了经典控制理论和现代控制理论两个发展阶段。在第二次世界大战前后发展起来的经典控制理论应用拉普拉斯变换等工程数学工具来分析系统的品质。它广泛地应用于单输入单输出、线性、定常、集中参数系统的研究中。随着控制对象的日益复杂以及人们对控制系统精度的不断提高，经典控制理论的局限性就暴露出来了。在20世纪50年代，Bellman根据最优原理创立了动态规划。同时庞特里亚金等学者创立了最大值原理。后来，Kalman提出了一系列重要的概念，如可观性，可控性，最优线性二次状态反馈，Kalman滤波等。这些理论和概念的提出大大促进了现代控制理论的发展。控制系统的设计都需要以被控对象的数学模型为依据，然而对于任何被控对象不可能得到其精确的数学模型，如在建立机器人的数学模型时，需要做一些合理的假设，而忽略一些不确定因数。不确定性的必然存在也正促使了现代控制理论中另一重要的研究领域——鲁棒控制理论的发展。Zmaes关于小增益定理的研究以及Kalman关于单输入单输出系统LQ调节器稳定裕量的分析为鲁棒控制理论的发展产生了重要的影响。特别是Zmaes1981年发表的论文[1]标志H∞控制理论的起步。1984年Francis和Zmaes基于古典插值理论提出H∞问题的初步解法。Glover运用Hankel算子理论给出了H∞问题的解析解。Doyle在状态空间上对Glover解法进行整理和归纳。至此H∞控制理论体系初步形成。同时，Doyle首次提出结构化奇异值的概念，后来形成了μ解析理论。另外一种重要的控制器设计方法是基于Lyapunov函数的方法。在进行鲁棒控制器的设计时，一般都假设系统的不确定性属于一个可描述集，比如增益有界，且上界己知等。一般来说，鲁棒控制是比较保守的控制策略。对所考虑集合内的个别元素，该系统并不是最佳控制。对于具有参数不确定性的一类系统，自适应控制技术被提了出来，如模型参考自适应控制和自校正控制等。在实际应用中，由于被控对象具有未建模动态，过程噪声或扰动的统计特性远比设计时所设想的情况更复杂，以及持续激励条件和严正实条件等“理想条件”被打破，这都会导致自适应控制算法的失稳。于是自适应控制的鲁棒性课题，即鲁棒自适应控制受到了广泛的关注。大量的工程实践表明，对于复杂的工业对象和过程，引入自适应策略能够提高控制精度，提高生产效率，降低成本。近年来，非线性自适应控制技术取得突破性的发展，控制器的结构化设计技术也正日益得到广泛的研究与应用。
鲁棒控制设计报告 学院 专业 报告人
目录 1 绪论 (2) 1.1控制系统设计背景 (2) 1.2本文主要工作分配 (3) 2 一级倒立摆模型建立 (4) 2.1一级倒立摆的工作原理 (4) 2.2一级倒立摆的数学模型 (4) 3 H∞鲁棒控制器设计 (6) 3.1基于Riccati方程的H∞控制 (7) 3.2基于LMI的H∞控制 (7) 4 一级倒立摆系统的仿真 (9) 4.1一级倒立摆控制系统设计 (9) 4.2闭环控制系统仿真及分析 (10) 5 结论 (13)
1 绪论 1.1控制系统设计背景 一级倒立摆系统是一个典型非线性多变量不稳定系统，在研究火箭箭身的姿态稳定控制、机器人多自由度运动稳定设计、直升机飞行控制等多种领域中得到了广泛的应用，因此以倒立摆作为被控对象进行控制方法的研究具有重要的现实意义。为解决一级倒立摆系统的非线性、强耦合、多变量、自然不稳定问题，本文利用H∞鲁棒控制实现对一级倒立摆的控制。 Mg 图1.1 一级倒立摆系统结构图 本文采用的直线一级倒立摆的基本系统如图1.1所示，它是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的材质均匀的摆杆组成，它是一个不稳定的系统，当倒立摆出出现偏角θ后，如果不给小车施加控制力，倒立摆会倾倒。所以本文采用H∞鲁棒控制方法的目的是通过调节水平力F的大小控制小车的运动，使倒立摆处于竖立的垂直位置。控制指标为：倒立摆系统的从初始状态调节到小车停留在零点、并使摆杆的摆角为0的稳定状态。
1.2本文主要工作分配 第一章：对一级倒立摆系统的特点、结构以及控制要求进行阐述。 第二章：根据一级倒立摆的结构，利用机理建模法建立被控对象的精确数学模型，并在系统平衡点处进行线性化，得到系统简化的状态方程。 第三章：首先H∞鲁棒控制的基本原理，然后分别利用Riccati方程和LMI 方法设计H∞状态反馈控制器。 第四章：首先使用MATLAB计算基于Riccati方程的H∞状态反馈控制器和基于LMI的H∞状态反馈控制器，然后进行闭环控制系统的仿真并控制系统的性能分析。 第五章：对本次设计进行总结。
鲁棒控制理论综述 作者学号： 摘要：本文首先介绍鲁棒控制理论涉及的两个基本概念（不确定性和鲁棒）和发展过程，然 H控制理论，最后指出鲁棒控制研后叙述鲁棒控制理论中两种主要研究方法：μ理论、∞ 究的问题和扩展方向。 H控制理论 关键词：鲁棒控制理论，μ理论，∞ 一、引言 自从系统控制（Systems and Control）作为一门独立的学科出现，对于系统鲁棒性的研究也就出现了。这是由这门学科的特色和研究对象决定的。对于世界上的任何系统。由于系统本身复杂性或是人们对其认识的不全面，在系统建立模型时，很难用数学语言完全描述刻画。在这样的背景下，鲁棒性的研究也就自然而然地出现了。 二、不确定性与鲁棒 1、不确定性 谈到系统的鲁棒性，必然会涉及系统的不确定性。由于控制系统的控制性能在很大程度上取决于所建立的系统模型的精确性，然而，由于种种原因实际被控对象与所建立的模型之间总存在着一定的差异，这种差异就是控制系统设计所面临的不确定性。这种不确定性通常分为两类：系统内部的不确定性和系统外部的不确定性。这样，就需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论。这就是鲁棒控制所要研究的课题。 2、鲁棒 “鲁棒”一词来自英文单词“robust”的音译，其含义是“强壮”或“强健”。所谓鲁棒性（robustness）,是指一个反馈控制系统在某一特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐近调节和动态特性这三方面保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性的能力。具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。在工程实际控制问题中，系统的不确定性一般是有界的，在鲁棒控制系统的设计中，先假定不确定性是在一个可能的范围内变化，然后在这个可能的变化范围内进行控制器设计。鲁棒控制系统设计的思想是：在掌握不确定性变化范围的前提下，在这个界限范围内进行最坏情况下的控制系统设计。因此，如果设计的控制系统在最坏的情况下具有鲁棒性，那么在其他情况下也具有鲁棒性。 三、发展历程 鲁棒控制系统设计思想最早可以追溯到1927年Black针对具有摄动的精确系统的大增益反馈设计。由于当时不知道反馈增益和控制系统稳定性之间的确切关系，所以设计出来的控制系统往往是动态不稳定的。早期的鲁棒研究主要集中在Bode图，1932年Nyquist提出了基于Nyquist曲线的频域稳定性判据，使得反馈增益和控制系统稳定性之间的关系明朗化。1945年Bode讨论了单输入单输出（SISO）反馈系统的鲁棒性，提出了利用幅值和相位稳定裕度来得到系统能容许的不确定范围。这些方法主要用于单输入单输出系统而且这些关于鲁棒控制的早期研究主要局限于系统的不确定性是微小的参数摄动情形，尚属灵敏度分析的范畴，从数学上说是无穷小分析思想，并且只是停留在理论上。20世纪六七十年代，鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMIO进行了初步的推广[1]，与此同时，状态空间理论引入控制论后，系统控制取得了很大的发展，鲁棒问题也显得更加重要，其中就要提到两篇对现代鲁棒控制理论的建立有重要影响的文章：一篇是Zames在1963年关于小增益定理的论文[2]，另一篇是1964年Kalman关于单入单输出系统LQ调节器稳定裕量分析的研究报告[3]。鲁棒控制这一术语第一次在论文中出现是在1971年Davion的论文[4]，而首先将鲁棒控制写进论文标题的是Pearson等人于1974年发表的论文[5]。当然，鲁棒控制能够
自适应PID控制 摘要：自适应PID控制是一门发展得十分活跃控制理论与技术,是自适应控制理论的一个重要组成部分,本文简要回顾PID控制器的发展历程,对自适应PID控制的主要分支进行归类,介绍和评述了一些有代表性的算法。 关键词：PID控制，自适应，模糊控制，遗传算法。 Abstract: The adaptive PID control is a very active developed control theory and technology and is an important part of adaptive control theory.This paper briefly reviews the development process PID controller.For adaptive PID control of the main branches, the paper classifies,introduces and reviews some representative algorithms. Keywords: PID control, adaptive, fuzzy control, genetic algorithm 1 引言 从问世至今已历经半个世纪的PID控制器广泛地应用于冶金、机械、化工、热工、轻工、电化等工业过程控制之中，PID控制也是迄今为止最通用的控制方法， PID控制是最早发展起来的控制策略之一，因为他所涉及的设计算法和控制结构都很简单，并且十分适用于工程应用背景，所以工业界实际应用中PID 控制器是应用最广泛的一种控制策略(至今在全世界过程控制中用的80% 以上仍是纯PID调节器，若改进型包含在内则超过90%)。由于实际工业生产过程往往具有非线性和时变不确定性，应用常规PID控制器不能达到理想控制效果，长期以来人们一直寻求PID控制器参数的自动整定技术，以适应复杂的工况和高指标的控制要求。随着微机处理技术和现代控制理论诸如自适应控制、最优控制、预测控制、鲁棒控制、智能控制等控制策略引入到PID控制中，出现了许多新型PID控制器。人们把专家系统、模糊控制、神经网络等理论整合到PID控制器中，这样既保持了PID控制器的结构简单、适用性强和整定方便等优点，又通过先进控制技术在线调整PID控制器的参数，以适应被控对象特性的变化。 2 自适应PID控制概念及发展 2.1 PID控制器 常规PID控制系统原理框图如下图所示，系统由模拟PID控制器和被控对象组成。
对鲁棒控制的认识 姓名：赵呈涛 学号： 092030071 专业：双控
鲁棒控制（RobustControl）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SISO）的在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法，其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。 鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息和它的变化范围,一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有： （1）Kharitonov区间理论； 控制理论； （2）H ∞ （3）结构奇异值理论μ理论。 下面就这三种理论做简单的介绍。 1 Kharitonov区间理论 1.1参数不确定性系统的研究概况 对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black采用大回路增益的反馈控制技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性，由于采用大回路增益,所以设计的系
鲁棒控制综述 课程目标 1.了解鲁棒控制研究的基本问题 2.掌握鲁棒控制的基础知识和基本概念 3.明确鲁棒控制问题及其形式化描述 4.掌握几种鲁棒稳定性分析与设计方法 5.掌握状态空间H∞控制理论 6.了解鲁棒控制系统的μ分析与μ综合方法 7.初步了解非线性系统鲁棒控制方法 8.掌握时滞系统的鲁棒控制稳定性分析 控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统。 大部分的控制系统是基于反馈原理来进行设计的 反馈控制已经广泛地应用于工业控制、航空航天和经济管理等各个领域。 不确定性 在实际控制问题中，不确定性是普遍存在的 所描述的控制对象的模型化误差 可能来自外界扰动 因此，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影响。 控制系统设计的任务 对于给定的控制对象和传感器，寻找一个控制器，使反馈控制系统能够在实际工作环境中按预期目标运行 ●实际控制对象就是具体的装置、设备或生产过程 ●通过各种建模方法，可以建立实际控制对象的模型 ●针对控制对象的模型，应用控制理论提供的设计方法设计出控制器，对实际控制对 象实施控制 ●控制系统的控制效果在很大程度上取决于实际控制对象模型的准确性 ●在控制系统设计中采用的模型与实际控制对象存在着一定的差异，即存在着模型不 确定性 ●控制系统的运行也受到周围环境和有关条件的制约 ●例如，在图1-1中，传感器噪声ｎ和外部扰动ｄ分别来自控制系统本身和控制系统 所处的环境，它们往往是一类未知的扰动信号 ●这种扰动不确定性对控制系统的运动将产生的影响 控制系统设计中需要考虑的不确定性 （1）来自控制对象的模型化误差； （2）来自控制系统本身和外部的扰动信号 ●需要一种能克服不确定性影响的控制系统设计理论 ●这就是鲁棒控制所要研究的课题 1.1.2 控制系统设计的基本要求 在控制系统设计中，往往把图1-1所示的反馈控制系统更一般化，考虑如图1-3所示的单位反馈控制系统，其中P是控制对象，C是控制器。
鲁棒控制原理及应用举例 摘要：本文简述了鲁棒控制的由来及其发展历史，强调了鲁棒控制在现代控制系统中的重要性,解释了鲁棒控制、鲁棒性、鲁棒控制系统、鲁棒控制器的意义，介绍了鲁棒控制系统的分类以及其常用的设计方法，并对鲁棒控制的应用领域作了简单介绍，并举出实例。 关键词：鲁棒控制鲁棒性不确定性设计方法现代控制系统 经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型。在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多不确定因素：如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中不考虑高阶模态的影响等。但经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似。对许多要求不高的系统，这样的数学模型已经能够满足工程要求。然而，对于一些精度和可靠性要求较高的系统，如导弹控制系统设计，若采用这种设计方法，就会浪费了大量的人力物力在反复计算数弹道、调整控制器参数以及反复试射上。因此，为了解决不确定控制系统的设计问题，科学家们提出了鲁棒控制理论。由于鲁棒控制器是针对系统工作的最坏情况而设计的，因此能适应所有其它工况，所以它是解决这类不确定系统控制问题的有力工具。 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。上世纪60年代，状态空间结构理论的形成，与最优控制、卡尔曼滤波以及分离性理论一起，使现代控制理论成了一个严密完整的体系。随着现代控制理论的发展，从上世纪80年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起了众多学者的高度重视。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。 通常说一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐进调节和动态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。设被控系统的数学模型属于集合D，如果系统的某些特性对于集合U中的每一对象都保持不变，则称系统具有鲁棒性。鲁棒性又可以分为鲁棒稳定性、鲁棒渐进调节和鲁棒动态特性。鲁棒稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性；鲁棒渐进调节是指在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐进调节功能；鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。 所谓鲁棒控制，使受到不确定因素作用的系统保持其原有能力的控制技术。鲁棒控制的主要思想是针对系统中存在的不确定性因素，设计一个确定的控制律，使得对于系统中所有的不确定性，闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能。
不确定系统鲁棒控制方法及在火控系统中的应用 引言 近年来不确定系统的鲁棒控制问题受到人们的广泛重视。特别在军事领域，由于恶劣的战场工作环境影响，控制系统参数极易变化(如元器件老化、受损，强干扰影响等)，更增加了系统的不确定性。为此，为保证武器系统战场环境的高可靠性，控制系统鲁棒性是一项重要的指标。 本文介绍一种基于李亚普诺夫方法的不确定系统鲁棒控制设计方法。运用该方法可使系统的输出及状态满足指定的指数衰减规律，从而使系统不仅具有较强的鲁棒性，同时具有良好的动态特性。如果将系统的非线性因素及时变因数作为系统的不确定性，该方法还可应用于相应的非线性与时变系统。同样，若将高阶系统的高次项作为系统的不确定性，则可能将高阶系统简化为低阶系统，这为控制系统的设计带来方便。 本文将这一方法应用于某双35火炮的随动控制系统设计仿真。结果表明，设计的控制系统无论对渐变参数还是突变参数均具有极强鲁棒性。表明这一方法具有良好的实用性。 1 不确定系统鲁棒控制方法 基于李亚普诺夫方法的控制系统设计方法很早就受到人们的重视。著名的控制理论专家如Kalman,Monopli等早在60年代初期即进行了研究［1～2］。70年代后期以来，随着不确定系统鲁棒控制问题受到重视， Gutman,Corless,Leitmann,Barmish,Tsay,Chen和Lee等在这方面做了大量的工作，使基于李亚普诺夫方法的确定系统设计有了很大进展［3］。本文将Chen 和Lee关于线性不确定系统的设计方法推广到广泛应用的仿射非线性系统，大大扩展了这一方法的应用领域。 考虑如下具有不确定性的仿射非线性系统 (1) 其中x∈Rn为状态向量，u∈Rm为输入控制向量，t∈R为时间。 设系统在平衡点处x=0可线性化，并可表示为下列形式 (2) 则下述定理给出了一类不确定系统关于平衡点指数收敛的充分条件 定理设动态系统(2)的不确定部分有界且满足如下条件 ΔA(x，t)=BD(x，t)，ΔB(x，t)=BE(x，t) (3)及 ‖D(x，t)‖≤μ，‖E(x，t)‖≤ε＜1 (4) 则线性状态反馈 u(t)=Kx(t)，K=-rBTP (5) 将使闭环系统以指数衰减率2η渐近稳定于平衡点x=0。其中实数 (6)
第七章 PID 控制与鲁棒控制 7.1 引言 一、PID 控制概述 目前，基于PID 控制而发展起来的各类控制策略不下几十种，如经典的Ziegler-Nichols 算法和它的精调算法、预测PID 算法、最优PID 算法、控制PID 算法、增益裕量/相位裕量PID 设计、极点配置PID 算法、鲁棒PID 等。本节主要介绍PID 控制器的基本工作原理及几个典型设计方法。 1、三种控制规律 P 控制: p K G = ()∞↑?e K p ↓↓，但稳定性； I 控制: s T G i 1 = ； D 控制: ，s T G d =； 2、PID 的控制作用 （1） PD 控制: ()()() dt t du T K t u K t u d p p 112+= ()() ()s K K s T K s U s U G D p d p +=+== 112 PD 有助于增加系统的稳定性. PD 增加了一个零点D p K K z -=,提高了系统的阻尼,可改善暂态性能. （2） PI 控制:
()()()dt t u T K t u K t u t i p p ?+ =0 1 12 ()s K K s T K s G I p i p +=???? ??+=11 PI 提高了系统按稳态误差划分的型. （3）PID 控制 ()()()dt t du T K dt t u T K u K t u d p t i p p 10 112++ =? ()s K d K K s G D I p ++ = 7.2 PID 控制器及其参数的调整 一、PID 控制概述 1、PID 控制器的工作原理 下图为它的控制结构框图，典型PID 为滞后－超前校正装置。 由图可见，PID 控制器是通加对误差信号e(t)进行比例、积分和微分运算，其结果的加权，得到控制器的输出u(t)，该值就是控制对象的控制值。PID 控制器的数学描述为：
对鲁棒控制的认识 赵呈涛 专业: 学号: 092030071 姓名:
鲁棒控制（ RobustControl ）方面的研究始于 20 世纪 50 年代。在过去的 20 年 中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统 在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同 定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称 该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的 品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固 定控制器称为鲁棒控制器。 定性，具有代表性的是 Zames 提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故 障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了 以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。 控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法， 际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制 器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。 鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息 和它的变 化范围 , 一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒 控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析 及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系 统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模 型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满 足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有： 1) Kharitonov 区间理论； 2） H 控制理论； 3）结构奇异值理论 理论。 面就这三种理论做简单的介绍。 1 Kharitonov 区间理论 1.1 参数不确定性系统的研究概况 对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black 采用大回路增益的反馈控制 技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性， 由于采用大回路增益 , 所以设计的系 统常常不稳定；1932年,Nyquist 给出了判断系统稳定性的频域判据,在控制系统设计时, 用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode 首次提出灵敏度函数的概念, 对系统的参数不确定性进行定量的描述。 在此基础上 ,Horowitz 在1962年提出一种参数 不灵敏系统的频域设计方法， 此后, 基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参 数不确定性的主要工具。不过 , 这种方法是基于无穷小分析的 , 在实际系统的设计中并 不总是能收到良好效果。因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外 灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值 , 这在实际中往往也难以做到。于是 , 人们开 始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性 , 出现了鲁棒辨识方法。 此法给出的辨识结果 不是一个确定值 , 而是参数空间中的一个域 （如超矩形、凸多面体、椭球等 ）。相应地 , 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（ SISO ）的在微小摄动下的不确 现代鲁棒 其设计目标是找到在实
一、鲁棒控制概述 鲁棒控制（Robust Control ）的研究始于20世纪50年代。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可以分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器成为鲁棒控制器。 由于工作情况变动、外部干扰以及建模误差的缘故，实际工业过程的精确模型很难得到，而系统的各种故障也将导致模型的不确定性，因此可以说模型的不确定性在控制系统中广泛存在。如何设计一个固定的控制器，使具有不确定性的对象满足控制品质，也就是鲁棒控制，成为国内科研人员的研究课题。 鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SISO ）在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames 提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界扰动而不是无穷小摄动。因此产生了以讨论参数在有机摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。 现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法。其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。主要的鲁棒控制理论有：（1）Kharitonov 区间理论；（2）∞H 控制理论；（3）结构奇异值理论（μ理论）等等。 二、∞H 鲁棒控制理论 ∞H 鲁棒控制理论是在∞H 空间（即Hardy 空间），通过某些性能指标的无穷 范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。它的基本思想是：当利用研究对象的数学模型G 来设计控制器时由于参数的不确定性与变化性以及人们为了便于设计与计算往往把对象的模型简化使得对象的数学模型G 存在误差 G ?。∞H 控制的目的为：当存在模型误差G ?时如何利用名义模型G 来设计控制器K ，使得K 在稳定被控对象的同时使某一目标函数S 的∞H 范数最小。 H ∞控制方法引入输出灵敏度函数作为系统评价的指标，主要考虑了这样的一个设计问题，即要求设计一个控制器，不但使得闭环系统稳定，而且在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解闭环系统稳定的问题。传递函数的H ∞范数描述了输入有限能量到输出能量的最大增益，如果能使其达到最小，那么干扰对系统误差的影响将会降到最低程度。许多实际的控制问题，如灵敏度极小化问题、鲁棒稳定问题、混合灵敏度优化问题、跟踪问题、模型匹配问题等，都可以归结为标准H ∞控制问题来研究。 H ∞标准控制问题如图1所示
自适应控制系统综述 摘要： 本文首先介绍了自动控制的基本理论及其发展阶段，然后提出自适应控制系统，详细介绍了自适应控制系统的特点。最后描述的是自适应控在神经网络的应用和存在的问题。 关键字：自适应控制神经网络 一、引言 1.1控制系统的定义 自动控制原理是指在没有人直接参与的情况下，利用外加的设备或装置，使机器，设备或生产过程的某个工作状态或参数自动地按照预定的规律运行。 在不同的控制系统中，可能具有各种不同的系统结构、被控对象，并且其复杂程度和环境条件也会各不相同，但他们都具有同样的控制目地：都是为了使系统的状态或者运动轨迹符合某一个预定的功能性能要求。其中，被控对象的运动状态或者运动轨迹称为被控过程。被控过程不仅与被控系统本身有关，还与对象所处的环境有关。控制理论中将控制系统定义为由被控系统及其控制器组成的整体成为控制系统。 1.2控制理论的发展阶段 控制理论发展主要分为三个阶段： 一：20世纪40年代末-50年代的经典控制理论时期，着重解决单输入单输出系统的控制问题，主要数学工具是微分方程、拉氏变换、传递函数；主要方法是时域法、频域法、根轨迹法；主要问题是系统的稳、准、快。 二：20世纪60年代的现代控制理论时期，着重解决多输入多输出系统的控制问题，主要数学工具是以此为峰方程组、矩阵论、状态空间法主要方法是变分法、极大值原理、动态规划理论；重点是最优控制、随即控制、自适应控制；核心控制装置是电子计算机。 三：20世纪70年代之后的先进控制理时期，先进控制理论是现代控
制理论的发展和延伸。先进控制理论内容丰富、涵盖面最广，包括自适应控制、鲁棒控制、模糊控制、人工神经网络控制等。 二、自适应控制系统 2.1自适应控制的简介 在反馈控制和最优控制中，都假定被控对象或过程的数学模型是已知的，并且具有线性定常的特性。实际上在许多工程中，被控对象或过程的数学模型事先是难以确定的，即使在某一条件下被确定了的数学模型，在工况和条件改变了以后，其动态参数乃至于模型的结构仍然经常发生变化。 在发生这些问题时，常规控制器不可能得到很好的控制品质。为此，需要设计一种特殊的控制系统，它能够自动地补偿在模型阶次、参数和输入信号方面非预知的变化，这就是自适应控制。 自适应控制的研究对象是具有一定程度不确定性的系统，这里所谓的“不确定性”是指描述被控对象及其环境的数学模型不是完全确定的，其中包含一些未知因素和随机因素。 任何一个实际系统都具有不同程度的不确定性，这些不确定性有时表现在系统内部，有时表现在系统的外部。从系统内部来讲，描述被控对象的数学模型的结构和参数，设计者事先并不一定能准确知道。作为外部环境对系统的影响，可以等效地用许多扰动来表示。这些扰动通常是不可预测的。此外，还有一些测量时产生的不确定因素进入系统。面对这些客观存在的各式各样的不确定性，如何设计适当的控制作用，使得某一指定的性能指标达到并保持最优或者近似最优，这就是自适应控制所要研究解决的问题。 自适应控制和常规的反馈控制和最优控制一样，也是一种基于数学模型的控制方法，所不同的只是自适应控制所依据的关于模型和扰动的先验知识比较少，需要在系统的运行过程中去不断提取有关模型的信息，使模型逐步完善。具体地说，可以依据对象的输入输出数据，不断地辨识模型参数，这个过程称为系统的在线辩识。随着生产过程的不断进行，通过在线辩识，模型会变得越来越准确，越来越接近于实际。既然模型在不断的改进，显然，基于这种模型综合出来的控制作用也将随之不断的改进。在这个意义下，控制系统具有一定的适应能力。比如说，当系统在设计阶段，由于对象特性的初始信息比较缺乏，系统在刚开始投入运行时可能性能不理想，但是只要经过一段时间的运行，通过在线辩识和控制以后，控制系
鲁棒控制及其应用 沈阳电力高等专科学校杨庆柏 刊载于《中国仪电报》2000年第11期（总第703期） Robust Control翻译为鲁棒控制。 1．鲁棒性 所谓控制系统具有鲁棒性，指的是当系统数学模型存在不确定性时，控制系统仍能保持其稳定性(鲁棒稳定性)和控制性能(鲁棒性能)。系统数学模型的不确定性主要指的是：模型的不精确性；降阶近似；非线性线性化带来的误差；系统参数和特性随时间的变化或漂移。鲁棒稳定性指系统在某种扰动下保持稳定性的能力；鲁棒性能指保持某项品质指标的能力。 经典控制理论中有关系统相对稳定性的指标，反映了要求系统具有一定稳定裕量，因而能使系统在内部参数变化或外界环境条件变化的情况下保持稳定性。所以，在某种意义上是间接反映鲁棒性要求的一种指标。 2．鲁棒控制的产生 20世纪初，控制系统设计方法主要是基于伯德图和奈奎斯特图，利用间接的方法处理系统不确定性问题，发展了在增益和相位存在变化时仍能保证闭环系统稳定的增益裕度和相位裕度概念。然而，遗憾
的是，这些处理方法大多局限于单变量输入单变量输出系统。随着时间的推移，科学技术的发展，要求处理大量的多变量输入多变量输出系统的设计问题，以二次型最优控制为代表的一类多变量控制系统设计和最优化方法应运而生。但是，随着其在实际工程中的应用，发现基于LQ（linear Quadratic，线性二次型）理论设计出来的控制器对系统不确定性因素反应较为敏感。也就是说，不能保证闭环系统具有一定的稳定性和性能的鲁棒性，而且控制器设计过程要求准确知道干扰过程的全部统计特性，这一要求使该理论的工程应用受到工程实际条件的某些限制。另外，在实际工程应用过程中很难得到被控对象的精确数学模型，在控制系统设计过程中所采用的模型，常常是在一定程度上经过近似化处理的数学模型，这种数学模型的不确定性，必须在控制系统设计时予以考虑。因此，在控制系统设计中的鲁棒稳定性和在鲁棒稳定性要求的前提条件下的鲁棒性能问题是十分重要的。 一般认为，多变量系统鲁棒控制的研究始于1976年，其研究的重要特点是讨论控制系统在参数有界扰动(而不是无穷小扰动)下系统性能保持的能力。经过20多年的研究和发展，鲁棒控制理论取得了十分丰富的成果。如：内模控制理论、鲁棒控制器、稳定化控制器的Youla参数化、棱边定理、H∞控制理论、结构奇异值理论和方法、同时镇定理论和基于Lyapunov稳定性理论的系统鲁棒性分析和综合方法等。 3．鲁棒控制的应用 鲁棒控制的理论研究十分热烈，也取得了一系列成果，但应用到
第二章鲁棒控制理论概述 2．1鲁棒控制理论概述 2．1．1 系统不确定性和鲁棒性 控制科学所要解决的主要问题之一是针对被控对象，设计合适的控制器，使闭环系统稳定或达到一定的性能指标要求。它经历了经典控制理论和现代控制理论两个发展阶段。无论是经典控制理论还是现代控制理论，它们的一个明显的特点是建立在精确的数学模型基础之上。但是，在实际应用中存在着许多不确定性，具体体现在： (1)参数的测量误差。由于测量技术的限制，许多参数的测量值可能有相当大的误差。尤其是某些涉及热力学、流体力学和空气动力学，以及化学反应过程的参数，往往很不容易测准，或者需要付出昂贵的代价才能测准； (2)环境和运行条件的变化。这往往是不确定性产生的最重要的原因。例如，内部元器件的老化；电气设备的电阻因温升而改变；炼钢炉因炉壁渐渐被钢水腐蚀变薄而导致导热系统的变化；飞机和导弹在高空或低空以高速或低速飞行时其空气动力学参数的变化非常剧烈，甚至由于燃料消耗造成导弹质量的变化和质心的位移，这些都会造成其参数较大的变化；(3)人为的简化。为了便于研究和设计，人们往往有意略去系统中一些次要因素，用低阶的线性定常集中参数模型来代替实际的高阶、非线性甚至是时变和分布参数的系统，这样势必要引入系统模型的不确定性。因此，在控制系统的设计过程中不可避免的问题是：如何设计控制器，使得当一定范围的参数不确定性及一定限度的未建模动态存在时，闭环系统仍能保持稳定并保证一定的动态性能，这样的系统被称为具有鲁棒性。 2．1．2鲁棒控制理论的发展概况 鲁棒控制理论正是研究系统存在不确定性时如何设计控制器使闭环系统稳定且满足一定的动态性能。自从1972年鲁棒控制(Robust Contr01)这一术语首次在期刊论文中出现以来，已有大量的书籍详细的阐述了鲁棒控制理论的产生、发展及研究现状。鲁棒控制的早期研究常只限于微摄动的不确定性，都是一种无穷小分析的思想。1972年鲁棒控制(Robust Control)这一术语首次在期刊论文中出现。经过三十多年的研究，鲁棒控制理论已比较成熟，在时域和频域都取得了令人瞩目的成就，其代表性的研究方法有多项式代数方法以Kharitonov定理为代表的多项式代数方法，为参数不确定系统的鲁棒控制研究提供了强有力的理论方法，但由于本身理论的局限性，此方法基本上只能局限于多项式空间和对系统鲁棒稳定性的分析，对参数不确定系统的鲁棒镇定问题，一直没有什么满意的结果。如何将现有方法应用到 控制理论的提出具有很强的工程应用背景。μ控制工程实践，仍有许多问题需要解决。H ∞ 控制理论的基干扰信号属于某一有限能量信号集情况下，用其相应的灵敏度函数标，从而将干扰问题化为求解使闭环系统稳定，并使相应的如范数馈控制问题。比设计方法虽然将鲁棒性直接反映在系统的设计指标映在相应的加权函数上，但它“最坏情况”下的控制却导致了
第九章基于信号补偿的鲁棒控制方法 9.1 基于信号补偿的鲁棒控制原理 考虑一实际受控对象： 其中u为受控对象的输入，y为受控对象的输出。受控对象的描述可以视为在一标称受控对象的基础上加入了一个等价干扰: 其中等价干扰q描述受控对象中包含的不确定性（时变非线性）、外界干扰等。 基于信号补偿的鲁棒控制原理：首先，忽略等价干扰的影响，对于标称受控对象设计标称控制器，使得标称闭环控制系统具有期望的控制性能；其次，设计鲁棒补偿器产生鲁棒补偿信号，抑制等价干扰的影响，实现鲁棒控制。 标称控制器设计 其中r为外部指令信号。
例：考虑2阶受控对象： ()()()()(),,,y t h y t y t u t t = 考虑如下三种情形： (1)标称受控对象 ()()()y t y t u t =+ (2)参数摄动受控对象 ()()()()[][][] 1,1,1,1,1,2y t ay t by t cu t a b c =??+∈?∈?∈ (3)时变非线性摄动受控对象 鲁棒补偿器 设计基于信号补偿的鲁棒控制系统
()()()()()()()()() ()()22 sin **cos 12cos y t y t t y t y t y t u t u t t u t =+ + +++ 实际受控对象可描述为 ()()()() ()()()()()()(),,,y t y t u t q t q t h y t y t u t t y t u t =++=?? 即 ()()()2 1 1 o y G s u q u q s =+= +? 其中()q t 被称为等价干扰。 标称受控对象可描述为 ()()() ()21 ,1 o o o o N s y G s u G s D s s ===? 欲设计控制器，使得输出()y t 跟踪如下参考模型的输出()m y t ： ()()()()()2 213,31m m m m m N s y W s r W s D s s s ?? ===??+?? + 基于信号补偿的鲁棒控制器设计： 控制输入()u t 由两部分组成：标称控制输入和鲁棒补偿输入，即 ()()()o u t u t v t =+ （1） 标称控制器设计： ()()() y r o u N s y N s r u D s += （2） 则对于标称受控对象，令()()o u t u t =，有 ()()()()() y r o o u N s y N s r N s y D s D s += 即 ()()()()()() o r o u o y N s N s y r D s D s N s N s =? （3）
鲁棒控制及其发展概述 摘要 本文首先介绍了鲁棒控制理论的发展过程；接下来主要介绍了研究鲁棒多变量控制过程中两种常用的分析方法：方法以及分析方法；最后给出了鲁棒控制理论的应用及其控制方法，不仅仅用在工业控制中，它被广泛运用在经济控制、社会管理等很多领域。随着人们对于控制效果要求的不断提高，系统的鲁棒性会越来越多地被人们所重视，从而使这一理论得到更快的发展。并且指出了目前鲁棒控制尚未解决的问题以及研究的热点问题。 关键词：鲁棒控制；鲁棒多变量控制；鲁棒控制；分析方法 一、引言 鲁棒控制（Robust Control）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。控制系统的鲁棒性研究是现代控制理论研究中一个非常活跃的领域,鲁棒控制问题最早出现在上个世纪人们对于微分方程的研究中。 最早给出鲁棒控制问题的解的是Black在1927年给出的关于真空开关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理振控管特信各大范围波动。之后，Nyquist频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode的经典之著[1]中关于鲁棒控制设计的基础。20世纪60年代之前这段时间可称为经典灵敏度设计时
期。此间问题多集中于SISO系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。 20世纪六七十年代中鲁棒控制只是将SISO系统的灵敏度分析结果向MIMO进行了初步的推广[2]，灵敏度设计问题包括跟踪灵敏度、性能灵敏度和特征值/特征向量灵敏度等的设计。 20世纪80年代，鲁棒设计进入了新的发展时期，此间研究的目的是寻求适应大范围不确定性分析的理论和方法。 二、正文 1. 鲁棒控制理论 方法在工程中应用最多，它以输出灵敏度函数的范数作为性能指标，旨在可能发生“最坏扰动”的情况下，使系统的误差在无穷范数意义下达到极小，从而将干扰问题转化为求解使闭环系统稳定并使相应的范数指标极小化的输出反馈控制问题。 鲁棒控制理论是在空间(即Hardy 空间)通过某些性能指标 的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论。空间是在开右半平面解析且有界的矩阵函数空间，其范数定义为： （1） 即矩阵函数在开右半平面的最大奇异值的上界。范数的物理意义是指系统获得的最大能量增益[3]。 鲁棒控制理论的实质是为MIMO（多输入多输出）且具有模型