苏教版备战2020年小升初数学专题一：数与代数--数的整除、因数、倍数、合
数、质数、奇数、偶数
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、选择题 (共5题；共10分)
1. （2分）用0，7，8三个数字组成的所有的三位数都是（）的倍数。
A . 2
B . 5
C . 3
2. （2分）下面说法中正确的是（）
A . 所有的质数中，一个偶数都没有
B . 合数中既有偶数又有奇数
C . 所有的偶数都是合数
3. （2分）（）同时是2、3、5的倍数。
A . 345
B . 470
C . 150
4. （2分）恰有20个因数的最小自然数是（）
A . 120
B . 240
C . 360
D . 432
5. （2分）下面四件运动服的号码中（）是质数。
A .
B .
C .
D .
二、判断题 (共7题；共14分)
6. （2分）一个自然数（0除外）的倍数有无限个，其中最小的倍数是它本身。
7. （2分）9、15、21都是奇数，也都是合数。
8. （2分）判断下面的话的对错．
能被2、3、5、6同时整除的最小的一个数是60．
9. （2分）判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”．
把21分解质因数．
3×7×1=21
10. （2分）一个自然数年的最大因数和最小倍数都是它本身。（）
11. （2分）一个数是9的倍数，那么这个数一定是3的倍数。
12. （2分）因为3.5÷0.5=7，所以3.5能被0.5整除．．（判断对错）
三、填空题 (共11题；共39分)
13. （4分）两个都是质数的连续自然数是_______和_______。
14. （8分）数a是非0自然数，则a的最小的因数是_______，最大的因数是_______，最小的倍数是_______。
15. （8分）下面每组数中，谁是谁的倍数？谁是谁的因数？
27和9_______ 18和72_______
16. （3分）填一填，想一想
20的因数_______ 72的因数_______ 50以内7的倍数_______
17. （4分）在2、4、5、8、12这五个数中，从不同角度看，分别会有一个数与其他数不同。请你写
出这个数与其他数有什么不同。（写3种）
如：2是这5个数中最小的偶数。
（1）_______ （2）_______ （3）_______
18. （1分） 6的因数有_______个，6的倍数有_______个，6既是6的_______，又是6的_______
19. （1分）在下面横线上填上适当的数字，使它既是5的倍数又是3的倍数．
15_______
20. （1分）在下面的方框里分别填上一个适当的数字．
13 ，既是3的倍数又是5的倍数．
3 ，既是3的倍数又是5的倍数
21. （1分）对一个数进行分解质因数一般用_______方法。
22. （3分）_______的约数只有1个，_______数的约数只有2个，_______数的约数至少有3个．
23. （5分）要使12 同时是2，3，5的倍数，这个四位数最大是_______，最小是_______。
四、计算题 (共2题；共25分)
24. （5分），，是三个最简分数，已知三个分数的积是，求这三个分数是多少。
25. （20分）李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，月季每4天浇一次水，君子兰每6天浇一次水，至少多少天以后给这两种花同时浇水？
五、解决问题 (共5题；共25分)
26. （5分）把12分解质因数
27. （5分）在一段公路的一侧插红旗，这段公路全长96米，原来每4米插一面红旗（两头都插），现在要改成每6米插一面红旗，那么有多少面红旗不必拔出来？
28. （5分）求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数
（1）18和6
（2）12和20
（3）8和9
29. （5分）学校植树，每行栽12棵、16棵或20棵三种栽法，都刚好排成整行而无剩余。问至少有多少棵树？
30. （5分）把40个苹果装在篮子里，每个篮子装的苹果个数同样多．有几种装法？每种装法各需要几个篮子？
参考答案一、选择题 (共5题；共10分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
二、判断题 (共7题；共14分)
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
三、填空题 (共11题；共39分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
17-1、
18-1、
19-1、
20-1、
21-1、
22-1、
23-1、
四、计算题 (共2题；共25分)
24-1、
25-1、
五、解决问题 (共5题；共25分)
26-1、
27-1、
28-1、
28-2、
28-3、
29-1、
30-1、
数的整除特征（一） 新课引入： 数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。 （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。如312。 新课讲授： 例1．在能被2,3,5整除。 能被 2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0， 里填 能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？ 填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。 做练习题。 例2．五位数2A10B能被72整除，这样的五位数有几个？ 解题思路：因为72=8×9，且8和9互质，这个数必须同时能被8和9整除。要能被8整除得看末三位，B必须是4；当个位是4时，千位上必须是2（因为2+2+1+0+4=9），所以符合条件的只有1个，即22104。 解：要使2A10B能被72整除，B=4，因为2+2+1+0+4=9，所以A=2。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。 如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。 例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。 即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。 例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
什么是整除 若整数a 除以大于0的整数b ，商为整数，且余数为零。我们就说a 能被b 整除(或说b 能整除a )，记作b |a ，读作b 整除a 或a 能被b 整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系：3，9：看数字和 数字差系：11：看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除； ⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。 常见整除性质： ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 数的整除特征(上) 例2
(★★★) 四位偶数64WW 能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 例3 例4
(★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些 例5 (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个 例6
(★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除【先睹为快】
小数除以整数（练习一） 基础游乐园 1、算一算，比一比。 128÷8 = 720÷24 = 200÷40= 12.8÷8= 72÷24= 200÷4= 2、完成下面的竖式。 6 8.4 3 7.5 7 7.21 8 20.8 9 11.7 3 3.51 4、一辆货车5小时行驶了421.6千米，平均每小时行驶多少千米？ 5、一只野兔的最快速度可达每小时45千米，一只鹿的最快速度可达每小时50.4千米。鹿的最快速度是野兔的多少倍？ 七彩冲浪板 6、洋洋在读一个小数时，把小数点读掉了，结果比原来多3.6，原来的小数是多少？ 小数除以整数（练习二） 基础游乐园 1、直接写得数。 1.2÷4= 32÷8= 0.72÷9= 4÷5= 50.4÷1000= 4.704÷100= 2、填一填。 （1）除法中，如果除数扩大10倍，要使商不变，被除数也要（ ）。 （2）两个数相除的商是256，被除数是128，那么除数是（ （3）两数相除的商是3.14，被除数扩大10是（ ）。 3、下面各题的商哪些大于1？哪些小于1？（大于1的在括号里画“√”） 5.29÷6（ ） 83.25÷46（ ） 0.27÷27（ ） 7.24÷7（ ）
13.27÷19（） 0.03÷5（） 39.6÷9（） 1.08÷5（） 4、用竖式计算。 37.8÷28 96÷15 75.2÷32 287÷35 5.46÷42 3.64÷14 5、12包牛奶一共重3.6千克，平均每包牛奶多少千克？ 七彩冲浪板 6、星期天，爸爸、妈妈带着小丽去公园玩，买门票共用去了37.5元。已知一张大人票与两张小孩票票价相等，一张大人票要多少元？ 小数除以整数（练习三） 基础游乐园 1、直接写出得数 3.6÷6= 8.4÷4= 4.6÷2= 0.64÷8= 3.6÷3= 7.2÷9= 0.82÷7= 0.64÷4= 2、在○里填上“＞”“＜”或“＝”。 80.2÷10○8.02 3.8÷100○0.38 8.64÷11○86.4 0.65÷10○6.5 9897÷1000○98.97 2.98÷10○0.0289 3、先在商小于1的算式下面画横线，再算一算。 54÷36 38÷95 24÷40 5.04÷6 0.112÷16 3 6.4÷28 4、下面是某水果批发市场两种水果的批发价和零售价： 苹果一箱15千克香蕉一箱12千克
能被整除的数的特征文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-
【数学】能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征★★ 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3 整除，因为3+1+5=9是3的倍感） 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一 定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12?
23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 能被17整除的数的特征
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。 能被19整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程
第四讲：数论初步（二） ——整除问题 一、训练目标 知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。 思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。 二、知识与方法归纳 1、熟悉并掌握 2、 3、5、9的倍数的特征。 2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。（4×25=100）。 （8×125=1000。） 3、一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或25整除。 4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差 （7×11×13=1001。）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。（很常用，请牢记。） 5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。 6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。 7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b，b︱c，则a︱c。 8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。 三、经典例题 例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。 解： 答：。 例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？ 解：
数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被ｂ整除(或说ｂ能整除a）,记作b|a，读作b整除ａ或a能被ｂ整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5:看末一位 4，25：看末两位 8,12５：看末三位 数字和系：3，9:看数字和 数字差系：１1:看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被７，１1，13整除； ⑵把数从末三位开始,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，１1，１3的倍数。 常见整除性质: ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除. ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
? (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 例2
例3 (★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例4 ? (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
? 【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是 91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例5 例6
被0—20以内数整除的数性质 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除. （6）若一个整数能同时被2和3整除,则这个数能被6整除. （7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断294是否是7的倍数的过程如下：29-4×2=21,所以294是7 的倍数；又例如判断3983是否是7的倍数的过程如下：398－3×2＝392 ,39－2×2＝35,所以3983是7的倍数,以此类推. （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除. （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.例如,判断649是否是11的倍数的过程如下：
因为奇数位之和6+9=15,15减去4等于11，所以649是11的倍数. （12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断585是否是13的倍数的过程如下：58+5×4=78,7+8×4=39,所以585是13的倍数;又例如判断8476是否是13的倍数的过程如下：847+6是否是13的倍数的过程如下：4=871,87+1×4=91,9+1×4=13,所以585是13的倍数. （14）若一个整数同时被2和7整除,则这个数能被14整除.例如,判断6328是否是14的倍数的过程如下：首先6328能被2整除，其次判断它被7整除特征，632-8×2=616,61-6×2=49，因此6328是7的倍数，即6328是14的倍数. （15）若一个整数同时被3和5整除,则这个数能被15整除.判断方法与被6、14整除类似，与下文的18,20一样. （16）若一个整数末尾四位数能被16整除，则这个数能被16整除. （17）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断7701是否是17的倍数的过程如下：770-1×5=765,76-5×5=51,所以7701是17的倍数. （18）若一个整数同时能被2和9整除,则这个数能被18整除.
小数乘除法应用题强化练习 1、一台榨油机每小时榨油0.45吨，4台这样的榨油机3.5小时榨油多少吨？ 2、小华和小川两人同时从乙地分别向甲、丙两地背向而行，小华每小时走 3.2千米，小川每小时走2.6千米，走了4小时两人相距多远？ 3、10千克油菜籽可以榨油3.8千克，照这样计算，1000千克油菜籽可以榨油多少千克？ 4、光明小学采用乐节约措施后每个月节约用水3吨，如果每吨水2.8元。光明小学全年可节约水费多少元？ 5、一只梅花鹿高1.46米，一只长颈鹿的高度是梅花鹿的3倍。梅花鹿比长颈鹿矮多少米？
6、甲、乙两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行75千米，乙车每小时行60千米，经过4.5小时两车相遇。两地之间的公路长多少千米？ 7、玩具商店上午卖出玩具汽车18辆，下午卖出同样的玩具汽车32辆，下午比上午多卖128.8元。每辆玩具汽车多少元？ 8、列式计算 9、⑴已知两个因数的积是是 20. 16，其中⑵把 65. 8 平均分成 47 份, 一个因数是18，另一个因数是多少？每份是多少? 列式：_________________________ 列式：_________________________ ⑶ 0.72 加上 30. 45 除以 8. 7 的商, ⑷一个数的 2. 6 倍是 9. 62 , 和是多少? 这个数是多少? 列式：_________________________ 列式：_________________________ 5、一个数的 1. 5 倍比 5. 6 少 0. 8 ， 6、用17.8去除0.178 , 所得的商再 这个数是多少？乘以 6.4 , 积是多少? 列式：_________________________ 列式：_________________________ 7、3. 08 除以 1. 76 与 2 . 5 的积, 8、 8. 72 除以 0. 2 的商的 3. 5 倍是多少?商是多少? 列式：_________________________ 列式：_________________________ 9、一个数的一半是 46 . 2 , 这个数的 1. 2 倍是多少?
五年级数学上册小数除法练习题 小数除以整数（练习一） 基础游乐园 1、算一算，比一比。 128÷8 = 720÷24 = 200÷40= 12.8÷8= 72÷24= 200÷4= 2、完成下面的竖式。 6 8.4 3 7.5 7 7.21 8 20.8 9 11.7 3 3.51 3、先找出错在哪里，再改正过来。 1 4 83 0. 2 24 7 9.8 7 5. 81 18 4.5 15 36 7 5. 6 3.6 30 2 8 21 9 60 2 8 21 60 0 0 0 4、一辆货车5小时行驶了421.6千米，平均每小时行驶多少千米？ 5、一只野兔的最快速度可达每小时45千米，一只鹿的最快速度可达每小时50.4千米。鹿的最快速度是野兔的多少倍？ 七彩冲浪板 6、洋洋在读一个小数时，把小数点读掉了，结果比原来多3.6，原来的小数是多少？
小数除以整数（练习二） 基础游乐园 1、直接写得数。 1.2÷4= 32÷8= 0.72÷9= 4÷5= 50.4÷1000= 4.704÷100= 2、填一填。 （1）除法中，如果除数扩大10倍，要使商不变，被除数也要（ ）。 （2）两个数相除的商是256，被除数是128，那么除数是（ （3）两数相除的商是3.14，被除数扩大10 是（ ）。 3、下面各题的商哪些大于1？哪些小于1？（大于1的在括号里画“√”） 5.29÷6（ ） 83.25÷46（ ） 0.27÷27（ ） 7.24÷7（ ） 13.27÷19（ ） 0.03÷5（ ） 39.6÷9（ ） 1.08÷5（ ） 4、用竖式计算。 37.8÷28 96÷15 75.2÷32 287÷35 5.46÷42 3.64÷14 5、12包牛奶一共重3.6千克，平均每包牛奶多少千克？ 七彩冲浪板 6、星期天，爸爸、妈妈带着小丽去公园玩，买门票共用去了37.5元。已知一张大人票与两张小孩票票价相等，一张大人票要多少元？
数的整除特征专项训练 一、性质 1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A＋B或差A－B也能被C整除。 例如：8整除64，8整除24，那么8整除64＋24或64－24。 2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。 例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。 二、数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。 能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。 能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。 一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除 三、例题与练习 例1、判断下面的数是否能整除。
例2、判断下面的数是否能整除。 例3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？ 练一练 在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？ 例4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？
1、由1、 2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？ 2、从0、 3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？ 3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、 4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?
数的整除特征 1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5)被7整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6)被11整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7)被13整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。 9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 10)被17整除 第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 11)被19整除 第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。 13)被99整除：从个位开始，两位一截，各段求和，看和能否能被99整除。 14)被999整除：从个位开始，三位一截，各段求和，看和能否能被999整除。
数的整除专题训练 知识梳理： 性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。 性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。 性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。 性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。 性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。 例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元 解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。 因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x， 如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)， 即每位学生最多可能交397元。
2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗 解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。 解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。 解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢 解：75=3 ×5 ×5， 要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法； 又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。 则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可
同底数幂的除法典型例题 例1 判断下列各式是否正确，错误请改正. （1）；（2）； （3）；（4）； （5）． 解：（1）不正确，应改为，法则中底数不变，指数相减，而不是指数相除. （2）不正确，应改为，与底数不同，要先化同底，即再计算. （3）不正确，应改为，与互为相反数，先化同底便可计算. （4）不正确，应改为，指数相减应为 . （5）正确. 例2 计算 (1)x n+2÷x n-2 (2)50×10-2 （3）用小数或分数表示：×10-3． 分析：（1）在运用“同底数幂的除法”公式时，指数若是多项式，指数相减一定要打括号.(2)中用到零指数和负指数的公式，直接套用即可，（3）先将负指数的幂化为小数，再进行乘法运算，得到最后结果． 解：(1)x n+2÷x n-2=x(n+2)-(n-2)=x4 (2)50×10-2=1× = (3)×10-3=× =×= 例3 计算： （1）；（2）； （3）；（4）．
分析：此例都可用同底数幂的除法的性质进行计算，注意运算符号，算出最终结果，如 和都能继续计算. 解：（1）； （2）； （3）； （4）． 例4 计算 (1)y10÷y3÷y4 (2)(-ab)5÷(-ab)3 分析：先观察题目，确定运算顺序及可运用的公式，再进行计算.题目（2）中被除数与除数的底数相同，故可先进行同底数幂的除法，再运用积的乘方的公式将计算进行到最后. 解：(1)y10÷y3÷y4=y10-3-4=y3 (2)(-ab)5÷(-ab)3=(-ab)2=a2b2 说明：像（2）这种题目，一定要计算到最后一步. 例5 计算：（1）；（2）． 分析：（1）题中的两个幂底数不同，一个是16，另一个是4，但，因此可将底数化为4，（2）题处理符号上要细心. 解：（1） （2） 说明：底数不同的情况下不能运用同底数幂的除法法则计算.
数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位
数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？ 【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。
【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？
2、在 内填上合适的数使七位数 能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。
2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性 在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。 一、整除判定 在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。 在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。 被2、3、4、5、8、9整除的判断依据 （1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。 （2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。 （3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。 （4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。 （5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。 （6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。 【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。 能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。 能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。 因此密码为2222232。 【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？ Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人
数的整除 数的整除问题；内容丰富；思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题；也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5；63÷7=9 一般地；如a、b、c为整数；b≠0；且a÷b=c；即整数a除以整除b（b不等于0）；除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）；我们就说；a能被b 整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则；称为a不能被b整除；（或b不能整除a）；记作ba。 如果整数a能被整数b整除；a就叫做b的倍数；b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中；15是3的倍数；3是15的约数；63是7的倍数；7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除；那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a；c｜b；那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10；2｜6；那么2｜（10＋6）；
并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a；那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a；那么b｜a；c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a；且b和c互质；那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a；c｜a；且（b；c）=1；那么bc｜a。 例如：如果2｜28；7｜28；且（2；7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b；b能整除a；那么c能整除a。 即：如果c｜b；b｜a；那么c｜a。 例如：如果3｜9；9｜27；那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面；个位数字是偶数（包括0）的整数；必能被2整除；另一方面；能被2整除的数；其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
数的整除特征基础篇 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系：3，9：看数字和 数字差系：11：看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除； ⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。 常见整除性质： ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 例
(★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例 例
(★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例 (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？ 例
【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例
整除的特征 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除
【经典例题1】已知一个6位数14A52B能被5和9整除，求这个6位数。 【巩固练习】 1、已知一个五位数是A1A72能被12整除，求这个五位数。 2、如果一个6位数13A57B能同时被2、 3、5整除，求这个6位数。 3、有一个四位整数16AB如果要让这个四位数同时能被2、3、 4、5整除，那么这个四位 数的末两位上应是什么数？ 【经典例题2】要使六位数18ABC6能被36整除，而且所得的商最小，这个六位数是多少？ 【巩固练习】 1、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数 值尽可能得小。 2、一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数73A,求A是几? 3、用0、1、3、5、7这五个数中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数， 其中最小的一个四位数是多少？ 【经典例题3】有一个自然数，用它去除70、98和143这三个数得到的三个余数之和是29，求这个自然数。 【巩固练习】
1、有一个自然数，分别去除25、38、43、所得的余数都不为0，且这三个余数之和是22， 求这个自然数。 2.有一个自然数去除63、90、130都有余数，且余数之和为25，求这个自然数。 2、用一个整数去除454和456，所得的余数都是17。求这个自然数。 【经典例题4】被除数除以除数，商是12，余数是26，被除数、除数、商、余数四个数的和是454，求除数是多少。 【巩固练习】 1、两数相除，商是19，余数是4，被除数与除数的差为652，求被除数。 2、被除数除以除数，商是18，余数是62，被除数、除数、商及余数的和是1529，求被除 数是多少。 3、887除以一个数，商是52，且除数比余数大14，求除数和余数各是多少。 【经典例题5】求111…1除以7的余数是多少。