中考必做的36道压轴题及变式训练
第一题夯实双基“步步高”，强化条件是“路标” 例1(，23,7分)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线
222--=mx mx y （0≠m ）与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B ．
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的解析式；
（3）若该抛物线在12-<<-x 这一段位于直线l 的上方，并且在32< 直线AB 的下方，求该抛物线的解析式． （1）当 x ＝ 0 时， y ＝－2 . ∴ A （0，－2）． 抛物线对称轴为 x ＝212m m -- =， ∴ B （1，0）． （2）易得 A 点关于对称轴的对称点为 A （2，－2） 则直线 l 经过 A 、 B . 没直线的解析式为 y ＝kx ＋b 则22,0.k b k b +=-??+=?解得2, 2. k b =-?? =? ∴直线的解析式为 y ＝－2x ＋2． （3）∵抛物线对称轴为 x ＝1 抛物体在 2 连接（，26，9分）已知二次函数y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）（a 、m 为常数，且a ≠0）. （1）求证：不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点； （2）设该函数的图象的顶点为C .与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点D . ①当△ABC 的面积等于1时，求a 的值； ②当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时，求m 的值. 【答案】（1）证明：y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am . 因为当a ≠0时，［－（2am ＋a ）］2－4a （am 2＋am ）＝a 2＞0. 所以，方程ax 2－（2am ＋a ）x ＋am 2＋am ＝0有两个不相等的实数根. 所以，不论a 与m 为何值，该函数的图象与x 轴总有两个公共点. ………3分 （2）解：①y ＝a （x －m ）2－a （x －m ）＝a （x －212+m ）2－4 a ， 所以，点C 的坐标为（ 212+m ，－4 a ）. 当y ＝0时，a （x －m ）2－a （x －m ）＝0.解得x 1＝m ，x 2＝m ＋1.所以AB ＝1. 当△ABC 的面积等于1时， 2 1 ×1×4a -＝1. 所以 21×1×（－4a ）＝1，或21×1×4 a ＝1. 所以a ＝－8，或a ＝8. ②当x ＝0时，y ＝am 2＋am .所以点D 的坐标为（0，am 2＋am ）. 当△ABC 的面积与△ABD 的面积相等时， 21×1×4a -＝2 1 ×1×am am +2 21×1×（－4a ）=21×1×（am 2＋am ），或21×1×4a =2 1 ×1×（am 2＋am ）. 所以m ＝－ 2 1 ，或m ＝221--，或m ＝221+-.………9分 变式: （，23，7分）已知二次函数23 (1)2(2)2 y t x t x =++++ 在0x =和2x =时的函数值相等。 （1） 求二次函数的解析式； （2） 若一次函数6y kx =+的图象与二次函数的图象都经过点(3)A m -，，求m 和k 的值； （3） 设二次函数的图象与x 轴交于点B C ，（点B 在点C 的左侧），将二次函数的图象在 点B C ，间的部分（含点B 和点C ）向左平移(0)n n >个单位后得到的图象记为G ，同时将（2）中得到的直线6y kx =+向上平移n 个单位。请结合图象回答：当平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值围。 【答案】（1） ①方法一：∵二次函数23 (1)2(2)2 y t x t x =++++在0x =和2 x =时的函数值相等 ∴ 334(1)4(2)22 t t =++++. ∴3 2 t =-. ∴这个二次函数的解析式是213 22 y x x =-++ ②方法二：由题意可知：二次函数图象的对称轴为1x = 则2(2) 12(1) t t +- =+ ∴32 t =- . ∴这个二次函数的解析式是213 22y x x =-++. （2）∵二次函数的图象过(3,)A m -点. ∴213 (3)(3)622 m =- -+-+=-. 又∵一次函数6y kx =+的图象经过点A ∴366k -+=- ∴4k = （3）令213 22y x x =-++= 解得：11x =-23 x = 由题意知，点B 、C 间的部分图象的解析式为1 (3)(1)2 y x x =--+，（13x -≤≤）. 则向左平移后得到图象G 的解析式为：1 (3)(1)2 y x n x n =- -+++， （13n x n --≤≤-）. 此时平移后的一次函数的解析式为46y x n =++. 若平移后的直线46y x n =++与平移后的抛物线1 (3)(1)2 y x n x n =--+++相切. 则1 46(3)(1)2x n x n x n ++=- -+++有两个相等的实数根。 即一元二次方程22119 (3)0222 x n x n --+--=有两个相等的实数的根。 ∴判别式=[]2 2119(3)4()()0222 n n -+-?---= 解得：0n =与0n >矛盾. ∴平移后的直线46y x n =++与平移后的抛物线1 (3)(1)2 y x n x n =--+++不相切. ∴结合图象可知，如果平移后的直线与图象G 有公共点，则两个临界交点为(1,0)n --和(3,0)n -. 则4(1)60n n --++=，解得：23 n = 4(3)60n n -++=，解得：6n = ∴ 2 63 n ≤≤ 第2题“弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破 （例题）（，26，10分） 如图，抛物线)0(22 3 2 ≠-- =a x ax y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为()0,4. （1）求抛物线的解析式； （2）试探究ABC ?的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标； （3）若点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC ?的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标. 【答案】解：（1）将B （4，0）代入)0(2232 ≠-- =a x ax y 中，得：2 1=a ∴抛物线的解析式为：)0(22 3 212≠--=a x x y （2）∵当 022 3 212=--x x 时，解得41=x ，12-=x ∴A 点坐标为（－1，0），则OA=1 ∵当x=0时，222 3 212-=--= x x y ∴C 点坐标为（0,－2），则OC=2 在Rt ⊿AOC 与Rt ⊿COB 中， 2 1 ==OB OC OC OA ∴Rt ⊿AOC ∽Rt ⊿COB ∴∠ACO=∠CBO ∴∠ACB =∠ACO +∠OCB=∠CBO +∠OCB =90° 那么⊿ABC 为直角三角形 所以⊿ABC 的外接圆的圆心为AB 中点，其坐标为（1.5，0） （3）连接OM .设M 点坐标为（x ， 22 3 212--x x ） 则OBC OBM MBC S ⊿⊿⊿⊿S S S OCM -+= = 422 1 221)22321(4212??-??+++-??x x x =4)2(2 +--x ∴当x=2时，⊿MBC 的面积有最大值为4，M 的坐标为（2，－3） 变式（24）面直角坐标系中，?ABOC 如图放置，点A 、C 的坐标分别为（0，3）、（-1，0），将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°，得到?A'B'OC'． （1）若抛物线过点C ，A ，A'，求此抛物线的解析式； （2）?ABOC 和?A'B'OC'重叠部分△OC'D 的周长； （3）点M 是第一象限抛物线上的一动点，问：点M 在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M 的坐标． 第三题“模式识别”记心头，看似“并列”“递进” （例题）23．（，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线1 12 y x = +与抛物线23y ax bx =+-交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点（不与A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 与点C ，作PD ⊥AB 于点D ． （1）求a 、b 及sin ACP ∠的值； （2）设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PD 的长， 并求出线段PD 长的最大值； ②连接PB ，线段PC 把△PDB 分成 两个三角形，是否存在适合的m 值， 使这两个三角形的面积之比为9:10? 若存在，直接写出m 值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）由1 102 x +=，得2,x =-∴(2,0)A - 由 1 132 x +=，得4,x =∴(4,3)B ∵2 3y ax bx =+-经过,A B 两点，∴2 2(-2)-2-3=0 4+4-3=3 a b a b ???????∴11,22a b ==- 设直线AB 与y 轴交于点E ，则(0,1)E ∵PC ∥y 轴，∴ACP AEO ∠=∠. ∴sin sin OA ACP AEO AE ∠=∠= == （2）由⑴可知抛物线的解析式为211 322 y x x =-- ∴2111 (,3),(,1)222P m m m C m m --+ 221111 1(3)42222 PC m m m m m =+---=-++ 第23题图 x 在Rt PCD 中，sin PD PC ACP =∠ 21(4)2m m =- ++ 21)m =-+ ∵0<∴当1m =时，PD ②存在满足条件的m 值，532 29 m =或 【提示】 分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为F 、G ． 在t R PDF 中，21 (28).5DF PD m m ==--- 又4,BG m =- ∴ 21 (28)2545PCD PBC m m S DF m S BG m ---+===-． 当29510PCD PBC S m S +==时，解得52m =； 当21059PCD PBC S m S +==时，解得329 m =． 变式一27．（，27，12分）已知：二次函数y =x 2＋bx －3的图像经过点P （－2,5）． （1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值围； （2）设点P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上． ①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由； ②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【答案】解：（1）把点P 代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b －3，解得b=－2. 当1＜x ≤3时y 的取值围为－4＜y ≤0. （2）①m=4时，y 1、y 2、y 3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长． ②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3，由于， m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0， 当m 不小于5时成立，即y 1＋y 2＞y 3成立． 所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长， 变式二（B 卷，25，10分）如图，已知抛物线c bx x y ++=2 的图像与x 轴的一个交点为 B （5，0），另一个交点为A ，且与y 轴交于点 C (0，5). （1）求直线BC 与抛物线的解析式； （2）若点M 是抛物线在x 轴下方图像上的一动点，过点M 作MN //y 轴交直线BC 于点N ， 求MN 的最大值； （3）在（2）的条件下，MN 取得最大值时，若点P 是抛物线在x 轴下方图像上任意一点，以BC 为边作平行四边形CBPQ ，设平行四边形CBPQ 的面积为1S ，△ABN 的面积为2S ，且216S S =，求点P 的坐标. 【答案】解：（1）设直线BC 的解析式为n mx y +=，将B （5，0），C （0，5）代入有： ?? ?==+505n n m 解得：? ??=-=51 n m 所以直线BC 的解析式为5+-=x y 再将B （5，0），C （0，5）代入抛物线c bx x y ++=2 有： ? ? ?==++50 525c c b 解得：? ? ?=-=56 c b 所以抛物线的解析式为：562+-=x x y （2）设M 的坐标为（x ，562 +-x x ），则N 的坐标为（x ，5+-x ）， MN =)56()5(2+--+-x x x =x x 52 +- 当25= x 时，MN 有最大值为4 25 （3）当0562 =+-=x x y 时，解得11=x ，52=x 故A （1,0），B （5,0），所以AB =4 由（2）可知，N 的坐标为（ 25，2 5） ∴52 54212=??= S 则30621==S S ，那么15=CBP S △ 在y 上取点Q (-1，0)，可得15=CBQ S △ 故QP ∥BC 则直线QP 的解析式为1--=x y 当1562 --=+-x x x 时，解得21=x ，32=x 所以P 点坐标为（2，3-），（3，4-）， 第四题“准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构” （例题） （资阳，25，9分）抛物线2 14 y x x m = ++的顶点在直线3y x =+上，过点F (2,2)-的直线交该抛物线于点M 、N 两点（点M 在点N 的左边），MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于 点B ． （1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m 的代数式表示），再求m 的值； （2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF ＝NB； （3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝100 9 ，求点M的坐标． 答案：解（1）22 11 (2)(1) 44 y x x m x m =++=++- ∴顶点坐标为(－2 , 1 m-) ∵顶点在直线3 y x =+上， ∴－2+3=1 m-，得m=2 （2）∵点N在抛物线上， ∴点N的纵坐标为2 1 2 4 a a ++ 即点N(a,2 1 2 4 a a ++) 过点F作FC⊥NB于点C， 在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB-CB=2 1 4 a a +,∴2 NF＝22 NC FC +＝222 1 ()(2) 4 a a a +++=222 1 ()(4)4 4 a a a a ++++ 而2 NB=22 1 (2) 4 a a ++＝222 1 ()(4)4 4 a a a a ++++ ∴2 NF＝2 NB，NF=NB （3）连结AF、BF 由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA,∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB,∴∠AMF+∠BNF=180° ∵△MAF和△NFB的角总和为360°,∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°, （第25题图） ∵∠MAB +∠NBA =180°，∴∠FBA +∠FAB =90°又∵∠FAB +∠MAF =90° ∴∠FBA =∠MAF =∠MFA 又∵∠FPA =∠BPF ，∴△PFA ∽△PBF ，∴ PF PB PA PF = ，2PF PA PB =?=100 9 过点F 作FG ⊥x 轴于点G ,在Rt △PFG 中，PG ==83 ，∴ PO =PG +GO =14 3， ∴P (－14 3 , 0) 设直线PF ：y kx b =+，把点F （－2 , 2）、点P (－143 , 0)代入y kx b =+解得k =3 4 ， b =72，∴直线PF ：3742 y x =+ 解方程2137 2442 x x x ++=+，得x =－3或x =2（不合题意，舍去） 当x =－3时，y =5，∴M （－3 ,5 ） 0）、C （0，1-）三点，过坐标原点O 的直线y kx =与抛物线交于M 、N 两点．分别 过点C 、D （0，2-）作平行于x 轴的直线l 1、l 2． （1）求抛物线对应二次函数的解析式； （2）求证以ON 为直径的圆与直线l 1相切； （3）求线段MN 的长（用k 表示），并证明M 、N 两点到直线l 2的距离之和等于线段MN 的长． 【答案】解：（1）设抛物线对应二次函数的解析式为2y ax bx c =++， 由0420421a b c a b c c =-+?? =++??-=?，解得1401a b c ?=??=??=-? ? ． 所以21 14 y x =-． （2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），因为点M 、N 在抛物线上， 所以211114y x = -，2221 14 y x =-，所以2224(1)x y =+； 又2ON =2222x y +=2224(1)y y ++=22(2)y +， 所以ON =22y +，又因为y 2≥1-， 所以ON =22y +． 设ON 的中点为E ，分别过点N 、E 向直线l 1作垂线，垂足为P 、F ， 则EF = 2OC NP +=2 22 y +， 所以ON =2EF ， 即ON 的中点到直线l 1的距离等于ON 长度的一半， 所以以ON 为直径的圆与直线l 1相切． （3）过点M 作MH ⊥NP 交NP 于点H ，则 222MN MH NH =+=221()x x -+221()y y -， 又y 1=kx 1，y 2=kx 2，所以221()y y -=2221()k x x -， 所以22221(1)()MN k x x =+-； 又因为点M 、N 既在y =kx 的图象上又在抛物线上， 所以2 114 kx x = -，即2440x kx --=， 所以x k ± 所以221()x x -=216(1)k +， 所以22216(1)MN k =+， 所以MN =24(1)k +． 延长NP 交l 2于点Q ，过点M 作MS ⊥l 2于点S ， 则MS + NQ = 122y y ++= 22121111444x x -+-+=22121 ()24 x x ++， 又2212x x +=2222[44(1)]168k k k ++=+， 所以MS + NQ =2422k ++=24(1)k +=MN ． 即M 、N 两点到直线l 2的距离之和等于线段MN 的长． 第五题末尾“浮云”遮望眼，“洞幽察微”深指向 例题（，26，12分）如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象交x 轴于A （－1，0），B (2，0)，交y 轴于C （0，－2），过A ，C 画直线． (1)求二次函数的解析式； (2)点P 在x 轴正半轴上，且PA =PC ，求OP 的长； (3)点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ②若 M 的半径为 4 55 ，求点M 的坐标． 【答案】解：(1)设该二次函数的解析式为：(1)(2)y a x x =+- 将x =0，y =－2代入，得－2= a (0+1)(0－2) 解得a =1． ∴抛物线的解析式为(1)(2)y x x =+-，即2 2y x x =--． (2)设OP =x ，则 PC =PA =x +1． 在R t △POC 中，由勾股定理，得2 2 22(1)x x +=+ 解得32x = ，即32 OP =． (3)① ∵△CHM ∽△AOC ，∴∠MCH =∠CAO ． 情形1：如图，当H 在点C 下方时， ∵∠MCH =∠CAO ，∴CM ∥x 轴，∴2M y =-，∴2 22x x --=-， 解得x =0（舍去），或x =1， M (1，－2)． 情形2：如图，当H 在点C 上方时 ∵∠M ’CH =∠CAO ，由(2)：得，M ’为直线CP 与抛物线的另一交点， 设直线CM ’的解析式为y =k x －2． 把P（3 2 ，0）的坐标代入，得 3 20 2 k-=， 解得 4 3 k= ，∴ 4 2 3 y x =-． 由2 4 22 3 x x x -=--， 解得x=0（舍去），或x＝ 7 3 ， 此时 10 9 y=，∴ 710 '(,) 39 M． ②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，使DE＝ 45 5 ． ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△ADE∽△AOC，∴ AD DE AC OC =，∴ 4 5 5 2 5 =，解得AD=2． ∴D(1，0)或D（－3，0）． 过点D作DM∥AC，交抛物线于M． 则直线DM的解析式为：22 y x =-+或26 y x =--． 当－2x－6= x2－x－2时，方程无实数解． 当－2x+2＝x2－x－2时， 解得 12 117117 , 22 x x ---+ ==． ∴点M的坐标为M 117 (,37) -- +或M 117 (,37) -+ + ），对称轴x=2a -． 变式二22．（省，20，9分）如图，抛物线213 = --922 y x x 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC 、AC . (1)求AB 和OC 的长； (2)点E 从点A 出发，沿x 轴向点B 运动(点E 与点A 、B 不重合)，过点E 作直线l 平行于BC ，交AC 于点D .设AE 的长为m ，△ADE 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值围； (3)在(2)的条件下，连接CE ，求△CDE 面积的最大值；此时，求出以点E 为圆心，与BC 相切的圆的面积(结果保留π). 【答案】(1)当y=0时，2 13 - -9=02 2 x x ，解得x 1=－3，x 2=6.∴AB=|x 1－x 2|=|－3－6|=9. 当x=0时，y=－9.∴OC=9. (2)由(1)得A (－3,0)，B (6,0)，C (0,－9)， ∴直线BC 的解析式为y= 3 2 x －9，直线AC 的解析式为y=－3x －9. ∵AE 的长为m ，∴E (m －3,0). 又∵直线l 平行于直线BC ，∴直线l 的解析式为y= 32x －3 (-3)2 m . 由3933-(-3)22y x y x m =--???=??得9 = 3-m x y m -??? ?=? ，∴点D (93m -,－m ). ∴△ADE 的面积为：S= 12·AE ·|D 纵|=12·(m －3)·|－m |=213 -22 m m .(0＜m ＜9) (3)△CDE 面积为：S △ACE －S △ADE =192m ??－(213-22m m )=21+32m m -=2 19-(-3)+22 m ， ∴当m=3时，△CDE 面积的最大值为9 2 . 此时，点E(0,0).如图，作OF⊥BC于F，∵OB=6，OC=9， ∴OF=OB OC BC ? = 22 69 + = 18 13 13 . ∴以点E为圆心，与BC相切的圆的面积为：2 18324 (13)= 1313 ππ. 第6题分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质 例题（，27，14分）已知抛物线)0 (3 2≠ + + =a bx ax y经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y 轴交于点C。 （1）求抛物线)0 (3 2≠ + + =a bx ax y的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OE F的面积取得最小值时，求点E的坐标。 【答案】（1） 2 (3,0)(4,1)y=ax+bx+3 0=9a+3b3 11643 1 a= 2 b= 1 2 (0,3) A B a b C + ? ? =++ ? ? ?? ? ? ?? ２ 、代入中 解得 ５ － ２ ５ ∴解析式为ｙ＝ｘ－ｘ＋３ ２ 令ｘ＝０时，ｙ＝３ ∴点坐标为 （2）若∠PAB=90°，分别过P、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F。 图（1） 易得△APE ∽△BAF,且△BAF 为等腰直角三角形，∴△APE 为等腰直角三角形。 设PE =a ，则P 点的坐标为（a ，a －3）代入解析式 3-a= 215 a 322 a -+ 解得a =0，或a =3（与A 重合舍去） ∴P （0,3） 若∠PBA =90°，如下图，直线与x 轴交与点D , 分别过P 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F 。 由图可得△PED 、△BAD 为等腰直角三角形，设PE =a ，则DE =a ，AB 2,所以AD =2，则P 点坐标为（5－a ，a ）代入解析式， 215 (5)(5)322 a a a =---+ 解得，a =1，或a =6 （与B 重合）是 所以P 点坐标（－1,6） 综上所述P （0,3）或P （－1,6） （3）由题意得，∠CAO =∠OAF =45° 利用同弧所对的圆周角相等，∠OEF =∠OAF =45° ∠EFO =∠EAO =45° ∴△EOF 为等腰直角三角形，S △EOF = 21 2 OE 。 ∴当OE 最小时，面积最小。即E 为AC 中点（33 ,)22 变式一（枣庄，25，10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2 y x =向左平移1 个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 ()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D . （1）写出h k 、的值； （2）判断ACD △的形状，并说明理由； （3）在线段AC 上是否存在点M ，使AOM △∽ABC △？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由. 解：（1）2 ()y x h k =-+的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴ 1 h k =-，=-4. （2）由（1）得2 (1)4 y x =+-. 当0y =时，2(1)40x +-=． 解之，得 1231x x =-= ，． ∴ (30)10A B -，， (，). 又当0x =时，2 2 (1)4(01)43 y x =+-=+-=-， ∴C 点坐标为()0 3，-.……………………………………………………………………4分 又抛物线顶点坐标()14D --，，作抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ， D F y ⊥轴于点F ．易知 在R t A E D △中，222 2420A D =+=； 在R t A O C △中，2 2 2 3318A C =+=； 在R t C F D △中，2 2 2 112C D =+=； ∴ 222 A C C DA D +=． ∴ △ACD 是直角三角形． （3）存在．作OM ∥BC 交AC 于M ，Ｍ点即为所求点． 由（2）知，A O C △为等腰直角三角形，45B A C ∠=? ，A ． 由A O M A B C △∽△，得AO AM AB AC = ． 即 34A 过M 点作M G A B ⊥于点G ，则 94A G M G ∴==，93344 O G A O A G =-=-=. 又点M 在第三象限，所以39 --44 M （，） . 变式二（市，21，8分）如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M 是BC 的中点。 （1）求证：⊿MDC 是等边三角形； （2）将⊿MDC 绕点M 旋转，当MD(即MD ′)与AB 交于一点E,MC 即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E,F 和点A 构成⊿AEF.试探究⊿AEF 的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF 周长的最小值 . 中考数学压轴题专题 一、函数与几何综合的压轴题 1.如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.已知：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 如果有一抛物线经过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 如果AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，此时AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解] （1）（本小题介绍二种方法，供参考） 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ ,EO DO EO BO AB DB CD DB '''' == 又∵DO ′+BO ′=DB ∴ 1EO EO AB DC '' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ''=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D （1，0），A （-2，-6），得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B （-2，0），C （1，-3），得BC 直线方程：y =-x -2 ② 联立①②得02x y =??=-? ∴E 点坐标（0，-2），即E 点在y 轴上 （2）设抛物线的方程y =ax 2 +bx +c (a ≠0)过A （-2，-6），C （1，-3） 图① 图② E （0，-2）三点，得方程组42632a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2 -2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同（1）可得： 1E F E F AB DC ''+= 得：E ′F =2 方法一：又∵E ′F ∥AB E F DF AB DB '?= ，∴1 3DF DB = S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC =1112 2223 DC DB DC DF DC DB ?-?=? =1 3 DC DB ?=DB=3+k S=3+k 为所求函数解析式 方法二：∵ BA ∥DC ，∴S △BCA =S △BDA ∴S △AE ′C = S △BDE ′()11 32322 BD E F k k '= ?=+?=+ ∴S =3+k 为所求函数解析式. 证法三：S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶AE ′=DC ∶AB =1∶2 同理：S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵S △DE ′C ∶S △ABE ′=DC 2∶AB 2 =1∶4 ∴()221 3992 AE C ABCD S S AB CD BD k '?= =?+?=+梯形 ∴S =3+k 为所求函数解析式. 2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M （1，0）为圆心、直径AC 为22的圆与y 轴交于A 、D 两点. （1）求点A 的坐标； （2）设过点A 的直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点B.探究：直线AB 是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明； （3）连接BC ，记△ABC 的外接圆面积为S 1、⊙M 面积为S 2，若 4 21h S S =，抛物线 y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到x 轴的距离为h .求这条抛物线的解析式. [解]（1）解：由已知AM ＝2，OM ＝1， 在Rt△AOM 中，AO ＝ 122=-OM AM ， ∴点A 的坐标为A （0，1） （2）证：∵直线y ＝x ＋b 过点A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y＝x ＋1 令y ＝0则x ＝－1 ∴B（—1，0）， 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得 1, 1643 c b c =-?? ++=-?， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12b c =-=- …………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12y x x =- - …………………………………………… （1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5AOH OBC ∠=∠= ……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511AH ABO BH ∠==÷= ………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =--， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 所以符合题意的点N 有4 个35 (22),(22),(1,),(3,)22 --+--- ……………………………………………………………………………………（1分） 25.（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5 专业资料整理分享 中考数学压轴题解题技巧 湖北竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是 列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 2020年中考数学压轴题精选解析 中考压轴题分类专题三——抛物线中的等腰三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为等腰三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ； 利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式； 将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为腰时，分两类讨论： ①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以 AB 为半径的圆上。 利用圆的一般方程列出A e (或B e )的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 中考压轴题分类专题四——抛物线中的直角三角形 基本题型：已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或 抛物线的对称轴上），若ABP ?为直角三角形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为斜边时（即PA PB ⊥）：点P 在以AB 为直径的圆周上。 利用中点公式求出AB 的中点M ； 利用圆的一般方程列出M e 的方程，与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 （2）AB 为直角边时，分两类讨论： ①以A ∠为直角时（即AP AB ⊥）： ②以B ∠为直角时（即BP BA ⊥）： 利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出PA （或PB ）的斜率 k ；进而求出PA （或PB ）的解析式； 将PA （或PB ）的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。 所需知识点： 一、 两点之间距离公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()()2 21221y y x x PQ -+-= 。 二、 圆的方程： 点()y ,x P 在⊙M 上，⊙M 中的圆心M 为()b ,a ，半径为R 。 则()()R b y a x PM =-+-= 22，得到方程☆：()()22 2 R b y a x =-+-。 ∴P 在☆的图象上，即☆为⊙M 的方程。 三、 中点公式： 四、 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为??? ??++22 2121y y ,x x 。 五、 任意两点的斜率公式： 已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2 12 1x x y y k PQ --= 。 中考压轴题分类专题五——抛物线中的四边形 基本题型：一、已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上， 或抛物线的对称轴上），若四边形ABPQ 为平行四边形，求点P 坐标。 分两大类进行讨论： （1）AB 为边时 （2）AB 为对角线时 二、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为距形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边互相垂直 （2）对角线相等 三、已知AB ，抛物线()02 ≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对 称轴上），若四边形ABPQ 为菱形，求点P 坐标。 在四边形ABPQ 为平行四边形的基础上，运用以下两种方法进行讨论： （1）邻边相等 （2）对角线互相垂直 中考数学压轴题专集二：一次函数 1、如图，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（4，0），直线AB ⊥x 轴，直线y ＝－ 1 4 x ＋3经过点B ，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）直线l 经过点C ，与直线AB 交于点D ，E 是直线AB 上一点，且∠ECD ＝∠OCD ，CE ＝5，求直线l 的解析式． 解：（1）∵A （4，0），AB ⊥x 轴，∴点B 的横坐标为4 把x ＝4代入y ＝－ 1 4 x ＋3，得y ＝2 ∴B （4，2） （2）∵AB ⊥x 轴，∴∠EDC ＝∠OCD ∵∠ECD ＝∠OCD ，∴∠EDC ＝∠ECD ∴ED ＝EC ＝5 在y ＝－ 1 4 x ＋3中，当x ＝0时，y ＝3 ∴C （0，3），OC ＝3 过C 作CF ⊥AB 于F ，则CF ＝OA ＝4 ∴EF ＝ EC 2 －CF 2 ＝ 5 2 －4 2 ＝3 ∴FD ＝5－3＝2，∴DA ＝1 ∴D （4，1） 设直线l 的解析式y ＝kx ＋b ，把C （0，3），D （4，1）代入 得：?????b ＝3 4k ＋b ＝1 解得 ?????k ＝－ 1 2 b ＝3 ∴直线l 的解析式为y ＝－ 1 2 x ＋3 2、如图，直线y＝2x＋4交坐标轴于A、B两点，点C为直线y＝kx（k＞0）上一点，且△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形． （1）求点C的坐标和k的值； （2）若在直线y＝kx（k＞0）上存在点P，使得S△PBC＝1 2S△ABC，求点P的坐标． （1）过点C分别作坐标轴的垂线，垂足为G、H 则∠HCG＝90° ∵∠ACB＝90°，∴∠ACG＝∠BCH 又∠AGC＝∠BHC＝90°，AC＝BC ∴△ACG≌△BCH，∴CG＝CH 在y＝2x＋4中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y＝4 ∴A（－2，0），B（0，4），OA＝2，OB＝4 设CG＝CH＝x，则2＋x＝4－x 解得x＝1，∴C（1，1） ∴k＝1 （2）由（1）知，CG＝1，AG＝3 ∴AC2＝BC2＝12＋32＝10 ∴S△ABC＝1 2AC 2＝5，S △PBC ＝ 1 2S△ABC＝ 5 2 当点P在点G左侧时 S△PBC＝S△PBO＋S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4＋ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝1 3，∴P1（－ 1 3，0） 当点P在点G右侧时 S△PBC＝S△PBO－S△BOC－S△PCO ∴1 2OP×4－ 1 2×4×1－ 1 2OP×1＝ 5 2 解得OP＝3，∴P2（3，0） 一、中考数学压轴题 1．如图，一张半径为3cm 的圆形纸片，点O 为圆心，将该圆形纸片沿直线l 折叠，直线l 交O 于A B 、两点． （1）若折叠后的圆弧恰好经过点O ，利用直尺和圆规在图中作出满足条件的一条直线l （不写作法，保留作图痕迹），并求此时线段AB 的长度． （2）已知M 是 O 一点，1cm OM =． ①若折叠后的圆弧经过点M ，则线段AB 长度的取值范围是________． ②若折叠后的圆弧与直线OM 相切于点M ，则线段AB 的长度为_________cm ． 2．如图1，在 O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接AD 、BC 、AO ， AD AB =． （1）求证：2CAO CDB ∠=∠ （2）如图2，过点O 作OH AD ⊥，垂足为点H ，求证：2OH CE DE += （3）如图3，在（2）的条件下，延长DB 、AC 交于点F ，过点D 作DM AC ⊥，垂足为M ，交AB 于N ，若12BC =，3AF BF =，求MN 的长． 3．已知抛物线2 17 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形． 4．已知，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠ACB=∠EDF=90°，∠A=30°，∠E=45°，AB =EF =6，如图1，D 是斜边AB 的中点，将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α（0°<α<90°），在旋转过程中，直线DE ，AC 相交于点M ，直线DF ，BC 相交于点N ． （1）如图1，当α=60°时，求证：DM =BN ； （2）在上述旋转过程中， DN DM 的值是一个定值吗？请在图2中画出图形并加以证明； （3）如图3，在上述旋转过程中，当点C 落在斜边EF 上时，求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积． 5．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接 BE ，DE ． （1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长； （2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且 DF CD =，求证：12 AB EF =； （3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系 6．如图，90EOF ∠=?，矩形ABCD 的边BA 、BC 分别在OF 、OE 上，4AB =， 3BC =，矩形ABCD 沿射线OD 方向，以每秒1个单位长度的速度运动．同时点P 从点A 出发沿折线AD DC -以每秒1个单位长度的速度向终点C 运动，当点P 到达点C 时， 2019中考数学压轴题解题指导及案例分析2019年中考数学压轴题专题 中考日渐临近，在数学总复习的最后阶段，如何有效应对“容易题”和“综合题”，提高复习的质量和效率呢?针对当前中考复习中普遍存在的倾向性问题，再提出一些看法和建议，供初三毕业班师生参考。 基础题要重理解 在数学考卷中，“容易题”占80%，一般分布在第一、二大题(除第18题)和第三大题第19～23题。在中考复习最后阶段，适当进行“容易题”的操练，对提高中考成绩是有益的。但绝不要陷入“多多益善，盲目傻练”的误区，而要精选一些针对自己薄弱环节的题目进行有目的地练习。 据笔者了解，不少学校在复习中存在忽视过程的倾向，解客观题，即使解其中较难的题时也都只要求写出结果，不要求写出过程，一些同学甚至错了也不去反思错在哪里，这样做，是非常有害的。笔者认为，即使是题解简单的填空题也应当注重理解，反思解题方法，掌握解题过程。解选择题也一样，不要只看选对还是选错，要反问自己选择的依据和理由是什么。 当然，我们要求注重理解，并不意味着不要记忆，记忆水平的考查在历年中考命题中均占有一定的比重。所以必要的记忆是必须的，如代数中重要的法则、公式、特殊角的三角比 的值以及几何中常见图形的定义、性质和常用的重要定理等都是应当记住的。 在复习的最后阶段，笔者建议同学们适当多做一些考查基础的“容易题”，这样做，虽然花的时间不多，但能及时发现知识缺陷，有利于查漏补缺，亡羊补牢。如果你能真正把这些“容易题”做对、做好，使得分率达到0.9甚至达到0.95以上，那么在中考中取得高分并非难事。 压轴题要重分析 中考要取得高分，攻克最后两道综合题是关键。很多年来，中考都是以函数和几何图形的综合作为压轴题的主要形式，用到三角形、四边形、和圆的有关知识。如果以为这是构造压轴题的唯一方式那就错了。方程式与图形的综合也是常见的综合方式。这类问题在外省市近年的中考试卷中也不乏其例。 动态几何问题又是一种新题型，在图形的变换过程中，探究图形中某些不变的因素，把操作、观察、探求、计算和证明融合在一起。在这类问题中，往往把锐角三角比作为几何计算的一种工具。它的重要作用有可能在压轴题中初露头角。总之，应对压轴题，决不能靠猜题、押题。 解压轴题，要注意分析它的逻辑结构，搞清楚它的各个小题之间的关系是“并列”的还是“递进”的，这一点非常重要。一般说来，如果综合题(1)、(2)、(3)小题是并列关系，它们分 1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．（1）求AC、BC的长； （2）设点P的运动时间为x（秒），△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）当点Q在CA上运动，使PQ⊥AB时，以点B、P、Q为定点的三角形与△ABC 是否相似，请说明理由； （4）当x=5秒时，在直线PQ上是否存在一点M，使△BCM得周长最小，若存在，求出最小周长，若不存在，请说明理由． 解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm； （2）①当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x ，∴BP=10﹣x ，BQ=2x ，∵△QHB ∽△ACB ， ∴ QH QB AC AB = ，∴QH=错误!未找到引用源。x ，y=错误!未找到引用源。BP ?QH=1 2 （10﹣x ）?错误!未找到引用源。x=﹣4 5 x 2+8x （0＜x ≤3）， ②当点Q 在边CA 上运动时，过点Q 作QH ′⊥AB 于H ′， ∵AP=x ， ∴BP=10﹣x ，AQ=14﹣2x ，∵△AQH ′∽△ABC ， ∴'AQ QH AB BC =，即：' 14106 x QH -=错误!未找到引用源。，解得：QH ′=错误!未找到引用源。（14﹣x ）， ∴y= 12PB ?QH ′=12（10﹣x ）?35（14﹣x ）=310x 2﹣36 5 x+42（3＜x ＜7）； ∴y 与x 的函数关系式为：y=2 248(03)5 33642(37)10 5x x x x x x ?-+<≤????-+< 中考数学专题复习——压轴题 1. 已知:如图,抛物线y=-x 2+bx+c 与x 轴、y 轴分别相交于点A （-1，0）、B （0，3）两点，其顶点为D. （1） 求该抛物线的解析式； （2） 若该抛物线与x 轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积； （3） △AOB 与△BDE 是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由. （注：抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点坐标为??? ? ??--a b ac a b 44,22） 2. 如图，在Rt ABC △中，90A ∠=，6AB =，8AC =，D E ，分别是边AB AC ，的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交 AC 于 R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =． （1）求点D 到BC 的距离DH 的长； （2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由． 3在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM A B C D E R P H Q ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？ （3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ 4.如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB 是等边三角形，点A 的坐标是(0，4)，点B 在第一象限，点P 是x 轴上的一个动点，连结AP ，并把ΔAOP 绕着点A 按逆时针方向旋转.使边AO 与AB 重合.得到ΔABD.（1）求直线AB 的解析式；（2）当点P 运动到点（3，0）时，求此时DP 的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P ，使ΔOPD 的面积 等于 4 3 ，若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 5如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2. （1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围 . P 图 3 B D 图 2 B 图 1 24.（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分） 如图，已知抛物线2y x bx c =++经过()01A -， 、()43B -，两点. （1）求抛物线的解析式； （2 求tan ABO ∠的值； （3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为点C ，点M 是抛物线上一点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于点N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的坐标. 24.解：（1）将A （0，-1）、B （4，-3）分别代入2 y x bx c =++ 得1, 1643c b c =-?? ++=-? ， ………………………………………………………………（1分） 解，得9 ,12 b c =-=-…………………………………………………………………(1分) 所以抛物线的解析式为29 12 y x x =- -……………………………………………（1分） （2）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为点H ………（1分） 在Rt AOH ?中，OA =1，4 sin sin ,5 AOH OBC ∠=∠=……………………………（1分） ∴4sin 5AH OA AOH =∠= g ，∴322,55 OH BH OB OH ==-=， ………………（1分） 在Rt ABH ?中，4222 tan 5511 AH ABO BH ∠==÷=………………………………（1分） (3)直线AB 的解析式为1 12y x =- -， ……………………………………………（1分） 设点M 的坐标为29(,1)2m m m --，点N 坐标为1 (,1)2 m m -- 那么MN =2 291 (1)(1)422 m m m m m - ----=-； …………………………（1分） ∵M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，∴MN =BC =3 解方程2 4m m -=3 得2m =± ……………………………………………（1分） 解方程2 43m m -+=得1m =或3m =； ………………………………………（1分） 2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0） 近几年安徽省中考数学压轴题分类探析 合肥45中金效奇 数学压轴题是指在一套数学试卷中涉及到的数学知识点较多，结构复杂，题型新颖，解法没有固定模式，难度较大，对同学们的解题技能、技巧有较高的要求且分值较高排在试卷最后面的题。 一般试卷中的压轴题常以综合题的形式出现，常常循序渐进地设计成几道小题目.要顺利解答压轴题，除了基础知识要扎实之外，审题也很关键.搞清题目的类型，理清题目中的知识点，分清条件和结论，注意关键语句找出关键条件，特别要挖掘隐含条件，并尽量根据题意列出相关的数式或画出示意图形，然后分析条件和结论之间的联系，从而找到正确合理的解题途径.将复杂问题分解或转化成较为简单或者熟悉的问题则是解此类题目的一条重要原则。 近几年来，随着中考改革的进行，许多应用型的中考压轴题在不断的涌现，压轴题的类型也在不断的变化，本文力求从中考知识点和数学思想的角度对近几年来安徽省中考数学压轴题进行分类，找出其中的共性，发现其规律，为2010年及以后的中考探明方向。 1、二次函数题仍是“热点” 二次函数作为初中数学的一个难点也是历年来中考的热点，是初中数学与高中数学衔接最紧密的地方。但是近年来由于对二次函数题类型与深度的挖掘，二次函数题的“新”与“深”受到了限制，不过安徽省中考题还有非常美好的一面。 例1、（2004年）某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y(万元)，且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元． (1)求y的解析式； (2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资? 解：(1)由题意，x=1时，y=2；x=2时，y=6．分别代入y=ax2+bx，解得：a=1 、b=1．y=x2+x (2)，设g=33x-100-x2-x，则g=-x2+32x-100=-(x-16)2+156 由于当1≤x≤l 6时，g随x的增大而增大．且当x=1，2，3时，g的值均小于O，当x=4时，g=-122+156>0，可知投产后该企业在第4年就能收回投资。 此题作为压轴题，关键考查学生对应用题的审题能力，当年,这个题的错误率相当高，因为大家对“费用累计”这个概念不清楚，把x=2时，y=4代入，从而导致结果错误。 例2、（2007年）按右下图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就 输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。 （1）、若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k (a>0)将数据进行变换，请写出一个满 【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。】 2019年各省市中考数学压轴题合辑（五） 1．（2019?长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标； （2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =； ②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a = ，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE -的值． 2．（2019?长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤， 求m ，n 的值． 3．（2019?长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． （1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)． ①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题） ③两个大小不同的正方形相似．(命题） （2）如图1，在四边形ABCD和四边形 1111 A B C D中， 111 ABC A B C ∠=∠， 111 BCD B C D ∠=∠，111111 AB BC CD A B B C C D ==．求证：四边形ABCD与四边形 1111 A B C D相似． （3）如图2，四边形ABCD中，// AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作// EF AB分 别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为 1 S，四边形EFCD的面积为 2 S，若 四边形ABFE与四边形EFCD相似，求2 1 S S 的值． 中考数学压轴题解题技巧 竹溪城关中学明道银 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第24题和25题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第24题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定 义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。 中考数学压轴题分析及解题策略 山西吕梁市离石区英杰中学孙尔敏 一形式往往由三到四个小题组成，第一小题为基础题、比较简单，第二小题中上，第三小题更难，第四小题最难。 二特征在初中主干知识的交汇处命题，涉及的知识点多，覆盖面广；条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，方法灵活，渗透了重要的思想方法， 体现了较高的思维能力。学生最主要的原因是学生在解题过程中出 现了思维困惑后，不能抓住问题的本质特征去寻找合理的突破口， 压轴题对思维能力的考查要求很高。 三背景所有的压轴题都是存在于运动背景，具体可分为 （1）点的运动：涉及到一个点或两个点同时运动 （2）平移：直线平移，抛物线的平移，图形的平移 （3）旋转、轴对称（翻折） （4）图形的折叠（全等） 四主要数学思想 （1）函数与方程思想 （2）分类讨论思想 五解题策略 （1）遇到一个无从下手的数学问题，在不选择放弃的情况下，怎么办？ A 反复阅读问题，从所给已知条件中寻找可以尝试下去的“蛛丝马迹”。 B 回忆有没有做过类似的题目，或考虑比它简单、特殊的情况。 C 试试能否用上一些典型的方法；凭感觉写写关系式、画画图像、列出图 表，说不定会有好运气。 （2）探究问题时遇到“拦路虎”，或走进了“死胡同”，怎么办？ A 重新阅读原题，看看有没有漏用或用错的条件。 B 解题路子或使用的方法可能“误入歧途”尝试换一种思路进行下去。 C 这可能是本题的难点，正常的思路一般难以奏效，要“往外想”、“反 着想”，这叫“正难则反”。 （3）探究过程中出现错误，或三番五次尝试，总是找不出正确的解答，心情往往会很急躁，甚至感到很沮丧，如何调整你的心态？ A 特别是在考试中，越想使自己冷静下来往往心情越是烦躁，索性“跳 出来”，先不管它，回头重新来一遍。 B 重新细细读题,检查涉及到的公式、定理以及解题方法是否用得对，在 这个过程中心情也就慢慢平静下来了,然后接着原思路或者换个角度往下摸索。 ※※※关键结论：无论是对问题无从下手，还是遇到挫折、出现错误时，一定选择重复仔细阅读 ．．．．．．问题，这是一种典型、很有价值、而又简单易行的自我监控方式。要注意实战运用。 ※※解题策略提示： 1、已知条件能推出什么？ 2、有什么特点？ 3、属于什么题型？ 4、要证（求）……只要证（求）……? 5、解决此类问题的一般方法有哪些？ 中考数学冲刺复习资料:二次函数压轴题 1、（本题满分10分） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－ 3 2x 2 +b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2 -x 1=5． （1）求b 、c 的值；（4分） （2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对 角线的菱形；（3分） （3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 2、如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴的负半轴上，边OC 在y 轴的正半轴上，且1AB =，3OB = ABOC 绕点O 按顺时针 方向旋转60后得到矩形EFOD ．点A 的对应点为点E ，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D ，抛物线2 y ax bx c =++过点 A E D ，，． （1）判断点E 是否在y 轴上，并说明理由； （2）求抛物线的函数表达式； （3）在x 轴的上方是否存在点P ，点Q ，使以点O B P Q ，，，为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC 面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P ，点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． y O 第26题图 D E C F A B （第25题图） A x y B C O 3、如图16，在平面直角坐标系中，直线33y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2 23 (0)y ax x c a =- +≠经过A B C ，，三点． （1）求过A B C ，，三点抛物线的解析式并求出顶点F 的坐标； （2）在抛物线上是否存在点P ，使ABP △为直角三角形，若存在，直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线AC 上是否存在一点M ，使得MBF △的周长最小，若存在，求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、如图14，已知半径为1的1O 与x 轴交于A B ，两点，OM 为 1O 的切线，切点为M ，圆心1O 的坐标为(20)，，二次函数2y x bx c =-++的图象经 过A B ，两点． （1）求二次函数的解析式； （2）求切线OM 的函数解析式； （3）线段OM 上是否存在一点P ，使得以P O A ，，为顶点的三角形与1OO M △相似．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 5、ABC △中，90C ∠=，60A ∠=，2AC =cm ．长为1cm 的线段MN 在ABC △的边AB 上沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 运动（运动前点M 与点A 重合）．过M N ，分别作AB 的垂线交直角边于P Q ，两点，线段MN 运动的时间为t s ． （1）若AMP △的面积为y ，写出y 与t 的函数关系式（写出自变量t 的取值范围）； （2）线段MN 运动过程中，四边形MNQP 有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t 的值；若不可能，说明理由； （3）t 为何值时，以C P Q ，，为顶点的三角形与ABC △相似？ 图14 y x O A B M O 1 A O x y B F C中考数学压轴题专题
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