垂径定理说课稿9篇
一．教学任务及对象分析：
1.教材分析：
本节是鲁教版九年级下册第五章第三节的内容，研究的是圆的一个重
要定理———垂径定理，它探究的是垂直于弦的直径与弦以及弦所对的两
条弧之间的关系，是以后在证明圆中线段相等，角相等，弧相等，以及直
径与弦垂直有关问题的重要依据，也是在圆中进行有关计算的重要依据，
所以本节课的内容在本章的学习中有着举足轻重的作用。
2.学生情况分析：
学生已经学过轴对称的有关知识，有能力通过轴对称来探索垂径定理；学生也学过全等三角形以及等腰三角形的有关知识，所以容易将垂径定理
的推理过程表达清楚。并且在平时的学习过程中，学生已经掌握探究图形
性质的手段和方法，具备几何定理的分析，探索和证明的能力。
二．教学目标分析：
1.知识与技能：探索并证明垂径定理；会运用垂径定理进行有关证明
和计算
2.过程与方法：学生通过动手操作，认真观察，培养学生分析问题和
解决问题的能力；通过垂径定理的探索和证明发展学生的推理能力。
3.情感态度与价值观：在教学过程中，培养学生的合作精神，严谨的
学习态度，并对学生进行爱国教育，增强民族自豪感。
三．教学重难点分析：
教学重点：垂径定理以及推论的探索与证明，利用垂径定理以及推论解决有关问题。
教学难点：证明垂径定理与推论的推理过程。
四．教学策略：直观演示，引导发现，合作学习
五．教学设计：
第一环节：情境导入，激疑引趣：
出示赵州桥图片：
它的桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，求桥拱所在圆的半径？
学生活动：思考1分钟，小组成员交流一下经验。
教师活动：学习完本节课的内容，这个问题就很容易解决。
设计意图：1.对学生进行传统文化教育，产生民族自豪感。
第二环节：尝试诱导，发现定理：
1.定理的引出：
教师活动：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M
（1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
拿出你做好的纸片，折一折，你会有什么发现？
学生活动：小组活动，折叠手中的纸片，观察图中的等量关系。
设计意图：学生通过亲自动手操作，直观的得出结论，便于理解。
教师活动：同学们根据刚才的发现，将下面这句话补充完整：
_________弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。
学生活动：思考一分钟，找学生回答。
教师活动：这就是圆的一个重要性质-------垂径定理，请同学们理
解这一定理，并回答以下问题：
1．把这一定理改写成“如果……，那么……”的形式，应怎样表述？
2．条件中的弦，可以是直径吗？
3．结论中的“平分弧”是指哪条弧？
4．你能用数学语言来描述垂径定理吗？
学生活动：先独立思考3分钟，再在小组中交流，最后在班级展示。
设计意图：目的是提高学生的数学理解能力。
教师活动：垂径定理也能够运用数学推理进行证明，请同学们对照上图，写出“已知，求证”并进行证明。
学生活动：在导学案上完成上题。
教师活动：请同学们阅读课本第14页定理的证明部分，对照你的证
明过程，看方法是否相同，你的证明过程是否合理？有什么不足？
学生活动：对照课本，研究自己的解题过程存在的不足，然后小组合作，互帮互助，解决疑难。
2.推论的引出：
教师活动：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），作一条平分AB
的直径CD，交AB于点M，回答下列问题：
1.此图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
2.在上图中，你能发现哪些等量关系，和位置关系？说一说理由。
预设：学生可以通过折叠来发现，也可以用数学推理来证明，只要合理，都可以。
3.题目中，为什么要强调“AB不是直径”，若AB是直径不能得出第1,2题的结论吗？请画图分析。
学生活动：引导学生画出下图，分析“AB不是直径”的原因。
4.同学们能试着将以上的发现用语言描述出来吗？
学生活动：先思考一分钟，然后找学生在班级进行展示。
设计意图：培养学生的观察能力，数学理解能力以及严谨的学习态度。
第三环节：例题示范，变式练习
教师活动：请同学们阅读课本例题，并且回答在解题过程中使用了哪
些解题方法？
学生活动：看例题，总结题目中用到的解题方法，组内交流。
设计意图：培养学生的自学能力，观察能力，引出在垂径定理的应用中，经常会使用列方程的方法。
变式练习教师活动：1.你还记得我们提出的赵州桥有关的问题，试一试，你是否可以解决了？
学生活动：在导学案上完成此问题。
设计意图：让学生体会将数学运用于生活的喜悦，呼应上课开始提出
的问题。
2.如图，已知⊙O的半径为30mm，弦AB=36mm，求点O到AB的距离
及∠OAB的余弦值。
4.如图，两个圆都以O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条
直线上，你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？
设计意图：对垂径定理的基本应用，培养学生的数学运用
拓展提高：如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹得两条弧相
等吗？为什么？
设计意图：为学有余力的学生准备的题目，感受分类讨论的数学思想。课堂反馈：
1.谈体会：通过本节课的学习，你有什么收获？还有哪些疑惑？
2.小测验：已知AB是圆O的弦，半径OA=20cm,∠AOB=120°，求
△AOB的面积
布置作业：
必做题：课本第16页习题5.4第1题
选做题：根据垂径定理的内容，交换条件和结论的位置，你还能写出
几个正确的命题吗？
板书设计：
垂径定理
1._________弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧。
∵CD为直径，CD⊥AB
∴AM=BM,弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
2.平分弦（不是直径）的直径____于弦，并且平分弦所对的
_________。
自我评价：
在教学方法与教材处理方面,根据现在的教材特点,教学内容以及在新课标理念的指导下,最后决定让学生在课堂上多动手、多观察、多交流，最后得出定理，这个方法符合新课程理念观点，也符合教师的主导作用与学生的主体地位相统一的原则。同时，在教学中，我充分利用多媒体，提高教学效率.在实验，演示，操作，观察，练习等师生的共同活动中启发学生，培养学生直觉思维能力,结合学生实际情况作适当的拓广。
本节课的不足我认为还是时间设计不太合理，时间紧，任务重，整节课感觉没有喘息的机会，学生过于疲劳，所以在以后的教学中，在时间搭配上多下功夫，争取使学生在轻松愉快的氛围中接受知识。
垂直于弦的直径（第一课时）教案
教学目标：
1、知识目标：通过实验观察，让学生理解圆的轴对称性；
掌握垂径定理，理解其探索和证明过程；
能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。
2、能力目标：在研究过程中，进一步体验“实验—归纳—猜想—证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同
的角度去分析解决。
3、情感目标：通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发
学生对数学的热爱。
教学重点：使学生掌握垂径定理、记住垂径定理的题设和结论。
教学难点：对垂径定理的探索和证明，在解决问题时想到用垂径定理。
教学用具：圆规，三角尺，PPT课件
教学过程：
一、复习引入
1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）
2、实验：探究圆的轴对称性。如图（1），若将⊙O沿直径AB
对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片
亲自实验，教师引导学生努力发现：
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）
都是它的对称轴。
3、引入新知：如图（2），左图中AB是⊙O的弦，直径CD与弦AB
相交，那么沿直径CD所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，
AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB,垂足为E。此时再沿直径CD所在直线折叠，
图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位
置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。
二、新课
（一）猜想，证明，形成垂径定理
1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？
2、猜想：可能出现的位置关系是：
线段AE和线段BE重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重合。可能出现的数量关系是：
3、证明：
利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE与线段BD相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。板书：
4、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述，板书：
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
（二）分析垂径定理的条件和结论
1、再次明确垂径定理的条件和结论加深学生的印象。
2、利用反例、变式图形对定理进一步引申，揭示定理的本质属性，以加深学生对定理本质的了解。
练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？
3、引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段。
（三）例题
例1已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，
圆心O到AB的距离为3cm。
求：⊙O的半径。
变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离
为3cm，⊙O的半径为5cm。
求：弦AB的长为多少？
总结：在圆有关的问题时，常常构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理相结合的方法来解决。
例2已知：如图（4），在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点.
求证:AC=BD.
（思路：垂径定理，全等三角形，等腰三角形）
变式（2）：再添一个同心圆，如图（5），则
ACBD。
变式（3）：隐去图（4）中的大圆，得图（6），连接
OA，OB，设OA=OB，
求证：AC＝BD。
变式（4）：隐去图（4）中的小圆，得图（7），连接
OC，OD，设OC=OD，
求证：AC＝BD。
总结：在解与圆有关的证明题中，常做的辅助线是过圆心做弦的垂线段。遇到题目有一题多解的情况时，鼓励学生善于用最简单的方法解决，同时提醒学生注意解题的方法的归纳总结，做到举一反三，触类旁通。
三、小结
1、这节课我们学习了哪些主要内容？
2、应用垂径定理要注意那些问题？
垂径定理的条件和结论：
①经过圆心得到①平分弦
一条直线具有：②平分弦所对的劣弧
②垂直于弦③平分弦所对的优弧
3、思考：若将条件中的②与结论中的①互换，命题成立吗？
四、作业
1、整理垂径定理的证明过程。
2、变式（1）到变式（4）整理解题过程。
3、课本P82，练习2.
垂径定理（第一课时）教学设计
兰甲明
【教学内容】§7．3垂径定理（初三《几何》课本P76~P78）
【教学目标】
1．知识目标：①通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；
②掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；
③掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段。
2．能力目标：①通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和
归纳概括能力；
②向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。
3．情感目标：①结合本课教学特点，向学生进行爱国主义教育和美
育渗透；
②激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
【教学重点】垂径定理及其应用。
【教学难点】垂径定理的证明。
【教学方法】探究发现法。
【教具准备】自制的教具、自制课件、实物投影仪、电脑、三角板、
圆规。
【教学设计】
一、实例导入，激疑引趣
1．实例：同学们都学过《中国石拱桥》这篇课文（初二语文第三册
第一课·茅以升），其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥（如图）。因它位于现在的历史文化名城河北省赵县（古称赵州）而得名，是世界上
现存最早、保存最好的巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为
“华北四宝之一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我
国古代劳动人民的创造智慧。
2．导入：赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图1），它的跨度（弧所对
的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，
也叫弓高）为7.2米。请问：桥拱的
半径（即AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。（图1）
二、尝试诱导，发现定理
1．复习过渡：
①如图2(a)，弦AB将⊙O分成几部分？各部分的名称是什么？
②如图2(b)，将弦AB变成直径，⊙O被分成的两部分各叫什么？
③在图2(b)中，若将⊙O沿直径AB对折，两部分是否重合？
(a)(b)(a)(b)(c)
（图2）（图3）
2．实验验证：
让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折，观察两部分是否重合；教师用电脑演示重叠的过程。从而得到圆的一条基本性质——
圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是
它的对称轴。
3．运动变换：
①如图3(a)，AB、CD是⊙O的两条直径，图中有哪些相等的线段和
相等的弧？
②如图3(b)，当AB⊥CD时，图中又有哪些相等的线段和相等的弧？
③如图3(c)，当AB向下平移，变成非直径的弦时，图中还有哪些相
等的线段和相等的弧？此外，还有其他的相等关系吗？
4．提出猜想：根据以上的研究和图3(c)，我们可以大胆提出这样的
猜想——
（板书）
5．验证猜想：教师用电脑课件演示图3(c)中沿直径CD对折，这条
特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直
于弦的直径。
三、引导探究，证明定理
1．引导证明：
猜想是否正确，还有待于证明。引导学生从以下两方面寻找证明思路。
①证明“AE=BE”，可通过连结OA、OB来实现，利用等腰三角形性质
证明。
②证明“弧相等”，就是要证明它们“能够完全重合”，可利用圆的
对称性证明。
2．归纳定理：
根据上面的证明，请学生自己用文字语文进行归纳，并将其命名为“垂径定理”。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。3．巩固定理：
在下列图形（如图4(a)~(d)）中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的弦，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。
(a)AB⊥CD于E(b)E是AB中点(c)OC⊥AB于E(d)OE⊥AB于E
（图4）
向学生强调：(1)定理中的两个条件缺一不可；(2)定理的变式图形。
四、例题示范，变式练习
1．运用定理进行计算。
〖例1〗如图5，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。
分析：因为已知“圆心O到AB的距离为3cm”，所以要作
辅助线OE⊥A B；因为要求半径，所以还要连结OA。
解：（略）学生口述，教师板书。（图5）
〖变式一〗在图5中，若⊙O的半径为10cm，OE=6cm，则AB=
思考一：若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d，
则R、a、d三者之间的关系式是
〖变式二〗如图6，在⊙O中，半径OC⊥AB，垂足为E，
若CE=2cm，AB=8cm，则⊙O的半径=（图6）
思考二：你能解决本课一开始提出的问题吗？（由学生口述方法）
2．运用定理进行证明
〖例2〗已知：如图7，在以O为圆心的两个同心圆中，
大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC＝BD。（图7）
分析：①证明两条线段相等，最常用的方法是什么？用这种方法怎样
证明？
（证明△OAC≌△OBD或证明△OAD≌△OBC）
②此外，还有更简捷的证明方法吗？若有，又怎样证明？（垂径定理）
证法一：连结OA、OB、OC、OD，用“三角形全等”证明。
证法二：过点O作OE⊥AB于E，用“垂径定理”证明。（详见课本
P77例2）
注1：通过两种证明方法的比较，选择最优证法。
注2：辅助线“过圆心作弦的垂线段”是第二种证法的关键，也是常
用辅助线。
思考：在图7中，若AC=2，AB=10，则圆环的面积是
〖变式一〗若将图7中的大圆隐去，还需什么条件，
才能保证AC=BD？
〖变式二〗若将图7中的小圆隐去，还需什么条件，
才能保证AC=BD？
〖变式三〗将图7变成图8（三个同心圆），你可以
证明哪些线段相等？（图8）
〖例3〗（选讲）如图9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
AC＝3，BC＝，以C为圆心、CA长为半径画弧，交
斜边AB于D，求AD的长。（答案：2）
略解：过点C作CE⊥AB于E，先用勾股定理求得（图9）
AB=9，再用面积法求得CE=，最后用勾股定理求得AE=1，由垂径定理得AD=2。
五、师生小结，纳入系统
1．定理的三种基本图形——如图10、11、12。
2．计算中三个量的关系——如图13，。
3．证明中常用的辅助线——过圆心作弦的垂线段。
（图10）（图11）（图12）（图13）
六、达标检测，反馈效果
1．（课本P78练习第1题）如图14，在⊙O的半径为50mm，弦
AB=50mm，则点O到AB的距离为，∠AOB＝度。
2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，
使它以点A为中点（如图15）。
3．课本P78练习第2题。（图14）（图15）
课堂练习
姓名得分
1．如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则点O到AB的距离为，
∠AOB＝度。
（第1题）（第2题）
2．作图题：经过已知⊙O内的已知点A作弦，使它以点A为中点
（如图）。
要求：保留作图痕迹，但不必写作法。
3．已知：如图，在⊙O中，AB、AC是两条互相垂直且相等的弦，
OD⊥AB，
OE⊥AC，垂足分别为D、E。
求证：四边形ADOE是正方形。
（第3题）
“垂径定理”与解题思路分析
垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内
线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：
一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础
同学们在就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的
两个半圆就会重合在一起。因此，首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆
心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并
利用圆的对称性证明。所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。
在垂径定理（推论）中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下
性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对
的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。垂径定理可以简记为：
由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，
这就需要掌握构造逆命题的技巧。例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：
如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦（不是直径），那么这条直线
垂直于弦，且平分弦所对的弧。类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何
两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都
是垂径定理的推论。
垂径定理连同推论在内共十条定理。对于这十条定理，同学们切不可
死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质
中的任何两性质，就有其余三条性质（具有性质(1)、(3)时，所说的弦不
是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，
但它们未必垂直）。
三.灵活应用垂径定理及其推论解题
垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。现举例说明。
1、利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角
例1.已知如图1，△ABC内接于⊙O，BD⊥AO交AC于D，求证：AB·BC=BD·AC。
图1
思路分析：欲证AB·BC=BD·AC
即证，
需证△BAD∽△CAB，已有公共角∠BAD=∠BAC，还需证圆周角
∠ABD=∠C，则需证明，
显然延长BD交△ABC的外接圆于E，运用垂径垂直平分弦所对的弧即可得证。
2、利用垂径垂直平分弦，构成等分线段
例2.如图2，AB是⊙O的直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE=DF。
思路分析：过O作OH⊥CD，即得证。图2
例3.已知如图3，AB是⊙O的直径，弦CD在AB一侧，CE⊥CD于E，DF⊥CD于F。
求证：AE=BF。
思路分析：此题是圆和直角梯形，且点O是AB的中点，由此联想梯形基本辅助线，
3、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形
例4.如图4，半径为10cm的⊙O中，弦AB⊥CD于E，AB=CD=16cm，求OE的长。
思路分析：把OE放到三角形或特殊四边形才有利于计算。
故作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，图4
EGOF为正方形，得OE。
4、利用垂径垂直弦，构造特殊三角形
例5.如图5，⊙O的弦AB>CD，AB、CD的弦心距分别为OM和ON，
求证：OMCD，则，
又OA=OC，从而OM
垂径定理教学反思
垂径定理的推证是以圆是轴对称图形的性质为依据的，因此，垂径定理既是圆的性质---轴对称性质的重要体现，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据。本节内容是本章基础，是圆的有关计算和圆的有关证明的一个重要工具。
根据九年级学生的认知水平，我选用引导发现法和直观演示法，让学生在课堂上多活动、多观察，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验---观察---猜想---证明”的活动，最后得出定理。这不仅让学生对所学内容留下了深刻的印象，而且充分地调动学生学习的热情，让学生学会学习，学会研究问题的方法，培养学生的能力。
数学人教版九年级上册垂径定理的练习 第一篇：数学人教版九年级上册垂径定理的练习 《垂直于弦的直径》同步试题 一、选择题 1．下列命题中，正确的是（）．A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心考查目的：考查对垂径定理及其推论的理解 2．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）． A．4 B．6 C．7 D．8 考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．3．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ． 考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．5．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则
OM的长为 ． 考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算． 6．如图，⊙O的直径AB平分弦CD，垂足为E，若∠COD＝120°，OE＝3厘米，则CD＝ 厘米． 考查目的：考查垂径定理推论的应用，利用推论进行相关计算． 三、解答题 7．如图是一个隧道的截面，如果路面在圆的半径的长． 宽为8米，净高 为8米，求这个隧道所 考查目的：考查垂径定理在实际问题中的应用，考察方程思想． 8．已知⊙O的半径长为R=5，弦AB 与弦CD平行，AB=6，CD=8，求AB，CD间的距离． 考查目的：考查垂径定理的应用，利用垂径定理进行相关计算．分类讨论思想． 第二篇：九年级数学垂径定理 24．1．2 垂直于弦的直径 【教学目标】 1:探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 3:使学生领会数学的2:能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．【自主探究】 活动1：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 活动2：按下面的步骤做一做： 第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合； 第二步，得到一条折痕CD；
《垂径定理》说课稿 各位老师: 大家好！今天我说课的内容是：冀教版九年级数学上册第28章第4节《垂径定理》。下面，我从教材分析、学情分析、教学设计、教学过程、板书设计、教学评价六个方面来阐述我对这节课设计、安排。 一、教材分析 ●教材的地位和作用 本节教材是在学生学习了圆的有关性质之后对垂直于弦的直径和这条弦的关系的进一步学习,垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化,也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是进行圆的计算和证明的一个重要工具。所以它在教材中处于非常重要的位置。因此，这节课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。 ●教学重点：1、掌握垂径定理内容 2、会用垂径定理进行计算或简单的证明. ●教学难点:1、区分垂径定理的题设和结论。 2、应用垂径定理进行计算或简单的证明。 二、学情分析 教学对象是九年级学生，学生素质参差不齐；根据九年级学生的心理特点(追求效率、喜欢精简、喜欢快节奏）和已有的知识基础(已学过轴对称、中心对称、圆的基本概念），因此，在教学中采取的是从折纸开始,引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己在某一种环境下不知不觉中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门,进入新知识的领域,从不同角度去分析、解决新问题，通过探索发现、夯实基础、更上一层楼和解决问题等环节发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力的目的。 三、教材分析 ●知识目标：1、使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴. 2、掌握垂径定理； 3、学会运用垂径定理解决有关的证明、计算问题。 ●拓展知识目标能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系，解决有关问题。 ●能力目标:培养学生观察问题能力、分析问题能力及联想、解决问题能力. ●情感目标: 1、培养学生善于观察、勤于动手、乐于研究问题的习惯，激发学生的学习兴趣. 2、通过赵州桥等例子,让学生领略古代能工巧匠的智慧。从而激发学生爱国热情，为实现伟大的中国梦而 努力学习.
垂径定理及其推论的说课稿 垂径定理及其推论的说课稿1 各位专家、评委： 你们好！很高兴能有机会参加这次活动，并得到您的指导。 我说课的题目是：圆的轴对称性——垂径定理及其推论。它是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册第二十四章第一节的第二部分《垂直于弦的直径》的内容。 这部分内容教材安排了两课时，其中第一课时讲圆的轴对称性，第二课时讲圆的旋转不变性。 结合我对教材的理解和我所任教班级学生的实际情况，我将圆的轴对称性一课时内容调整为两课时，今天我所讲的是第一课时——垂径定理及其推论。 下面，我就从教学内容，教学目标、教学方法与手段、教学过程设计等四个方面进行说明。 一、教学内容的说明 教师只有对教材有较为准确、深刻、本质的理解，并从“假如我是学生”的角度审视学生的可接受性，才能处理好教材。 垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是证明线段相等、弧相等、垂直关系的重要依据，为进行圆的计算和作图提供了重要依据，因此这部分内容是学习的重点，垂径定理及其推论的题设和结论较为复杂，容易混淆，因此也是学习的难点。 鉴于这种理解，通览教材，我确定出如下教学内容： (1)了解圆的轴对称性。 (2) 弄清垂径定理及其推论的题设和结论。(3)运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明。 (4)学会与垂径定理有关的添加辅助线的方法。 教学重点：垂径定理及其推论 教学难点：垂径定理的证明方法，其中圆的轴对称性是理解垂径定理的关键。
二、教学目标的确立 根据本课的具体内容、学生的实际情况，我确立了如下的教学目标： 1、通过直观演示了解圆的轴对称性。 2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。 3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。 三、教学方法与手段的选择 在教学方法方面:本节课主要采用了教师启发引导下的学生自主探究、小组合作学习以及分层教学、分层评价的方法。 在教学过程中，遵循“实验－观察－猜想－证明－讨论－总结－应用”这一思路，使学生由感性认识上升到理性认识，再到实际应用。遵循“阶梯式发展”原则，引导学生在独立分析、认真思考的基础上，以小组讨论等形式合作探究，进而解决问题、掌握方法。同时，考虑到不同层次学生的学习需要，在所提问题、例题、习题的设置上，均力争使每名学生都有所得。 在教学手段方面：我采用教（学）具直观演示与计算机辅助教学，以提高课堂教学效率。 四、教学过程的设计 1、坚持一条原则：学生是主体，教师是教学过程的组织者、引导者、合作者。 2、围绕一个目的：落实教学目标 3、突出一个特点：通过“实验－观察－猜想－证明－应用”帮助学生实现由感性认识到理性认识的过渡 4、采用一种手段：借助教具的直观性和计算机辅助教学，启发引导学生发现定理，从而抽象概括出定理 5、收到一个效果：使学生通过本节课的学习，能够理解定理的内涵，学会运用定理解决问题。同时使学习知识、培养能力和优化思维品质融为一体。
数学九年级下册教案(通用7篇) 数学九年级下册教案篇1 教学目标： 1、理解的概念; 2、掌握定理及推论，并会运用它们解决有关问题; 3、进一步理解化归和分类讨论的数学思想方法以及完全归纳的证明方法. 教学重点：定理及其应用是重点. 教学难点：定理的证明是难点. 教学活动设计： 一创设情境，以旧探新 1、复习：什么样的角是圆周角? 2、概念： 电脑显示：圆周角∠CAB，让射线AC绕点A旋转，产生无数个圆周角，当AC绕点A 旋转至与圆相切时，得∠BAE. 引导学生共同观察、分析∠BAE的特点： 1顶点在圆周上; 2一边与圆相交; 3一边与圆相切. 的定义： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做。 3、用反例图形剖析定义，揭示概念本质属性：
判断下列各图形中的角是不是，并说明理由： 以下各图中的角都不是. 图1中，缺少“顶点在圆上”的条件; 图2中，缺少“一边和圆相交”的条件; 图3中，缺少“一边和圆相切”的条件; 图4中，缺少“顶点在圆上”和“一边和圆相切”两个条件. 通过以上分析，使全体学生明确：定义中的三个条件缺一不可。 二观察、猜想 1、观察：电脑动画，使C点变动 观察∠P与∠BAC的关系. 2、猜想：∠P=∠BAC 三类比联想、论证 1、首先让学生回忆联想： 1圆周角定理的证明采用了什么方法? 2既然可由圆周角演变而来，那么上述猜想是否可用类似的方法来证明呢? 2、分类：教师引导学生观察图形，当固定切线，让过切点的弦运动，可发现一个圆的有无数个. 如图.由此发现，可分为三类： 1圆心在角的外部; 2圆心在角的一边上;
3圆心在角的内部. 3、迁移圆周角定理的证明方法 先证明了特殊情况，在考虑圆心在的外部和内部两种情况. 组织学生讨论：怎样将一般情况的证明转化为特殊情况. 如图 1，圆心O在∠CAB外，作⊙O的直径AQ，连结PQ，则∠BAC=∠BAQ-∠l=∠APQ-∠2=∠APC. 如图 2，圆心O在∠CAB内，作⊙O的直径AQ.连结PQ，则∠BAC=∠QAB十∠1=∠QPA十∠2=∠APC， 在此基础上，给出证明，写出完整的证明过程 回顾证明方法：将情形图都化归至情形图1，利用角的合成、对三种情况进行完全归纳、从而证明了上述猜想是正确的，得： 定理：等于它所夹的弧对的圆周角. 4.深化结论. 练习1 直线AB和圆相切于点P，PC，PD为弦，指出图中所有的以及它们所夹的弧. 练习2 如图，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O 的弦，若=，那么∠DAB和∠EAC 是否相等?为什么? 分析：由于和分别是两个∠OAB和∠EAC所夹的弧.而 = .连结B，C，易证∠B=∠C.于是得到∠DAB=∠EAC. 由此得出： 推论：若两所夹的弧相等，则这两个也相等.
人教版九年级上册数学教案5篇 人教版九年级上册数学教案篇1 二次根式的乘除法 教学目标 1、使学生掌握二次根式的除法运算法则，会用它进行简单的二次根式的除法运算。 2、使学生了解两个二次根式的商仍然是一个二次根式或有理式。 3、使学生会将分母中含有一个二次根式的式子进行分母有理化。 4、经历探索二次根式的除法运算法则过程，培养学生的探究精神和合作交流的习惯。 教学过程 一、创设问题情境 问题l 上一节课，我们采取什么方法来研究二次根式的乘法法则? 问题2 是否也有二次根式的除法法则呢? 问题2 两个二次根式相除，怎样进行呢? 二、加强合作，探索规律 让抽象的问题具体化，这是我们研究抽象问题的一个重要方法、请同学们参考二次根式的乘法法则的研究，分组讨论两个二次根式相除，会有什么结论，并提出你的见解，然后其他小组同学补充，归纳为： 提问：
1、a和b有没有限制?如果有限制，其取值范围是什么? 2、= (a≥0，b0)成立吗?为什么?请举例。 三、范例 例1、计算。 教学要求：(1)对于(1)可由教师解答示范;(2)对于(2)可由学生自己计算。 提问： 1、除了课本中的解答外，是否还有其他解法?如果有，请给出另外解法。 2、哪种方法更简便? 例2、化简：(要求分母不带根号) 说明：二次根式的化简要求满足以下两条： (1)被开方数的因数是整数，因式是整式，也就是说“被开方数不含分母”。 (2)被开方数中不含能开得尽的因数或因式，也就是说“被开方数的每一个因数或因式的指数都小于2”。 把一个二次根式化简的具体方法是：化去根号下的分母;并把被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面。 四、做一做 化简： 教学要点：(1)叫两位同学板演，其他同学做完练习进行评价、(2)可用提问的方式引导学生探索其他解法。 五、课堂练习
课题:24.1圆的性质说课稿 赵俊 教材分析 1.内容出处：新人教版实验教材九年级上第24章第一单元。 2.地位与作用：圆是一种让我们感觉到既熟悉而又神秘的曲线型几何图形。《圆》这一章知识本身具有一定的高度和难度，是学生对所学几何知识的再一次综合与提升；是学生丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念的保证，而对“圆的性质”的学习，是学生学好《圆》有关知识的前提基础。 复习目标： 1.使学生理解圆及其有关概念，圆的性质； 2.使学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3.使学生理解圆的对称性（轴对称和中心对称）； 复习重点 1.垂径定理及推论； 2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系； 3.圆周角的定理及其推论； 4.与性质相关的计算 复习难点 1.垂径定理及推论； 2.圆心角与圆周角之间的关系以及圆周角的相关性质； 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 4.与性质相关的综合计算 目标分析 新课程标准的总体目标，即：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观三位一体的目标，它们对人的成长、素养的形成与发展都具有十分重要的作用。过程与方法和情感、态度与价值观的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习培养必须要以有利于其他目标的实现为前提。 （一）知识与技能目标 1、通过手脑结合，充分掌握圆的性质； 2、通过习题回顾，试学生掌握垂径定理及推论的应用；掌握圆心角、弧、弦、弦心距的关系；理解圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质定理； 3、拓展思维，与实践相结合，运用所学定理进行有关的计算和证明。 （二）过程与方法目标 1.通过课前延伸，使学生对过去所学知识有一个教全面的回顾； 2.通过自主学习，巩固与圆有关的基本技能； 3.通过合作探究培养学生的合作意识，拓展学生的思维， （三）情感体验与价值观的要求 通过教师的精心设计和引导，使学生在学习中合作，在合作中学习，让学生充分感受到团结的力量，培养学生实事求是的科学态度和积极参与、助人为乐的精神，同时使学生领会数学的严谨性和积极探索的精神。
垂径定理说课稿9篇 一．教学任务及对象分析： 1.教材分析： 本节是鲁教版九年级下册第五章第三节的内容，研究的是圆的一个重 要定理———垂径定理，它探究的是垂直于弦的直径与弦以及弦所对的两 条弧之间的关系，是以后在证明圆中线段相等，角相等，弧相等，以及直 径与弦垂直有关问题的重要依据，也是在圆中进行有关计算的重要依据， 所以本节课的内容在本章的学习中有着举足轻重的作用。 2.学生情况分析： 学生已经学过轴对称的有关知识，有能力通过轴对称来探索垂径定理；学生也学过全等三角形以及等腰三角形的有关知识，所以容易将垂径定理 的推理过程表达清楚。并且在平时的学习过程中，学生已经掌握探究图形 性质的手段和方法，具备几何定理的分析，探索和证明的能力。 二．教学目标分析： 1.知识与技能：探索并证明垂径定理；会运用垂径定理进行有关证明 和计算 2.过程与方法：学生通过动手操作，认真观察，培养学生分析问题和 解决问题的能力；通过垂径定理的探索和证明发展学生的推理能力。 3.情感态度与价值观：在教学过程中，培养学生的合作精神，严谨的 学习态度，并对学生进行爱国教育，增强民族自豪感。 三．教学重难点分析：
教学重点：垂径定理以及推论的探索与证明，利用垂径定理以及推论解决有关问题。 教学难点：证明垂径定理与推论的推理过程。 四．教学策略：直观演示，引导发现，合作学习 五．教学设计： 第一环节：情境导入，激疑引趣： 出示赵州桥图片： 它的桥拱是圆弧形，它的跨度为37.4m，拱高为7.2m，求桥拱所在圆的半径？ 学生活动：思考1分钟，小组成员交流一下经验。 教师活动：学习完本节课的内容，这个问题就很容易解决。 设计意图：1.对学生进行传统文化教育，产生民族自豪感。 第二环节：尝试诱导，发现定理： 1.定理的引出： 教师活动：AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M （1）此图是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 拿出你做好的纸片，折一折，你会有什么发现？ 学生活动：小组活动，折叠手中的纸片，观察图中的等量关系。
《圆的基本性质复习》说课稿 各位老师： 大家好！首先非常感谢各位老师的到来。首先要感谢初三备课组所有数学老师的帮助，让我拓宽了视野，同事也认识到了自身努力的方向，在开课准备的过程中是我不断成长的过程。 下面我将谈谈我对这课堂的设计感想： 一、教材分析 圆的基本性质是这一章的重要内容，也是本章的基础。圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系和垂径定理及其推论是圆的旋转不变性和轴对称性的具体化，是证明圆内线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，垂径定理及其推论同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值。 二、目标分析 知识与技能：进一步理解圆的有关概念，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，掌握垂径定理及其推论,能够灵活运用圆的有关性质解决问题。 过程和方法：在自主探究中，培养观察、分析、比较、归纳概括的能力，感悟数学思想方法。情感态度与价值观：通过合作学习，培养团结合作精神，体验成功的乐趣。 三、教法和学法 根据教学内容的特点和学生实际，这节课我采用以学生自学为
主，探究法、讨论法、练习法等多种教学方法并用，调动学生积极参与学习。整堂课从学生回忆整理，构建知识网络，然后让学生充分发自主探索，合作讨论寻求解决问题的思路和方法，通过典型例题的练习，掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，掌握垂径定理及其推论，并能灵活运用圆的有关性质解决一些实际问题和相关证明，通过有层次的题组训练，提高学生的思维能力。 四、教学过程 第一环节是知识回顾整理，以预学单为基础。鉴定于初三学生的学习能力，和已有的认知基础，安排学生课前以填空等形式整理知识点，从而重新认识教材内容体系，进行知识归类，来提高复习课的效率。 第二环节是例题选讲，设计有层次的题组训练。先以一个常见的实际问题引入作为探究一，让学生经历观察，将实际问题抽象为数学问题，并寻找相关数学知识解决。确定圆心后，要计算半径。探究二让学生体验了将实际问题转化为数学问题的过程，在理解不在同一直线上的三点确定一个圆的基础上，通过不同的辅助线添法构造基本图形，同时对圆周角、圆心角行了复习，深入理解圆周角、圆心角定理及推论。 第三环节是巩固提高，检测课堂复习的效果。学生通过合作学习，互相探讨，小老师讲解、教师点拨等途径共同完成此题，让学生从多个途径感受学习、接受知识，进而感受成功的喜悦，树立学习数学的信心。
垂直于弦的直径说课稿 垂直于弦的直径说课稿 各位老师大家好，今天我说课的内容是义务教材人教版初中九年级上第24章中“垂直于弦的直径”一节。 下面我从教材分析、教学策略、学法指导、教学程序、板书设计五个方面对本课的设计进行说明。 一、教材分析（说教材） 1、教材所处的地位和作用 本节内容是圆性质的重要体现，是圆轴对称性的具体化。也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据。同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。所以它在教材中处于很重要的地位。对圆的后续学习起到了奠基作用。另外，本节课通过“实验—观察—猜想—合作交流—证明”的途径可以培养学生的动手能力、观察能力、分析、归纳以及与人合作交流的能力。同时利用圆的轴对称性激发学生学习数学的兴趣，可以对学生进行数学美的教育。因此，这节课无论从知识上还是从学生能力的培养及情感教育方面都起着十分重要的作用。 2、教学目标 （1）知识与技能：理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生的观察能力、分析能力及联想能力。 （2）过程与方法：教师创设问题情景，激发学生的求知欲望；学生在教师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练，深化新知，共同感受收获的喜悦。 （3）情感态度与价值观：能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲；体验数学活动充满着探索与创造，认识通过观察、实验、归纳、推断可以获得数学猜想。 3、重点、难点以及确定的依据 通过教材分析，我们看到“垂径定理”在教材中起着重要作用，
是今后解决有关计算、证明和有关作图问题的重要依据，因此本节课的教学重点是“垂径定理及其应用”。 由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以对垂径定理的题设与结论的区分是本节难点之一。同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节又一难点。因此本节课的教学难点是“对垂径定理题设与结论的区分及定理的`证明方法”。 二、教学策略（说教法） 如何选择合理的教学方法，恰当的处理教材，突出重点、突破难点，从而实现教学目标，我在教学过程中拟计划如下操作。 1、教学过程中选用“引导发现法”和“直观演示法”。 让学生在课堂上多活动、多观察、多合作、多交流，主动参与到整个教学活动中来，组织学生参与“实验—观察—猜想—证明”的活动，最后得出定理。 2、教学过程中充分利用教具和投影仪，提高教学效果。 在实验演示、操作、观察、练习等师生的共同活动中启发学生，让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生的直觉思维能力。 3、教学活动中我还注重用不同颜色的对比来启发学生，增强视觉冲击力，提高学生学习的兴趣。 关于教材处理： 1、对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。 2、例1讲完后，总结出辅助线作法的七字口诀“半径半弦弦心距”得直角三角形中三边的关系式r2=d2+( )2,注意前后知识的链接，将例2作为例1的延伸，设法将实际问题转化为数学问题，结合代数方法求解。 3、课本p88页练习要求学生课堂完成。P95页部分题课后完成。 三、学法指导 通过本节课的教学，我应引导学生学会观察、归纳的学习方法。培养学生的想象力，充分调动学生自己动手、动脑，引导他们自己分析、讨论、得出结论，鼓励他们合作交流。
人教数学九年级上册第二十四章垂直于弦的直径（说 课稿） 尊崇的各位评委、教员大家好！很快乐有这样一个时机与各位教员停止学习和交流，明天我说课的内容是：垂直于弦的直径的第一节课。 下面，我从教材才剖析、教学目的、教学方法与教学手腕、教学进程的设计四个方面对本课的设计停止说明。 一、教材剖析： 本节是«圆»这一章的重要内容，也是本章的基础。它提醒了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的详细化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为停止圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使先生的看法从理性到理性，从详细到笼统，有助于培育先生思想的严谨性。同时，经过本节课的教学，对先生浸透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培育先生实验、观察、猜想、笼统、概括、推理等逻辑思想才干和识图才干。所以它在教材中处于十分重要的位置。 本节课的重点是：垂径定理及其运用。 本节课的难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明。 了解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。 二、教学目的： 新课程理念下的数学教学不只是知识的教学、技艺的训练，更应注重才干的培育及情感的教育，因此依据本节课教材的位置和作用，结合所教先生的特点，我确定本节课的教学目的如下： 知识目的：使先生了解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理处置有关的证明、计算和作图效果。 才干目的：浸透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培育先生实验、观察、猜想、笼统、概括、推理等逻辑思想才干和识图才干。 德育目的：浸透数学来源于实际和事物之间相互一致、相互转化的辩证唯心主义观念，让先生体会几何图形所蕴涵的对称美。 三、教学方法与教学手腕： 〝赐人以鱼，不如授人以渔〞，最有价值的知识是关于方法的知识。新课程理念强调我们的课程应是教员与先生共同探求新知识的进程，是以教促学，互教互学的进程，教员不只要教授知识，更要与先生一同分享对课程的了解，鉴于教材特点及所教先生的认知水平，我选用以下方法： 1．引导发现法和直观演示法。让先生在课堂上多活动、多观察、多协作、多交流，自动参与到整个教学活动中来，组织先生参与〝实验---观察---猜想---证明〞的活动，最后得出定理。 2．结合数学环境，适时应用多媒体电化教学手腕，协助先生在理性看法的基础上加深对定理的了解和运用，从而取得普遍的数学阅历。 四、教学进程的设计：
垂径定理说课稿 垂径定理说课稿 一、教材分析： （一）教材的地位与作用 本节课圆的性质的重要体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段等、角等、弧等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于举足轻重的位置。 另外，本节课通过“实验--观察--猜想--合作交流--证明”的途径，进一步培养学生的动手能力，观察能力，分析、联想能力、与人合作交流的能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。 因此，掌握垂径定理对学生更好地认识现实世界，建立空间观念、培养推理论证能力具有十分重要的作用。 （二）教学目标 根据《数学课程标准》对这部分知识的要求及本课的特点，结合学生的实情，本节课的教学目标确定为： （1）知识与技能目标 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 （2）过程与方法目标 在实验过程中，培养学生观察、联想、猜测、推理、探索发现新知识的能力和创新思维、创新想象的能力。通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 （3）情感与态度目标 在解决问题过程中，培养学生敢于面对挑战和善于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，勇于探索，从中获得成功的经验，充分享受数学之美，从而体验学习数学的乐趣。 知识与技能目标固然重要，对于本节课：过程与方法和情感与态度更重要，因为这部分是几何教学的重点，是由实验几何向论证几何
的过渡，过程与方法可以帮助学生学会认识事物、分析问题的方法；有良好的情感态度能培养好的学习兴趣，养成好的学习习惯。 （三）教学重点和难点 教学重点：垂径定理及其应用。 （由于垂径定理的题设与结论比较复杂，很容易混淆遗漏，所以，对垂径定理的题设与结论区分是难点之一，同时，对定理的证明方法“叠合法”学生不常用到，是本节的又一难点。） 教学难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法。 突出重点、突破难点的关键：创设具有启发性的问题情境，通过学生动手操作，多媒体生动直观地演示，让学生经历“提出问题——探究讨论——归纳发现”的过程，在这个过程中，要给学生在充足的活动时间，使学生在积极思维的.状态下参与探究性学习。 而理解垂径定理的关键是圆的轴对称性。 二、教材处理 关于教材的处理： (1)对于圆的轴对称性及垂径定理的发现、证明，采用师生共同演示的方法。 (2)探究例1后引导学生发现常见辅助线“半径半弦弦心距”，得直角三角形中三边的关系式 .注意前后知识的链接. 三、教学方法的选择与应用 本节课我采用实验操作，直观演示，合作交流等方法指导学生动眼观察、动手操作、动脑思考、动口表述，让学生从实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。 同时采用多媒体辅助教学和实物演示，直观生动地反映图形特点。 四、教学模式 为了实现教学目标，优化教学过程，本节课通过“创设情境——自主探索——合作交流——应用拓展——反思归纳”的教学模式，力求着眼于学生探究能力和多向思维的培养。 五、教学过程 本节课我设计了七个环节组织教学：
垂径定理 一．教学背景分析 1、学习任务分析 “垂径定理”是义务教育课程标准实验教科书《数学》（北师版）九年级下册第三章《圆》第3节的内容，第一课时学习了圆的相关概念，本课是学习圆的轴对称——垂径定理及其推论，在学习过程中让学生经历欣赏、动手实践、思考、归纳等数学探究活动，最终领悟圆的轴对称美。 “垂径定理”是圆的轴对称性的重要体现，同时也蕴含了线段、弧、等腰三角形等图形的轴对称性，是初中阶段轴对称中集大成者。“垂径定理”也是我们计算和证明圆的相关问题的重要基石，并且通过探究“垂径定理及其推论”十分有益于培养学生实践创新能力和数学审美能力。 2、学生情况分析 学生已经学习了线段、等腰三角形等图形的轴对称性。对轴对称性方面的数学直感已初步形成，同时也初步具备探究某些特殊图形的轴对称性的能力。但学生仍然难以将数学直感提升到公理化定理化层面，仍然难以完美使用“折叠法”完成定理的证明。 3、重点难点的定位 教学垂点：垂径定理及其推论。 教学难点：（1）用“折叠法”证明垂径定理， （2）领悟垂径定理中的对称美。 二．教学目标设计: 1.知识与技能目标： 使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 2.过程与方法目标： 教师播放动画、创设情境，激发学生的求知欲望；学生在老师的引导下进行自主探索、合作交流，收获新知；通过分组训练、深化新知，共同感受收获的喜悦。 3.情感、态度与价值观：
对圆的轴对称美的始于欣赏，进而分析提升，直至最终领悟数学美。从而陶冶学生情操，发展学生心灵美，提高数学审美力。 三．课堂结构设计： 《数学课程标准》强调，要创造性地使用教材，要求教师以发展的眼光来对待它。因此，我在尊重教材的前提下，结合学情，对教材例题、习题作适当的处理,将本节课的课堂结构设计为以下四个环节： 1、欣赏美——营造问题情境 2、探究美——揭秘核心问题 3、徜徉美——问题变式发散 4、品味美——重建知识体系 课堂教学应以学生为主体，教师为主导。在本节课的教学过程中我充分尊重学生已有的知识和方法，以培养能力为目的，让学生在“赏美”中进入，在“探美“中发展，在”品美“中提高。以发展学生的思维为中心，以问题为载体，使学生在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握垂径定理，并将知识转化为能力。 四．教学资源运用 心理学研究表明，在学生接受知识方面，视听结合能记住86。3％，效果最佳。因此，根据初中学生的心理特征和认知规律，我对教学媒体的利用进行了如下设计： 1、利用多媒体辅助教学 在欣赏美的环节中，我利用多媒体让学生观察圆的实物图片，充分让学生获得感性认识；在探究美时，我利用多媒体在动漫中演示图形的折叠过程；在徜徉美中，帮助学生利用感官理解图形及其变式的联系，在激发学生思维的同时，获得美的享受。品味美时，我让学生上网查阅相关资料，利用网络平台加强学生对所学知识的理解, 拓宽学生视野，培养学生的创新能力。 2、常规媒体仍起主导作用 垂径定理及其问题的解答过程都在黑板上板书，充分展现数学知识的精彩发生、发展过程，充分地暴露学生认识中存在的问题和独特优胜之处。因为数学是
今天我说课的题目是垂径定理，这节课所选用的教材为人教版义务教育课程标准实教科书，即九年级上册数学的第24章第1节第2课时。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节教材是初中数学九年级上册的内容，是初中数学的重要内容之一。一方面，这是在学习了圆的定义及相关概念的基础上，对圆的进一步深入和拓展；另一方面，又为学习相关圆的定理等知识奠定了基础，是进一步研究圆的工具性内容。因此本节课在教材中具有承上启下的作用。 2、学情分析 从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。认知状况来说，学生在此之前已经学习了圆的定义，对圆已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于直径与弦的关系的理解，（由于其可能性较多，抽象程度较高，）学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。 3、教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的。 重点确定为：垂径定理，垂径定理逆定理及其运用。 难点确定为：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题。 二、教学目标分析 根据新课标的教学理念，培养学生的数学素养和终身学习的能力，我确立了如下的三维目标。 1、知识与技能 （1）探索并理解垂径定理 （2）熟练掌握垂径定理及其逆定理 2、过程与方法 （1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动。理解定理的推导,掌握定理及公式． （2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流。 3、情感、态度与价值观 经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验，建立学习的自信心；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望。 三、教学方法分析 本节课我将采用探究法、演示法以及讲练结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的知道下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生流出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构。另外，在教学过程中，我采用多媒体辅助教学，以直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率。 四、教学过程分析
人教版垂径定理优秀教案(共两篇) 课题：24.1.2垂直于弦的直径(1) 教学目标： 1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质； 2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题． 教学重点：垂直于弦的直径的性质及证明. 教学难点：利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题． 教学过程： 一、情境创设 1、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。 2、如图24-2-1，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB于E (1) 它是轴对称图形吗？若是，对称轴是什么？为什么？ 是。对称轴是直线CD。 理由：连结OA、OB ∵OA=OB,OE⊥AB ∴AE=BE ∴CD既是△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴。 (2) 图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ ∵把圆沿直径CD折叠，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合 ∴AE与BE重合，弧AD与BD重合，弧AC与BC重合。
二、新课讲授： 归纳：结合图形，用符号语言表示 ⊙O中，CD为直径 （知2推3） CD⊥AB于E 用文字语言表示：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理的条件有两个，结论有三个，共五个事项。 三、例题讲解： 例1．（1）如图24-2-2，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm， 直径CD⊥AB于E，OE=3 cm，求⊙O的半径。 解：连结OA ∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=4 cm Rt△AOE中,∠AEO=900 ，∴OA2=AE2+OE2 又OE=3 cm, ∴OA2=25 ∵OA>0，∴OA=5 cm （2）如图24-2-3，在⊙O中，弦AB的长为8cm，半径OD⊥AB 于E， DE=2 cm，求⊙O的半径。 解：连结OA ∵OE⊥AB于E ，∴AE=AB=4 cm Rt△AOE中,∠AEO=900 ，∴OA2=AE2+OE2 设OA=x cm,则OD= x cm, ∴OE= (x-2) cm
《垂径定理》说课稿 各位老师： 大家好！今天我说课的课题是《垂直于弦的直径》。下面我将从教材、学情、教法、学法、教学设计和教学评价六个方面来阐述我对本节课的设计． 一、教材分析 （一）教材的地位及作用 节教材是在学生学习了相关轴对称和中心对称性质之后对垂直于弦的直径和这弦的关系的学习，研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系．垂径定理的推证是以轴对称图形的性质和圆是轴对称图形的性质为依据的．本节内容是本章基础，是圆的相关计算和圆的相关证明一个重要工具．本节课的学习也为下节课奠定基础． （二）教学目标 根据学生已有的认知基础及本课教材的地位作用,依据课程标准,我确定本节课的教学目标为: 1.知识目标： (1)使学生理解圆的轴对称性；(2)掌握垂径定理；(3)学会使用垂径定理，解决相关的证明和计算问题． 2.水平目标：培养学生动手水平、观察水平、分析水平及联想水平． 3.数学思考：经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维． 4.情感目标：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生实行辩证唯物主义观点及美育教育。 （三）教学重点、难点
本节课的教学重点是：垂径定理及其应用； 教学难点是：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明方法． 二、学情分析 学生在生活中经常遇到圆方面的图形，对本节课会比较有兴趣,并且学过轴对称图形相关知识。同时九年级的同学仍然是比较好奇、好动、好表现的。但在合作交流、探索新知等方面发展的极不均衡。在学习的主动性、积极性等方面也有较大的差异。 三、教法分析 本节课的设计是以教学大纲和教材为依据，遵循因材施教的原则，坚持以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性．教学过程中，注重学生探究水平的培养．还课堂给学生，让学生去亲自体验知识的产生过程，拓展学生的创造性思维．同时，注意增强对学生的启发和引导，鼓励培养学生们大胆猜测，小心求证的科学研究的思想． "赠人以鱼，不如授人以渔"，最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，通过自主探究、小组合作学习、“兵帮兵、兵教兵”等方式，让学生自己在某一种环境下不知不觉中使用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题。通过基础练习、当堂检测，发掘不同层次学生的不同水平，从而达到发展学生思维水平和自学水平的目的，发掘学生的创新精神． 五、教学过程 （一）创设情境,引入课题 建构主义强调，学生不能空着脑袋走进课堂．在日常生活中，在以往的学
2023年《垂径定理》说课稿《垂径定理》案例分析 张小飞 一、教材分析 1、内容地位：从知识体系上看，《垂径定理》是义务教育新课程标准人教版九年级（上册）第三章内容，是在学生学习了《旋转与中心对称》之后，对特殊的中心对称图形圆的深度学习的过程，是学生学习了圆的基本概念之后，对圆的基本性质的新探究。是中考的必考考点之一。 2、学习目标： （1）利用圆的对称性探究垂径定理。（2）能运用垂径定理解决问题。（3）全心投入，细心认真。 3、重点难点： 学习重点：垂径定理的探究及运用。学习难点：利用垂径定理解决问题。 二、学情分析 1.学生心理特征：进入初三，学生思维活跃，求知欲强，对探索问题充满好奇，在课堂上有互相竞争的渴望，相比以前，他们有一定的知识储备，但学习积极性有所减退，自我意识增强。 2.学生认知基础：在学习本节之前，学生已经学习了《圆
的基本概念》，明确了直径、弦等基本概念，会运用轴对称的性质解决问题，学习了勾股定理，具备了进一步学习《垂径定理》的基本能力.3.学生活动经验基础：学生在之前的学习中，已明确了展示课的学习程序，并能利用学案，准备展示，变式训练，归纳方法，灵活运用，具备了学习活动的经验基础 . 三、教法学法分析 教法分析：针对学生的认知水平和心理特征，在本节课，我将指导学生在小组合作的学习氛围中开展小组展示，有组织、有目的、有针对性的引导学生积极参与教学活动，并鼓励学生采用自主探索、合作交流的学习方式，在观察、思考、运用的过程中，养成全面、有序的思考问题的习惯学法分析：作为一节展示课，学生将在教师的带领下经历明确目标、温故知新、准备展示、展示所学、巩固提升等过程，培养学生独学静思、有效交流、积极合作、大胆展示的良好学习习惯。 四、教学过程及大致时间分配（1）明确目标、（1分钟） 目标出示在黑板上，教师引导学生理解（2）温故知新（3分钟） 采用个别提问的方式，复习基本知识点，为扎实做充分准备（3）分配任务，准备展示（5分钟） 教师分配展示的任务，并指导学生做展示的前期准备。
《24.1.2 垂直于弦的直径》说课稿 麻城市思源实验学校董敢清 各位老师，今天我说课的内容是：人教版九年级上册24.1.2垂直于弦的直径第一节课的内容。下面，我从教材分析、目的分析、教学方法与教材处理、学法指导、教学程序五个方面对本课的设计进行说明。 一、教材分析 教材的地位和作用 垂径定理既是前面圆的性质的体现，是圆的轴对称性的具体化，也是今后证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也是为进行圆的计算和作图提供了方法和依据。 通过“实验—观察—猜想—证明”的途径，培养学生的动手能力，分析、联想能力，同时利用圆的轴对称性，可以对学生进行数学美的教育。 教学重点 理解圆的轴对称性,掌握垂径定理 教学难点 定理的证明方法及应用垂径定理解决问题。 教学关键 圆的轴对称性 二、目的分析 认知目标 （1）使学生理解圆的轴对称性； （2）掌握垂径定理； （3）学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 能力目标 培养学生观察能力、分析能力及联想能力。 情感目标 通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辨证唯物主义观点及美育教育。 三、教学方法与教材处理 教学方法： 引导发现法和直观演示法
教材处理： （1）定理的发现及证明采用师生共同演示的方法 （2）辅助线的作法总结出“半径半弦弦心距”的七字口诀。 （3）练习题要求课内完成 四、学法指导 指导——观察、归纳调动——动手、动脑 引导——分析、讨论、得出结论 五、教学程序 本节课的教学过程我安排了以下五个活动： 活动1 创设情境，启发探究 通过播放赵州桥美丽的画面和悠扬的旋律来介绍赵州桥，同时提出问题启发学生思考，使学生迅速进入问题情境。 活动2 实践操作，探索新知 1.实验归纳 ①动手实验，把圆形纸片沿直径对折，观察两部分重合，得出结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，（注：提醒学生说不能说圆的对称轴是直径。）圆的对称轴有无数条。 ②在圆中作图：(1)任意作一条弦 AB；(2)过圆心作AB的垂线得直径CD且交AB 于E。直径CD与弦AB的垂直关系，说明CD是垂于弦的直径。 2．探究新知 学生用折叠圆的方法去观察比较，猜想结论。小组合作交流，展示交流成果，然后引导学生分析上述猜想的条件和结论，写出已知、求证和证明过程，最后师生结合动画演示，验证猜想的正确性，同时得出证明方法. 归纳垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3．巩固定理 为了突出定理使用条件，我安排了练习，让学生快速抢答判断对错。教师强调在垂径定理中“垂”和“径”缺一不可。学生可以通过这个活动进一步分清垂径定理的题设和结论。 活动3 例题示范，学以致用 1、解决求赵州桥拱半径的问题 2、讲解例1.例2 3、师生共同完成解题后，引导学生进行归纳，小结： （1）解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。（2）利用垂径定理进行计算时，常把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得 到圆的半径r，圆心到弦的距离d，弦长a 即“半径半弦弦心距”七字口诀。