2021年高三上学期期末考试 文科数学
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。 （1）已知集合，，则
（A ） （B ） （C ） （D ）
（2）复数在复平面上对应的点的坐标是
（A ） （B ） （C ） （D ） （3）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ） （B ）
（C ） （D ）
（4）下列命题中正确的是
（A ）如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行 （B ）过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面 （D ）如果两条直线都垂直于同一平面，那么这两条直线共面 （5）设，且，则
（A ） （B ） （C ） （D ）
（6）在平面直角坐标系内，若曲线：上所有的点均在第二象限内，则实数的取值范围为 （A ） （B ） （C ） （D ）
（7）函数（其中）的图象如图所示，
为了得到的图象，则只要将的图象 （A ）向右平移个单位长度 （B ）向右平移个单位长度 （C ）向左平移个单位长度 （D ）向左平移个单位长度
a a a
正 （ 主 ） 视图 俯视图
侧 （ 左 ） 视图
（8）在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，向量，则满足不等式的点的集合用阴影表示为
--2
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知向量, ，若，则的值为．
(10)已知，则的值为．
（11）已知函数则的值为．
（12）在等差数列中，若，，则数列的公差等于；
其前项和的最大值为．
(13) 对于函数，有如下三个命题：
①是偶函数；
②在区间上是减函数，在区间上是增函数；
③在区间上是增函数．
其中正确命题的序号是．（将你认为正确的命题序号都填上）
(14) 在平面内，已知直线∥，点是之间的定点，点到，的距离分别为
和，点是上的一个动点，若，且与交于点，则△面积的最小值为____．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）
已知△中，角，，的对边分别为，，，且．
（Ⅰ）若，，求；
（Ⅱ）若，求．
（16）（本小题共13分）
在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．
（Ⅰ）求与；
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和．
F E D
B A
P
C
（17）（本小题共14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面， 是中点，为线段上一点. （Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）试确定点在线段上的位置，使//平面，并说明理由.
（18）（本小题共13分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
（19）（本小题共13分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为， ，且，证明：直线过定点（）．
（20）(本小题共14分)
已知是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足．
（Ⅰ）判断函数是否是集合中的元素，并说明理由；
（Ⅱ）集合中的元素具有下面的性质：若的定义域为，则对于任意，都存在，使得等式成立．试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根.
东城区2011-xx学年度第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B（2）D（3）A（4）D
（5）C （6）D （7）A （8）B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）1 （10）（11）
（12） 57 （13）①②（14）6
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知，
整理得．……………………3分
因为，
所以.
故，解得. ……………4分
由，且，得.
由，即，
解得. ………………7分（Ⅱ）因为，又,
所以，解得. ………………10分
由此得，故△为直角三角形，．………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设的公差为，
因为所以
解得或（舍），．
故，．……………8分
（Ⅱ）因为，
所以．………11分
E
D
B
A
F
O
P
故
211111212(1)()()(1)32231313(1)
n
n n n n ??-+-++-=-=??+++??． ………………13分
（17）（共14分） 证明（Ⅰ）因为平面，
所以． 又四边形是正方形， 所以，，
所以平面, 又?平面,
所以. ………………7分
（Ⅱ）：设与交于，当为中点，
即时，∥平面． 理由如下：连接，
因为//平面，平面，平面平面， 所以∥． 在△中,为的中点， 所以为中点．
在△中,，分别为，的中点， 所以∥． 又?平面, ?平面,
故//平面. ………………14分
（18）（共13分） 解：（Ⅰ）当时，，. ，． ………3分
所以所求切线方程为即． ……5分
（Ⅱ）.
令，得. ………7分
由于，，的变化情况如下表：
所以函数的单调递增区间是和. …………9分 要使在区间上单调递增，
应有 ≤ 或 ≥，
解得≤或≥． …………11分
又且，…………12分
所以≤．
即实数的取值范围．…………13分（19）（共13分）
解：（Ⅰ）由已知可得，
所求椭圆方程为．………5分（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由得．………7分
则．
由已知，
所以，
即．………10分
所以，整理得．
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）．………12分
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，
由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）．………13分（20）（共14分）
解：（Ⅰ）因为①当时，，
所以方程有实数根0；
②，
所以，满足条件；
由①②，函数是集合中的元素. …………7分（Ⅱ）假设方程存在两个实数根），则.
不妨设，根据题意存在，
满足.
因为，，且，所以.
与已知矛盾.又有实数根，
所以方程有且只有一个实数根. …………14分