高中数学人教版必修4平面向量向量的加法及其几何
意义教学设计
15、向量的加法及其几何意义
一、教材分析
《普高中课程标准数学教科书数学(必修(4))》(人教(版))。第二章2.2平面向量的线性运算的第一节“向量的加法及其几何意义”(89--94页)。《向量》这一章是前一轮教材中新增的内容。高考考纲有明确说明,同时新课标也提出向量是数学的重要概念之一,在高考中的考查主要集中在两个方面:①向量的基本概念和基本运算;②向量作为工具的应用。另外,在今后学习复数的三角形式与向量形式时,还要用到向量的有关知识及思想方法,向量也是将来学习高等数学以及力学、电学等学科的重要工具。教材的第2.1节通过物理实例引入了向量的概念,介绍了向量的模、相等的向量、负向量、零向量以及平行向量等基本概念。而本节课是继向量基本概念的第一节课。向量的加法是向量的第一运算,是最基本、最重要的运算,是学习向量其他运算的基础。它在本单元的教学中起着承前启后的作用,同时它在实际生活、生产中有广泛的应用。正如第二章的引言中所说:如果没有运算,向量只是一个“路标”,因为有了运算,向量的力量无限。
二、学生学习情况分析
学生在高一学习物理中的位移和力等知识时,已初步了解了矢量的合成,而物理学中的矢量相当于数学中的向量,这为学生学习向量知识提供了实际背景。
三、设计理念
教学矛盾的主要方面是学生的学。学是中心,会学是目的。因此,在教学中要不断指导学生学会学习。在教学过程中,从教材和学生的实际出发,按照学生认知活动的规律,精练、系统、生动地讲授知识,发展学生的智能,陶冶学生的道德情操;要充分发挥学生在学习中的主体作用,运用各种教学手段,调动学生学习的主动性和积极性,启发学生开展积极的思维活动,通过比较、分析、抽象、概括,得出结论;进一步理解、掌握和运用知识,从而使
学生的智力、能力和其他心理品质得到发展。
四、教学目标
根据新课标的要求: 培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识。及本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点,我把本节课的教学目的确定为:
1、理解向量加法的意义,掌握向量加法的几何表示法,理解向量加法的运算律。
2、理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强数学的应用意识。
3、培养类比、迁移、分类、归纳等能力。
4、进行辩证唯物主义思想教育,数学审美教育,提高学生学习数学的积极性。
五、教学重点与难点
1、教学重点:两个向量的和的概念及其几何意义。(两个向量的和的概念是向量加法的基础,而向量加法是向量运算的基础,向量的线性运算的另一个特点是它有深刻的物理背景和几何意义,因此在引入一种向量运算后,总是要考察一下它的几何意义,正因为向量的几何意义,使得向量在解决几何问题时可以发挥很好的作用。)
2、教学难点:向量加法的运算律。(设计让学生先猜想后验证来学习运算律,需要利用类比的思想进行猜测,还要在猜测的基础上加以验证,有一定难度。)
六、教学过程设计
1、问题引入(约5分钟)
引例:有两条拖轮牵引一艘驳船,它们的牵引力分别是=3000牛,=2000牛,牵绳之间的夹角θ=60°。如果只用一条拖轮来牵引,而产生的效果跟原来的相同,试求出这条拖轮的牵引力下的大小和方向。
在物理中,我们已知道,两个不在一条直线的共点力与的合力是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的力。这就是说,是与相加所得到的和。
[设计说明] 引导学生利用物理中合力的概念,来解决这个实际问题,以现有的知
识为出发培养学生的知识类比、迁移能力。
[学情预设] 把实际问题抽象为数学概念是学生的认知难点。
2、概念形成(约5分钟)
一般地,把以、为邻边的平行四边形OACB的对角线,叫做
与两个向量的和,记作+。求两个不平行向量的和可按平行四边形法则进行。
问题1:如何求两个平行向量的和向量?
问题2:任意一个向量与一个零向量的和是什么?
求两个向量的和的运算叫做向量的加法。
[设计说明] 补充说明两个向量和的概念,同时让学生体验分类的思想。
3、概念深化(约15分钟)
练习 根据图中所给向量画出向量
(1); (2)。
解法1:将两个向量起点重合,应用平行四边形法则画出两个向量的和向量。 解法2:将一个向量的起点与另一向量的终点重合,也可以画出两个向量的和向量。
[设计说明] 1、学生通过练习题(1)可加深对向量加法概念的理解。另外,可由此引出向量加法的三角形法则。2、通过对比的方式让学生了解向量的加法既可以按照平行四边形法则进行,
也可以按照三角形法则进行。在向量加法运算中,通过向量的平移使两个向量首尾相接,可使用三角形法则。
引申 求个向量的和向量。 [设计说明] 求个向量的和向量时,让
学生进一步体会应用首尾相接的三角形法则的优越性。
[学情预设] 学生对从特殊到一般的理解较抽象。 结论:求
个向量的和向
量可应用多边形法则。 运算律的归纳
问题:向量的加法既然是一种运算,它应该具有哪些运算律?如何进行验证呢?
[设计说明] 引导学生类比实数加法的运算律,得出向量加法的运算律,培养学生的类比、迁移归纳能力。
4、应用举例(约10分钟)
(1)已知平面内有三个非零向量、、,它们的模都相等,并且两两的夹角都是120°,求证:++=;(2)在平面内能否构造三个非零向量、、,使++=;(3)能否说出(2)的实际模型?
[设计说明] 题(1)是基本的例题;题(2)是题(1)的拓展;题(3)能体现数学来源于实际又应用于实际的思想。
5、研究讨论(约5分钟)已知、是非零向量,则|+|与||+||有什么关系?
[设计说明] 设置这一研讨题可以将本节课与上节课的知识联系起来,并进一步渗透分类的思想。
6、小结归纳:(约4分钟)
让学生自主回顾和归纳本节的内容。
[设计说明]1、向量加法的意义;2、理解实际问题数学化的思想,增强数学的应用意识;3、理解分类讨论等数学思想,培养类比、迁移等能力
点评:
本节课采用“探究——讨论”的模式,强调概念形成及概念的递进,学生通过探究,获得对向量加法的感性认识和对向量加法概念的了解。在探究的基础上,通过互相交流、启发、补充、争论,使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念。增加了学生主动参与的机会,增强了参与意识,使学生成为教学的主体。
但是,教案较粗糙,如图表的编号,数学符号、公式的输入不规范。设置的目标不够具体。
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
高 中 数 学 必 修 4 教 案 1.1.1 任意角 教学目标 (一)知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二)过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三)情感与态度目标
1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B