<教师备案> 本讲分成三大块：三角函数、平面向量与函数，针对学校的期末考试进行的复习，题量
稍大，老师可以根据学生的需求重点讲解一些模块与例题．
【例1】 ⑴已知A ={|αα是第一象限角}，B ={|αα是锐角}，C ={|αα是小于90?的角}，那么
A 、
B 、
C 的关系是（ ）
A ．
B A
C = B ．B C C = C ．A C
D ．A B C ==
⑵已知ππ1cos sin 225
αα????--+= ? ?????，且0πα＜＜，则3π3πsin cos 22αα????
-+-= ? ????? ．
⑶
函数()()sin 00y A x A ω?ω=+＞，＞的部分图象如右图所示，则ω= ，()()()()1239f f f f +++
+= ．
15.1三角函数
知识点睛
经典精讲
第15讲
期末复习
2
第15讲·目标班·教师版
⑷
(北京四中2010-2011学年度高一第二学期期中试卷)
函数()π3sin 23f x x ?
?=- ??
?的图象为C
①图象C 关于直线11
π12
x =对称；
②函数()f x 在区间π5π1212??
- ???
，内是增函数； ③由3sin2y x =的图象向右平移π
3
个单位长度可以得到图象C ．
以上三个论断中，正确的论断是 ．
⑸（目标班专用）已知函数()sin f x x ω=，π()sin 22g x x ?
?=+ ??
?，有下列命题：
①当2ω=时，()()f x g x 的最小正周期是π
2；
②当1ω=时，()()f x g x +的最大值为9
8
；
③当2ω=时，将函数()f x 的图象向左平移π
2
可以得到函数()g x 的图象．
其中正确命题的序号是 （把你认为正确的命题的序号都填上）．
【解析】 ⑴ B
{}36036090A k k k αα=??<
，{}90C αα=
显然有B A ，B
C ，且B
A C ，A C ，之间没有包含关系，选项
B 正确．
⑵ 7
5-
ππ1cos sin sin cos 225αααα????
--+=-= ? ?????
①；
3π3πsin cos cos sin 22αααα????
-+-=-- ? ?????
②； 两式分别平方相加得2，即()2
2
149cos sin 2525αα??--=-= ???
，
从而7cos sin 5αα--=±，又0πα<<，故7
cos sin 5
αα--=-．
注：因为本题三角函数值比较特殊，直接看出43
sin cos 55
αα==，也有可能，只是需要注意这种观察得到的结果不一定惟一，可能漏解．
⑶
π
4
，2观察图象可知：2π
π
284
A T ωω
==
=?=
，， 由()π22sin 22f ???
=+= ???
知2πk k ?=∈Z ，．
∴()π
()2sin 2π2sin 4
f x x k x ω=+=．
由图象或由解析式可知()f x 关于(40)，中心对称，故()(8)0f x f x +-=； 于是()1(7)(2)(6)(3)(5)2(4)0f f f f f f f +=+=+== 故()()()()1239(8)(9)(9)2f f f f f f f ++++=+==
⑷ ①②
8-2
6422O y x
11π11ππ3π3sin 23sin 3121232f ????
=?
-==- ? ????
?，图象C 关于直线11π12x =对称，①正确 当π5π1212x -<<时，πππ2232
x -<-<，此时函数()f x 是增函数，②正确
()ππ3sin 23sin 236f x x x ???
?=-=- ? ????
?，
()f x 是由3sin2y x =的图象向右平移π
6
个单位长度得到的，③错误 ．
⑸ ①②.
【例2】 ⑴
若(cos )cos2f x x =，则(sin15)f ?等于（ ） A ．32-
B ．3
2 C ．12 D ．12-
⑵已知13sin 24α=-，3
cos 24
α=，则角α的终边所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 ⑶ (北京四中2010-2011学年度高一第二学期期中试卷)
已知函数()2sin f x x ω=()0ω>在区间ππ43??
-????
，上的最小值是2-，则ω的最小值等
于 ．
⑷
（目标班专用）（人大附中联合2010-2011学年度必修四模块试卷） 已知存在实数ω?，（其中0ωω≠∈Z ，）使得函数()()2cos f x x ω?=+是奇函数，且在π04?? ??
?，上是增函数．
①当1ω=，π?＜时，?的值为 ．
②所有符合题意的ω与?的值为 ．
【解析】
⑴ A 法一：∵2(cos )cos 22cos 1f x x x ==-，∴()()221f x x x =--1≤≤1． (sin15)f ?=23
2sin 1cos30x -=-?=． 法二：(sin15)f ?=()cos75f ?=3cos150?=． ⑵ C
13339sin 2sin cos 2022ααα?==?= ??
， 2
235cos 2cos 12108α=-=?-=-
()f x 的周期为2π=T ω，因为0ω>，()2sin f x x ω=在44T T x ??
∈-????，上单调递增，
所以()f x 在区间π04??
-????
，上至少有一个最小值点，
∴ π2ππ44T T ω?=≤≤，2ω≥．
⑷ ①π
2
-
4
第15讲·目标班·教师版
∵()()2cos f x x ω?=+是奇函数，∴π2π2k k ?=±∈Z ，． 当π2π2k ?=+时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ??=++=- ???在π04?
? ???，上是减函数，与已知矛盾
当π2π2k ?=-时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ??=+-= ???在π04?
? ??
?，上是增函数．
又因为π?＜，所以π
2
?=-．
②π2π21k ?ω?
=+???=-?或π2π22k ?ω?=+???=-?或π2π21k ?ω?=-???=?或π2π22
k ?ω?=-???=?，()k ∈Z 由①可得：π2π2k ?=±k ∈Z ，，∵()f x 在π04?
? ??
?，上是增函数．
∴π2ππ44T T ω
?=≤≤ 2ω?≤． 当π2π2k ?=+
时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ωω??=++=- ???，()f x 在π04?
? ??
?，上是增函数，
∴0ωω<∈Z ，，1ω=-或2-． 当π2π2k ?=-
时，()π2cos 2π2sin 2f x x k x ωω??=+-= ???，()f x 在π04?
? ??
?，上是增函数，
∴0ωω>∈Z ，，1ω=或2．
【例3】
已知函数()()211πsin 2sin cos cos sin 0π222f x x x ??????
=+-+ ???
<<，其图象过点π162?? ???，．
⑴ 求?的值；
⑵ 将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到函数()
y g x =的图象，求函数()g x 在π04?
????
?，上的最大值和最小值．
【解析】 ⑴ 因为()()211πsin 2sin cos cos sin 0π222f x x x ??????
=+-+<< ???，
所以()11cos21
sin 2sin cos cos 222x f x x ???+=+-
11sin 2sin cos2cos 22x x ??=+()1sin 2sin cos2cos 2x x ??=+()1
cos 22
x ?=-． 又函数图象过点π162??
???
，，
所以11πcos 2226???
=?- ???
，即πcos 13???-= ???，
又0π?<<，所以π
3
?=．
⑵ 由⑴知()1πcos 223f x x ?
?=- ??
?，将函数()y f x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，
纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，可知()()1π2cos 423g x f x x ?
?==- ???，
因为 π04x ?
?∈???
?，，所以 []40πx ∈，，因此 ππ2π4333x ??-∈-????，，
故 1πcos 4123x ?
?-- ??
?≤≤．
所以()y g x =在π04?
????
?，上的最大值和最小值分别为12和14-．
【例4】
（目标班专用）已知函数()()222πππ2sin 3sin cos 442f x x x x x ????
=++-∈ ???????
，，．
⑴ 求5π12f ??
???
的值；
⑵ 求()f x 的单调区间．
⑶ 若不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围．
【解析】 ⑴ 由已知得()()()2
2
22sin cos 3cos2f x x x x ??=?++- ? ?
??
()π1sin 23cos22sin 213x x x ?
?=+-=-+ ??
?．
5π5ππ2sin 131263f ????
=-+= ? ?????
． ⑵ 由ππ42x ??
∈????
，，∴ππ2π2363x ??-∈????，，根据函数图象可知，当πππ2362x ??-∈????，时，()
y f x =单调递增；当ππ2π2323x ??
-
∈????
，时，()y f x =单调递减． ∴当π5π412x ??∈????，时，函数()y f x =单调递增；当5ππ122x ??
∈????，时，函数()y f x =单调递减．
⑶ ()2f x m -<，解得：2()2m f x m -<<+，
ππ42x ??
∈????
，，ππ2π2363x ??-∈????，，∴[]()23f x ∈，，∴[]()2322m m ?-+，，，
转化为不等式组：22
23
m m -?，解得：{}14m m <<．
15.2平面向量
6
第15讲·目标班·教师版
【例5】 ⑴
平面向量a 与b 的夹角为60?，2a =，1b =，则a b -= ． ⑵（人大附中联合2010-2011学年度必修四模块试卷）
已知向量()cos75sin 75a =??，
，()cos15sin15b =??，，则a b +的值为（ ） A ． 1 B ．2 C ．
32 D ．3 ⑶ (2011年江苏卷)已知12e e ，是夹角为2π
3
的两个单位向量，12122a e e b k e e =-=+，，
若0a b ?=，则k 的值为______．
⑷
已知向量(2)a m =-，，(35)b =-，，且a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是_______．
【解析】 ⑴
3；
由已知可得：2221
2cos604221132
a b a a b b -=-???+=-???+=，
∴3a b -=． ⑵ D
由已知11a b ==，，
2
2
2
2a b a a b b +=+?+()112cos75cos15sin 75sin15=++???+??22cos603=+?=，
∴3a b +=．
⑶
54
由已知12122π1cos
32
e e e e ?=??=-， 知识点睛
经典精讲
平面向量基本定理
向量的数量积与坐标表示
平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不共线的向量，那么对该平面内的任
一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．
基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，
记作{}12e e ，．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}
12e e ，的分解式．
数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角记为a b ??，
，规定0πa b ??≤，≤，定义它们的数量积(或内积)为：cos a b a b a b ?=??，；
向量的数量积：a b ?1212x x y y =+；()
1122()()a x y b x y ==，，，
两个向量平行：a ∥b (0)b ≠?a b λ=?12210x y x y -=；
两个向量垂直：a b ⊥?a b ?0=?12120x x y y +=；
向量的长度：2211a a a x y =
?=+；
向量的夹角：cos a b a b a b
???=，
12122
222
1
1
22
x x y y x y
x y +=
++．
向
量
()()
()22
121211222122a b e e ke e k e k e e e ?=-?+=+-?-1
202k k =+-
-=，∴54
k =． ⑷ 1066,,355????
-+∞ ? ?????
a 与
b 的夹角为钝角，当且仅当0a b ?<，且,a b 不平行．
3100a b m ?=--<，解得103m >-
．当6
5
m =时，a b ∥，需舍去． 从而m 的取值范围为1066,,355????
-+∞ ? ?????．
<教师备案>例如此类的角度问题，是一个易错点，特别需要注意对角度的范围的判断，根据定义，
[]0πθ∈，，如果cos 0θ>，那么θ是锐角或者0θ=；如果cos 0θ<时，那么θ是钝角或
者πθ=，在做题目时一定要注意区分清楚.
【例6】 ⑴
设a b ，是两个非零向量，下列说法正确的有_________________． ①若a b a b +=-，则a b ⊥；②若a b ⊥，则a b a b +=-； ③若a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=； ④若存在实数λ，使得b a λ=，则a b a b +=-；
⑤若a b ⊥，则a b a b +=-；⑥若a b a b +=-，则a b ⊥． ⑵
（目标班专用）设a b c ，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a 与b 不共线，a c ⊥，a c =，则b c ?的值一定等于（ ）
A ．以a b ，
为邻边的平行四边形的面积 B ．以b c ，为两边的三角形的面积 C ．以a b ，
为两边的三角形的面积 D ．以b c ，为邻边的平行四边形的面积 【解析】 ⑴ ③⑤⑥；
利用向量加法的三角形法则知，a b ，不共线时，a b a b +，，可构成三角形，①②均错误；③正确；④错误，因为当0λ>时，a b a b +=+；利用向量加法的平行四边形法则知a b a b +-，可看成是起点相同的向量a b ，构成的平行四边形的两条对角线，故
a b a b +=-?这个平行四边形为矩形?a b ⊥，⑤⑥均正确．
⑵ A
假设a 与b 的夹角为θ，则b 与c 的夹角可能为9090270θθθ?±-??-，，，
于是cos sin sin b c b c b c b a b a θθ?=??==，，即为以a ，b 为邻边的平行四边形的面积，故选A ．本题也可使用排除法，首先B ，D 肯定不正确，只可能为A ，C ，再由特殊情况排除C 答案．
【例7】 ⑴
在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，且2
3
AD AB =
，若CA a =，
CB b =，则CD =（ ）
A ．1233a b +
B ．2133
a b +
C ．1433a b -+
D ．4133
a b -
⑵一个质点受到平面上的三个力123F F F ，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知
12F F ，成120?角，且12F F ，的大小分别为1和2，则有（ ）
b a D
B C