三角函数的诱导公式(第1课时)教学设计说明
教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学4(必修)》我说课的内容是“三角函数诱导公式的教学设计”。下面，我将从4个方面进行汇报。
一、教学背景分析
1.教材的地位和作用
本节教学内容是4组三角函数诱导公式的推导过程及其简单应用。承上，有任意角三角函数正弦、余弦和正切的比值定义、三角函数线、同角三角函数关系等；启下，学生将学习利用诱导公式进行任意角三角函数的求值化简，以及三角函数的图象与性质（包括三角函数的周期性）等内容。同时，学生在初中就接触过对称等知识，对几何图形的对称等知识相当熟悉。这些构成了学生的知识基础。诱导公式的作用主要在于把任意角的三角函数化归成锐角的三角函数，体现了把一般化特殊、复杂化简单、未知化已知的数学思想。
2.目标定位
诱导公式可以帮助我们把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大。我们认为，诱导公式的教学价值主要体现在以下几个方面：第一，感受探索发现，通过几何对称这个研究工具，去探索发现任意角三角函数间的数量关系式，即三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示。第二，学会初步应用，能够选用恰当的诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数问题并求解。第三，领悟思想方法，在诱导公式的学习过程中领悟化归、数形结合等思想方法。第四，积累数学经验，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备。
为此，我们制定了本节的教学目标（详见教案），以及本节课的教学重、难点。
二、教学设计分析
在进行本课教学设计时，有以下两条典型教学路线可供选择：（1）两个角的终边有哪些特殊的对称关系？（2）怎样把非第一象限的角转化为第一象限的角？我们最终选择了第一条路线，主要基于以下两点考虑。
1.尊重教材的编写方式。
从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，从而统整各组诱导公式。教材的编写处理体现了教材专家的集体智慧和版本教材的一贯特色，教师应该努力体会和把握，不宜轻率抛开教材另搞一套。
2.切合学生的认知水平。
利用学生熟悉的圆及其对称性研究三角函数的相关性质，符合学生的认知心理。同时，单位圆及其对称性的表象对学生推导诱导公式、理解公式之间的内在联系、形象记忆三角函数诱导公式都将起到事半功倍的效果。
三、教学过程分析
基于以上分析，我们确定了如下的本节课教学路线图：
围绕这个教学路线（当然也是学生的研究路线），我将教学分成6个环节并设计成问题串的形式，通过这些问题解构教材，让学生学习数学知识，培养数学能力，体会数学思想，积累数学经验。
1. 问题提出
【教学安排】如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数求值问题。
【问题1】求390°的正弦、余弦值。
【设计意图】前面的学习中，已经将角的概念从锐角扩充到了任意角，学习了任意角三角函数的定义，接下来自然地会提出任意角的三角函数值怎么去求。于是，先安排求特殊值再过渡到一般情形比较符合学生的身心特点和认知规律，意在培养学生从特殊到一般归纳问题和抽象问题的能力，引导学生在求三角函数值时抓坐标、抓角终边之间的关系。同时，首先考虑α+2k π（k ∈Z ）与α的三角函数值之间的关系，有助于学生理解三角函数被看成刻画现实世界中周期性变化的数学模型的确切含义。
2．尝试推导
【教学安排】如何利用对称推导出角π- α 与角α的三角函数之间的关系。
【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？
【设计意图】对问题2的提问方式的设计主要是考虑到我们在研究问题的时候常常会研究它的逆命题、否命题、等价命题等。事实上问题2可以看成是“若两个角的终边相同，则它们的正弦值相同”的逆命题，即“若两个角的正弦值相同，则两个角的终边相同”。但这里是以问题的形式提出的，实际上教会了学生一种自己研究问题的方法。
在得出角π- α 与角α的三角函数之间的关系后，提出：
〖思考〗请大家回顾一下，刚才我们是如何获得这组公式(公式二)的？
【设计意图】阶段小结，让学生将对称作为研究三角函数问题的一种方法使用。将上述研究过程进行梳理，得出“角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系”的研究路线图。 3．自主探究
【教学安排】如何利用对称推导出π+ α，- α与α的三角函数值之间的关系。
【问题3】两个角的终边关于x 轴对称，你有什么结论？两个角的终边关于原点对称呢？
【设计意图】从两个角的终边关于y 轴对称的情况进行自然过渡，给学生留下了自主探究的空间，让他们再次经历公式的研究过程，从而得出公式三和四，并将问题2研究方法一般化。
4．简单应用
【教学安排】例题的练习、讲解。
【例1】求下列各三角函数值： (1) sin 76
π；(2) cos(-60°)；（3）tan(-855?)。 【设计意图】初步熟悉诱导公式的使用，让学生感悟在解决问题的过程中，如何合理的使用这几组公式。此外，引导学生注意同一个三角函数的求值问题可以采用不同的诱导公式，启发学生这些公式的内在关系和联系，体会数学方法的多样性。
5．回顾反思
【教学安排】开放式小结。
【问题4】回顾一下，我们是怎样获得诱导公式的？研究的过程中，你有哪些体会？
【设计意图】开放式小结，使得不同的学生有不同的学习体验和收获。这些问题的提出，
侧重于诱导公式推导方法的回顾和反思，侧重于个体情感体验的分享和表达，从而区别于侧重于公式规律的总结和记忆。
6．分层作业
【教学安排】作业布置。
【作业】
1）阅读课本，体会三角函数诱导公式推导过程中的思想方法。
2）必做题：课本第23页第13题。
3）选做题：
（1）你能由公式二、三、四中的任意两组公式推导到另外一组公式吗？
（2）角α和角β的终边还有哪些特殊的位置关系？你能探究出它们的三角函数值之间的关系吗？
【设计意图】分层作业有利于不同层次的学生巩固知识，提升思维能力。阅读课本旨在引导学生教科书是学习的根本，阅读课本有利于培养学生良好的回归课本的学习习惯。而出现选做题目，目的是提供多元化和挑战性选择，促使学有余力的学生课后思考和自主探究几组公式之间的内在联系。
四、教后思考分析
1．关于设计定位的反思
就三角函数的诱导公式来说，教学设计定位时一般会出现以下几种倾向：其一，定位于知识的学习，学生知道存在一些公式，可以将任意角的三角函数进行一些转化。其二，定位于公式的学习，学生努力分析和总结各组公式的形式规律，背诵“函数名不变，符号看象限”等口诀，追求灵活运用等解题能力的提高。公式理解强过公式记忆。关于公式规律的总结和口诀的记忆，当然很重要，但这不是第一节课的内容。我们可以在所有诱导公式都学习过后，再来总结不迟。此外，采用本课的利用对称性的方法来学习诱导公式，可以通过图形的对称性来形象记忆，可以减轻学生记忆负担，规避死记硬背现象的发生。其三，聚焦诱导公式的推导过程，强调对公式产生的过程的深入理解。其四，在关注知识学习的同时，渗透数学思想方法的理解和领悟。本课主要涉及数形结合、从一般到特殊或从特殊到一般、模型思想、化归思想、追求简易等数学思想方法。我们认为新授知识是很重要的，而数学思想方法是蕴含其中的，应该潜移默化地渗透，不能贴标签，更不能因为数学思想方法的重要而喧宾夺主地过渡渲染。
2．关于教学难点的突破
1）本节课的难点在于从问题2出发，发现关于y轴对称的三角函数诱导公式，从而总结出研究线路图。从对教材的分析来看，苏教版教材将三角函数作为一种数学模型来定位，力图在单位圆中借助对称性来考察对应点的坐标关系，这样处理的好处是简化了任意角的象限分类和化归，起到了利用直观的对称这个工具和研究手法去研究诱导公式的变化规律的目的，揭示了代数和几何的有机结合和统一。
2）α任意性循环上升。在这节课中，角 的任意性是一个教学难点，为此我们设置了三个点：（1）问题2中非30°不可吗？任意角α行不行？（2）几何画板拖动演示感受角α的任意性。（3）习题中进一步深化学生认识。随着学生学习的深入，对这个问题还会有进一步的认识。事实上，有许多同学在一开始是将角α当成锐角去处理的，但我在教学中不过分强调角α的任意性，因为对待数学知识的教学不能一步到位，不应毕其功于一役，而应循环上升，力求顺其自然，水到渠成。
3．关于问题串的设置调控
在本节课中，我们将教学设计成以一以贯之的问题串形式，通过这些问题串起相互关联
的数学问题，使学生学习知识，形成能力，发展认知。我们在设计过程中，尽量将问题的难易程度定位在学生的最近发展区内，问题的设计从思维的角度来说具有一定的开放性，使得学生可以从不同的角度来思考；问题的设计从解决的难度来说具有一定的层次性，使得不同的学生尽量愿意提出自己的见解。教师通过问题串的这个脚手架便于组织教学，并和学生形成互动，促进学生在学习知识的同时形成网状知识联结。实践证明，问题串的使用让教学组织有章可循，内容推进自然而不造作，完整而不破碎。
4．关于教学评价分析
我们觉得本次的教学设计和学生认知水平基本吻合,学生的参与程度较高。如果学生的基础薄弱一些，我们会做些调整，把问题的指向性更明确一些，基础性的练习增加一些。
此外，在教学过程中，我们始终关注学生主体的发展。在教学中，多次通过“你是怎么想的？”“你同意他的意见吗？为什么？”等问话形式，暴露学生的思维，注意挖掘结果产生背后的思维过程，积极引导学生参与到教学过程中来，始终把培养学生的能力和数学思维发展放在首位。
我们认为，数学教学的最终目的在于学习主体的数学发展——数学知识的获取、数学能力的提高、数学思维的养成、数学文化的熏陶。通过学习共同体的创造性的教与学，学生一定会到达善于思考、善于创造的理性精神的彼岸。
三角函数的诱导公式(共5课时) 教学目标： 1、知识目标：理解四组诱导公式及其探究思路，学会利用 四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会 进行简单的化简与证明。 2、能力目标：培养学生数学探究与交流的能力，培养学生 直觉猜想与抽象概括的能力。 3、情感目标与价值观：通过不断设置悬念、疑问，来引起 学生的困惑与惊讶，激发学生的好奇心和 求知欲，通过小组的合作与交流，来增强 学生学习数学的自信心。 教学重点：理解四组诱导公式 利用四组诱导公式求任意角的三角函数值和简单的化简与证明。 教学难点：四组诱导公式的推导过程 为了区分下节课的几组公式，要理解为何名称不变 理解确定符号的方法 教学方法：启发式结合讨论式教学方法，结合多媒体课件演示
教学工具：多媒体电脑，投影仪 教学过程: 一、问题情景： 回顾前面已经学习的理论知识，我们已经学习了任意角的三角函数的定义，学习了三角函数线，还有同角三角函数关系，但是我们还有一个关键问题没有解决，那就是：我们如何来求任意角的三角函数值呢 思考：你能填好下面的表吗 二、学生活动： 小组讨论： 1、找出我们可以解决的和目前无法解决的 2、对于还无法解决的，可否借助前面学习的知识求解
3、这些角之间有何关联 教师指导：我们前面学过了三角函数的定义和三角函数线，知道角的 终边和单位圆的交点的坐标就是角对应的三角函数值，大 家先画出一个单位圆，然后把第一个角的终边画出来，它 和单位圆的交点记为（00,x y ），然后我们以每两排为一 组前后左右可以相互讨论，分别画出另外四个角的终边和 单位圆的交点，每组画一个，然后每组推出一名代表发言， 看看你在画图的时候发现了什么。 （给五分钟画图、总结，学生在画图中容易看出另外的几个角和 开始的锐角的关系） 三、 意义建构： 教师指导：请每组推出的代表发言。（按顺序，没合适人选时，教师可以随机指出一名代表） 第一组：由画图发现0390的角的终边和6 的终边是重合的，它们相差 0360，由三角函数定义可知,终边相同的角的同一三角函数值相等，表中第二列和第一列值相同。 教师指导：第一组总结的很好，我们可否也把 它推广到任意的角呢总结一下就是“终 边相同的角的三角函数值相同”，如何
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =
a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以
课题名称：三角函数的诱导公式(一) 课程模块及章节：必修4第一章节 教学背景分析 （一）课标的理解与把握 能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式 （二）教材分析： 本节课教学内容“诱导公式（二）、（三）、（四）”是人教版数学4，第一章1、3节内容，是学生已学习过的三角函数定义、同角三角函数基本关系式及诱导公式（一）等知识的延续和拓展，又是推导诱导公式（五）的理论依据。 （三）学情分析： 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法． 教学目标 1记忆正弦、余弦的诱导公式． 2. 诱导公式并运用其进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明． 教学重点和难点 运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明 教学准备、教学资源和主要教学方法 模型、直尺、多媒体。 自主性学习法；反馈练习式学习法 教学过程 教 学环节教师为主的活动 学生为主 的活动 设 计 意 图 导入新课一．问题引入： 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任 意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢先看一个 具体的问题。 求390°角的正弦、余弦值. 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同 一三角函数值相等，即有： sin(+2kπ) = sinα，cos(+2kπ) = cosα，ta n(+2k π) = tanα (k∈Z) 。 (公式一) 通过复习 知识引人 新课 激 发 学 生 的 学 习 兴 趣 目 标 引 把学习目标板在黑板的右上角，并对目标进行解读。
领 活动导学二．尝试推导 由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数 值一定相等。反过来呢 问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗 角π与角的终边关 于y轴对称,有 sin(π ) = sin ， cos(π ) = cos ，（公式二） tan(π ) = tan 。 因为与角终边关于y轴 对称是角π-，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位 圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。于是，我们就得 到了角π与角的三角函 数值之间的关系:正弦值相等， 余弦值互为相反数，进而，就得 到我们研究三角函数诱导公式 的路线图： 角间关系→对称关系→坐 标关系→三角函数值间关系。 三．自主探究 问题：两个角的终边关于x 轴对称,你有什么结论两个角的终边关于原点对称呢 角与角的终边关于x轴对称，有： sin() = sin ， cos() = cos ，（公式三） tan() = tan 。 角π + 与角终边关于 原点O对称，有： sin(π + ) = sin ， cos(π + ) = cos ，（公式四） tan(π + ) = tan 。 上面的公式一~四都称为三角函数的诱导公式。 结论：α π α π α± - ∈ ? +， ， ) ( 2Z k k的三角函数值，等 于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的 符号． 学生阅读、 观察、思 考、讨论交 流。 提问式回 答，教师再 补充完整。 学生观察 图形，思考 学生观察、 思考、讨论 以 问 题 式 给 出， 把 课 堂 较 给 学 生， 激 发 学 生 学 习 的 自 主 性。 培 养 学 生 的 空 间 想 象 能 力
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 三角函数的图像与性质 π?? 据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 1.3三角函数的诱导公式 贾斐三维目标 1、通过学生的探究,明了三角函数的诱导公式的来龙去脉,理解诱导公式的推导过程;培养学生的逻辑推理能力及运算能力,渗透转化及分类讨论的思想. 2、通过诱导公式的具体运用,熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题,体会数式变形在数学中的作用. 3、进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想,通过一题多解,一题多变,多题归一,提高分析问题和解决问题的能力. 重点难点 教学重点:五个诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用,三角函数式的求值、化简和证明等. 教学难点:六组诱导公式的灵活运用. 课时安排2课时 教学过程 导入新课 思路1.①利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值. ②复习诱导公式一及其用途. 思路2.在前面的学习中,我们知道终边相同的角的同名三角函数值相等,即公式一,并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°到360°(0到2π)内的角的三角函数值,求锐角三角函数值,我们可以通过查表求得,对于90°到 到2π)范围内的角的三角函数怎样求解,能不能有像360°( 2 公式一那样的公式把它们转化到锐角范围内来求解,这一节就来探讨这个问题. 新知探究 提出问题 由公式一把任意角α转化为［0°,360°)内的角后,如何进一步求出它的三角函数值? 活动:在初中学习了锐角的三角函数值可以在直角三角形中求得,特殊角的三角函数值学生记住了,对非特殊锐角的三角函数值可以通过查数学用表或是用计算器求得.教师可组织学生思考讨论如下问题:0°到90°的角的正弦值、余弦值用何法可以求得?90°到360°的角β能否与锐角α相联系?通过分析β与α的联系,引导学生得出解决设问的一种思路:若能把求［90°,360°)内的角β的三角函数值,转化为求有关锐角α的三角函数值,则问题将得到解决,适时提出,这一思想就是数学的化归思想,教师可借此向学生介绍化归思想. 三角函数公式大全关系： 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业] 三角函数的诱导公式 (教案) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 课题：三角函数的诱导公式 授课教师：吴淑群 教材：苏教版数学4第1章1.2.3 教学目标 1.理解三角函数的诱导公式； 2.能运用这些公式处理简单的三角函数的化简、求值等问题； 目标解析 1．在理解的基础上，熟记诱导公式； 2．能运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并进行简单的三角变换； 3．经历由几何特征（终边的对称）到发现数量关系（诱导公式）的探索过程；4．从公式推导和运用的过程中，体会数形结合、转化与化归等思想方法； 5．初步体会三角函数和周期性变化的内在联系； 教学重点、难点 重点：四组诱导公式的推导、记忆和运用。 难点：诱导公式推导过程中数形关系的转换；符号的判断。 教学方法与教学手段 探究教学法、多媒体辅助教学。 教学过程 一、创设情景 先行组织者 师：我们已经学习了任意角三角函数的概念。三角函数是以圆周运动为原型，为 了刻画周期性运动而建立的数学模型。那么，周期性是怎样体现在三角函数的概念之中的？今天，我们仅就上述问题做一个初步的探讨。 二、建构数学 1．终边相同的角的三角函数 （1）提出问题（展示课件） 已知任意．．角α，观察角α的终边绕着原点逆时针旋转的过程。 问题1：在上述变化过程中，有哪些东西会周而复始的重复出现？ （2）解决问题 （根据学生回答的情况，视机提出下列提示性问题） 问题1-1：角的终边的位置会重复出现吗三角函数值会重复出现吗 问题1-2：什么时候“角的终边位置”会重复出现什么时候三角函数值会重复出现 要求学生把分析的结论用数学等式表示出来： ) (tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπαα πα 问题1-3 ：角α与角παk 2+)(Z k ∈的三角函数值为什么相等呢？ （让学生回到定义去解决问题） （3）小结： 回顾解决问题的思路，得到下面的框图 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= §1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义 问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.) 所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则 三角函数的诱导公式(第1课时)（学案） 一.教学目标 1．知识与技能 （1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。 （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法 （1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。 （2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观 （1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 （2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。 教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？ （一）情境创设及问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数 求值问题。 【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会 回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别 是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？ 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三 角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。即有： （二）尝试推导 如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。 【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？ 角与角α的终边关于y轴对称,有: 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知 解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期 人教版新课标普通高中◎数学④ 必修 1 1.3 三角函数的诱导公式 教案 A 教学目标 一、知识与技能 1．理解诱导公式的推导过程； 2．通过诱导公式的具体运用，熟练正确地运用公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，体会数式变形在数学中的作用． 3．进一步领悟把未知问题化归为已知问题的数学思想，通过一题多解，一题多变，多题归一，提高分析问题和解决问题的能力． 二、过程与方法 利用三角函数线，从单位圆关于x 轴、y 轴、直线y x 的轴对称性以及关于原点O 的中心对称性出发，通过学生的探究，明了三角函数的诱导公式的来龙去脉，理解诱导公式的推导过程；培养学生的逻辑推理能力及运算能力，渗透转化及分类讨论的思想． 三、情感、态度与价值观 通过本节的学习使学生认识到了解任何新事物须从它较为熟悉的一面入手，利用转化的方法将新事物转化为我们熟知的事物，从而达到了解新事物的目的，并使学生养成积极探索、科学研究的好习惯． 教学重点、难点 教学重点：五组诱导公式的推导和六组诱导公式的灵活运用，三角函数式的求值、化简和证明等． 教学难点：六组诱导公式的灵活运用． 教学关键：五组诱导公式的探究． 教学突破方法：问题引导，充分利用多媒体引导学生主动探究． 教法与学法导航 教学方法：探究式，讲练结合． 学习方法：切实贯彻学案导学，以学生的学为主，教师起引导的作用，具体表现在教学过程当中． 1. 充分利用多媒体引导学生完善从特殊到一般的认知过程； 2. 强调记忆规律，加强公式的记忆； 3. 通过对例题的学习，完成学习目标． 教学准备 教师准备：多媒体，投影仪、直尺、圆规． 学生准备：练习本、直尺、圆规． 教学过程 一、创设情境，导入新课 我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性．能否利用圆的这种对称 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案
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