当前位置：文档之家› 共形映射的概念

共形映射的概念

映射基础知识

映射基础知识一、映射 1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素 x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,么称f为从X到Y的映射, 记作 f:x→y, 其中y称为元素x(在映射/下)的像,并记作f(x),即 y=f(x), 而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作D,即D=X;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记作R或 f(X),即 R=f(X)=f(x)lx∈X 从上述映射的定义中,需要注意的是: (1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域D=X;集合 Y,即值域的范围:R,Cy;对应法则f,使对每个x∈X,有唯一确定的y= f(x)与之对应 (2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的;而对每个y∈R,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域R是Y的一个子集,即Rcy,不一定R=y 2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y∈R,有唯一的x∈X,适合 f(x)=y.于是,我们可定义一个从R到X的新映射g,即 g:R→X, 对每个y∈R,规定g(y)=x,这x满足f(x)=y个映射g称为f的逆映射,记作f, 其定义域D=R,值域R=X. 按上述定义,只有单射才存在逆映射.所以在例1、例2、例3中,只有例3 中的映射f才存在逆映射f,这个就是反正弦函数的主值 f'(x)=arcsin x, x [-1 1], 其定义域D=[-1,1],值域R=- 设有两个映射 g:X→y1， f:2→z, 其中Y1CY2,则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个 x∈X映成fg(x)]∈Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即 fg:→z,(fg)(x)=fg(x)],x∈X. 由复合映射的定义可知,映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域R必须包含在f的定义域内,即RCD否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示gf也有意义即使 fg与gf都有意义,复合映射fg与gf也未必相同。

函数的概念和性质

专题讲座高中数学“函数的概念与性质”教学研究梁市西城区教育研修学院函数是中学数学中的重点容，它是描述变量之间依赖关系的重要数学模型. 本专题容由四部分构成：关于函数容的深层理解；函数概念与性质的教学建议；学生学习中常见的错误分析与解决策略；学生学习目标检测分析. 研究函数问题通常有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——二次函数、指数函数、对数函数、幂函数.研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等. 一、关于函数容的深层理解（一）函数概念的发展史简述数学史角度：早期函数概念（Descartes，1596—1650引入坐标系创立解析几何，已经关注到一个变量对于另一个变量的依赖关系）[几何角度]；Newton，1642—1727，用数流来定义流量（fluxion）的变化率，用以表示变量间的关系；Leibniz，1646—1716引入常量、变量、参变量等概念；Euler引入函数符号，并称变量的函数是一个解析表达式[代数角度]；Dirichlet，1805—1859提出是与之间的一种对应的观点[对应关系角度]；Hausdorff在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数[集合论角度]. Dirichlet：认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个确定的值，那么叫做的函数.”这种函数的定义，避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确（经典函数定义）. Veblen，1880－1960用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的限制，变量可以是数，也可以是其它对象. （二）初高中函数概念的区别与联系 1．初中函数概念：

第2讲函数与映射的概念复习.docx

第2讲函数与映射的概念 ★知识梳理 1.函数的概念 (1)函数的定义：设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则于，对于集合A中的每一个数x ,在集合B中都冇唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从4到B的一个函数，通常记为y = /(x),x G A (2)函数的定义域、值域在函数y = /(x),x G A中，x叫做口变量，x的取值范碉A叫做y = /0)的定义域；与x的值和对应的y值叫做函数值，函数值的集介｛f(x)卜e A｝称为函数y = f(x)的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2.映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/,对于集合A中的任意元素，在集合B小都有唯-确泄的元素与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f : A — B ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象两数的定义域重难点：1?关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没冇弄清所给函数Z间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数y = /(x)的定义域为[a, b],求y = /(x + 2)的定义域. 问题2：己知y = /(x + 2)的定义域是[d, b],求函数y = f (x)的定义域. 1.求值域的几种常用方法 (1 )配方法：对于(可化为)'、二次函数型〃的函数常用配方法，如求函数y = -sin2兀一2cosx + 4, 变为y = - sin? x-2cosx + 4 = (cosx-1)2 + 2解决. (2)基本函数法：一些由基木函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数y = log j (-x2 + 2x + 3)就是利用函数y = log丨u和u = -x2 + 2兀+ 3的值域来求. 2 2 2JC + 1 (3)判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数/ 的值域兀'―2兀+ 2 山)，=严+1得y/—2(y + i)x + 2y — l = 0,若y = 0 ,则得 % = 所以y = 0 x - 2x + 2 2 是函数值域中的一个值；若y ^0 ,则由△ = [—2(y + l)『—4y(2y —1)? 0得

映射详解(经典)

课题：§1.2.2映射教学目的：（1）了解映射的概念及表示方法，了解象、原象的概念；（2）结合简单的对应图示，了解一一映射的概念．教学重点：映射的概念．教学难点：映射的概念．教学过程：一、引入课题复习初中已经遇到过的对应： 1．对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应； 2．对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应； 3．对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 4．某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应； 5．函数的概念．二、新课教学 1．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫映射（mapping）（板书课题）． 2．先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系（1）开平方；（2）求正弦（3）求平方；（4）乘以2； 3．什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B” 说明：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其

中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。4．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．思考：将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B A是从集合B到集合A的映射吗？ 5．完成课本练习三、作业布置补充习题

函数与映射的概念及其表示方法

函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{} A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为 B A f →: ★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域 [误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a [正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a 即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域 [误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而

《函数的概念与性质》教案设计.

《函数的概念与性质》教案设计 2019-02-16 一、学习要求 ①了解映射的概念，理解函数的概念； ②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数； ④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．二、两点解读重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的.分布．三、课前训练 1．函数的定义域是（ D ）（A）（B）（C）（D） 2．函数的反函数为（ B ）（A）（B）（C）（D） 3．设则． 4．设，函数是增函数，则不等式的解集为 (2,3) 四、典型例题

例1设，则的定义域为（）（A）（B）（C）（D）解：∵在中，由，得，∴ ， ∴在中，．故选B 例2已知是上的减函数，那么a的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解：∵ 是上的减函数，当时，，∴ ；又当时，，∴ ，∴ ，且，解得：．∴综上，，故选C 例3函数对于任意实数满足条件，若，则解：∵函数对于任意实数满足条件， ∴ ，即的周期为4，例4设的反函数为 ,若× ，则 2 解： ∴m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2 （另解∵ , 例5已知是关于的方程的两个实根，则实数为何值时，大于3且小于3？解：令，则方程的两个实根可以看成是抛物线与轴的两个交点（如图所示），故有：，所以：，解之得：

同构映射的定义同构映射的定义

§6.8 线性空间的同构一、同构映射的定义一、同构映射的定义二、同构的有关结论

我们知道，在数域P 上的n 维线性空间V 中取定一组基后，V 中每一个向量有唯一确定的坐标向量的坐标是P 上的n 元数组，因此属于P n . 这样一来，取定了V 的一组基对于V 中每一个向量，令在这组基下的坐标与对应，就得到V 到P n 的一个单射反过来，对于P n 中的任一元素是V 中唯一确定的元素，并且即也是满射.因此，是V 到P n 的一一对应.引入12(,,,),n a a a L α12,,,,n εεεL αα12(,,,)n a a a L α12:,(,,,) n n V P a a a σα→a L 12(,,,), n a a a L 1122n n a a a αεεε=+++L 12()(,,,), n a a a σα=L σσ

这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上.任取设 ,,V αβ∈12()(,,,)n b b b σβ=L 1122,n n a a a αεεε=+++L 1122n n b b b βεεε=+++L 12()(,,),n a a a σα=L 则1122()(,,) n n a b a b a b σαβ+=+++L 12()(,,)n k ka ka ka k P σα=?∈L 归结为它们的坐标的运算. 这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以1212(,,)(,,,)()()n n a a a b b b σασβ=+=+L L 12(,,)(), n k a a a k σα==L 从而

一、同构映射的定义设都是数域P 上的线性空间，如果映射,V V ′具有以下性质： V V σ′→：则称的一个同构映射，并称线性空间V V σ′是到同构，记作V V ′与. V V ′?ii) ()()(), ,V σαβσασβαβ+=+?∈iii) ()(),,k k k P V σασαα=?∈?∈i) 为双射 σ

映射及映射法及例题

映射及映射法及例题知识、方法、技能 1．映射的定义设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作.:B A f → （1）映射是特殊的对应，映射中的集合A ，B 可以是数集，也可以是点集或其他集合，这两个集合有先后次序，从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是截然不同的. （2）原象和象是不能互换的，互换后就不是原来的映射了. （3）映射包括集合A 和集合B ，以及集合A 到B 的对应法则f ，三者缺一不可. （4）对于一个从集合A 到集合B 的映射来说，A 中的每一个元素必有惟一的，但B 中的每一个元素都不一定都有原象.如有，也不一定只有一个. 2．一一映射一般地，设A 、B 是两个集合，.:B A f →是集合A 到集合B 的映射，如果在这个映射下，对于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，而且B 中每一个元素都有原象，那么个这个映射叫做A 到B 上的一一映射. 3．逆映射如果f 是A 与B 之间的一一对应，那么可得B 到A 的一个映射g ：任给B b ∈，规定 a b g =)(，其中a 是b 在f 下的原象，称这个映射g 是f 的逆映射，并将g 记为f —1. 显然有（f — 1）— 1= f ，即如果f 是A 与B 之间的一一对应，则f —1是B 与A 之间的一一对应，并且f — 1的逆映射是f . 事实上，f — 1是B 到A 的映射，对于B 中的不同元素b 1和b 2，由于它们在f 下的原象不同，所以b 1和b 2在f —1下的像不同，所以f — 1是1－1的. 任给b a f A a =∈)(,设，则a b f =-)(1 .这说明A 中每个元素a 在f —1都有原象.因此， f —1 是映射上的. 这样即得f —1是B 到A 上的1－1映射，即f —1是B 与A 之间一一对应.从而f — 1有逆映射.:B A h →由于任给b a h A a =∈)(,设，其中b 是a 在f —1 下的原象，即f — 1(b)=a ，所以， f(a)=b ，从而f h a f b a h ===得),()(，这即是f —1 的逆映射是f . 赛题精讲 Ⅰ映射关映射的高中数学竞赛题是常见题型之一，请看下述试题. 例1：设集合},,,,|),,,{(},,110|{M d c b a d c b a F x x x M ∈=∈≤≤=集合Z 映射f ：F →Z.使得v u y x v x y u y x v u cd ab d c b a f f f ,,,,66),,,(,39),,,(.),,,(求已知→→-→的值. 【思路分析】应从cd ab d c b a f -→),,,(入手，列方程组来解之. 【略解】由f 的定义和已知数据，得

共形映射

第六章共形映射（The Conformal mapping）第一讲授课题目：§6.1共形映射的概念；§6.2共形映射的基本问题教学内容：导数的几何意义、共形映射的概念、解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性. 学时安排：2学时. 教学目标：1、理解导数的几何意义； 2、弄清共形映射的概念； 3、掌握解析函数的保域性与边界对应原理、共形映射的存在唯一性；教学重点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学难点：解析函数的保域性与边界对应原理；教学方式：多媒体与板书相结合. P习题六：1-3 作业布置： 164 板书设计：一、导数的几何意义；二、共形映射的概念；三、解析函数的保域性与边界对应原理；四、共形映射的存在唯一性参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社； 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版；

3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月 4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月课后记事：1、基本掌握共形映射的概念； 2、不能灵活运用解析函数的保域性与边界对应原理；教学过程：

§6.1共形映射的概念 (The conception of conformal mapping) 一、导数的几何意义（Geometric meaning of derivative ） 1、解析变换的保域性（Transform domain of security analysis ）解析函数所确定的映射是共形映射.它是复变函数论中最重要的概念之一，与物理中的概念有密切的联系，而且对物理学中许多领域有重要的应用.如应用共形映射成功地解决了流体力学与空气动力学、弹性力学、磁场、电场与热场理论以及其他方面的许多实际问题.我们主要研究单叶解析函数的映射性质. 注1：单叶函数是一个单射的解析函数. 例 1 函数α+=z w 及z w α=是z 平面上的单叶解析函数它们把z 平面映射成w 平面，其中α是复常数，并且对于第二个映射0≠α. 例 2 z e w =在每个带形,2Im π+<