2． 3．2离散型随机变量的方差
教学目标：
知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2
Dξ”,以及“若ξ～Β(n ,p ),则Dξ=np (1—p )”,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。 情感、态度与价值观：承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差
教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题 教具准备：多媒体、实物投影仪 。
教学设想：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2
Dξ”,以及“若ξ～Β(n ,p ),则Dξ=np (1—p )”,
并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
授课类型：新授课 课时安排3课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：
数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天,我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差.
回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ,2x ,…,n x 中,各数据与它们的平均值
x 得差的平方分别是21)(x x -,22)(x x -,…,2)(x x n -,那么[1
2n
S =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -
叫做这组数据的方差 教学过程：
一、复习引入： 1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示
2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量
3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量
4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,
5.
6. 分布列的两个性质： ⑴i ≥0,＝1,2,...； ⑵1+2+ (1)
7.二项分布:ξ～B (n ,p ),并记k
n k k n q p C -＝b (k ；n ,p )．
8.几何分布： g (k ,p )= 1
k q p -,其中k ＝0,1,2,…, p q -=1．
9.数学期望:
则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望,简称期望．
10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水
平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中,令=1p =2p …n p =,则有=1p =2p …n p n 1==,=ξE +1(x +2x …n
x n 1
)?+,所以ξ的数学期望又称为平均数、均值
20. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 20.若ξB （n,p ）,则E ξ=np
二、讲解新课：
1. 方差: 对于离散型随机变量ξ,如果它所有可能取的值是1x ,2x ,…,n x ,…,且取这些值的概率分别是1p ,2p ,…,n p ,…,那么,
ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…
称为随机变量ξ的均方差,简称为方差,式中的ξE 是随机变量ξ的期望．
2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差,记作σξ．
3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）2
2)(ξξξE E D -=； （3）若ξ～B (n ,p ),则=ξD np (1-p )
4.其它：
⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数,它们都反映了随机变量取值
的稳定与波动、集中与离散的程度；
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛 三、讲解范例：
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.
从而
111111
123456 3.5666666
EX =?+?+?+?+?+?=;
2222221111
(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666
11
(5 3.5)(6 3.5) 2.92
66
DX =-?+-?
+-?+-?
+-?+-?≈
1.71X σ=≈.
例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列,利用计算器可算得
EX 1 = 2000×0.4 + 1 400×0.3 + 2000×0.2 + 2000×0.1 = 2000 ,
DX 1 = (2000-2000) 2 ×0. 4 + (2000-2000 ) 2×0.3 + (2000 -2000 )2×0.2+(2000-2000) 2×0. 1 = 40 000 ;
EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 2000 ,
DX 2 = (1000-2000)2×0. 4+(1 400-2000)×0.3 + (2000-2000)2×0.2 + (2200-2000 )2×0.l = 200000 .
因为EX 1 =EX 2, DX 1 例3．设随机变量ξ的分布列为 求D ξ 解：（略）1 2 n E ξ+=, 2D 12ξ= 例4．已知离散型随机变量1ξ的概率分布为 离散型随机变量2ξ的概率分布为 求这两个随机变量期望、均方差与标准差 解：471 77127111=?+???+?+? =ξE ； 471 )47(71)42(71)41(2221=?-+???+?-+?-=ξD ；11==ξσξD 47 1 3.4718.3717.32=?+???+?+?=ξE ； 2ξD =0.04, 2.022==ξσξD . 点评：本题中的1ξ和2ξ都以相等的概率取各个不同的值,但1ξ的取值较为分散,2ξ的取值较为集中．421==ξξE E ,41=ξD ,04.02=ξD ,方差比较清楚地指出了2ξ比1ξ取值更集中． 1σξ＝2,2σξ=0.02,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 例5．甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下：射手甲击中环数8,9,10的概 率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8,9,10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平 解：180.290.6100.29E ξ=?+?+?= 221(89)0.2(99)0.6D ξ=-?+-?+（10-9）4.02.02=?；
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