9.1～9.2 因式分解提取公因式法同步练习 【基础能力训练】 一、因式分解 1．下列变形属于分解因式的是（） A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m（a+b+c）=ma+mb+mc C．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m－n）（b+a）=（b+a）（m－n） 2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（） A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+4 3．分解因式mx+my+mz=（） A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m（x+y－z）D．m3abc 4．20052－2005一定能被（）整除 A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 009 5．下列分解因式正确的是（） A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2 C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b） 6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（）A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2 C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－6 7．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______． 8．计算：21×3.14+62×3.14+17×3.14=_________． 二、提公因式法 9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（） A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b2 10．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（） A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m） C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1） 11．（－2）2001+（－2）2002等于（） A．－22001B．－22002C．22001D．－2 12．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（） A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2 13．观察下列各式： （1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1 其中可以直接用提公因式法分解因式的有（） A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5） C．（2）（4）（5）（6）D．（2）（3）（4）（5）（6） 14．多项式12x2n－4n n提公因式后，括号里的代数式为（） A．4x n B．4x n－1 C．3x n D．3x n－1 15．分解下列因式： （1）56x3yz－14x2y2z+21xy2z2 （2）（m－n）2+2n（m－n） （3）m（a－b+c）－n（a+c－b）+p（c－b+a）
因式分解法(提公因式 法、公式法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是 正的，并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公 因式，这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【典例分析】 例1.分解下列因式： （1）2 2321084y x y x y x -+ （2）233272114a b c ab c abc --+
【知能点分类训练】 知能点1 因式分解的意义 1．下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）． A．（x+3）（x－3）=x2－9 B．x2－9+x=（x+3）（x－3）－x C．xy2－x2y=xy（y－x） D．x2+5x+4=x（x+5+） 2．下列变形不属于分解因式的是（）． A．x2－1=（x+1）（x－1） B．x2+x+1 4 =（x+ 1 2 ）2 C．2a5－6a2=2a2（a3－3） D．3x2－6x+4=3x（x－2）+4 3．下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘法哪些是因式分解哪些两者都不是 （1）ad+bd+cd+n=d（a+b+c）+n （2）ay2－2ay+a=a（y－1）2 （3）（x－4）（x+4）=x2－16 （4）x2－y2+1=（x+y）（x－y）+1知能点2 提公因式法分解因式
4．多项式－7ab+14abx－49aby的公因式是________． 5．3x2y3，2x2y，－5x3y2z的公因式是________． 6．下列各式用提公因式法分解因式，其中正确的是（）． A．5a3+4a2－a=a（5a2+4a） B．p（a－b）2+pq（b－a）2=p（a－b）2（1+q） C．－6x2（y－z）3+x（z－y）3=－3x（z－y）2（2x－z+y） D．－x n－x n+1－x n+2=－x n（1－x+x2） 7．把多项式a2（x－2）+a（2－x）分解因式等于（）． A．（x－2）（a2+a） B．（x－2）（a2－a） C．a（x－2）（a－1） D．a（x－2）（a+1） 8．下列变形错误的是（）． A．（y－x）2=（x－y）2 B．－a－b=－（a+b） C．（a－b）3=－（b－a）3 D．－m+n=－（m+n）
《因式分解-提公因式法》知识点归纳 ★★知识体系梳理◆因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式；（化和为积）注意：1、因式分解对 象是多项式；2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能 再分解为止；3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验 因式分解的正确性；◆分解因式的作用分解因式是一种重 要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。◆分解因式的一些原则（1）提公因式优先的原则．即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。（2）分解彻底的原则．即分解因式必须进行到每一个多 项式因式都再不能分解为止。（3）首项为负的添括号原 则．即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“－”号的括号，并遵循添括号法则。◆因式分解的首要方法―提公因 式法1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫 做这个多项式各项的公因式。2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。3、使用提取公 因式法应注意几点：（1）提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。（2）公因式必须是 多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。（找最高公因式）（3）对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。◆提公因式 法分解因式的关键：1、确定最高公因式；（各项系数的最大
公约数与相同因式的最低次幂之积）2、提出公因式后另一因 式的确定；（用原多项式的每一项分别除以公因式） ★★典型例题、方法导航◆考点一：因式分解的意义【例1】判断下列变形哪些是因式分解？（1） ------------ ---------------（）（2） -------------------（）（3） -------------------- （）（4） ----------------------------------（）（5） -------------------------------（）【例2】根据整式乘法与因式分解的关 系连线 【例3】已知关于的多项式分解因式为，求的值。 ◎ 变式议练一1、下列从左边到右边的变形，是因式分解 的是（）a、 b、c、 d、 2、辨析下列因式分解是否正确，若 错误请改正。（1）分解因式不彻底：（2）提出公因式后漏项：◆考点二：提公因式法【例4】分解因式： （1）（2）（3） （4）（5）
第4章因式分解 4．2提取公因式法 知识点1多项式的公因式 一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为( ) A．3mn B．－3m2n C．3mn2D．－3m2n2 知识点2提取公因式法分解因式 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解．这种分解因式的方法，叫做提取公因式法． [注意] 当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个因式中不要漏掉“＋1”或“－1”． 2．把下列各式分解因式： (1)x2－5x； (2)2x2y2－4y3z； (3)－5a2＋25a； (4)14x2y－21xy2＋7xy. 知识点3添括号法则 括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号． 3．添括号：1－2a＝＋(________)；－a2＋2ab－b2＝－(____________)． 一用提取公因式法处理较复杂的因式分解题 教材例2变式题分解因式： (1)x2(y－2)－x(2－y)； (2)2(a－3)2－a＋3.
[归纳总结] 提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式，尤其需要注意的是公因式可以是数，也可以是单项式和多项式． 探究二提取公因式法的简单应用 教材补充题523－521能被120整除吗？ [反思] 分解因式：－6ab2＋9a2b－3b. 解：－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)①＝－(3b·2ab－3b·3a2＋3b)②＝－3b(2ab－3a2)．③ (1)找错：从第________步开始出现错误； (2)纠错：
因式分解练习一 提取公因式法分解因式 (1)-15ax-20a; (2)-25x 8+125x 16; (3)-a 3b 2+a 2b 3; (4)6a 3-8a 2-4a; (5)-x 3y 3-x 2y 2-xy; (6)a 8+a 7-2a 6-3a 5; (7)6a 3x 4-8a 2x 5+16ax 6; (8)9a 3x 2-18a 5x 2-36a 4x 4; "3繆 (9) 27 9 3. (10)a m -a m+1; (11)-12a 2n+1 b m+2+20a m+1 b 2nM ; (12)x(a+b)+y(a+b); (13)(a+b)2+(a+b); (16)a(a-b)+b(b-a); (14)a 2b(a-b)+3ab(a-b); (15)x( a+b-3c)-(a+b-3c) (17)(x ?3 产(x ?3)2; (20)(x-a)3+a(a-x); (I8)a 2b(x-y)-ab(y-x); (19)a 2(x-2a)2-a(2a-x)2; (21)(x ?2y)(2x+3y)?2(2y ?x)(5x ?y); (24) a(x ?y)?b(y ?x)?c(x ?y); (22)3m(x-5)-5n(5-x); (23)y(x ?y)2?(y ?x)3;
(25) (x?2)2?(2?xF; (26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2); (27)a3-b3-a2+b2; (28) (m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29) a2(x-2a)3-a(2a-x)2; (30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a); (31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x?3)(x2?7)+(2+x)(3?x)(x+3); (33)(a?b)2(a+b 产(b-a)2(b+a)2; (34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1 )2(2x?3)+(x+1 )(2x?3)2?(x+1 )(3?2x);
因式分解练习一 提取公因式法分解因式 (1)-15ax-20a;(2)-25x8+125x16;(3)-a3b2+a2b3;(4)6a3-8a2-4a; (5)-x3y3-x2y2-xy;(6)a8+a7-2a6-3a5;(7)6a3x4-8a2x5+16ax6;(8)9a3x2-18a5x2-36a4x4; (9)(10)a m-a m+1;(11)-12a2n+1b m+2+20a m+1b2n+4;(12)x(a+b)+y(a+b); (13)(a+b)2+(a+b); (14)a2b(a-b)+3ab(a-b);(15)x(a+b-3c)-(a+b-3c)(16)a(a-b)+b(b-a); (17)(x-3)3-(x-3)2;(18)a2b(x-y)-ab(y-x);( 19)a2(x-2a)2-a(2a-x)2;(20)(x-a)3+a(a-x); (21)(x-2y)(2x+3y)-2(2y-x)(5x-y); (22)3m(x-5)-5n(5-x);(23)y(x-y)2-(y-x)3;(24)a(x-y)-b(y-x)-c(x-y); (25)(x-2)2-(2-x)3;(26)m(n-2)-p(2-n)+(n-2);(27)a3-b3-a2+b2; (28)(m-a)2+3x(m-a)-(x+y)(a-m); (29)a2(x-2a)3-a(2a-x)2;(30)(a-3)(a3-2)-(3-a)(a2-1)+2(3-a);(31)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c); (32)(x+2)(x-3)(x2-7)+(2+x)(3-x)(x＋3);(33)(a-b)2(a+b)3-(b-a)2(b+a)2;(34)x(b+c-d)-y(d-b-c)-b-c+d; (35)(x+1)2(2x-3)+(x+1)(2x-3)2-(x+1)(3-2x); 因式分解练习二 运用公式法分解因式； (1)a2-9b2; (2)-9x2+4y2; (3)a4-4b2; (4)a6-a8; (5)x2-324; (6)144a2-256b2; (7)64x16-y4z6; (8)16a16-25b2x4; (9)25a2b4c16-1; (10)(11)36a4x10-49b6y8; (12)81x8-225a4b4; (13)(a+b)2-100; (14)-z2+(x-y)2; (15)361-(3a+2b)2; (16)(ax+by)2-1; (17)20a3x3-45axy2; (18)(2x-3y)2-4a2; (19)(a+2b)2-(x-3y)2; (20)4(a+2b)2-25(a-b)2; (21)a2(a+2b)2-9(x+y)2; (22)b2-(a-b+c)2; (23)(a+b)2-4a2; (24)(x-y+z)2-(2x-3y+4z)2; (25)4(x+y+z)2-9(x-y-z)2; (26)a-a5; (27)a4-9b4;(28)a8-81b8; (29)a9-ab2; (30)a16-b16;(31)a2b3-4a2b;(32)x2-y2+x-y;
提取公因式法 班级：___________姓名：___________得分：__________ 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．如果二次三项式21x ax +-可分解为()()b x x +?-2，那么a ＋b 的值为( ) A. －2 B. －1 C. 1 D. 2 2．若关于x 的多项式x 2﹣px ﹣16在整数范围内能因式分解，则整数p 的个数有（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3．多项式8x m y n-1－12x 3m y n 的公因式是（ ） A ．x m y n B ．x m y n-1 C ．4x m y n D ．4x m y n-1 4．多项式2x 2﹣2y 2分解因式的结果是（ ） A ．2（x+y ）2 B ．2（x ﹣y ）2 C ．2（x+y ）（x ﹣y ） D ．2（y+x ）（y ﹣x ） 二、填空题(每小题5分，共20分) 5．在实数范围内分解因式2210x -= 6．分解因式：a 2（x ﹣y ）+（y ﹣x ）= 7．多项式的公因式是：x 3﹣x=． 8．已知a+b=3，ab=2，则a 2b+ab 2=． 三、简答题（每题15分，共60分） 9．我们对多项式x2+x-6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x 2+x-6=（x+a ）（x+b ），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x 2+x-6=（x+a ）（x+b ）=x2+（a+b ）x+ab 所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=-6，解得a=3，b=-2或者a=-2，b=3．所以x 2+x-6=（x+3）（x-2）．当然这也说明多项式x2+x-6含有因式：x+3和x-2． 像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题． （1）已知关于x 的多项式x 2+mx-15有一个因式为x-1，求m 的值； （2）已知关于x 的多项式2x 3+5x 2 -x+b 有一个因式为x+2，求b 的值．
课题：因式分解之提取公因式法和公式法 知识精要： 一、因式分解的概念 1、定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2、因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解 因式分解 多项式（和差形式） 整式的积（积的形式） 整式乘法 二、提取公因式法 1、定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．即()ma mb mc m a b c ++=++ （1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数； （2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取最低次数． 2、步骤： （1）观察；（2）确定公因式；（3）将公因式提到括号外；（4）将多项式写成因式乘积的形式． 3、提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察公因式的特点，找出确定公因式的方法： （1）公因式应是各项系数的最大公因数与各项都含有的相同字母的最低次幂的积． （2）公因式不仅可以是单项式，也可以是多项式． 4、提取公因式法应注意的事项： （1）提取的公因式应为最大公因式；（2）当某一项被完全提取，该项要用“1”来代替；（3）要使得括号内第一项的系数为正数；（4）要使得括号内每一项的系数为整数；（5）注意符号变换问题． 二、公式法 1、平方差公式： 22 ()()a b a b a b -=+- 2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± 3、注意事项：（1）注意公式的结构特点；（2）注意符号；（3）首先想到提取公因式法；（4）注意分解一定要彻底． 精解名题：
2 提公因式法 第1课时直接提公因式因式分解 总体说明: 本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．(1)学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．（2）学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验． 一、教学目标 1．学会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解． 2．通过与因数分解的类比，感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想．
3．通过对因式分解的教学，培养学生“换元”的意识． 二、教学重难点 1．教学重点：直接提公因式因式分解． 2．教学难点：正确找出多项式中各项的公因式． 三、教学过程 环节1自学提纲，生成问题 阅读教材P95～P96的内容，完成下面练习． 1．多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式． 2．如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法． 3．当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数．在提出“－”号时，多项式的各项要变号． 4．把多项式6a2b＋10ab2分解因式时，应提取的公因式是2ab. 环节2合作探究，解决问题 活动1小组讨论 例1多项式6ab2c－3a2bc＋18a2b2中各项的公因式是() A．abc B．3a2b2 C．3ab D．3a2b2c 互动探索：(引发学生思考)如何确定一个多项式各项的公因式？ 分析：多项式中各项的公因式为3ab.
提公因式法： 一、填空题 1．因式分解是把一个______化为______的形式． 2．ax 、ay 、－ax 的公因式是______；6mn 2、－2m 2n 3、4mn 的公因式是______． 3．因式分解a 3－a 2b ＝______． 二、选择题 4．下列各式变形中，是因式分解的是（ ） A ．a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ．)11(22222x x x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D ．x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1） 5．如果多项式x 2＋mx ＋n 可因式分解为（x ＋1）（x －2），则m 、n 的值为（ ） A ．m ＝1，n ＝2 B ．m ＝－1，n ＝2 C ．m ＝1，n ＝－2 D ．m ＝－1，n ＝－2 6．（－2）10＋（－2）11等于（ ） A ．－210 B ．－211 C ．210 D ．－2 三、计算题 7．x 4－x 3y 8．12ab ＋6b 9．5x 2y ＋10xy 2－15xy 10．3x （m －n ）＋2（m －n ） 11．3（x －3）2－6（3－x ） 12．y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2 13．y （x －y ）2－（y －x ）3 14．a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ） 15．－2x 2n －4x n 16．x （a －b ）2n ＋xy （b －a ）2n ＋1 四、解答题 17．应用简便方法计算： （2）4.3×199.8＋7.6×199.8－1.9×199.8 思考：说明3200－4×3199＋10×3198能被7整除． 平方差公式法 一、填空题 1．在括号内写出适当的式子： （1）0.25m 4＝（ ）2；（2） =n y 29 4（ ）2；（3）121a 2b 6＝（ ）2． 2．因式分解：（1）x 2－y 2＝（ ）（ ）； （2）m 2－16＝（ ）（ ）； （3）49a 2－4＝（ ）（ ）;（4）2b 2－2＝______（ ）（ ）． 二、选择题 3．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．y 2－49x 2 B ．449 1x - C ．－m 4－n 2 D ．9)(4 12-+q p 4．a 2－（b －c ）2有一个因式是a ＋b －c ，则另一个因式为（ ） A ．a －b －c B ．a ＋b ＋c C ．a ＋b －c D ．a －b ＋c
因式分解（一） ——提取公因式与运用公式法 【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解； （2）因式分解与整式的区别； （3）提公因式与公式法的技巧。 【知识要点】 1、提取公因式：型如()ma mb mc m a b c ++=++，把多项式中的公共部分提取出来。 ☆提公因式分解因式要特别注意： （1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的， 并且注意括号内其它各项要变号。 （2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。 （3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c 变成-（c-a-b ）才能提公因式， 这时要特别注意各项的符号）。 （4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。 （5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。 2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式： ()()22a b a b a b -=+-； ()2 222a ab b a b ±+=±。 平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。 完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同； (3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。 ☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领： （1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。 （3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。 （4）因式分解一定要分解到不能继续分解为止，分解之后一定要将同类项合并。 【经典例题】 例1、找出下列中的公因式： (1) a 2b ，5ab ，9b 的公因式 。 (2) －5a 2，10ab ，15ac 的公因式 。 (3) x 2y(x －y)，2xy(y －x) 的公因式 。
八年级数学提公因式法（一） ●教学目标 （一）教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式. （二）能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力. （三）情感与价值观要求 在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识，还能使学生初步感到因式分解在简化计算中将会起到很大的作用. ●教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来. ●教学难点 让学生识别多项式的公因式. ●教学方法 独立思考——合作交流法. ●教具准备 投影片两张 第一张（记作§2.2.1 A） 第二张（记作§2.2.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 投影片（§2.2.1 A） ［师］从上面的解答过程看，解法一是按运算顺序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分配律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单一些.这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法. Ⅱ.新课讲解 1.公因式与提公因式法分解因式的概念. ［师］若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地
的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接. ma+mb+mc=m（a+b+c） 从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？ ［生］等式左边的每一项都含有因式m，等式右边是m与多项式（a+b+c）的乘积，从左边到右边是分解因式. ［师］由于m是左边多项式ma+mb+mc的各项ma、mb、mc的一个公共因式，因此m叫做这个多项式的各项的公因式. 由上式可知，把多项式ma+mb+mc写成m与（a+b+c）的乘积的形式，相当于把公因式m 从各项中提出来，作为多项式ma+mb+mc的一个因式，把m从多项式ma+mb+mc各项中提出后形成的多项式（a+b+c），作为多项式ma+mb+mc的另一个因式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 2.例题讲解 ［例1］将下列各式分解因式： （1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x. 分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来. ［师］请大家互相交流. ［生］解：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2）; （2）7x2－21x=7x·x－7x·3=7x（x－3）; （3）8a3b2－12ab3c+abc =8a2b·ab－12b2c·ab+ab·c =ab（8a2b－12b2c+c） （4）－24x3－12x2+28x =－4x（6x2+3x－7） 3.议一议 ［师］通过刚才的练习，下面大家互相交流，总结出找公因式的一般步骤. ［生］首先找各项系数的最大公约数，如8和12的最大公约数是4. 其次找各项中含有的相同的字母，如（3）中相同的字母有ab,相同字母的指数取次数最低的. 4.想一想 ［师］大家总结得非常棒.从例1中能否看出提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？ ［生］提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. Ⅲ.课堂练习
七年级数学知识点：提取公因式法知识点 多阅读和积累,可以使学生增长知识，使学生在学习中做到举一反三。在此查字典数学网为您提供提取公因式法知识点，希望给您学习带来帮助，使您学习更上一层楼! ◆ 因式分解------把一个多项式变成几个整式的积的形式;(化和为积) 注意： 1、因式分解对象是多项式; 2、因式分解必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止; 3、可运用因式分解与整式乘法的互逆关系检验因式分解的正确性; ◆ 分解因式的作用 分解因式是一种重要的代数恒等变形，它有着广泛的应用，常见的用途有化简多项式和进行简便运算，恰当的运用分解因式，常可以使计算化繁为简。 ◆ 分解因式的一些原则 (1)提公因式优先的原则.即一个多项式的各项若有公因式，分解时应首先提取公因式。 (2)分解彻底的原则.即分解因式必须进行到每一个多项式 因式都再不能分解为止。 (3)首项为负的添括号原则.即如果多项式的首项系数为负，应先添上带“-”号的括号，并遵循添括号法则。
◆ 因式分解的首要方法—提公因式法 1、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。 2、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各项共有的 因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。 3、使用提取公因式法应注意几点： (1)提取的“公因式”可以是数、单项式，也可以是一个多项式，是一个整体。 (2)公因式必须是多项式的每一项都有的因式，在提取公因式时，要把这些公共的因式全部找出来，并提到括号外面去，才算完成了提取公因式。(找最高公因式) (3)对多项式中的每一项的数字系数，在提取时要提出这些数字系数的最大公约数，各项都含有相同的字母，要提取相同字母的指数的最低指数。 ◆ 提公因式法分解因式的关键： 1、确定最高公因式;(各项系数的最大公约数与相同因式的最低次幂之积) 2、提出公因式后另一因式的确定;(用原多项式的每一项分别除以公因式) 提取公因式法知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开
精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：初一 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 授课 类型 C 提取公因式法 C 公式法 C 能力提升 授课日 期时段 教学内容 1. 理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系； 2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式； 3. 掌握公式法分解因式. 一、有关概念： 1.把一个多项式化为几个整式的积德形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式. 3.如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为一个因式.这种分解因式的方法叫做提取公因式法. 4.提取的公因式应是各项系数最大的公因数（系数都是整数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积. 5.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法. 提取公因式法 教学目标 知识点睛
二、 提取公因式的步骤： “一找”：就是第一步要正确找出多项式中各项的公因式； “二提”：就是第二步将所找出的公因式提出来； “三去除”：就是当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的另一个因式. 题型一、因式分解概念： 【例】下列变形是因式分解的是 ( ) A ．()()2111x x x +-=- B ．2 21139342a a a ??-+=- ??? C ．()25656x x x x -+=-+ D ．()()ax ay bx by a x y b x y +++=+++ 【巩固】判断下列各式哪些是多项式的因式分解？哪些不是？为什么？ （1）2 (3)(3)9x x x +-=- （2）4 2 2 25(5)(5)m m m -=+- （3）2 32(3)2x x x x +-=+- （4）4 22 4 2 22 2()a a b b a b -+=- 题型二、提公因式： 【例】（1）2 abc abd a b +- （2）155ax xy -- （3）()()2 2 3x a b b a -+- （4）34256686a x a x ax -+ （5）32524491836a x a x a b -- （6）54256 3286a b a x ax -+ （7）32 52 4 4 91836a x a x a x -- （8）54 35 27 321624a b a b a b -+ 例题精讲
因式分解：提公因式法 专项训练一：确定下列各多项式的公因式。 1、ay ax + 2、36mx my - 3、2410a ab + 4、2155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y - 7、()()m x y n x y -+- 8、()()2 x m n y m n +++ 9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。 1、22____()R r R r ππ+=+ 2、222(______)R r πππ+= 3、2222121211 ___()22 gt gt t t +=+ 4、2215255(_______)a ab a += 专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、__()x y x y +=+ 2、__()b a a b -=- 3、__()z y y z -+=- 4、()2 2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数 9、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 10、()1(2)___(1)(2)x y x y --=-- 11、2 3 ()()___()a b b a a b --=- 12、2 4 6 ()()___()a b b a a b --=- 专项训练四、把下列各式分解因式。 1、nx ny - 2、2a ab + 3、3246x x - 4、2 82m n mn + 5、2 3 2 2 2515x y x y - 6、2 2 129xyz x y - 7、2 336a y ay y -+ 8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+ 11、3 2 3612ma ma ma -+- 12、3 2 2 22 561421x yz x y z xy z +- 13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 专项训练五：把下列各式分解因式。 1、()()x a b y a b +-+ 2、5()2()x x y y x y -+- 3、6()4()q p q p p q +-+ 4、()()()()m n P q m n p q ++-+- 5、2()()a a b a b -+- 6、2()()x x y y x y --- 7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+ 9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+ 12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+- 15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a ----- 17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+- 19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+-- 21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
因式分解 一、知识梳理 1、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下： ()ma mb mc m a b c ++=++ 注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3、运用公式法 把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+- 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） 4、十字相乘法 借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足,ab q a b p =+=的
义务教育基础课程初中教学资料 提公因式法 教学目标 1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系． 2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式． 3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力. 教学重点及难点 教学重点：因式分解的概念及提公因式法． 教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．教学过程设计： 一、复习提问 乘法对加法的分配律． 二、新课 1．新课引入：用类比的方法引入课题． 在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7． 在前面我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法． 2．因式分解的概念： 请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．) 如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc 2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy (a+b)(a-b)＝a2-b2 (a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn (x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等． 再请学生观察它们有什么共同的特点？ 特点：左边，整式×整式；右边，是多项式． 可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解． 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)． 整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc． 让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别． 联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．