初高中衔接型数学试题（1）及参考答案
一、选择题
1．点P （-1,2）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）．
A ．（1,2）
B ．（-1,2）
C ．（1,-2）
D ．（-1,-2） 2．在△ABC 中,∠C ＝90°,5
3sin =A ,则cosA 的值是（ ）．
A ．5
4
B ．5
3 C ．4
3 D ．3
4 3．方程2650x x +-=的左边配成完全平方后所得方程为（ ） A . 2(3)14x += B . 2(3)14x -= C . 21
(6)2
x +=
D . 以上答案都不对 4．如图3—1,在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,使之恰好围
成图3—2所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r ,扇形半径为 R ,则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ） A ．R =2r B ．R =
9
4
r C ．R =3r D ．R =4r
二、填空题
5．已知A 是锐角,且3
1sin =A ,则cos （90°－A ）＝___________．
6．如图,为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离,观测者
从测点A 、B 分别测得∠BAC ＝90°,∠ABC ＝30°,
又量得BC ＝160 m,则A 、B 两点之间的距离为 m （结果保留根号）
三、解答题
7．如图,在△ABC 中,AB ＝AC ＝5,BC ＝6,F 为BC 的中点．P 是BF 上的一点,过点P 作BC 的
垂线交AB 于D,交CA 的延长线于E ．若设 BP ＝x,那么,图中有些量（线段、面积等）可以看作x 的函数,如,PC ＝6－x,PF ＝3－x 等．除以上两例外,请你再写出一个关于x 的函数
图3—1
图3—2
第6题图
解析式,并加以证明．（不要添加辅助线和其它字母）
8．如图14—1是某段河床横断面的示意图.查阅该 河段的水文资料,得到下表中的数据：
x /m
5
10 20 30 40
50
y /m 0.125 0.5 2 4.5 8 12.5
（1）请你以上表中的各对数据（x ,y ）作为点的坐标, 尝试在图14—2所示的坐标系中画出y 关于x 的 函数图象；
（2）①填写下表： x
5 10 20 30 40 50 2
x y
②根据所填表中数据呈现的规律,猜想出用x 表示y
的二次函数的表达式： .
（3）当水面宽度为36米时,一艘吃水深度（船底部到水面的距离）为1.8米的货船能 否在这个河段安全通过？为什么？
9．如图15—1和15—2,在20×20的等距网格（每格的宽和高均是1个单位长）中, Rt △ABC 从点A 与点M 重合的位置开始,以每秒1个单位长的速
Q
M C
A B O 10 20 30 40 50 60
x /m
2
14 12 10 8
6 4 y /m
图14—2
你能行,加 油呀！
x
x
y
图14—1
度先向下平移,当BC 边与网的底部重合时,继续同样的速度向右 平移,当点C 与点P 重合时,Rt △ABC 停止移动.设运动时间 为x 秒,△QAC 的面积为y .
（1）如图15—1,当Rt △ABC 向下平移到Rt △A 1B 1C 1的位置时,
请你在网格中画出Rt △A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形； （2）如图15—2,在Rt △ABC 向下平移的过程中,请你求出y 与
x 的函数关系式,并说明当x 分别取何值时,y 取得最大值和 最小值？最大值和最小值分别是多少？
（3）在Rt △ABC 向右平移的过程中,请你说明当x 取何值时,y 取得最大值和最小值？最大值和最值分别是多少？为什么？
（说明：在（3）中,将视你解答方法的创新程度,给予1~4分的加分）
O
N
P Q
M C
A
B
图15—2
参考答案
一、
1、答：A
2、答：A 分析：可用两种方法解。一是利用定义；二是利用sin2A+cos2A=1.引申：求tanA?
3、答：A
4、答：D
二、
5、答：
1
3
6、答：803
三、
7、
8、解：（1）图象如下图所示. ……………………………………………………2分
2
14
12
10
8
6
4
y/m
（2）① 填表正确； …………………………………………………………5分
② 2
.200
y x =
………………………………………………………6分 （3）当水面宽度为36m 时,相应的x =18,则21
18 1.62,200
y =?=
此时该河段的最大水深为1.62m.……………………………………8分 因为货船吃水深为1.8m,而1.62<1.8,
所以当水面宽度为36m 时,该货船不能通过这个河段. …………10分
9、解：（1）如图1,△A 2B 2C 2是△A 1B 1C 1关于直线QN 成轴对称的图形. …………2分
（2）当△ABC 以每秒1个单位长的速度向下平移x 秒时（如图2）,则有： MA =x ,MB =x +4,MQ =20, y =S 梯形QMBC -S △AMQ -S △ABC
=111
(420)(4)2044222
x x ++-?-??
=2x +40(0≤x ≤16). ……………………………………………………6分 由一次函数的性质可知：
O
P Q
M C 1 C 2 B 1 A 1 A 2 B 2 图1
O
N P Q
M C A B C A B 图2
当x =0时,y 取得最小值,且y 最小=40；
当x =16时,y 取得最大值,且y 最大=2×16+40=72.………………………………8分 （3）解法一：
当△ABC 继续以每秒1个单位长的速度向右平移时,此时16≤x ≤32,PB =20-（x -16）=36-x ,PC =PB -4=32-x ,
∴y =S 梯形BAQP -S △CPQ -S △ABC
111
(420)(36)20(32)44222
x x =+--??--??
=-2x +104(16≤x ≤32). ………………………………………………10分 由一次函数的性质可知：
当x =32时,y 取得最小值,且y 最小=-2×32+104=40；
当x =16时,y 取得最大值,且y 最大=-2×16+104=72.……………………12分
解法二：
在△ABC 自左向右平移的过程中,△QAC 在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC 某一时刻的位置.使得这样的两个三角形关于直线QN 成轴对称.
因此,根据轴对称的性质,只需考察△ABC 在自上至下平移过程中△QAC 面积的变化情况,便可以知道△ABC 在自左向右平移过程中△QAC 面积的变化情况.………………………………………………………………10分（另加2分）
当x =16时,y 取得最大值,且y 最大=72；
当x =32时,y 取得最小值,且y 最小=40.……………………12分（再加2分）
说明：（1）本题解法较多,对于其他正确解法,请参照评分标准按步骤给分； （2）对于（3）,如果学生按照解法一的方法求解,不加分；如果按照解法二利
用图形变换的方法说明,可考虑加1~4分.
10、