九（上）培优训练习题
1、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，如果点E由点B出发沿BC方向向点C 匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点A匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm 和1cm，FQ⊥BC，分别交AC、BC于点P和Q，设运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（1）连接EF，若运动时间t=时，EF⊥AC；
（2）连接EP，当△EPC的面积为3cm2时，求t的值；
（3）若△EQP∽△ADC，求t的值．
2、如图，反比例函数y=（k≠0）的图象经过点A（1，2）和B（2，n），
（1）以原点O为位似中心画出△A1B1O，使=；
（2）在y轴上是否存在点P，使得PA+PB的值最小？若存在，求出P
的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点
A、C、B的抛物线的一部分c1与经过点A、D、B的抛物线的一部分c2组合成一条封闭曲
线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点
M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若
存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
4、如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴相交于点C，连结BC，点P为抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交直线BC于点G，交x轴于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当P位于y轴右边的抛物线上运动时，过点C作CF
⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F
为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，当点P在位于直线BC上方的抛物线上运动
时，连结PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？
若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标，若不
能，请说明理由．
5、如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=﹣x+3交于A，B两点，交x
轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下，P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点
P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点
的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
6、如图，抛物线的顶点坐标为
，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A,B.
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、
AD, 求△ACD的面积；
（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线
EF，与抛物线交于点F.问是否存
在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似.
若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.
7、在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，并且CD=3cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，
沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动．过
点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ，设动点运动时间为x秒．
（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；
（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为
y（cm2），求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形？
8、如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．
在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．
【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．
【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）m．
9、如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，BC=3，AB=CD=2，
点E在BC边上，AE与BD交于点F，∠BAE=∠DBC．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）求tan∠DBC的值；
（3）求线段BF的长．
10、如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，
垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以
1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，
EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设
运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S△AEF=S四边
形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
11、如图，正方形ABCD的边长为1，点E是AD边上的动点，从点A
沿AD向D运动，以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，连接CG。
请探究：
（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由。
（2）若设，，当取何值时，最大？
（3）连接BH，当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？
12、如图，初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°．朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°，已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度
为1：（即AB：BC=1：），且B，C，E三点在同一条直线上，请根据以上条
件求出树DE的高度．（测量器的高度忽略不计）