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教师辅导讲义
授课时间学员姓名年级
辅导科目
九
数学
课时数
学科教师
3
课题专题复习整式及其运算
知识点睛
知识点一、整式的有关概念
：由数与字母的积组成的代数式
1、整式：
多项式：。
单项式中的叫做单项式的系数，所有字母的叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：
①定义：所含相同，并且相同字母的也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的相加，所得的和作为合并后的，不变。
【谈重点】1、单独的一个数字或字母都是式。
2、判断同类项要抓住两个相同：一是相同，二是相同，与系数的大小和字母的顺序无关。
知识点二、整式的运算
1、整式的加减①去括号法则：a+(b+c)=a+,a-(b+c)=a-.
②添括号法则：a+b+c=a+()，a-b-c=a-()
③整式加减的步骤是先，再。
【谈重点】：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都
要。
2、整式的乘法：①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积，即m(a+b+c)=。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积，即（m+n）(a+b)=。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝，
Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2=。
【谈重点】1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要。
2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。
3、整式的除法：①单项式除以单项式，把、分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项这个单项式，再把所得的商。即（am+bm）÷m=。
三、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：不变相加，即：a m a n＝（a＞0，m、n为整数）2、幂的乘方：不变相乘，即：(a m)n＝（a＞0，m、n为整数）
3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂。
即：(ab)n＝（a＞0，b＞0，n为整数）。
4、同底数幂的除法:不变相减，即：a m÷a n＝（a＞0，m、n为整数）
【谈重点】：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n=（n为奇数），(-a)n=（n 为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n=。
2
重点难点解析
考点一：代数式的相关概念
例1（2013?凉山州）如果单项式-x a+1y3与
1
2
-2-
y b x2是同类项，那么a、b的值分别为（）
A．a=2，b=3B．a=1，b=2C．a=1，b=3D．a=2，b=2
对应训练1．（2013?苏州）计算-2x2+3x2的结果为（）A．-5x2B．5x2C．-x2D．x2
考点二：代数式求值例2（2013?苏州）已知x-
113
=3，则4-x2+x的值为（）
x22
A．1B．
3
2
57
C．D．
22
例3（2013?湘西州）下面是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为3时，则输出的数值为．
对应训练2．（2013?盐城）若x2-2x=3，则代数式2x2-4x+3的值为．
3．（2013?绥化）按如图所示的程序计算．若输入x的值为3，则输出的值为．
考点三：单项式与多项式例4（2013?云南）下列运算，结果正确的是（）
A．m6÷m3=m2B．3mn2?m2n=3m3n3C．（m+n）2=m2+n D．2mn+3mn=5m2n2
对应训练4．（2013?沈阳）下面的计算一定正确的是（）
A．b3+b3=2b6B．（-3pq）2=-9p2q2C．5y3?3y5=15y8D．b9÷b3=b3
考点四：幂的运算例5（2013?株洲）下列计算正确的是（）
A．x+x=2x2B．x3?x2=x5C．（x2）3=x5D．（2x）2=2x2
对应训练5．（2013?张家界）下列运算正确的是（）
A．3a-2a=1B．x8-x4=x2C．(2)2=-2D．-（2x2y）3=-8x6y3
考点五：完全平方公式与平方差公式例6（1）（2013?郴州）已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2=．
（2）（2013?珠海）已知a、b满足a+b=3，ab=2，则a2+b2=．
例7（2013?张家港市二模）如图，从边长为（a+3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为acm，则另一边长是（）
A．（2a+3）cm B．（2a+6）cm C．（2a+3）cm D．（a+6）cm
对应训练6．（2013?徐州）当m+n=3时，式子m2+2mn+n2的值为．
7．（2013?攀枝花模拟）如图（一），在边长为a的正方形中，挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部
分剪成一个矩形（如图（二）），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2-b2=（a+b）（a-b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a-b）2=a2-2ab+b2D．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2
考点六：整式的运算例8（2013?株洲）先化简，再求值：（x-1）（x+1）-x（x-3），其中x=3．
A．a=
5
2B．a=3b C．a=
7
2D．a=4b
，a=（n为不小于2的整数），则a100=（）
1-a
-3-
例9（2013?宁波）7张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）
b b
对应训练8．（2013?扬州）先化简，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2．
9．（2013?泰州）把三张大小相同的正方形卡片A、B、C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部
分用阴影表示，若按图1摆放时，阴影部分的面积为S
1
；若按图2摆放时，阴影部分的面积为S
2
，则S
1
与S
2
的大小关系是（）A．S
1
＞S
2
B．S
1
＜S
2
C．S
1
=S
2
D．无法确定
考点七：规律探索例10（（2013?山西）一组按规律排列的式子：a2,
a4a6a8
,,，…，则第n个式子是．
357
例11（2013?淄博）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2013个格子中的整数是．
-4a b c6b-2…
例12（2013?烟台）将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（）
A．502B．503C．504D．505
对应训练10．（2013?淮安）观察一列单项式：1x，3x2，5x2，7x，9x2，11x2，…，则第2013个单项式是．
11．（2013?玉林）一列数a
1
，a
2
，a
3
，…，其中a
1
=
1
2n
1
n-1
A．
1
B．2C．-1D．-2
2
12．（2013?十堰）如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图5中三角形的个数是（）
A．8B．9C．16D．17
【中考在线】一、选择题1．（2013?丽水）化简-2a+3a的结果是（）
A．-a B．a C．5a D．-5a
2．（2013?徐州）下列各式的运算结果为x6的是（）
A．x9÷x3B．（x3）3C．x2?x3D．x3+x3
3．（2013?连云港）计算a2?a4的结果是（）A．a6B．a8C．2a6D．2a8
-4-
4．（2013?重庆）计算3x3÷x2的结果是（）A．2x2B．3x2C．3x D．3
5．（2013?遵义）计算（-
131
ab2）3的结果是（）A．-a3b6B．-a3b5
222
11
C．-a3b5D．-a3b6
88 6．（2013?佛山）多项式1+2xy-3xy2的次数及最高次项的系数分别是（）
A．3，-3B．2，-3C．5，-3D．2，3
7．（2013?遂宁）下列计算错误的是（）A．-|-2|=-2B．（a2）3=a5
8．（2013?盘锦）下列计算正确的是（）A．3mn-3n=m B．（2m）3=6m3
C．2x2+3x2=5x2D．8=22
C．m8÷m4=m2D．3m2?m=3m3 9．（2013?达州）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连
续两次降价15%；丙超市一次降价30%．那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（）
A．甲B．乙C．丙D．一样
10．（2013?黄冈）矩形AB=a，AD=b，AE=BF=CG=DH=c，则图中阴影部分面积是（）
A．bc-ab+ac+b2B．a2+ab+bc-ac C．ab-bc-ac+c2D．b2-bc+a2-ab
11．（2013?保康）如图，边长为（a+2）的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2，则另一边长是（）
A．2B．a+4C．2a+2D．2a+4
12．（2013?新华区一模）定义运算a⊕b=a（1-b），下面给出了这种运算的四个结论：①2⊕（-2）=6；②若a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；③a⊕b=b⊕a；④若a⊕b=0，则a=0或b=1．其中结论正确的有（）
A．①②B．①②③C．②③④D．①②④
二、填空题
13．（2013?晋江市）计算：2a2+3a2=．14．（2013?天津）计算a?a6的结果等于．15．（2013?上海模拟）计算：6x2y3÷2x3y3=．
16．（2013?同安区一模）“比a的2倍大
1
的数”用代数式表示是．
5
17．（2013?义乌市）计算：3a?a2+a3=．
18（2013?铁岭）某商店压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原来每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%．经过两次降价后的价格
为元（结果用含m的代数式表示）
19．（2013?贵港）若ab=-1，a+b=2，则式子（a-1）（b-1）=．
20．（2013?沈阳）如果x=1时，代数式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1时，代数式2ax3+3bx+4的值是．21．（2013?泰州）若m=2n+1，则m2-4mn+4n2的值是．
22．（2013?晋江市）若a+b=5，ab=6，则a-b=．
23．（2013?永州）定义
a b
为二阶行列式．规定它的运算法则为a b=ad-bc．那么当x=1时，二阶行列式x-11的
c d c d0x-1
值为．
24．（2013?雅安）已知一组数2，4，8，16，32，…，按此规律，则第n个数是．
25．（2013?云南）下面是按一定规律排列的一列数：1
,
3
,
5
,
7，…那么第n个数是．
471219
26．（2013?孝感）如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是．
y-8xy 27．（2013?青岛）要把一个正方体分割成 8 个小正方体，至少需要切 3 刀，因为这 8 个小正方体都只有三个面是现 成的．其他三个面必须用三刀切 3 次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成 27 个小正方体，至少需用刀切 次；分割成 64 个小正方体，至少需要用刀切 次． 28．（2013?日照）已知 m 2-m=6，则 1-2m 2+2m= ． 29．（2013?滨州）观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，25×25=2×3×100+25， 35×35=3×4×100+25，… 请猜测，第 n 个算式（n 为正整数）应表示为 ． 30．（2013?潍坊）当 n 等于 1，2，3…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示，则第 n 个图 形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 ．（用 n 表示，n 是正整数）
三、解答题 31．（2013?宜昌）化简：（a-b ）2+a （2b-a ）
32．（2013?宁波）先化简，再求值：（1+a ）（1-a ）+（a-2）2，其中 a=-3．
33．（2013?三明）先化简，再求值：（a+2）（a-2）+4（a+1）-4a ，其中 a= 2 -1．
34．（2013?邵阳）先化简，再求值：（a-b ）2+a （2b-a ），其中 a=-
1 2
，b=3．
35．（2013?娄底）先化简，再求值：（x+y ）（x-y ）-（4x 3
3）÷2xy ，其中 x=-1，y= 3 3
．
把剪成的两张纸拼成如图 2 的等腰梯形， 1）设图 1 中阴影部分面积为 S 1，图 2 中阴影部分面积为 S 2，请直接用含 a ， 36．（2013?义乌市）如图 1 所示，从边长为 a 的正方形纸片中减去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开， （ b 的代数式表示 S 1 和 S 2；（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式．
37．（2013?张家界）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22013 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以 2 得： 2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得 2S-S=22014-1 即 S=22014-1 即 1+2+22+23+24+…+22013=22014-1
请你仿照此法计算：
（1）1+2+22+23+24+…+210
（2）1+3+32+33+34+…+3n （其中 n 为正整数）．