数学科 教学设计
学生姓名
教师姓名
班主任
日期
年级
课时
教学内容 等腰三角形、直角三角形
教学目标 掌握这两种特殊三角形的性质及证明方法 重点 等腰三角形、直角三角形的性质 难点
等腰三角形、直角三角形的证明
一 、知识要点
1.有两条边相等的三角形为等腰三角形，三条边都想等的三角形称为等边三角形或正三角形；
2.等腰三角形两个底角相等，即等腰对等角，反之，等角对等腰。
3.等腰三角形三线合一定理：等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的角平分线三线重合；
4.Rt △斜边上的中线等于斜边的一半；
5.等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形，c=2a ，c 为斜边边长；
6.有一个锐角为30°的直角三角形：30°角所对的直角边等于斜边的一半；
7.正三角形的面积：S=2
3a 4
，a 为边长。 二 、例题精讲
例1：如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB
求∠A 的度数
例2：如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD
求∠A 的度数
A
B C
D E
F E A
D
B
C
例3：如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若
BE=AC,BD=2
1
,DE+BC=1,求∠ABC 的度数。
C
A
D
E
B
例4：如图，CE 平分∠ACB ，且CE ⊥DB ，∠DAB ＝∠DBA ，AC ＝18cm ，△CBD 的周长为28 cm ，求BD 长。
三 、巩固练习
1. △ABC 中，F 是BC 上的一点，且BF=2CF,那么△ABF 与△ACF 的面积比是 2．(2009中考变式题)已知在△ABC 中，
(1)如图①，若P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，则∠P ＝90°＋1
2∠A ； (2)如图②，若P 点是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线的交点，则∠P ＝90°－∠A ；
(3)如图③，若P 点是外角∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，则∠P ＝90°－1
2∠A.
上述说法中真命题的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3．(2010·昆明)如图，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线， ∠A ＝80°，∠ACB ＝60°，那么∠BDC ＝( )
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．110°
4．(2011中考预测题)如图所示，将△ABC 沿着DE 翻折，B 点落到了B ′点处．若∠1＋∠2＝80°，则∠B ′＝________。
第4题图 第5题图
5.
如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE
6．如图，四边形ABCD 中，∠BAD+∠BCD=180°，AD 、BC 的延长线交于点F ，DC 、AB 的延长线交于点E ，∠E 、∠F 的平分线交于点H 求证：EH ⊥FH
F
A
B
E
C
D
H
7.（2008南京中考变式题）如图所示，△ABC 为等边三角形，D 、E 分别在AB 、AC 上，且∠ABE=∠BCD ，CD 、BE 相交于点O ，DF ⊥BE 于F 。 求证：OD=2OF 。
B
C
A D
E
F
O
C B A
D
E P
8. 如图已知：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于D，DE∥BC 交AB于E，交AC于F。求证：BE=EF+CF
9.如图，△DEF中，∠EDF=2∠E，FA⊥DE于点A，问：DF、AD、AE间有什么样的大小关系
E A
D
F
10.本题满分12分,每小题4分）实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜a上,被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.
(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.
(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a、b的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a、b的两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗?
教学反思：3
2
1
n
m
b
a
【教案三】23.2解直角三角形及其应用 一．教学三维目标 (一)、知识目标 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． (二)、能力目标 逐步培养分析问题、解决问题的能力． 二、教学重点、难点和疑点 1．重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 2．难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题． 三、教学过程 （一）回忆知识 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理：a2+b2=c2 (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系： tanA=的邻边的对边A A ∠∠，sinA=斜边的对边A ∠， cosA=斜边的邻边A ∠ （二）新授概念 1．仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义． 2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B 的俯角α=16°31′，求飞机A 到控制点B 距离(精确到1米) 解：在Rt △ABC 中sinB=AB AC ∴AB=B AC sin =2843.01200 =4221(米) 答：飞机A 到控制点B 的距离约为4221米． 例2.2003年10月15日“神州”5号载人航天飞船发射成功。当飞船完成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运行。如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上能直接看到地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6400km ，结果精确到0.1km ） 分析：从飞船上能看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点。斜边 的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin
12.3.1 《等腰三角形》教学设计 教材：义务教育课程标准新人教版实验教科书 八年级上册第49~51页 授课教师：西宁市第九中学张生秀
12.3.1 等腰三角形教学设计 授课教师：西宁市第九中学李新汉 教材：义务教育课程标准新人教版实验教科书 八年级上册第49~51页 【教学目标】 新课程改革中要求教学应以学生的发展为本，学生的能力培养为重，尤其是创新、创造能力，以及培养学生良好的个性品质等。根据以上指导思想，确定本节课的教学目标如下： （1）知识技能目标 1、理解并掌握等腰三角形的性质； 2、运用等腰三角形的性质进行证明和计算。 （2）能力目标 1、通过等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力； 2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识与技能解决 问题的能力，发展应用意识。 （3）情感目标 1、感受图形中的动态美、和谐美、对称美； 2、感受合作交流带来的成功感，树立自信心. 【教学重点】 等腰三角形的性质及应用。 【教学难点】 等腰三角形的性质2证明及应用。 【教具准备】 圆规、剪刀、直尺、矩形宽纸条、投影仪、刻度尺。 【教学方法与手段】 1、教学方法： （1）、根据本节课设置了两个猜想论证的特点，我采用了教具直观演示教学法，探索发现教学法，设疑思考法，逐步渗透法。 （2）、最有价值的知识是关于方法的知识，首先教师应创造一种环境，引导学生从已知的、熟悉的知识入手，让学生自己通过动手操作、观察交流，在活动中运用旧知识的钥匙去打开新知识的大门，进入新知识的领域，从不同角度去分析、解决新问题，发掘不同层次学生的不同能力，从而达到发展学生思维能力和自学能力的目的，发掘学生的创新精神。 2、教学手段： 借助多媒体辅助教学，通过有动感的画面，提高学生学习数学的兴趣，在直观的演示过程中主动愉快的获取新知识，提高教学效率。 3、学法指导： 根据思考并解决等腰三角形的问题，引导学生积极思考问题，鼓励学生进行合作学习，让每个学生都动口、动手、动脑，自己归纳出性质，培养学生学习的主动性和积极性。 【教学过程】
《直角三角形的判定》说课稿 一、教材分析 ㈠教材所处的地位及作用 本节课以前，学生已经学习了直角三角形的两种判定方法：由直角三角形定义判定或由有两个角互余判定。 在学生原有的这些认知水平上，通过对本课时内容的学习，一方面从边的数量关系出发，丰富了直角三角形的判定方法；另一方面对勾股定理的学习做了必要的延伸。 ㈡教学目标： 从教材和学生两方面考虑，以学生的发展为本，学生的能力培养为主，兼顾知识教学、技能训练，确定教学目标如下： ●知识与技能目标：要求学生掌握由三边关系判定直角三角形的方法，并能用 这一方法解决简单问题。经历探索特殊三角形三边之间的“数”的关系发现此三角形有一个角是直角的“形”的特点的过程，再一次应用数形结合思想，并在这一过程中培养学生合作交流的能力。 ●过程与方法目标：让学生在合作交流中获取知识，组织学生通过观察、发现、 交流、体验、说理归纳等活动，感知并掌握直角三角形的判定方法。 ●情感、态度与价值观目标：通过创设情境，激发学生的求知欲；通过动手摆 一摆、做一做、算一算等活动的开展，让学生乐于探究,培养学生独立思考和合作交流的能力，让他们享受成功的喜悦。 ㈢教学重点与难点 根据学生的认知水平、认知能力以及教材的特点，确定以下重点、难点：
本节课的重点是由三角形三边关系判定直角三角形的方法。 本节课的难点是如何将三角形边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，来判定是否是直角三角形。 二、学情分析 考虑到我校学生有以下三方面的特点，我设计了这节课。 第一在认知上：学生已学了勾股定理，在探求勾股定理的过程中，已经有过把特殊三角形有一个角是直角的“形”的特点转化为三边之间的“数”的关系的体验，对数形结合思想有了一定的认知。 第二在能力上：八年级学生已经有一定的探索能力和解决问题的能力，能从几个特殊情况入手合情推理出一般情况下的结论，但思维的严谨性相对薄弱。 第三在个人情感与学习风格上：我校是初级中学，学生天真活泼，对于新生事物有浓厚兴趣，求知欲望强，学习热情较高。 三、教法与学法分析 针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择探究式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动口、动脑的能力，使学生真正成为学习的主体，获取直接经验，享受成功的欢乐。 四、教学程序 （一）复习提问,引入课题 （1）什么叫做全等三角形？全等三角形有哪些特征? (2)我们已学过识别两个三角形全等的简便方法是什么? （3）如果两个直角三角形有斜边和直角边分别对应相等，这两个直角三角
“等腰三角形”第一课时教学设计 【教学目标】 1.知识与能力 会画等腰三角形、会通过剪纸得等腰三角形，理解等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的性质解决相应的数学问题． 2.过程与方法 在探索等腰三角形的性质的过程中体会知识间的关系，感受数学与生活的联系．培养学生添加辅助线解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观 培养学生分析解决问题的能力，使学生养成良好的学习习惯． 【教学重点】 探索等腰三角形的性质，能够利用等腰三角形的知识解决相应的数学问题．【教学难点】 等腰三角形性质的证明和应用． 【教学方法】 创设情境－主体探究－合作交流－应用提高． 【教学工具】 长方形的纸片、三角板、圆规。 【教学过程】 一、创设情境，引出课题 1、同学们会画等腰三角形吗 （学生操着，教师查看。） 2、找学生代表展示自己的作品 （可能有：①先画两条相等的边，再画另一条边。②先画一边，再用圆规画出另外两条相等的边。） 3、教师在黑板上分别用两种方法画出等腰三角形。顺便复习：腰、底边、顶角、底角。 4、剪纸得等腰三角形（教师带学生一起操着）
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到了一个什么图形 二、引导观察，猜想性质 提问1：活动中剪出的等腰三角形是轴对称图形吗 提问2：对称轴在哪里沿着对称轴对折有哪些重合的线段和角 提问3：从上表中你能猜想等腰三角形具有什么性质吗 （引导学生归纳出等腰三角形的性质） 性质1 等腰三角形的两个底角相等（ 简写成“等边对等角” ）； 性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合． 提问4：等边三角形什么性质（进一步引导学生归纳出等腰三角形的性质） 性质3：等边三角形的三个内角相等，每个内角等于600. 三、引导推理，论证性质 1、提问：据我们一直来的方法，先观察，猜想性质，然后用几何知识论证 性质，那么要证明一个命题的第一步是什么（引导学生分析性质（1）的题设和 结论，画出图形，写出已知和求证） 2、提问：证明两个角相等，我们一般用什么方法。（引导学生观察折纸 添加辅助线，构造两个全等三角形） D C B A
12.3等腰三角形（第三课时） ◆随堂检测 1一个等边三角形的角平分线、高、中线的总条数为_________. 2.如图 ，已知线段AB ，分别以A B 、为圆心，大于1 2AB 长为半径画弧，两弧相交于点C 、 Q ，连结CQ 与AB 相交于点D ，连结AC ，BC ．那么：（1）∠ ADC =________度； （2）当线段460AB ACB =∠=，°时，ACD ∠= ______度，周长= 3 如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，BD=8，则AC=__________. 4已知，如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC＝120°，EF 为AB 的垂直平分线，EF 交BC 于F ，交AB 于E ．求 证：FC BF 2 1= ． ◆课下作业 1.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________. 2.如果三角形一边的中线和这边上的高重合，则这个三角形是（ ） A.等边三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.如图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD . 4.如图，已知P 、Q 是△ ABC 边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ．求：∠ BAC 的度数． C B D A Q D C A B E
5.（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三 角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小. ●体验中考 1．如图所示，ABC △是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使C E C D =， （1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM EM =． 2.如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和 正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论： ① AD =BE ； ② PQ ∥AE ； ③ AP =BQ ； ④ DE =DP ； ⑤ ∠AOB =60°． 恒成立的有____________（把你认为正确的序号都填上） A C D A B C E D O P Q
精品文档 （五 ）解直角三角形的实际应用 （含答案 ） 1. （2017 湖南株洲第 23 题 ）如图示一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的桥的左端点 P 的俯角为 α 其中 tan α=2 3 ，无人机的飞行高度 AH 为 500 3米，桥的长度为 1255 米． ①求点 H 到桥左端点 P 的距离； ②若无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长度 AB ． 【答案】①求点 H 到桥左端点 P 的距离为 250 米；②无人机的长度 AB 为5米． ②设 BC ⊥HQ 于 C ． 在 Rt △BCQ 中，∵ BC=AH=500 3，∠ BQC=30°， BC ∴ CQ= =1500 米，∵ PQ=1255 米，∴ CP=245 米， tan30 ∵HP=250 米，∴ AB=HC=250﹣245=5 米． 答：这架无人机的长度 AB 为 5 米． . 考点：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 2. （ 2017 内蒙古通辽第 22 题）如图，物理老师为同学们演示单摆运动，单摆左右摆动中，在 EOA 300 ，在OB 的位置时俯角 FOB 600 .若OC EF ，点 A 比点 B 高 7cm . OA 的位置时俯角
求（ 1）单摆的长度（3 1.7 ）；
精品文档 （2）从点A摆动到点B 经过的路径长（3.1） 答案】（ 1）单摆的长度约为 18.9cm（2）从点 A 摆动到点 B经过的路径长为 29.295cm 1 OP=OAcos∠ AOP= x， 2 在 Rt△ BOQ 中， 由 PQ=OQ﹣ OP 可得3 x﹣1 x=7，22 解得： x=7+7 3 ≈ 18.9（ cm）， . 答：单摆的长度 约为 18.9cm； （2）由（ 1）知，∠ AOP=60°、∠ BOQ =30°，且 OA=OB=7+7 3 ，∴∠ AOB=90°，则在 Rt△ AOP 中， OQ=OBcos∠BOQ= 2
第一章三角形的证明 1. 等腰三角形（二） 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。 二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下： 1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观要求 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 4．教学重、难点 重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论． 三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：随堂练习及时巩固；第六环节：探讨收获课时小结。 第一环节：提出问题，引入新课 活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。 第二环节：自主探究 活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。 活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
12.3.1 等腰三角形教学设计(第一课时) 【学习目标】 1.知识与能力 了解等腰三角形的有关概念，探索并掌握等腰三角形的性质；能够用等腰三角形的知识解决相应的数学问题。 2.过程与方法 通过对性质的探究活动和例题的分析，培养学生多角度思考问题的习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3.情感、态度与价值观 通过引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。 【学习重点】
等腰三角形的性质的探索及应用。 【学习难点】 等腰三角形三线合一的性质的理解、证明及其应用。 【学习过程】 一、创设情境 1.出示人字型屋顶的图片（55页），提问：屋顶被设计成了哪种几何图形？ 2.小学我们已经初步认识了等腰三角形，这节课我们来具体研究等腰三角形的性质。 二、操作探究 1.动手操作 如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？
学生课前动手操作，剪出图形，课上从剪出的图形观察△ABC的特点，可以发现AB=AC。 学生总结出等腰三角形的概念：有两边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，底边和腰的夹角叫作底角。 找出手中图形的腰、底边、顶角、底角（△ABC中，若AB=AC，则△ABC是等腰三角形，AB、AC是腰、BC是底边、∠A是顶角，∠B和∠C是底角。）
2.探究问题 （1）刚才剪出的等腰三角形ABC是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 学生思考、回顾剪纸过程，动手把等腰三角形ABC沿折痕对折，容易回答出⊿ABC是轴对称图形，折痕AD所在的直线是它的对称轴 （2）把剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： （3）从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗？说一说你的猜想。
直角三角形（一） 教学目标：1、了解勾股定理及其逆定理的证明方法 2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题、知道原 命题成立其逆命题不一定成立。 教学重点、难点：进一步掌握演绎推理的方法。 教学过程： 一、 温故知新 1、你记得勾股定理的内容吗？你曾经用什么方法得到了勾股定理？ （由学生回顾得出勾股定理的内容。） 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 二、 学一学 1、问题情境：在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论，你能证明这 个结论吗？ 已知：在ΔABC 中，AB 2+AC 2=BC 2 求证：ΔABC 是直角三角形 a) （1） （2） （讲解证明思路及证明过程，引导学生领会证明思路及证明过程，得出结论。） 结论：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角 形。 2、议一议： 观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？ 如果两个角是对顶角，那么它们相等。 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 B C A B 2 C 1
三角形中相等的边所对的角相等。 三角形中相等的角所对的边相等。 （引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，进一步得出“互逆定理”的概念。） 3、关于互逆命题和互逆定理。 （1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命 题。 （2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理， 其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 （引导学生理解掌握互逆命题的定义。） 4、练习： （1）写出命题“如果有两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。 （2）试着举出一些其它的例子。 （3）随堂练习 1 5、读一读“勾股定理的证明”的阅读材料。 6、课堂小结：本节课你都掌握了哪些内容？ （引导学生归纳总结，互逆定理的定义及相互间的关系。） 三、作业 1、基础作业：P21页习题1.4 1、 2、3。 2、预习作业：P22-23页做一做 板书设计：
解直角三角形的应用教案
解直角三角形的应用教案 ―－俯角仰角问题教学目标： 1、了解仰角、俯角的概念。 2、能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际 问题。 3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合的思想方 法。 教学重点： 解直角三角形在实际中的应用。 教学难点： 将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题。 教学方法：三疑三探 教学过程： 一、复习引入新课 如图：在△ABC中，∠C=90°， ∠A、∠B、∠C的对边分别为 a,b,c. 则三边之间关系为； 锐角之间关系为；边角之间关系(以锐角A为例)为。 看来大家对基础知识掌握得还是比较牢固的。下面我们来看这样一个问题： 问题：小玲家对面新造 了一幢图书大厦，小玲心想： “站在地面上可以利用解直角 三角形测得图书大厦的高，站 在自家窗口能利用解直角三角 形测出大厦的高吗？他望着大厦顶端和大厦底部，可测出视线与水平线之间的夹角各一个，但这两个角如何命名呢？ ο 46A B C Cο 29 A
AE ＝DE ×tan a ＝BC ×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17 AB ＝BE ＋AE ＝AE ＋CD ＝9.17＋1.20 ≈10.4（米） 答:旗杆的高度约为10.4米． 2、解：在ΔABC 中，∠ACB =90° ∵ ∠CAB =46° AC=32m tan ∠CAB= ∴BC=AC ·tan46° ≈33.1 在ΔADC 中，∠ACD=90° ∵ ∠CAD=29° AC=32m tan ∠CAD= ∴DC=AC ·tan29° ≈17.7 ∴BD=BC+CD=33.1+17.7=50.8≈51 答：大厦高BD 约为51m. 二、 质疑再探 在本节课的探究和学习过程中你还有那些疑惑或问题？请大胆提出来，大家共同解决。 三、 运用拓展 １、 生自编题 ２、 师补充题 1、一架飞机以300角俯冲400米,则飞机的高度变化情况是( c ) C ο29D A BC AC DC AC ο46A B C
等腰三角形教案（第二课时） 一、内容和内容解析 1、内容 等腰三角形的判定。 2、内容解析 本节课是在学生已经学习了轴对称和等腰三角形的性质的基础上，进一步探索等腰三角形的判定方法，这为我们提供了证明两条线段相等的新方法． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形判定。 二、教学目标 1、知识与技能 （1）探索等腰三角形判定定理． （2）理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．（3）了解等腰三角形的尺规作图. 2、过程与方法 （1）探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念； （2）通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解。 3、情感态度价值观目标： （1）学生通过积极参与分析，体验到学习知识的乐趣，思考的魅
力，增强应用数学的意识。 （2）经历运用等腰三角形的性质和等腰三角形判定定理解决问题的过程，体会数学的应用价值，提高运用知识和解决问题的能力。 三、教学重点与难点 1、重点：理解和运用等腰三角形的判定定理； 2、难点：等腰三角形判定的利用作中线的证明方法。 四、教学方法和教学手段 1、教学方法：师生问答探究教学法数形结合法 2、教学手段：多媒体教学（PPT）、圆规直尺作图分析 五、教学过程 （一）、教学流程设计。 1、复习旧知，回顾思考: 通过对等腰三角形性质的复习提出问题，引发学生思考； 2、讨论分析，论证性质: 通过探索，归纳等腰三角形的判定并予以证明； 3、课堂练习，师演生学：在解题过程中加深对判定的理解，学会判定的运用及等腰三角形的画法； 4、梳理反思，布置作业：回顾反思，从知识、方法、情感态度等方面谈收获。
课时课题：第一章第一节等腰三角形第3课时 教学目标： 1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性. 2.初步了解反证法的含义，并能利用反证法证明简单的命题. 3.体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 教学重点与难点： 重点：等腰三角形的判定定理的证明. 难点：反证法的含义，利用反证法证明简单的命题. 教法与学法指导： 本节应用“启迪诱导—自主探究”教学模式.教师在教学过程中起到引导释疑的作用:引导学生观察、思考、分析、讨论、形成结论，并让学生在应用中体会所得知识,学会应用所学知识解决问题的方法.本节课关注了问题的变式与拓广，引领学生经历了提出问题、解决问题的过程，因而较好地提高了学生的研究能力、自主学习能力. 课前准备：多媒体课件 教学过程： 第一环节回顾旧知复习导入 师：请同学们回顾一下，前面我们学习了等腰三角形的哪些性质。 生1：等腰三角形两底角相等，就是“等边对等角”。 生2：“三线合一”。 生3：等腰三角形两腰上的高相等，两腰上的中线相等，两底角的平分线相等。
师：非常好！同学们概括的很全面。那么对于等腰三角形的性质定理：等腰三角形两底角相等，这个命题的题设和结论是什么？ 生：题设：等腰三角形。结论：两底角相等。 师：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等？ 生：完全成立，可以证明出来。 设计意图：设计成问题串是为引出等腰三角形的判定定理埋下伏笔。学生独立思考是对上节课内容有效地检测手段。 第二环节 合作探究 展示交流 师：以前我们通过改变问题条件，得出了很多类似的结论，这是研究问题的一种常用方法，除此之外，我们还可以“反过来”思考问题，这也是获得数学结论的一条途径．比如“等边对等角”，反过来成立吗?也就是：有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?下面我们来一起证明一下这个结论。请同学们画出图形，写出已知、求证。 学生活动：在练习本上画图，写出已知、求证，完成证明命题的前两步。找一个同学黑板板书。 生：已知：如图，在△ABC 中，∠B=∠C ， 求证：AB=AC ， 师：同学们完成的很好，下面怎样来完成证明过程哪？（停顿一下，给学生思考时间。）同学们回想一下，我们是怎样证明“等边对等角的”? 生1：作辅助线构造两个全等的三角形，使AB 与AC 成为对应边就可以了。 生2：由前面定理的证明的方法，通过作BC 的中线，或作∠A 的平分线，或作BC 上的高，都可以把△ABC 分成两个全等的三角形。 C B A
等腰三角形第二课时 教学目标 （一）教学知识点探索等腰三角形的判定定理. （二）能力训练要求探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念. （三）情感与价值观要求通过对等腰三角形判定定理的探索，让学生体会探索学习的乐趣，并通过等腰三角形的判定定理的简单应用，加深对定理的理解. 从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力. 教学重点等腰三角形的判定定理及其应用. 教学难点探索等腰三角形的判定定理. 教学过程 I.提出问题，创设情境 [师] 上节课我们学习了等腰三角形的性质，现在大家来回忆一下，等腰三角形有些什么性质呢? [ 生甲] 等腰三角形的两底角相等. [ 生乙] 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. [ 师] 同学们回答得很好，我们已经知道了等腰三角形的性质，那么满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢?这就是我们这节课要研究的问题. n.导入新课
[ 师] 同学们看下面的问题并讨论： [ 生甲] 应该能同时赶到出事地点. 因为两艘救生船的速度相同，同时出发，? 在相同的时间内走过的路程应该相同，也就是OA=OB 所以两船能同时赶到出事地点 [生乙]我认为能同时赶到0点的位置很重要，也就是A如果不等于B，? 那么同时以同样的速度就不一定能同时赶到出事地点. [ 师] 现在我们把这个问题一般化，在一般的三角形中，如果有两个角相等，? 那么它们所对的边有什么关系? [ 生丙] 我想它们所对的边应该相等. [ 师] 为什么它们所对的边相等呢?同学们思考一下，给出一个简单的证明. [ 生丁] 我是运用三角形全等来证明的. [例1]已知：在厶ABC中，C（如图）. 求证：AB=AC. 证明：作BAC的平分线AD. 在厶BAD和厶CAD中 △BAD^A CAD(AAS). AB=AC. [ 师] 太好了. 从丁同学的证明结论来看，在一个三角形中，如果 有两个角相等，那么它们所对的边也是相等，也就说这个三角形就是等腰三角形. 这个结论也回答了我们一开始提出的问题. 也就是如何来判定一个三角形是等腰三角形. 等腰三角形的判定定理：如果一
第3课时等腰三角形的判定 1．探索等腰三角形的判定定理． 2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 3．了解反证法的基本证明思路，并能简单应用． 4．培养学生的逆向思维能力． 重点 掌握等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 难点 理解和掌握反证法的证明方法． 一、复习导入 问题1：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？ 问题2：我们是如何证明上述定理的？ 问题3：我们把性质定理的条件和结论反过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？ 二、探究新知 1．等腰三角形的判定定理 师：你能证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”吗？并与同伴交流． 处理方式：学生在练习本上画图，写出已知、求证；小组之间探究讨论多种证明方法． 已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C. 求证：AB＝AC. 证法一：过点A作BC的垂线，垂足为D. ∵AD⊥BC ， ∴∠BDA＝∠CDA＝ 90°. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BDA＝∠CDA, AD＝AD ， ∴△ABD≌△ACD (AAS)． ∴ AB＝AC (全等三角形的对应边相等)． 证法二：作∠BAC的角平分线，交BC于点D. ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD. 在△ABD和△ACD中， ∵∠B＝∠C, ∠BAD＝∠CAD, AD＝AD, ∴△ABD≌△ACD (AAS) . ∴AB＝AC(全等三角形的对应边相等)． (教师引导学生类比“等边对等角”的证明方法正确地添加辅助线，规范地写出推理过程，鼓励学生一题多解．)
师指出：作△ABC的边BC的中线，虽然把△ABC分成了两个三角形，这两个三角形对应两边及其一边的对角分别相等，这是“SSA”，是不能证明两个三角形全等的．因此，这种添加辅助线的方法是不可行的． 引导学生归纳等腰三角形的判定定理： 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 简述为：等角对等边． 2．反证法 课件出示： 在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗？如果成立，你能证明它吗？ 处理方法：学生积极动脑思考，小组交流讨论． 师引导：用综合法证明本结论是行不通的，因此，我们要探究一种新方法来完成它的证明，下面来看小明同学的想法：(课件出示) 如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等． 假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C＝∠B，但已知条件是∠B≠∠C.这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC. 师：你能理解他的推理过程吗？ 师出示“反证法”的定义： 先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法． 三、举例分析 例1 已知：如图，AB＝DC，BD＝CA，BD与CA相交于点E. 求证：△AED是等腰三角形． 证明：∵AB＝DC，BD＝CA，AD＝DA ， ∴△ABD≌△DCA. ∴∠ADB＝∠DAC(全等三角形的对应角相等)． ∴AE＝DE(等角对等边)． ∴△AED是等腰三角形． 例2 (课件出示教材第9页例3) 处理方法：学生独立完成，教师点评． 四、练习巩固 1．如果三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是( ) A．钝角三角形B．直角三角形 C．等腰三角形D．等边三角形 2．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝40°，D，E是BC上两点，且∠ADE＝∠AED＝80°，则图中共有等腰三角形( ) A．6个B．5个C．4个D．3个 ,第2题图) ,第3题图)
7.3 二元一次方程组的应用（2）学案 【学习目标】 1.能够正确运用等腰三角形的性质及判定定理证明一些相等关系； 2.能够掌握等腰三角形中常用的辅助线； 3.进一步发展推理能力 【学习重难点】 重点:能证明等腰三角形两腰上的中线、高线和两底角的平分线相等 难点:运用等腰三角形有关性质定理进行相关题目的证明 【学习过程】 一、复习回顾 .______,70,)1(=∠=∠=C B AC AB 若 ()._____,5,2==∠=∠AC AB C B 若 ().___,40___,, 3,,3=∠=∠==⊥=BAD BAC CD BD BC AD AC AB 则若则若已知 二、探就新知 探一探：在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、中线、高等）.你能发现其中的一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗？ 证一证： 例 证明:等腰三角形两底角的平分线相等. 已知:如图,在△ABC 中,AB=AC,BD,CE 是△ABC 角平分线. 练一练： 1. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. 已知:如图,在△ABC 中AB=AC, BD,CE 是△ABC 两腰上的中线. 求证:BD=CE. 2.证明:等腰三角形两腰上的高相等. 已知:如图,在△ABC 中AB=AC,BD,CE 是△ABC 两腰上的高 求证:BD=CE.
三、学以致用 例2 已知：如图，点D，E在ΔABC的边BC上，AB=AC，AD=AE. 求证：BD=CE. 四、随堂练习 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC,且∠1= ∠2。 求证：AB=AC 五、当堂达标 1.已知：如图，D是△ABC内一点，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，且DB=DC，求证：AB=AC. 2.已知：如图，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E ，求证：BE=CE.
10.3等腰三角形（3） 2．等腰三角形的识别 教学目的 1．通过探索一个三角形是等腰三角形的条件，培养学生的探索能力。 2．能利用一个三角形是等腰三角形的条件，正确判断某个三角形是否为等腰三角形。 重点、难点 重点：让学生掌握一个三角形是等腰三角形的条件和正确应用。 难点：一个三角形是等腰三角形的条件的正确文字叙述。 教学过程 一、复习引入 等腰三角形具有哪些性质? 等腰三角形的两底角相等，底边上的高、中线及顶角平分线“三线合一”。 二、新课 对于一个三角形，怎样识别它是不是等腰三角形呢?我们已经知道的方法是看它是否有两条边相等。这一节，我们再学习另一种识别方法。 我们已学过，等腰三角形的两个底角相等，反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗? 为了回答这个问题，请同学们分别拿出一张半透明纸，做一个实验，按以下方法进行操作： 1．在半透明纸上画一个线段BC。 2．以BC为始边，分别以点B和点C为顶点，用量角器画两个相等的角，两角终边的交点为A。 3．用刻度尺找出BC的中点D，连接AD，然后沿AD对折。 问题1：AB与AC是否重合? 问题2：本实验的条件与结论如何用文字语言加以叙述? 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简写成“等角对等边”。 也就是说，如果一个三角形中有两个角相等，那么它就是等腰三角形。一个三角形是等腰三角形的条件，可以用来判定一个三角形是否为等腰三角形。 例1．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，判断△ABC是什么三角形，为什么?
问题3：三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗? 等腰直角三角形：顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形，如图所示。 问题4：你能说出等腰直角三角形各角的大小吗? 问题5：请你画一个等腰直角三角形，使∠C＝90°，CD是底边上的高，数一数图中共有几个等腰直角三角形? 三、练习巩固 练习l、2、3。 四、小结 这节课，，我们学习了一个三角形是等腰三角形的条件：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)，此条件可以做为判断一个三角形是等腰三角形的依据。因此，要牢记并能熟练应用它。 五、作业 1．习题第5题。
直角三角形（一） 一、学生知识状况分析 直角三角形全等的条件和勾股定理及其逆定理在前面已由学生通过一些直观的方法进行了探索，所以学生对这些结论已经有所了解，对于它们，教科书努力将证明的思路展现出来．例如以前我们曾用割补法验证过勾股定理，而此处对勾股定理的证明应以我们认定的几条公理和由此推出的定理为依据进行，虽然证明的方法有多种，但对学生来说，这些都有难度，因此教科书将其两种证明方法放在“读一读’’中，供有兴趣的学生阅读，不要求所有学生掌握，其逆定理的证明方法对学生来说也是有一定难度的． 二、教学任务分析 本节课的教学目标是： 1．知识目标： （1）经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性. （2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立． 2．能力目标： （1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维． （2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力． 3．情感与价值观要求 ①在数学活动中，获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心. ②积极参与数学活动，对数学命题的获得产生好奇心和求知欲． 4．教学重点、难点 重点 ①了解勾股定理及其逆定理的证明方法． ②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．
难点 ①勾股定理及其逆定理的证明方法． ②对不是“如果……那么……”形式的逆命题的叙述． 三、教学过程分析 本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：讲述新课；第三环节：议一议；第四环节：想一想；第五环节：．随堂练习；第六环节：课时小结；第七环节：课后作业。 第一环节：创设情境，引入新课 通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。 [问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ， ∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少? B 1C 1呢? 解：在Rt △ABC 中，∠CAB=30°，AB=10 cm ， ∴BC ＝12 AB ＝12 ×10＝5 cm ． ∵CB 1⊥AB ，∴∠B+∠BCB 1＝90° 又∵∠A+∠B ＝90° ∴∠BCB 1 ＝∠A ＝30° 在Rt △ACB 1中，BB 1＝12 BC ＝12 ×5＝ 52 cm ＝2．5 cm ． ∴AB1＝AB ＝BB 1＝10—2.5＝7.5(cm)． ∴在Rt △C 1AB 1中，∠A ＝30° ∴B 1C 1 ＝12 AB 1＝12 × 7.5＝3.75(cm)． 解决这个问题，主要利用了上节课已经证明的“30°角的直角三角形的性质”．由此提问：“一般的直角三角形具有什么样的性质呢?”从而引入勾股定理及其证明。 教材中曾利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理．如果利用公理及由其推导出的定理，能够证明勾股定理吗? 请同学们打开课本P18，阅读“读一读”，了解一下利用教科书给出的公理和推导出的定理，证明勾股定理的方法． 第二环节：讲述新课 1C 1B C A B
12.3等腰三角形第一课时教学设计 学习目的：1. 了解概念2. 掌握性质3. 简单运用 要 点：1. 等腰三角形的相关概念（定义、腰、底边、底角、顶角）2. 等腰三角形的性质：① 对称性 ②“等边对等角” ③“三线合一”3. 等腰三角形的应用4. 涉及到的思想及方法 ① 转化 ② 方程 ③ 分类讨论 ④ 几何证明辅助线的添设方法重难点 重点：等腰三角形的性质 难点：等腰三角的性质的证明及灵活运用学 情： 学生在小学已学习了等腰三角形的形状、两边相等、简单画法；初中学习了一般三角形的相关知识及计算、三角形全等的证明、轴对称的性质及作图、一元一次方程及二元一次方程组的解法的基础上来学习的。等腰三角形的性质揭示了同一个三角形的边、角关系，与等腰三角形的判定定理互为逆定理，它为我们提供了证明两条线段相等、两角相等的新方法，为以后的学习提供了新的证明和计算依据，是解题论证的必备知识，因此，本节内容承上启下、至关重要，是全章的重点之一。而初二学生在这个阶段逐渐在各方面开始成熟，思维深刻性有了明显提高，有着自己独特内心世界，有着独特认识问题和解决问题的思维方式。需要用强烈的荣誉感、成功感来激发学习热情，目前已初步形成合作交流、勇于探索、敢于置疑的良好学风，学生间相互评价、相互学习、相互竞争的学习氛围较浓。学 具 长方形白纸（一张）、自制等腰三角形 教 程 活动一 构置悬念，创设情景 【问题一】翻看本书目录，本章是有关轴对称的知识内容的，而把等腰三角形列入其中学习，为什么？ 【问题1】一般三角形具有哪些性质？（对称性，边、角、线的关系，面积，周长等） 【问题2】等腰三角形除具一般三角形的性质之外，还具有哪些特殊的性质？ （说明：问题1提示学生怎样读书，看其所处的位置，且要敢于质疑、挑战，明确平面图形探究方面；又为下文埋下伏笔。问题2、3激趣，给学生留下悬念） 活动二 目标导向，自然引入 本节课我们一起研究——等腰三角形。 板书课题 12.3等腰三角形 首先明确目标 1. 了解概念2. 掌握性质3. 简单运用（说明：目的是让学生明确本节的要求，以便学有方向，增强学习的动力，教师引入不脱 节） 活动三 动手操作，形成概念【问题1】把准备好的长方形纸片如图12.1.1 沿虚线对折，并撕去一角，打开，