高中数学课时分层作业3全称量词与全称命题+存在量词与特称命题+全称命题与特称命题的否定含解析北师大版
选修1
课时分层作业(三) 全称量词与存在量词
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A ．偶函数的图像关于y 轴对称
B ．正四棱柱都是平行六面体
C ．不相交的两条直线是平行直线
D ．存在大于等于3的实数
D [选项A 、B 、C 是全称命题，选项D 含有存在量词，故选D.]
2．将命题“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题为( )
A ．对任意x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立
B ．存在x ，y ∈R ，使x 2＋y 2≥2xy 成立
C ．对任意x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xy 成立
D ．存在x <0，y <0，使x 2＋y 2≤2xy 成立
A [本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数x ，y ”，改成全称命题为：对任意实数x ，y ，都有x 2＋y 2≥2xy 成立．]
3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A ．所有不能被2整除的整数都是偶数
B ．所有能被2整除的整数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数
D [否定原命题结论的同时要把量词做相应改变．故选D.]
4．存在实数x 0，使得x 20－4bx 0＋3b <0成立，则b 的取值范围是( )
A ．b <0
B ．b >34
C ．b <34
D ．b <0或b >34
D [由题意，知Δ＝16b 2－12b >0.
∴b <0或b >34
.] 5．下列命题为真命题的是( )
A ．对任意x ∈R ，都有cos x <2成立
B ．存在x ∈Z ，使log 2(3x －1)<0成立
C ．对任意x >0，都有3x >3成立
D ．存在x ∈Q ，使方程 2x －2＝0有解
A [A 中，由于函数y ＝cos x 的最大值是1，又1<2，所以A 是真命题；
B 中，log 2(3x
－1)<0?0<3x －1<1?13 ，所以B 是假命题；C 中，当x ＝1时，31＝3，所以C 是假命题；D 中，2x －2＝0?x ＝2?Q ，所以D 是假命题，故选A.] 二、填空题 6．下列命题中全称命题是________；特称命题是________． ①正方形的四条边相等； ②存在两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． [解析] ①③是全称命题，②④是特称命题． [答案] ①③ ②④ 7．命题“任意x ∈R ，若y >0，则x 2＋y >0”的否定是________． [解析] 将“任意”换为“存在”，再否定结论． [答案] 存在x 0∈R ，若y >0，则x 20＋y ≤0 8．若存在x ∈R ，使ax 2＋2x ＋a <0，则实数a 的取值范围是________． [解析] 命题为真命题时，a ≤0时显然存在x ，使ax 2＋2x ＋a <0.当a >0时，Δ＝4－4a 2>0，即0 综上可知a <1. [答案] (－∞，1) 三、解答题 9．判断下列全称命题或特称命题的真假． (1)所有的单位向量都相等； (2)公差大于零的等差数列是递增数列； (3)有些向量的坐标等于其起点的坐标； (4)存在x ∈R ，使sin x －cos x ＝2. [解] (1)假命题．如果两个单位向量e 1，e 2的方向不相同，尽管有|e 1|＝|e 2|＝1，但是 e 1≠e 2. (2)真命题．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差d >0， 则a n ＋1－a n ＝a 1＋nd －[a 1＋(n －1)d ]＝d >0， ∴a n ＋1>a n . 所以公差大于零的等差数列是递增数列． (3)真命题．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， 由???? ? x 2－x 1＝x 1，y 2－y 1＝y 1，得???? ? x 2＝2x 1，y 2＝2y 1. 如A (1,3)，B (2,6)，AB → ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)＝(1,3)，满足题意． (4)假命题．由于sin x －cos x ＝2? ?? ??sin x ·22－cos x ·22 ＝2sin ? ????x －π4的最大值为2，所以不存在实数x ， 使sin x －cos x ＝2. 10．已知函数f (x )＝x 2 －2x ＋5. (1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立？并说明理由； (2)若存在实数x ，使不等式m －f (x )>0成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m 使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4. (2)不等式m －f (x )>0可化为m >f (x )． 若存在实数x 使不等式m >f (x )成立，只需m >f (x )min . 又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4. 故所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)． [能力提升练] 1．命题“任意x ∈R ，存在n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．任意x ∈R ，存在n ∈N *，使得n B ．任意x ∈R ，任意n ∈N *，使得n C ．存在x 0∈R ，存在n ∈N *，使得n D ．存在x 0∈R ，任意n ∈N *，使得n D [任意的否定是存在，存在的否定是任意，故原命题的否定为“存在x 0∈R ，任意n ∈N *，使得n 2．有四个关于三角函数的命题： p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2 x 2＝12 ； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ； p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2 ＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ?x ＋y ＝π 2，其中的假命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 4 C ．p 1，p 3 D ．p 2，p 4 A [由于对任意x ∈R ，sin 2 x 2＋cos 2 x 2 ＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时， sin x －sin y ＝sin (x －y )成立，故p 2是真命题． 对于p 3：任意x ∈[0，π]， 1－cos 2x 2＝2sin 2 x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ?x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2 ，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2 .] 3．若任意x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是单调减函数，则a 的取值范围是________． [解析] 由题意有：00，a 2－1<1，