一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．平面上，Rt △ABC 与直径为CE 的半圆O 如图1摆放，∠B ＝90°，AC ＝2CE ＝m ，BC ＝n ，半圆O 交BC 边于点D ，将半圆O 绕点C 按逆时针方向旋转，点D 随半圆O 旋转且∠ECD 始终等于∠ACB ，旋转角记为α（0°≤α≤180°）
（1）当α＝0°时，连接DE ，则∠CDE ＝ °，CD ＝ ；
（2）试判断：旋转过程中
BD
AE
的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； （3）若m ＝10，n ＝8，当α＝∠ACB 时，求线段BD 的长；
（4）若m ＝6，n ＝2，当半圆O 旋转至与△ABC 的边相切时，直接写出线段BD 的长．
【答案】（1）90°，2n ；（2）无变化；（3125；（4）BD=102114． 【解析】
试题分析：（1）①根据直径的性质，由DE ∥AB 得CD CE
CB CA
=即可解决问题．②求出BD 、AE 即可解决问题．
（2）只要证明△ACE ∽△BCD 即可．
（3）求出AB 、AE ，利用△ACE ∽△BCD 即可解决问题．
（4）分类讨论：①如图5中，当α=90°时，半圆与AC 相切，②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，分别求出BD 即可． 试题解析：（1）解：①如图1中，当α=0时，连接DE ，则∠CDE =90°．∵∠CDE =∠B =90°，∴DE ∥AB ，∴CE CD AC CB ==12．∵BC =n ，∴CD =1
2
n ．故答案为90°，
1
2
n ． ②如图2中，当α=180°时，BD =BC +CD =
32n ，AE =AC +CE =32m ，∴BD AE =n m
．故答案为n
m
． （2）如图3中，∵∠ACB =∠DCE ，∴∠ACE =∠BCD ．∵
CD BC n
CE AC m
==，
∴△ACE ∽△BCD ，∴
BD BC n
AE AC m
==．
（3）如图4中，当α=∠ACB 时．在Rt △ABC 中，∵AC =10，BC =8，∴AB =22AC BC -=6．在Rt △ABE 中，∵AB =6，BE =BC ﹣CE =3，
∴AE =22AB BE +=2263+=35，由（2）可知△ACE ∽△BCD ，∴
BD BC
AE AC
=，∴
35=810，∴BD =125．故答案为125
． （4）∵m =6，n =42，∴CE =3，CD =22，AB =22CA BC -=2，①如图5中，当α=90°
时，半圆与AC 相切．在Rt △DBC 中，BD =22BC CD +=224222+（）（）
=210． ②如图6中，当α=90°+∠ACB 时，半圆与BC 相切，作EM ⊥AB 于
M ．∵∠M =∠CBM =∠BCE =90°，∴四边形BCEM 是矩形，∴342BM EC ME ===，，∴AM =5，AE =
22AM ME +=57，由（2）可知
DB AE =223
，∴BD =2114
3． 故答案为210或
2114
3
．
点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题．
2．（探索发现）
如图，ABC ?是等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，将ACD ?绕点A 逆时针旋转
60?得到AEF ?，连接CE .小明在探索这个问题时发现四边形ABCE 是菱形.
小明是这样想的：
（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段CD ，CF ，AC 之间的数量关系：______________； （理解运用）
如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于点D .将ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，延长FE 与BC ，交于点G .
（3）判断四边形ADGF 的形状，并说明理由； （拓展迁移）
（4）在（3）的前提下，如图，将AFE ?沿AE 折叠得到AME ?，连接MB ，若
6AD =，2BD =，求MB 的长.
【答案】（1）详见解析；（2）CD CF AC +=；（3）四边形ADGF 是正方形；（4）
13【解析】 【分析】
（1）根据旋转得：△ACE 是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE ，则四边形ABCE 是菱形； （2）先证明C 、F 、E 在同一直线上，再证明△BAD ≌△CAF （SAS ），则∠ADB=∠AFC ，BD=CF ，可得AC=CF+CD ；
（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF 是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF 是正方形；
（4）证明△BAM ≌△EAD （SAS ），根据BM=DE 及勾股定理可得结论． 【详解】
（1）证明：∵ABC ?是等边三角形，
∴AB BC AC ==.
∵ACD ?绕点A 逆时针旋转60?得到AEF ?， ∴60CAE =?，AC AE =. ∴ACE ?是等边三角形. ∴AC AE CE ==. ∴AB BC CE AE ===. ∴四边形ABCE 是菱形.
（2）线段DC ，CF ，AC 之间的数量关系：CD CF AC +=. （3）四边形ADGF 是正方形.理由如下： ∵Rt ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?， ∴AF AD =，90DAF ∠=?. ∵AD BC ⊥，
∴90ADC DAF F ∠=∠=∠=?. ∴四边形ADGF 是矩形. ∵AF AD =，
∴四边形ADGF 是正方形. （4）如图，连接DE .
∵四边形ADGF 是正方形， ∴6DG FG AD AF ====.
∵ABD ?绕点A 逆时针旋转90?得到AEF ?，
∴BAD EAF ∠=∠，2BD EF ==，∴624EG FG EF =-=-=. ∵将AFE ?沿AE 折叠得到AME ?， ∴MAE FAE ∠=∠，AF AM =. ∴BAD EAM ∠=∠.
∴BAD DAM EAM DAM ∠+∠=∠+∠，即BAM DAE ∠=∠. ∵AF AD =， ∴AM AD =.
在BAM ?和EAD ?中，AM AD BAM DAE AB AE =??
∠=∠??=?
，
∴()BAM EAD SAS ???.
∴2222
46213
BM DE EG DG
==+=+=.
【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．
3．如图所示，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，EC的延长线交BD于点P．
（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD，CE的关系是（选填“相等”或“不相等”）；简要说明理由；
（2）若AB=3，AD=5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC=90°时，在图2中作出旋转后的图形，PD=，简要说明计算过程；
（3）在（2）的条件下写出旋转过程中线段PD的最小值为，最大值为．
【答案】（1）BD，CE的关系是相等；（2
5
34
17
20
34
17
3）1，7
【解析】
分析：（1）依据△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，即可BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，进而得到△ABD≌△ACE，可得出BD=CE；
（2）分两种情况：依据∠PDA=∠AEC，∠PCD=∠ACE，可得△PCD∽△ACE，即可得到
PD AE =
CD
CE
，进而得到
5
34
17
；依据∠ABD=∠PBE，∠BAD=∠BPE=90°，可得
△BAD∽△BPE，即可得到PB BE
AB BD
=，进而得出
6
34
34
，
20
34
17
（3）以A为圆心，AC长为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PD的值最小；当CE在在⊙A右上方与⊙A相切时，PD的值最大．在Rt△PED中，PD=DE?sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．分两种情况进行讨论，即可得到旋转过程中线段PD的最小值以及最大值．
详解：（1）BD，CE的关系是相等．
理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，
∴BA=CA，∠BAD=∠CAE，DA=EA，
∴△ABD≌△ACE，
∴BD=CE；
故答案为相等．
（2）作出旋转后的图形，若点C在AD上，如图2所示：
∵∠EAC=90°， ∴CE=
2234AC AE +=，
∵∠PDA=∠AEC ，∠PCD=∠ACE ， ∴△PCD ∽△ACE ， ∴
PD CD
AE CE =， ∴PD=
5
3417
； 若点B 在AE 上，如图2所示：
∵∠BAD=90°， ∴Rt △ABD 中，2234AD AB +=，BE=AE ﹣AB=2，
∵∠ABD=∠PBE ，∠BAD=∠BPE=90°，
∴△BAD ∽△BPE ， ∴
PB BE
AB BD
=，即334PB =， 解得6
3434
， ∴346343420
3417
， 53417203417
（3）如图3所示，以A 为圆心，AC 长为半径画圆，当CE 在⊙A 下方与⊙A 相切时，PD 的值最小；当CE 在在⊙A 右上方与⊙A 相切时，PD 的值最大． 如图3所示，分两种情况讨论：
在Rt△PED中，PD=DE?sin∠PED，因此锐角∠PED的大小直接决定了PD的大小．
①当小三角形旋转到图中△ACB的位置时，
在Rt△ACE中，CE=22
53
-=4，
在Rt△DAE中，DE=22
+=，
5552
∵四边形ACPB是正方形，
∴PC=AB=3，
∴PE=3+4=7，
在Rt△PDE中，PD=2250491
-=-=，
DE PE
即旋转过程中线段PD的最小值为1；
②当小三角形旋转到图中△AB'C'时，可得DP'为最大值，
此时，DP'=4+3=7，
即旋转过程中线段PD的最大值为7．
故答案为1，7．
点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，学会利用图形的特殊位置解决最值问题．
4．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出
△PMN周长的最小值与最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长
的最小值为3，最大值为15．
【解析】
分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得
PM=1
2
CE，PM∥CE，PN=
1
2
BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所
以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，所以
∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得
∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，
PM=PN=1
2
BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM
最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最大，PM的值最大，此时求得△PMN周长的最大值即可.
详解：
（1）因为∠BAC=∠DAE=120°，
所以∠BAD=∠CAE，又AB=AC，AD=AE，
所以△ABD≌△ADE；
（2）△PMN是等边三角形．
理由：∵点P，M分别是CD，DE的中点，
∴PM=1
2
CE，PM∥CE，
∵点N，M分别是BC，DE的中点，
∴PN=1
2
BD，PN∥BD，
同（1）的方法可得BD=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，
∵PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC
=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=120°，∴∠ACB+∠ABC=60°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形．
（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=1
2 BD，
∴PM最大时，△PMN周长最大，
∴点D在AB上时，BD最小，PM最小，
∴BD=AB-AD=2，△PMN周长的最小值为3；
点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，
∴BD=AB+AD=10，△PMN周长的最大值为15．
故答案为△PMN周长的最小值为3，最大值为15
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定及性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定，解决第（3）问，要明确点D在AB上时，BD最小，PM最小，△PMN周长的最小；点D在BA延长线上时，BD最大，PM最大，△PMN周长的最大值为15.
5．已知：如图1，将两块全等的含30o角的直角三角板按图所示的方式放置，
∠BAC=∠B1A1C=30°，点B，C，B1在同一条直线上．
（1）求证：AB=2BC
（2）如图２，将△ABC绕点Ｃ顺时针旋转α°（0＜α＜180），在旋转过程中，设AB与
A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F．当α等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由．
（3）如图3，当△ABC绕点C顺时针方向旋转至如图所示的位置，使AB∥CB1，AB与A1C 交于点D，试说明A1D=CD．
【答案】（1）证明见解析
（2）当旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直.
（3）理由见解析
【解析】
试题分析：(1)由等边三角形的性质得AB=BB1，又因为BB1=2BC，得出AB=2BC;
(2) 利用AB与A1B1垂直得∠A1ED=90°，则∠A1DE=90°-∠A1=60°，根据对顶角相等得
∠BDC=60°，由于∠B=60°，利用三角形内角和定理得∠A1CB=180°-∠BDC-∠B=60°，所以∠ACA1=90°-∠A1CB=30°，然后根据旋转的定义得到旋转角等于30°时，AB与A1B1垂直；
(3)由于AB∥CB1，∠ACB1=90°，根据平行线的性质得∠ADC=90°，在Rt△ADC中，根据含
30度的直角三角形三边的关系得到CD=1
2
AC，再根据旋转的性质得AC=A1C，所以
CD=1
2
A1C，则A1D=CD．
试题解析：
（1）∵△ABB 1是等边三角形； ∴ AB =BB 1 ∵ BB 1=2BC ∴AB =2BC
（2）解：当AB 与A 1B 1垂直时，∠A 1ED=90°， ∴∠A 1DE=90°-∠A 1=90°-30°=60°， ∵∠B=60°，∴∠BCD=60°， ∴∠ACA 1=90°-60°=30°，
即当旋转角等于30°时，AB 与A 1B 1垂直. （3）∵AB ∥CB 1，∠ACB 1=90°， ∴∠CDB=90°，即CD 是△ABC 的高，
设BC=a ，AC=b ，则由（1）得AB=2a ，A 1C=b ， ∵11
22
ABC S BC AC AB CD ?=?=?， 即
11
222
ab a CD =?? ∴12CD b =
，即CD=1
2
A 1C ， ∴A 1D=CD.
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
6．已知：一次函数
的图象与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，以B 为旋转中
心，将△BOA 逆时针旋转，得△BCD （其中O 与C 、A 与D 是对应的顶点）.
（1）求AB 的长；
（2）当∠BAD=45°时，求D 点的坐标；
（3）当点C 在线段AB 上时，求直线BD 的关系式. 【答案】（1）5；（2）D （4，7）或（-4，1）；（3）
【解析】
试题分析：（1）先分别求得一次函数的图象与x 轴、y 轴的交点坐标，再根
据勾股定理求解即可；
（2）根据旋转的性质结合△BOA 的特征求解即可；
（3）先根据点C 在线段AB 上判断出点D 的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可. （1）在时，当
时，
，当
时，
∴
；
（2）由题意得D （4，7）或（-4，1）； （2）由题意得D 点坐标为（4，）
设直线BD 的关系式为
∵图象过点B （0，4），D （4，
）
∴，解得
∴直线BD 的关系式为.
考点：动点的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
7．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。 （1）概念理解:
如图1,在ABC ?中,6AC = ,3BC =.30ACB ∠=?,试判断ABC ?是否是“等高底”三角形，请说明理由. （2）问题探究:
如图2, ABC ?是“等高底”三角形,BC 是“等底”，作ABC ?关于BC 所在直线的对称图形得到A BC '?,连结AA '交直线BC 于点D .若点B 是123,12z ai z i =-=+的重心,求AC
BC
的值. （3）应用拓展:
如图3,已知12l l //,1l 与2l 之间的距离为2.“等高底”ABC ?的“等底” BC 在直线1l 上,点A 在直线2l 上,有一边的长是BC 2倍.将ABC ?绕点C 按顺时针方向旋转45?得到
A B C ?'',A C '所在直线交2l 于点D .求CD 的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）13
2
AC BC =
（3）CD 的值为2103,22,2 【解析】
分析：（1）过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ，可以得到AD =BC =3，即可得到结论； （2）根据 ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，得到AD =BC ， 再由 ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， 得到 ∠ADC =90°，由重心的性质，得到BC =2BD ．设BD =x ，则AD =BC =2x ， CD =3x ，由勾股定理得AC =13x ，即可得到结论；
（3）分两种情况讨论即可：①当AB =2BC 时，再分两种情况讨论； ②当AC =2BC 时，再分两种情况讨论即可． 详解：（1）是．理由如下：
如图1，过点A 作AD ⊥直线CB 于点D ， ∴ΔADC 为直角三角形，∠ADC =90°． ∵ ∠ACB =30°，AC =6，∴ AD =1
2
AC =3， ∴ AD =BC =3，
即ΔABC 是“等高底”三角形．
（2）如图2， ∵ ΔABC 是“等高底”三角形，BC 是“等底”，∴AD =BC ， ∵ ΔA ′BC 与ΔABC 关于直线BC 对称， ∴ ∠ADC =90°． ∵点B 是ΔAA ′C 的重心， ∴ BC =2BD ． 设BD =x ，则AD =BC =2x ，∴CD =3x ， ∴由勾股定理得AC =13x ， ∴
1313
22
AC x BC x ==
．
（3）①当AB =2BC 时，
Ⅰ．如图3，作AE ⊥l 1于点E ， DF ⊥AC 于点F ． ∵“等高底” ΔABC 的“等底”为BC ，l 1//l 2， l 1与l 2之间的距离为2， AB =2BC ， ∴BC =AE =2，AB =22， ∴BE =2，即EC =4，∴AC = 25．
∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ，∴∠CDF =45°． 设DF =CF =x ．
∵l 1//l 2，∴∠ACE =∠DAF ，∴1
2
DF AE AF CE ==，即AF =2x ． ∴AC =3x =25，可得x =
2
53，∴CD =2x =2103
．
Ⅱ．如图4，此时ΔABC 是等腰直角三角形， ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ' B ' C ， ∴ ΔACD 是等腰直角三角形， ∴ CD =2AC =22．
②当AC =2BC 时，
Ⅰ．如图5，此时△ABC 是等腰直角三角形． ∵ ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C ， ∴A ′C ⊥l 1，∴CD =AB =BC =2．
Ⅱ．如图6，作AE ⊥l 1于点E ，则AE =BC ， ∴AC 2BC 2AE ，∴∠ACE =45°，
∴ΔABC 绕点C 按顺时针方向旋转45°得到ΔA ′ B ′C 时， 点A ′在直线l 1上，
∴A ′C ∥l 2，即直线A ′ C 与l 2无交点．
综上所述：CD的值为2
10
3
，22，2．
点睛：本题是几何变换-旋转综合题．考查了重心的性质，勾股定理，旋转的性质以及阅读理解能力．解题的关键是对新概念“等高底”三角形的理解．
8．如图，在边长为1的正方形网格中，A（1，7）、B（5，5）、C（7，5）、D（5，1）．
（1）将线段AB绕点B逆时针旋转，得到对应线段BE．当BE与CD第一次平行时，画出点A运动的路径，并直接写出点A运动的路径长；
（2）线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，直接写出这个旋转中心的坐标．
【答案】（1）见解析；5π；（2）旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．
【解析】
【分析】
（1）依据旋转的方向、旋转角和旋转中心即可得到点A运动的路径为弧线，再运用弧长计算公式即可解答；
（2）连接两对对应点，分别作出它们连线的垂直平分线，其交点即为所求.
【详解】
解：（1）点A运动的路径如图所示，出点A运动的路径长为
22
9024
180
π
??+
＝5π；
（2）如图所示，旋转中心P的坐标为（3，3）或（6，6）．
【点睛】
本题主要考查了利用旋转变换及其作图，掌握旋转的性质、旋转角以及确定旋转中心的方法是解答本题的关键.
9．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和22，点B在边AG上，点D在线段EA 的延长线上，连接BE．
（1）如图1，求证：DG⊥BE；
（2）如图2，将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转，当点B恰好落在线段DG上时，求线段BE的长．
．
【答案】（1）答案见解析；（2）26
【解析】
【分析】
（1）由题意可证△ADG≌△ABE，可得∠AGD＝∠AEB，由∠ADG+∠AGD＝90°，可得
∠ADG+∠AEB＝90°，即DG⊥BE；
（2）过点A作AM⊥BD，垂足为M，根据勾股定理可求MG的长度，即可求DG的长度，由题意可证△DAG≌△BAE，可得BE＝DG．
【详解】
（1）如图，延长EB交GD于H
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形
∴AD＝AB，AG＝AE，∠DAG＝∠BAE＝90°
∴△ADG≌△ABE（SAS）
∴∠AGD＝∠AEB
∵∠ADG+∠AGD＝90°
∴∠ADG+∠AEB＝90°
∴DG⊥BE
（2）如图，过点A作AM⊥BD，垂足为M
∵正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为2和22，
∴AM＝DM＝2，∠DAB＝∠GAE＝90°
∴MG＝22
-＝6，∠DAG＝∠BAE
AG MA
∴DG＝DM+MG＝2+6，由旋转可得：AD＝AB，AG＝AE，且∠DAG＝∠BAE
∴△DAG≌△BAE（SAS）
+
∴BE＝DG＝26
【点睛】
考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE．
（1）如图1，求证：△CDE是等边三角形．
（2）设OD＝t，
①当6＜t＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．
②求t为何值时，△DEB是直角三角形（直接写出结果即可）．
【答案】(1)见解析;(2) ①见解析; ②t＝2或14.
【解析】
【分析】
（1）由旋转的性质得到∠DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；
（2）①当6＜t＜10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到
C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE，根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；
②存在，当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形；当0≤t＜6时，由旋转的性质得到∠ABE=60°，∠BDE＜60°，求得∠BED=90°，根据等边三角形的性质得到∠DEB=60°，求得∠CEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=t；当6＜t＜10时，此时不存在；当t＞10时，由旋转的性质得到∠DBE=60°，求得∠BDE＞60°，于是得到t=14．
【详解】
（1）∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，
∴∠DCE＝60°，DC＝EC，
∴△CDE是等边三角形；
（2）①存在，当6＜t＜10时，
由旋转的性质得，BE＝AD，
∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，
由（1）知，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，
∴C△DBE＝CD+4，
由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，
此时，CD＝，
∴△BDE
的最小周长＝CD+4＝；
②存在，∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，
∴当点D与点B重合时，不符合题意；
当0≤t＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，
∴∠BED＝90°，
由（1）可知，△CDE是等边三角形，
∴∠DEB＝60°，
∴∠CEB＝30°，
∵∠CEB＝∠CDA，
∴∠CDA＝30°，
∵∠CAB＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC＝30°，
∴DA＝CA＝4，
∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，
∴t＝2；
当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，
∴此时不存在；
当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，
又由（1）知∠CDE＝60°，
∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，
而∠BDC＞0°，
∴∠BDE＞60°，
∴只能∠BDE＝90°，
从而∠BCD＝30°，
∴BD＝BC＝4，
∴OD＝14，
∴t＝14，
综上所述：当t＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．