拉普拉斯变换的数学方法
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义
1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作：
?∞
-==0
st dt e )t (f )s (F )]t (f [L
称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数
拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
?+σ-σ-π=
=jw jw st
1ds e )s (F j
21)]s (F [L )t (f 1L -—拉氏反变换符号
关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换
在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
1．单位阶跃函数
()[]()s
1e s 1
dt e 0dt e .t 10t 1L 0
st
st st =-=???∞=???∞=∞
--- 2．单位脉冲函数
()??
?=∞
≠=δ0
t 0t 0t
()??
?=10t 10
t 0t ≥?
?∞
-=δ=δ0
st 1dt e )t ()]t ([L
3．单位斜坡函数
4．指数函数at e
??∞
∞
----=
==0
t )a s (st at at a
s 1e dt e e ]e [L 5．正弦函数sinwt
由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += wt sin j wt cos e jwt -=- 所以，)e e (j
21wt sin jwt jwt
--=
2
2
0t
)jw s (t )jw s (0
st jwt jwt
w s w )jw s 1jw s 1(j 21dt )e e (j 21dt e )e e (j
21]wt [sin L +=+--=-=
-=??
∞+---∞
--
6．余弦函数coswt
)e e (2
1wt cos jwt jwt
-+=
2
2
w
s s
]wt [cos L += 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
()??
?≥<=0
t t 0t 0t f []2
st
st
st
s
1
dt e te s 1
dt te t L =????
??--==-∞
∞--∞
?
?
三、拉氏变换的性质
1、线性性质
若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则有：)s (F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 22112211+=+，此式可由定义证明。
2、位移定理???复数域的位移定理实数域的位移定理
(1)实数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a
有)s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延迟时间a. 证明：?∞
--=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ，
令t-a=τ,则有上式=?∞
-τ+-=ττ0
as )a (s )s (F e d e )(f
例：)T t (1T 1
T 1)
t (f --=
, 求其拉氏变换 )e 1(Ts
1
Ts 1e Ts 1)s (F Ts s -τ--=-=
(2)复数域的位移定理
若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有
)a s (F )]t (f e [L at +=-
证：)a s (F dt e )t (f dt e )t (f e )]t (f e [L 0
t )s a (st at at +===??∞∞
+----
例：求wt cos e at -的拉氏变换
2
2at w
)a s (a
s ]wt cos e [L +++=
- 3、微分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s), 则)0(f )s (sF )]t (f [L ]dt
)
t (df [
L '+-== 其中f(0+)由正向使0t →的f(t)值。 证：
st
st 00st
st 0
df (t)df (t)L[]e dt e df (t)
dt dt
e f (t)s f (t)e dt sF(s)f (0)
∞∞--∞
-∞-+===+=-???
同理可推广到n 阶：
(n)n n 1(n 1)L[f (t)]s F(s)s f (0)f (0)-+-+=--
当初始条件为0时，即f (0)f '(0)0===
则有(n)n L[f '(t)]sF(s)L[f (t)]s F(s)==
4、积分定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),则
)0(f s
1s )s (F ]dt )t (f [L )1(t
0+
-+=
?，其中?+→t 00t dt )t (f 是在时的值。
证明：
同理可得n 阶积分的拉氏变换：
)0(f s 1)0(f s
1)s (F s 1])dt )(t (f [L )n ()1(n
n t
0t
n
t 0
+
-+-+++=
?
?? 当初始条件为0时，f(t)的各重积分在+→0t 时，均为0，则有
s )s (F ]dt )t (f [L t
0=
? n t 0s )
s (F ]dt )t (f [L )n (=?] 5、初值定理
设f(t)的拉氏变换为F(s)，则函数f(t)的初值定理表示为：
)s (sF lim )t (f lim )0(f s 0
t ∞
→→+==+
证明：由微分定理知：
)0(f )s (sF dt e dt
)t (df ]dt )t (df [L 0st +∞--==?
对等式两边取极限：,s ∞→ 则有
)0(f s
1s )s (F ]
dt )t (f e e dt )t (f [s 1dt
e dt )t (
f ]dt )t (f [L )1(t 0
0st 0st 0
t
st t 0
+-∞-∞
-∞
-+=-?-=?=???
?
?)0(f )s (sF lim 0)]
0(f )s (sF [lim dt e dt
)t (df lim 0s st
s +∞+∞→-∞→-=-=?
例：已知 a
s 1
)s (F +=
，求f(0+) 由初值定理知：1a
s 1
s lim )s (sF lim )0(f s s =+?==∞
→∞
→+ 6、终值定理：
若f(t)的拉氏变换为F(s),则终值定理表示为：
)s (sF lim )t (f lim 0
s t →∞
→=
证明：由微分定理知：
)0(f )s (sF dt e dt
)t (df ]dt )t (df [
L 0st +∞--==?
令0s →，对上式两边取极限，
)
s (sF lim )t (f lim )(f )
0(f )s (sF lim )t (f )
0(f )s (sF lim dt dt
)
t (df 0
s t 0
s 00s 0
→∞
→+
→∞+→∞
==∞-=-=?
这个定理在稳态误差中常用。 例：已知：a
s 1
)s (F )]t (f [L +=
=，求f(∞) 0a
s s
lim
)s (sF lim )(f 0s 0
s =+==∞→→
7、卷积定理
设f(t)的拉氏变换为F(s),g(t)的拉氏变换为G(s)，
则有t
0L f (t )g()d F(s)G(s)??-λλλ=????
?
式中，t
f (t )g()d f (t)g(t)-λλλ=*?称为f(t)与g(t)的卷积。此定理不要求证明。
课堂练习： 1) 求L[t 2]
st
22st 2st
002st
20
3
1L[t ]t e dt t de s
1
2[t e e dt ]s
s -∞
∞--∞
-∞==-
=--=
???
2)求图示正弦波半波函数的拉氏变换
f (t)a sin t a sin[(t T)]T T
ππ
=+- Ts
2222
22
at as
a /T a /T F(s)e s s T T
L[e f (t)]L[(t a)]F(s a)e ---ππ=
+?ππ++=?δ-=+
3)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求at L[e f (t)(t a)]-*δ-
4)已知f(t)的拉氏变换为F(s),求L[f(at)]
s
st
st
a
s a
L[f (f (at)e dt)]f (at)e dt f ()e
d
a
1
1s f ()e d F()
a a a
τ-∞
∞
∞---τ∞
τ==τ=
ττ=????
四、拉氏反变换的数学方法
在已知象函数F(s),求f(t)时，对于简单的象函数，可直接利用表2-1来查，但对于复杂的，可利用部分分式展开法，即通过代数运算将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和，再求出各个分式的原函数，从而求出总的原函数。
部分分式展开法：
对于象函数F(s),常可写成如下形式：
m m 1m m 10
n n 1n n 10
12m 12n b s b s b B(s)F(s)A(s)a s a s a k(s z )(s z )(s z )(s p )(s p )(s p )
----+++==
+++---=
---
at at as
L[e f (t)(t a)]L[e f (t)]L[(t a)]F(s a)e ---*δ-=?δ-=+
式中，p1,p2…,pn 称为F(s)的极点，p1,p2…,pn 称为F(s)的零点。一般A(s)的阶次大于B(s)，若B(s)>A(s),可化为多项式+真分式的形式。 下面分两种情况，研究分式展开法。 1、F(s)无重极点的情况
此时，F(s)总能展开成下面的部分分式之和：
12n
12
n
B(s)k k
k A(s)s p s p s p =+++
--- 其中，分子为待定系数。
i
i i i s p i B(s)
B(p )
k (s p )A(s)
A'(p )
==
-=
例：求F(s)的拉氏变换
12
2
s 3k k F(s)s 3s 2s 1s 2
+=
=+++++ 解一：1s 1
2
s 3
k (s 1)2s 3s 2=-+=
+=++
2s 2
2
s 3
k (s 2)1s 3s 2=-+=
+=-++
t 2t 21F(s)f (t)2e e s 1s 2
--=
-
=-++
解二：
所以12B(1)
B(2)
k 2k 1A'(1)
A'(2)
--=
==
=---
t 2t 21F(s)f (t)2e e s 1s 2
--=
-
=-++
例2 12
2
2s 12k k F(s)s 2s 5s 12j s 12j
+=
=++++++- A'(s)2s 3A'(1)1A'(2)1B(1)2
B(2)1
=+-=-=--=-=
1s 12j
2
2s 12
5k (s 12j)1j s 2s 52
=--+=
++=+
++ 25k 1j 2
=-
若p 1,p 2 为共轭复数，相应的系数k 1 ，k 2也是共轭复数，故只需求出一个即可。
55
1j 1j 22F(s)s 12j s 12j
+
-=
++++- (12j)t (12j)t (12j)t (12j)t (12j)t (12j)t
t t 55f (t)(1j)e (1j)e 22
55
e je e e 22
2e cos 2t 5e sin 2t
-+---+-+------=+
+-=++-=-
2、F(s)有重极点的情况
设F(s)有r 个重极点p 1,其余极点均不相同，则
r n 1r 1n 1112
1r r 1n
r r 1
r
111r 1n B(s)B(s)
F(s)A(s)a (s p )(s p )(s p )
k k k k k (s p )(s p )(s p )(s p )(s p )
++-+=
=
---=++++++
-----
1
11
1
r 11
1s p r 121s p 2r
131s p 2
r 1r
1r 1s p r 1
k F(s)(s p )d
k [F(s)(s p )]ds 1d k [F(s)(s p )]
2!ds 1d k [F(s)(s p )](r 1)!ds
===-=-=-=
-=-=--
例：求23
s 2s 3
F(s)(s 1)++=+的拉氏反变换 2131112
332
a s 2s 3a a F(s)(s 1)(s 1)(s 1)(s 1)
++==++++++
23
11s 1
3
23
12s 1
3
223
13s 1
23
s 2s 3a (s 1)2
(s 1)
d s 2s 3a [(s 1)]
0ds (s 1)1d s 2s 3a [(s 1)]1
2!ds (s 1)
=-=-=-++=+=+++=+=+++=+=+
所以：12t t 2t 3
21
f (t)L [
]t e e (t 1)e (s 1)s 1
----=+=+=+++ 2-2 系统的数学模型
一、概述
为了分析、研究系统的动态特性，一般情况下，首先要建立系统的数学模型。 1、数学模型的概念
我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。 深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型－称建模，只有得到较为准确的数学建模，才能设计出性能良好的控制系统。
动态特性 控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温度T0变到T ，同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一定的时间。 建立控制系统数学模型的方法有
1）分析法－对系统各部分的运动机理进行分析，依据系统本身所遵循的有关定律
列写数学表达式，并在列写过程中进行必要的简化。 建立系统数学模型的几个步骤：
? 建立物理模型。
? 列写原始方程。利用适当的物理定律—如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等）
? 选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。
2）实验法－是根据系统对某些典型输入信号的响应或其它实验数据建立数学模型。即人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。这种用实验数据建立数学模型的方法也称为系统辩识。
输入（（已知）
数学模型的逼近
1、线性系统和非线性系统 1) 线性系统
可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数，则为线性定常系统； 例：ax(t)bx(t)cx(t)dy(t)++=，其中,a,b,c,d 均为常数。 如果方程的系数是时间t 的函数，则为线性时变系统；
a(t)x(t)b(t)x(t)c(t)x(t)d(t)y(t)++=
线性系统线性是指系统满足叠加原理，即：系统在几个外力作用下所产生的响应等于各个外加作用单独作用时的响应之和。 可加性：1212f (x x )f (x )f (x )+=+ 齐次性：f (ax)af (x)= 或1212f (ax bx )af (x )bf (x )+=+ 2) 非线性系统
用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。
例：2y(t)x (t)=就是非线性系统。
实际的系统通常都是非线性的，线性只在一定的工作范围内成立。
即在实际系统中，变量之间不同程度地包含有非线性关系，如：间隙、饱合、死区、干磨擦特性等。
非线性系统为分析方便，通常在合理的条件下，可进行如下外理： ①线性化 ②忽略非线性因素 ③用非线性系统的分析方法来处理。 3）线性系统和非线性系统的判别 设某系统的微分方程如下：
(n)(n 1)(m)n 0n 1000m i 0i a x (t)a x (t)a x (t)b x (t)b x (t)--+++=+
+
①若方程的系数a i ,b j 都既不是x o (t)和x i (t)及它们的导数的函数，又不是时间的函数，则此方程是线性定常的，此系统为线性定常系统。
②若a i ,b j 是时间的函数，则该方程是线性时变的，此系统称为线性时变系统。 ③若a i ,b j 中只要有一个系数依赖于x o (t)和x i (t)或它们的导数，或者在微分方程中出现t r 其它函数形式，该方程为非线性的。
例：12y a (t)y a (t)y u ++=o o o i x (t)2x (t)4x (t)x (t)++= 线定常 2o o o o i x (t)x (t)x (t)x (t)x (t)++= 非线性
判断下列微分方程表达的系统是线性系统还是非线性系统？ a:y 3y 4y u ++= (线定常) b:23y yy 2y 5u ++= (非线性) c:12y a (t)y a (t)y u ++= （线时变）
式中：u:输入信号 y:输出信号 a i (t)：时变系统 3、本课程涉及的数学模型形式
时间域：微分方程（一阶微分方程组）、差分方程、状态方程 复数域：传递函数、结构图 频率域：频率特性
二、系统微分方程的建立 1、建立微分方程的一般步骤
1)分析系统工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出量；
2)从输入端开始，按照信号传递变换过程，依据各变量遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的动态微分方程；
3)消去中间变量，得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程； 4)标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排 2、机械系统微分方程的列写
机械系统中部件的运动有直线和转动两种。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可简化为质量、弹簧和阻尼三个要素。列写其微分方程通常用 达朗贝尔原理。即：作用于每一个质点上的合力，同质点惯性力形成平衡力系。 用公式表示：i i i
m x (t)f (t)0-+
=∑
1）直线运动（机械平移系统）
2o o o i 2d d
m x (t)C x (t)Kx (t)f (t)dt dt
++= 式中，m 、C 、K 通常均为常数，故机械平移系统可以由二阶常系数微分方程描述。显然，微分方程的系数取决于系统的结构参数，而阶次等于系统中独立储能元件（惯性质量、弹簧）的数量。 2）转动系统
3、电网络系统
电网络系统分析主要根据基尔霍夫电流定律和电压定律写出微分方程式，进而建立系统的数学模型。
1）基尔霍夫电流定律：汇聚到某节点的所有电流之代数和应等于0（即流出节点
的电流之和等于所有流进节点的电流之和）。
A i(t)0
=
∑
2）尔霍夫电压定律
电网络的闭合回路中电势的代数和等于沿回路的电压降的代数和。
E Ri
=
∑∑
电网络系统中三人基本原件是：电阻、电感、电容
电阻：
电容：
电感：
例：
小结
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究（信息方法）。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础；
通常情况下，元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等）的个数；因为系统每增加一个独立储能元，其内部就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅取决于系统的结构及其参数。
三、传递函数
微分方程建立后，就可对其求解，得出输出量的运动规律，从而对系统进行分析与研究。但微分方程求解繁琐，且从其本身很难分析系统的动态特性，但若对微分方程进行拉氏变换，即得到代数方程，使求解简化，又便于分析研究系统的动态特性，更直观地表示出系统中各变量间的相互关系。
传递函数就是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。 1、传递函数的基本定义：
线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 零初始条件：
t <0时，输入量及其各阶导数均为0；
输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为0；
传递函数的一般形式：
设线性定常系统由下述n 阶线性常微分方程描述：
n n 1m m 1n n 10m m 10n n 1
m m 1
d y(t)d y(t)d x(t)d x(t)
a a a y(t)
b b b x(t)dt dt dt dt
------+++=++
式中，n ≥m ，当初始条件全为零时，对上式进行拉氏变换可得系统传递函数的一般形式：
m m 1m m 10
n n 1
n n 10
b s b s b Y(s)G(s)X(s)a s a s a ----+++==+++ 此式表示了输入到输出之间信息的传递关系，称G(s)为系统的传递函数。 传递函数的主要特点有：
a: 传递函数是复变量s 的有理真分式函数，m ≤n ，且所具有复变量函数的所有性质。
b: G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。 C: G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
d: 传递函数的量纲是根据输入量和输出量来决定，可有可无。
e: 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 f: 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
传递函数的几点说明
※ 传递函数是一种以系统参数表示的线性定常系统输入量与输出量之间的关系式；传递函数的概念通常只适用于线性定常系统；
※ 传递函数是s 的复变函数。传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数；
※ 传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点处于相对静止状态。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律；
※ 传递函数只能表示系统输入与输出的关系，无法描述系统内部中间变量的变化情况。
※ 一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，只适合于单输入单输出系统的描述。
2、传递函数的零点和极点
12m 12n Y(s)k(s z )(s z )(s z )
G(s)X(s)(s p )(s p )(s p )
---=
=
--- p i 称为G(s)的极点，z i 称为G(s)的零点。 3、典型环节的传递函数 环节：
具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节。经常遇到的环节称为典型环节。
任何复杂系统可看做由一些基本的环节组成，控制系统中常用的典型环节有： 比例环节、惯性环节、微分环节、积分环节、振荡环节和延迟环节等。 1、比例环节（放大环节）：
输出量不失真、无惯性地跟随输入量，两者成比例关系。 其运动方程为：x o (t)=Kx i (t) 拉氏变换为：X o (s)=KX i (s) x o (t )、x i (t )—分别为环节的输出和输入量；
K —比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。 比例环节的传递函数为： o i X (s)
G(s)K X (s)
=
= 例:求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及输出轴转速,Z 1和Z 2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).
因为：1i 2o z n (t)z n (t)= 其拉换变换：1i 2o z N (s)z N (s)=
o 1
i 2
N (s)z G(s)K N (s)z =
==
2、惯性环节（非周期环节）
此环节与比例环节相比，不能立即复现输出，而需要一定的时间。说此环节具有“惯性”，这是因为其中含有储能元件K与阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。
3、微分环节
附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+= +∑?个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3）
式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…，n s 为F(s)的n r -个单根；其中，1+r c ，…，n c 仍按式(F-2)或式(F-3)计算，r c ，1-r c ，…，1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ 11lim [()()]i r r s s d c s s F s ds -→=- )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) )()(lim )!1(11)1() 1(11s F s s ds d r c r r r s s --=--→ 原函数)(t f 为 [])()(1 s F L t f -= ??????-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11 111 1111)()() ( t s n r i i t s r r r r i e c e c t c t r c t r c ∑+=---+?? ????+++-+-=112211 1 )!2()!1( （F-6）
1. 求下列函数的拉式变换。 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求()t v r 并讨 论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向”“2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()() () s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到()()()()()∑∞ =-= =0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()() () s E s V s H 2= ； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。 12. 如图7所示电路， （1） 若初始无储能，信号源为()t i ，为求()t i 1（零状态响应），列出转移函数()s H ； （2） 若初始状态以()01i ，()02v 表示（都不等于0），但()0=t i （开路），求()t i 1（零输入 响应）。
B2.1 求下列函数的拉氏变换： B2.2 求下列函数的拉氏反变换： B2.3 求下列矩阵的逆矩阵： B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电压u2(t)或u C2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。 图B2.4 电路原理图 B2.5 图B2.5是一种地震仪的原理图，其壳体1固定在地基2上，重锤3的质量为m，由装在壳体上的弹簧和阻尼器支承。图中x为壳体相对于惯性空间的位移，z为质量m相对于惯性空间的位移，y=x-z为质量m相对于壳体的位移，可由指针4指示出来。当地震时壳体随地基上下震动，但由于惯性的作用使得重锤的运动幅度很小，故它与壳体之间的相对运动幅度y就近似等于地震的幅度。设重锤的质量为m(kg),弹簧的刚性系数为k(N/m)，阻尼器的粘性摩擦系数为f(N·s/m)，试列写以指针位移y为输出量时系统的微分方程。(注：z为静平衡时质量m的位移，重力使弹簧产生的变形已经加以考虑了。)
图B2.5 地震仪原理图 图B2.6 机械系统原理图 B2.6 设机械系统如图B2.6所示，图中z i为输入位移，z o为输出位移。试分别列写各系统的微分方程。 B2.7 例A1.2所讨论的液位控制系统(如图1.29所示)，设液箱的横截面积为S，希望的液位高度为h 0,若液位高度的变化率与液体流量差(Q1-Q2)成正比，试列写以液位高度为输出量时系统的微分方程。 B2.8 设系统的微分方程为 试用拉氏变换法进行求解。 B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t)为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。 试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含有哪些典型环节? B2.10 求题B2.4～B2.7各系统的传递函数。 B2.11 设控制系统的结构图如图B2.11所示，图中G1(s)和G2(s)所对应环节的微分方程分别为0.125u?+u=e?+3e和0.5y¨+y?=2u，试求该系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s)。 图B2.11 控制系统方块图 B2.12 已知控制系统在零初始条件下，由单位阶跃输入信号所产生的输出响应为 y(t)=1+e-t-2e－2t试求该系统的传递函数，和零极点的分布并画出在S平面上的分布图。 B2.13 求图B2.13所示无源网络的传递函数U o(s)/U i(s)。 图B2.13 无源网络原理图 B2.14 求图B2.14所示运算放大器的传递函数U o(s)/U i(s)。 图B2.14 有源网络原理图 B2.15 已知控制系统的结构图如图B2.15所示，试应用结构图等效变换法求各系统的传递函数。
word. 附录A 拉普拉斯变换及反变换 1.拉氏变换的基本性质 1()([n n k f t dt s s -+=+∑? 个
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 word.
word. 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,, ,,m m b b b b -都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理 可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝1 i n s t i i c e =∑ (F-4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
拉普拉斯变换的数学方法 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数at e 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += 所以，)e e (j 21wt sin jwt jwt --= 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则 有 ： F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 2112211+=+，此式可由定义证明。 2、位移定理 ?? ?复数域的位移定理实数域的位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有 ) s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表 f(t)延迟时间a. 证明：?∞ --=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ，
控制原理补充讲义——拉氏变换 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。2)当时， ，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 注意：六大性质一定要记住 1．单位阶跃函数
2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式： 所以，
6．余弦函数coswt 其它的可见下表：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2 ,函数f 1 (t),f 2 (t),且f 1 (t),f 2 (t)的拉氏变换为F 1 (s),F 2 (s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有 , 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式= 例：求其拉氏变换
附录A 拉普拉斯变换及反变换 419
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421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可 按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。 在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。 2.1拉氏变换 2.1.1拉氏变换的定义 若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作 [()]f t L 或)(s F ，并定义为： [()]()()e d L st f t F s f t t +∞-==? （2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。 必
e 1 [1()]1e d L st st t t s s +∞ -+∞-=?=- =? (2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。 ⑵单位脉冲函数 单位脉冲函数如图2.2所示。 其定义为 ()0 t t t δ∞ =?=? ≠? 同时， ()d 1t t δ+∞=? ，即脉冲面积为1。而且有如下特性： ()()d (0)t f t t f δ+∞-∞ ?=? (0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。 (0) ()(0) t f t t t
1. 求下列函数的拉式变换。 （1） t t cos 2sin + （2） ()t e t 2sin - （3） ()[]t e t βα--cos 1 （4） ()t e t 732--δ （5） ()t Ω2cos （6） ()()t e t ωαcos +- （7） ()t t αsin 2. 求下列函数的拉式变换，注意阶跃函数的跳变时间。 （1） ()()()t u e t f t 2--= （2） ()()()12sin -?=t u t t f （3） ()()()()[]211----=t u u u t t f 3. 求下列函数的拉普拉斯逆变换。 （1） () 512+s s （2） ()() 243+++s s s （3） 11 12++s （4） ()RCs s RCs +-11 （5） ()()() 2133+++s s s （6） 22K s A + （7） ()( )[]22βα+++s a s s （8） () 142+-s s e s
（9） ?? ? ??+9ln s s 4. 分别求下列函数的逆变换的初值和终值。 （1） ()()() 526+++s s s （2） ()()()2132+++s s s 5. 如图1所示电路，0=t 以前，开关S 闭合，已进入稳定状态；0=t 时，开关打开，求 ()t v r 并讨论R 对波形的影响。 6. 电路如图2所示，0=t 以前开关位于”“1，电路以进入稳定状态，0=t 时开关从” “1倒向” “2，求电流()t i 的表示式。 7. 电路如图3所示，0=t 以前电路原件无储能，0=t 时开关闭合，求电压()t v 2的表示 式和波形。 8. 激励信号()t e 波形如图()a 4所示电路如图()b 4所示，起始时刻L 中无储能，求()t v 2得 表示式和波形。 9. 电路如图5所示，注意图中()t Kv 2是受控源，试求 （1） 系统函数()()() s V s V s H 13=； （2） 若2=K ，求冲激响应。 10. 将连续信号()t f 以时间间隔T 进行冲激抽样得到 ()()()()()∑∞ =-==0 ,n T T s nT t t t t f t f δδδ，求： （1） 抽样信号的拉氏变换()[]t f s L ； （2） 若()()t u e t f t α-=，求()[]t f s L 。 11. 在图6所示网络中，Ω===10,1.0,2R F C H L 。 （1） 写出电压转移函数()()() s E s V s H 2=； （2） 画出s 平面零、极点分布； （3） 求冲激响应、阶跃响应。
常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 00)(≥
? ? ∞ -∞ -∞ ----==0 d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st == ?∞- 6、正弦函数 0sin 0 )(≥
附录A拉普拉斯变换及反变换1.拉氏变换的基本性质 附表A-1 拉氏变换的基本性质 419
2．常用函数的拉氏变换和z变换表 附表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420
421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式，即 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中，系数n n a a a a ,,...,,110-和011,,,,m m b b b b - 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 （1）0)(=s A 无重根：这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式，即 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根；i c 为待定常数，称为()F s 在i s 处的留数，可按下列两式计算：lim ()()i i i s s c s s F s →=- （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数为 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1)()(＝1i n s t i i c e =∑ (F -4) （2）0)(=s A 有重根：设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
里氏硬度转换抗拉强度对照表 HLD HRC HRB HV 抗拉 强度 HLD HRC HRB HV 抗拉 强度 35260.3104 375 64841.2395 35461105379 65041.5398 35661.7106381 65241.7401 35862.4107384 65442404 36063.1108386 65642.3407 36263.8109388 65842.6411 36464.5110393 66042.8414 36665.1111395 66243.1417 36865.8112399 66443.4420 37066.4114402 66643.6423 37267115404 66843.9426 37467.7116404 67044.1429 37668.3117409 67244.4433 37868.9118415 67444.7436 38069.5119418 67644.9439 38270.1120421 67845.2442 38470.6121424 68045.5446 38671.2123427 68245.7449 38871.8124433 68446452 39072.3125437 68646.2456 39272.9126440 68846.5459 39473.4127444 69046.8463 39674129447 69247466 39874.5130451 69447.3469 40075131445 69647.5473 40275.5133459 69847.8476 40476134463 70048480 40676.5135467 70248.3483 40877136471 70448.6487 41077.5138475 70648.8491 41278139480 70849.1494 41478.4141484 71049.3498 41678.9142489 71249.6501 41879.3143493 71449.8505 42079.8145498 71650.1509 42280.2146498 71850.3513 42480.7148503 72050.6516 42681.1149508 72250.8520
附录A拉普拉斯变换及反变换 419
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421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10111) ()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++== ---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-= -+ +-+ +-+ -= n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 1 2 21 1)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= ) ()( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []?? ????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ())()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---=+ =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -+ +-+ +-+ -+ +-+ -++-- 1 1111111) () () ( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
拉普拉斯变换及其反变换表
3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1 1 n 1 n n n 1 1 m 1 m m m a s a s a s a b s b s b s b )s (A )s (B )s (F ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n 1 n 1 a ,a ,...,a ,a -，m 1 m 1 b ,b ,b ,b -Λ都是实常数；n m ,是正整数。按 代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑ =-=-++-++-+-=n 1 i i i n n i i 2 2 1 1 s s c s s c s s c s s c s s c )s (F ΛΛ 式中，Sn 2S 1S ，，，Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )s (F )s s (lim c i s s i i -=→ 或 i s s i ) s (A ) s (B c ='= 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []t s n 1 i i n 1i i i 11i e c s s c L )s (F L )t (f -==--∑∑=??????-== ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为
1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑ 1 1 ) 1() 1(1 2 2 2 ) ()() 0()() (0)0()(]) ([) 0()(])([k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ） （ 初始条件为0时 )(]) ([ s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑ ???????????==+-===+=+ + = + = n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 1 1 2 2 2 2 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L )(]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ
控制工程基础习题解答 第二章 2-1．试求下列函数的拉氏变换，假定当t<0时，f(t)=0。 (1).()()t t f 3cos 15-= 解：()[]()[]9 553cos 152 +-=-=s s s t L t f L (2). ()t e t f t 10cos 5.0-= 解：()[][ ] ()100 5.05 .010cos 2 5.0+++= =-s s t e L t f L t (3). ()?? ? ? ?+ =35sin πt t f 解：()[]() 252355cos 235sin 2135sin 2 ++=?? ????+=????????? ??+=s s t t L t L t f L π 2-2．试求下列函数的拉氏反变换。 (1).()() 11+= s s s F 解：()[]()??????++=???? ?? +=---11121 111s k s k L s s L s F L ()10111==? ?? ???+=s s s s k ()()111112-=-=+?? ????+=s s s s k ()[]t e s s L s F L ----=?? ????+-=111111 (2).()()() 321 +++= s s s s F 解：()[]()()? ?????+++=???? ?? +++=---3232121 111s k s k L s s s L s F L
()()()122321 1-=-=+??????+++=s s s s s k ()()()233321 2=-=+?? ????+++=s s s s s k ()[]t t e e s s L s F L 231123221-----=?? ????+++-= (3).()()() 2 222 52 2+++++=s s s s s s F 解：()[]()()??????+++++=?? ????+++++=---222222252321 1221 1 s s k s k s k L s s s s s L s F L ()() ()2222222 52 21-=-=+?? ????+++++=s s s s s s s k ()( ) () 3 3 313312 22222 513223222232==-=---=-+---=++?? ????+++++=--=+k k j j j jk k k j s s s s s s s s j s k s k ()[]()()t e e s s s L s s s s L s F L t t cos 32111322223322221211 -----+-=?? ????+++++-=??????+++++- = 2-3．用拉氏变换法解下列微分方程 （1）()()()()t t x dt t dx dt t x d 1862 2=++，其中 ()()00,10===t dt t dx x 解：对方程两边求拉氏变换，得：
附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质
表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表
用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；
不锈钢管的洛氏硬度、布氏硬度等硬度对照表和换算方法 以下资料由：天津武进不锈钢制品销售有限公司提供 一、硬度简介： 硬度表示材料抵抗硬物体压入其表面的能力。它是金属材料的重要性能指标之一。一般硬度越高，耐磨性越好。常用的硬度指标有布氏硬度、洛氏硬度和维氏硬度。 1. 布氏硬度(HB) 以一定的载荷(一般3000kg)把一定大小(直径一般为10mm)的淬硬钢球压入材料表面，保持一段时间，去载后，负荷与其压痕面积之比值，即为布氏硬度值(HB)，单位为公斤力/mm2 (N/mm2)。 2. 洛氏硬度(HR) 当HB>450或者试样过小时，不能采用布氏硬度试验而改用洛氏硬度计量。它是用一个顶角120°的金刚石圆锥体或直径为1.59、3.18mm的钢球，在一定载荷下压入被测材料表面，由压痕的深度求出材料的硬度。根据试验材料硬度的不同，分三种不同的标度来表示： ? HRA：是采用60kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度极高的材料(如硬质合金等)。 ? HRB：是采用100kg载荷和直径1.58mm淬硬的钢球，求得的硬度，用于硬度较低的材料(如退火钢、铸铁等)。 ? HRC：是采用150kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度很高的材料(如淬火钢等)。 word教育资料
3. 维氏硬度(HV) 以120kg以内的载荷和顶角为136°的金刚石方形锥压入器压入材料表面，用材料压痕凹坑的表面积除以载荷值，即为维氏硬度HV值 (kgf/mm2)。 注：洛氏硬度中HRA、HRB、HRC等中的A、B、C为三种不同的标准，称为标尺A、标尺B、标尺C。洛氏硬度试验是现今所使用的几种普通压痕硬度试验之一，三种标尺的初始压力均为98.07N(合10kgf)，最后根据压痕深度计算硬度值。标尺A使用的是球锥菱形压头，然后加压至588.4N(合60kgf)；标尺B使用的是直径为1.588mm(1/16英寸)的钢球作为压头，然后加压至980.7N(合100kgf)；而标尺C使用与标尺A相同的球锥菱形作为压头，但加压后的力是1471N(合150kgf)。因此标尺B适用相对较软的材料，而标尺C适用较硬的材料。实践证明，金属材料的各种硬度值之间，硬度值与强度值之间具有近似的相应关系。因为硬度值是由起始塑性变形抗力和继续塑性变形抗力决定的，材料的强度越高，塑性变形抗力越高，硬度值也就越高。但各种材料的换算关系并不一致。 二、硬度对照表： word教育资料
第二章习题答案 2-1试求下列函数的拉氏变换，假设0