九年级数学上册第23章图形的相似23.6图形与坐标2
图形的变换与坐标教案新版华东师大版12
1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移或对称、位似变换引起的点的坐标的变化规律；(重点、难点)
2.使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受到代数与几何的相互转化，初步建立空间观念．
一、情境导入
观察如图所示的坐标系．
试着发现坐标系中几个图形间的联系，然后自己作出一个类似的图形．
二、合作探究
探究点一：平面直角坐标系中点的平移
将点(1，2)向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的对应点的坐标是________．
解析：向左平移1个单位，横坐标减1，向下平移2个单位，纵坐标减2，于是点(1，
2)变为(0，0)．故答案为(0，0)．
方法总结：根据平移前后图形的坐标关系：①上加下减(纵坐标变化)，左减右加(横坐标变化)；②正加负减，即向x (y )轴正方向平移，横(纵)坐标增加；负方向平移，横(纵)坐标减小．
探究点二：关于x 轴、y 轴对称的点的坐标
点A (2a －3，b )与点A ′(4，a ＋2)关于x 轴对称，求a ，b .
解析：此题应根据关于x 轴对称的两个点的坐标的特点：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得2a －3与4相等，b 与a ＋2互为相反数．
解：由点A (2a －3，b )与点A ′(4，a ＋2)关于x 轴对称得2a －3＝4，a ＋2＝－b .所以a ＝72，b ＝－112
. 方法总结：在平面直角坐标系中，关于坐标轴对称的点的坐标规律：若A (x ，y )与B (m ，n )关于x 轴对称，则有x ＝m ，y ＝－n ；若A (x ，y )与B (m ，n )关于y 轴对称，则有x ＝－m ，
y ＝n ；若A (x ，y )与B (m ，n )关于原点对称，则有x ＝－m ，y ＝－n .
探究点三：平面直角坐标系中的位似 【类型一】 利用位似求点的坐标 如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，
在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12
后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )
A ．(3，3)
B ．(4，3)
C ．(3，1)
D ．(4，1)
解析：∵线段AB 的两个端点坐标分别为A (6，6)，B (8，2)，以原点O 为位似中心，在
第一象限内将线段AB 缩小为原来的12
后得到线段CD ，∴端点C 的横坐标和纵坐标都变为A 点的一半，∴端点C 的坐标为(3，3)．故选A.
方法总结：关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．
【类型二】 在坐标系中确定位似比
△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的位似
图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13
)，则△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是________．
解析：∵△ABC 三个顶点A (3，6)、B (6，2)、C (2，－1)，以原点为位似中心，得到的
位似图形△A ′B ′C ′三个顶点分别为A ′(1，2)，B ′(2，23)，C ′(23，－13
)，∴△A ′B ′C ′与△ABC 的位似比是1∶3.
方法总结：以原点为位似中心的位似图形的位似比是对应点的对应坐标的比．
【类型三】 位似变换与平移、旋转、轴对称的综合
如图，点A 的坐标为(3，4)，点O 的坐标为(0，0)，点B 的坐标为(4，0)．
(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(________)，△A 1O 1B 1的面积为________；
(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(________)；
(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(________)；
(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标为(________)，△A 4O 4B 4的面积为________．
解析：(1)将△AOB 沿x 轴向左平移1个单位后得△A 1O 1B 1，则点A 1的坐标为(2，4)，△A 1O 1B 1的面积为12
×4×4＝8；(2)将△AOB 绕原点旋转180°后得△A 2O 2B 2，则点A 2的坐标为(－3，－4)；(3)将△AOB 沿x 轴翻折后得△A 3O 3B 3，则点A 3的坐标为(3，－4)；(4)以O 为位似中心，按比例尺1∶2将△AOB 放大后得△A 4O 4B 4，若点B 4在x 轴的负半轴上，则点A 4的坐标
为(－6，－8)，△A 4O 4B 4的面积为12
×8×8＝32.故答案为(1)2，4；8；(2)－3，－4；(3)3，－4；(4)－6，－8；32.
方法总结：此题主要考查了图形的旋转以及平移和位似变换、三角形面积求法等知识，得出对应点坐标是解题关键．
三、板书设计
1. 平移变换的坐标特征：
（1）沿x 轴平移：纵坐标不变，右加左减；
（2）沿y 轴平移：横坐标不变，上加下减.
2. 对称变换的坐标特征：
（1）点(x ，y )关于x 轴的对称点的坐标为(x ，－y )；
（2）点(x ，y )关于y 轴的对称点的坐标为
(－x ，y )．
3.位似变换的坐标特征：
关于原点成位似的两个图形，若位似比是k ，则原图形上的点(x ，y )经过位似变化得到的对应点的坐标是(kx ，ky )或(－kx ，－ky )．
这节课主要是让学生感受在平面直角坐标系中的位似图形根据坐标的变化而变化，教学过程中要提高学生学习积极性、使心情愉悦、思维活跃，这样才能真正激发学生学习数学的兴趣，提高课堂学习效率.
图形与坐标
1．若点Ａ的坐标是（－３，５），则它到 x 轴的距离是_______，到y 轴的距离是______ 2．若点Ｂ在x 轴下方，y 轴左侧，并且到 x 轴、y 轴距离分别是２、４个单位长度， 则点Ｂ的坐标是_________ 3．点Ｐ到x 轴、y 轴的距离分别是２、１， 则点Ｐ的坐标可能为______________________ 4.小明位与广场的北偏西30°方向上，距离广场3 千米，则广场的位置是在小明的_______________________ 5.已知点A （m ，-2），点B （3，m-1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 6.点（3，-2）在第_____象限;点（-1.5，-1） 在第_______象限；点（0，3）在____轴上； 7.点A 在x 轴上，距离原点4个单位长度，则A 点的坐标是 _______________。 8.点 M （- 8，12）到 x 轴的距离是_________， 到 y 轴的距离是________. 9.若点P 在第三象限且到x 轴的距离为 2 ， 到y 轴的距离为1.5，则点P 的坐标是________。 10.点A （1-a ，5），B （3 ,b ）关于y 轴对称， 则a=___,b=____。 1.△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为 A （2，-1）， B （1，-3）， C （4，-5） （1）在直角坐标系中画出△ ABC ； 2）求三角形的三边长，判断三角形形状； （3）把 向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到△ ABC ，试写出△ A 1B 1C 1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点； 4）求出△ A 1B 1C 1的面积。 2.在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位.其行走路线如下图所示. (1)填写下列各点的坐标：A 1（____，_____）， A 3（____，_____），A 12（____，____）； 111A B C
23.6 图形与坐标 1.用坐标确定位置 1．了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义；(重点) 2．利用坐标表示物体间的位置；(重点) 3．建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．(难点) 一、情境导入 “怪兽吃豆”是一种计算机游戏，如图所示的标志表示“怪兽”先后经过的几个位置．如果用(1，2)表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么你能用同样的方式表示图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？ 二、合作探究 探究点一：建立适当的平面直角坐标系 如图是某公园景点的平面图(比例尺为1∶10000)，请建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置． 解析：根据“利于点的坐标表示”的原则，选广场为原点比较适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小． 解：如图，以广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系．测量出碰碰车距广场的图上距离为 1.5cm，根据比例尺实际距离为150m，以1m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场(0，0)，打靶场(－150，75)，钓鱼台(－75，225)，碰碰车(0，150)，动物馆(75，225)．
方法总结：利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称．注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向． 探究点二：用方向、距离描述位置 如图所示是小明家附近的简单地图. 已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．回答下列问题(“O”处表示小明家)： (1)图中到小明家距离相等的是哪些地方？ (2)图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？ 解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离． 解：(1)学校和公园； (2)图中商场在小明家北偏西30°方向2.5cm处，学校在小明家北偏东45°方向(或东北方向)2cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4cm 处． 方法总结：(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序． 三、板书设计 利用直角坐标系和方位描述物体间的位置 1．建立适当的平面直角坐标系表示平面内点的位置； 2．用方向、距离描述位置． 将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力．教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活的问题情境；另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究.
图形的相似（一） 一、比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b =m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b =c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例 项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =或a ：b =b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b =c ：d ?ad =bc ②a ：b =b ：c ac b =?2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a =（交换内项） ?=d c b a a c b d =（交换外项） a b c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： c d a b d c b a =?= （4）合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?= （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( n m b a =d c b a =
3、黄金分割 1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC:AB=BC:AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 2.618.02 15≈-=AB AC 二、平行线分线段成比例定理 定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 三、相似多边形 （1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数） （2）相似多边形的性质 ①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ④相似多边形面积的比等于相似比的平方
图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(重庆)如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．(泰安)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题： ①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；③若∠A＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1；④若AC ：A 1C 1＝CB ：C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( B ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 3．(宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C ) A ．2∶3 B ．2∶5 C ．4∶9 D .2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA ∽△ACD ，BC AC ＝AC AD ＝AB DC ，AB ＝2，DC ＝3，∴BC AC ＝AC AD ＝AB DC ＝23，∴BC AC ＝23，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝23，cos ∠DAC ＝AC DA ＝23，∴BC AC ·AC DA ＝23×23＝49，∴BC DA ＝49，∵△ABC 与△DCA 的面积比＝BC DA ，∴△ABC 与△DCA 的面积比＝49 ，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中 心，相似比为12 ，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D ) A ．(－2，1) B ．(－8，4) C ．(－8，4)或(8，－4) D ．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题6分，共24分) 5．(邵阳)如图，在?ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯
一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。 二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部 分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 [注意]：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。 3、点的坐标的概念 1.对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对 应的数a，b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。 2.点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分 开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b a≠时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 3.平面内点的与有序实数对是一一对应的。 4、不同位置的点的坐标的特征 （1）、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限0 x ?y ,0> > 点P(x,y)在第二象限0 ,0> ?y x < 点P(x,y)在第三象限0 x ?y ,0< < 点P(x,y)在第四象限0 x ?y ,0< > （2）、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上0 ?y，x为任意实数 = 点P(x,y)在y轴上0 = ?x，y为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上?x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点 （3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上?x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x与y互为相反数
第三章 平面直角坐标系 单元测试题 （时限：100分钟 总分：100分） 班级 姓名 总分 一、 选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分) 1. 在平面直角坐标系中，点（1,2）在（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 在平面直角坐标系中，若点P (－3，m ＋1)在第三象限，则m 的值为 （ ） A ．－1 B ．m ＞－3 C ．m ＜－１ D ．m ＞－１ 3. 在y 轴上，与点A （3，－2）的距离等于3的点有（ ） A.1个 B.2个 C.4个 D. 0个 4. 点A (1，2)向右平移2个单位得到对应点'A ，则点'A 的坐标是( ) A.(1，4) B.(1，0) C.(－l ，2) D.(3，2) 5. 如图，小明从点O 出发，先向西走40米，再向南走30米 到达点M ，如果点M 的位置用(－40，－30)表示，那么 (10，20)表示的位置是（ ） A ．点A B ．点B C ．点C D ．点D 6. 点P （a ，b ）的纵坐标b 不变，而横坐标a 减少3，则点P （ ）. A .向左平移了3个单位 B.向右平移了3个单位 C.向上平移了3个单位 D.向下平移了3个单位 7. 在平面直角坐标系中，若点（a ，b ）在x 轴上，则（ ） A.00a b =≠， B .0b = C. 1a b = D.0a b +=且0a ≠ 8. 若点P （m ，1－2m ）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P 一定在（ ） 第5题图
A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D .第四象限 二、填空题(本题共8小题，每小题4分，共32分) 9. 如果用（6，1）表示一张6排1号的电影票，那么15排2号的电影票可表示为________ . 10. 若点M （2a -，23a +）是y 轴上的点，则a 的值为___________. 11.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（–1，–1）、（–1，2）、（3，–1），则第四个顶点的坐标为 . 12. 如图在直角坐标系中，右边的图案是由左边的图案 经过平移以后得到的. 左图中左右眼睛的坐标分别 是(－4，2)，(－2，2)，右图中左眼的坐标是(3，4)， 则右图中右眼的坐标是 . 13. 如图所示的围棋盘放在平面直角坐标系内，黑棋A 的 坐标为（-1，2），那么白棋B 的坐标是 ． 14.已知点P 的坐标是（2a -，36a +），且点P 到两 坐标轴的距离相等，则点P 的坐标是_____________. 15. 如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 绕点A 按逆 时针方向旋转90°后，得到线段AB ′，则点B ′的坐标 为 ． 16. 在平面直角坐标系中，已知点A (－4，0)，B (4，0)， 点C 在坐标轴上，且AC +BC ＝10，写出满足条件的 所有点C 的坐标________． 三、解答题(本题共5小题，共36分) 17．（本小题满分6分） 写出图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 的坐标． 第12题图 第15题图
图形的旋转 坐标与图形变换 1、（2018武汉模拟）在平面直角坐标系中， 将点P （4，-3）绕原点旋转90度得到1P ，则1P 的坐标为________ [解析]：分顺时针和逆时针两种情况旋转，1P 的坐标为（-3，-4）或（3，4） 2、（2018洪泽县模拟）已知点P 的坐标为（1，1），若将点P 绕着原点逆时针旋转45度，得到1P ，则1P 的坐标为________ [解析]：1P 的坐标为（-1，1） 3、（2018杜丹江二模）如图，平面直角坐标系中，等边OAB ?边长为2，点B 在第一象限内，AB//x 轴，若将OAB ?绕点O 旋转120度，再关于y 轴对称后得到O B A 11?，由点1A 的坐标为________ [解析]：分顺时针和逆时针两种情况旋转，),3,1(1 --A 或),0,2(1A 4、（2018杜丹江三模）等边ABC ?如图放置，A （1，1），B （3，1），等边三角形的中心是点D ，若将点D 绕点A 旋转90度后得到点、D ，则、D 的坐标是________ [解析]：)331,2(+ D 顺时针旋转得到)0,331(+、D ，逆时针旋转得到)2,331(-、D
5、（2018杜丹江）如图，ABC ?三个顶点的坐标分别是A （1，-1），B （2，-2），C （4，-1），将ABC ?绕着原点O 旋转75度，得到111C B A ?，则点1B 的坐标为________ [解析]：由点B （2，-2），则OB=2，且OB 与x 轴、y 轴夹角为45度，当点B 绕原点逆时针旋转75度后，与x 轴正向夹角为30度，则点1B 到x 轴y 轴距离分别为6,2，则点)2,6(1B ，同理，当点B 绕原点顺时针旋转时，可得)6,2(1--B 6、（2018邵阳期末）如图，已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90度得到1A ，则1A 的坐标是________ [解析]：)2,1(1-A 7、（2018沙坪坝区期末）如图，平面直角坐标系中，已知点B （-3，2），若将ABO ?绕点O 沿顺时针方向旋转90度得到O B A 11?，则点B 的对应点1B 的坐标是________ [解析]：)3,2(1B
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知 识点归纳 第四章图形的相似 一、成比例线段 定义： 线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、cD 的长度分别是,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：cD=:n,或者写成AB/cD=/n. 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 定理：如果a/b=c/d==/n, 那么/=a/b 二、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 概念：一般地，点c把线段AB分成两条线段Ac和Bc，如果Ac/AB=Bc/Ac，那么称线段AB被点c黄金分割，点c叫做线段AB的黄金分割点，Ac与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点o，且有oP1=*oP,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点o叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。
九年级中考数学图形与坐标专题练习题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1.若点P（m，2+m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知点P（-2，5），Q（n，5）且PQ=4，则n的值为（） A.2 B.2或4 C.2或-6 D.-6 3.在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（4，0），点N为线段AB的中点，则点N的坐标为（） A.（1，2） B.（4，2） C.（2，4） D.（2，1） 4.小明和小丽下棋，小明执白子，小丽执黑子，如图是在直角坐标系中棋子摆出的图案，若再摆放一白一黑两枚棋子，使9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，则这两枚棋子的坐标分别是（） C.黑子（2，3），白子（4，0） D.黑子（4，0），白子（2，3） 5.若点A位于x轴上方，到x轴的距离为2，到y轴的距离为5，则 点A坐标为（） A.（2，5） B.（5，2）或（-5，2）
C.（5，2） D.（2，5）或（-2，5） 6.已知点A （2m -2，m 5+4）在第一象限角平分线上，则m 的值为（ ） A.6 B.-1 C.2或3 D.-1或6 7.如图，ABO Rt ?和CBD Rt ?中，=∠=∠CBD ABO 90°，若=∠CBA 60°，BD BO =，点A 坐标为（ 32，-2）则点C 的坐标是（ ） A.（2，32） B.（1，3） C.（3，1） D.（32，2） 8.如图，⊙1O 与x 轴相交于点A （2，0），B （8，0），与y 轴相切于点C ，则圆心1O 的坐标是（ ） A.（3，5） B.（5，3） C.（4，5） D.（5，4） 9.如图，在ABC ?中，ACB ∠=90°，AC =2，BC =1，点A 和点C 分别在x 轴和y 轴上，当点A 在x 轴正半轴上运动时，点C 随之在y 轴正半轴上运动，在运动过程中，点B 到原点O 的最大距离为（ ） A.5 B.6 C.1+2 D.3 10.若A （-2，0），B （1，2），点P 为直线y =4上一动点，且PAB ?的面积为6，则点P 的坐
第四章 图形的相似 1 成比例线段 2 平行线分线段成比例 3 相似多边形 4 探索三角形相似的条件 *5 相似三角形判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 一. 成比例线段 ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线 段的比AB:CD=m:n ,或写成n m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则 d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02 15:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 二．平行线分线段成比例 ※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF BC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似 多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平 方. 四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1
第四讲 图形与坐标 知识点梳理： 一．平面直角坐标系：在平面内画两条___ _ _____的数轴，组成平面直角坐标系,水平的轴叫： ，竖直的轴叫： ， 是原点，通常规定向 或向 的方向为正方向。 1. 已知点A(x,y).1)若xy =0，则点A 在_______________； 2)若xy >0，则点A 在___________；3)若xy <0，则点A 在________________. 2. 坐标轴上的点的特征：x 轴上的点______为0，y 轴上的点______为0。 3. 象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点_________ ________；二四象限角平分线上的点 ______________ ______。 4. 平行于坐标轴的点的特征：平行于x 轴的直线上的所有点的______坐标相同，平行于y 轴的直线上的所有点的______坐标相同。 5. 点到坐标轴的距离：点P (),x y 到x 轴的距离为_______，到y 轴的距离为______，到原点的距离为____________； 三．坐标平面内点的平移情况：左右移动点的_____坐标变化，（向右移动____________，向左移动 ____________），上下移动点的______坐标变化（向上移动____________，向下移动____________） 知识一、坐标系的理解 例1、平面内点的坐标是（ ） A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对 知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标 例1 点P 在x 轴上对应的实数是3-，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 对应的实数是 3 1 ，则点Q 的坐标是 ，
九年级数学上册第23章图形的相似23.6图形与坐标1用坐标确定位置教案新版华东师大版12 1.用坐标确定位置 1．了解用平面直角坐标系和方位来表示物体间的位置的意义；(重点) 2．利用坐标表示物体间的位置；(重点) 3．建立适当的直角坐标系，利用平面直角坐标系解决实际问题．(难点) 一、情境导入 “怪兽吃豆”是一种计算机游戏，如图所示的标志表示“怪兽”先后经过的几个位置．如果用(1，2)表示“怪兽”按图中箭头所指路线经过的第三个位置，那么你能用同样的方式表示图中“怪兽”经过的其他几个位置吗？ 二、合作探究 探究点一：建立适当的平面直角坐标系 如图是某公园景点的平面图(比例尺为1∶10000)，请建立适当的平面直角坐标系，用坐标分别表示各建筑的位置． 解析：根据“利于点的坐标表示”的原则，选广场为原点比较适当，其他各地与广场的水平距离和垂直距离都相对较小． 解：如图，以广场为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系．测量出碰碰车距广场的图上距离为 1.5cm，根据比例尺实际距离为150m，以1m为一个单位长度，图中各地的坐标为广场(0，0)，打靶场(－150，75)，钓鱼台(－75，225)，碰碰车(0，150)，动物馆(75，225)．
方法总结：利用平面直角坐标系，绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内描出这些点，确定出各点的坐标和各个地点的名称．注意：在构建直角坐标系时，一般选水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，或向东为x轴正方向，向北为y轴正方向． 探究点二：用方向、距离描述位置 如图所示是小明家附近的简单地图. 已知OA＝2cm，OB＝2.5cm，OP＝4cm，C为OP的中点．回答下列问题(“O”处表示小明家)： (1)图中到小明家距离相等的是哪些地方？ (2)图中商场、学校、公园、停车场分别在小明家的什么位置？ 解析：首先根据图形确定方向，然后再在对应射线上确定距离． 解：(1)学校和公园； (2)图中商场在小明家北偏西30°方向2.5cm处，学校在小明家北偏东45°方向(或东北方向)2cm处，公园在小明家南偏东60°方向2cm处，停车场在小明家南偏东60°方向4cm 处． 方法总结：(1)用方向和距离表示物体位置时必须选定一个统一的参照物，同时也要一对数，这对数是相对于参照物的方位和距离；(2)用方向和距离确定物体位置时要考虑方向在前、距离在后的顺序． 三、板书设计 利用直角坐标系和方位描述物体间的位置 1．建立适当的平面直角坐标系表示平面内点的位置； 2．用方向、距离描述位置． 将现实生活中常用的定位方法呈现给学生，进一步丰富学生的数学活动经验，培养学生观察、分析、归纳、概括的能力．教学过程中创设生动活泼、直观形象且贴近他们生活的问题情境；另一方面，为学生创造自主学习、合作交流的机会，促使他们主动参与、积极探究.
测试题： 一、选择题 1．下面四条线段成比例的是（）． A． B． C． D． 2．如图，若，则下面比例式不能成立的是（）． A．B． C． D． 3．下列说法中，错误的是（）． A．所有的等边三角形都相似 B．和同一图形相似的两图形也相似C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的矩形都相似 4．如图，小明设计两个直角，来测量河宽BC，他量得米，米， 米，则河宽BC为（）． A．5米 B．4米 C．6米 D．8米 二、填空题 5．两个相似三角形的一边对应边分别为35cm14cm，它们的周长相差60cm，则这两个三角形的周长为_________． 6．如图，，若将图中的旋转（平 移），则所得到的新三角形与_____________，与__________． 7．学校平面图的比例尺是1：500，平面图上校园面积为1300cm，则学校的实际面积为____． 8．把一个矩形的各边都扩大到4倍，则其对角线扩大到_________倍，其面积扩大到_______倍． 9．如图，A、B两点间有一湖泊，无法直接测量，米，米，
米，则米． 三、解答题 10．如图，在中，于D，如果， 求CD、AC． 11．如图所示，五边形与五边形相似，求和的长度． 12．已知：中，，问：边AC上是否存在一点D，使∽ ？如果存在，请算出CD的长度． 13．如图是步枪在瞄准时的俯视图，OE是从眼睛到准星的距离80mm，AB是步枪上的准星宽度2mm，CD是目标的正面宽度50cm，求眼睛到目标的距离OF． 14．已知：于B点，于D点，，问： 在DB上是否存在P点，使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如果存在，求DP的长；如果不存在，说明理由．
2019-2020年八年级数学上册《图形与坐标》测试卷 学校：__________ 题号一二三总分 得分 评卷人得分 一、选择题 1．(2分)对于任意实数a，点P（a，(6) a a+）一定不在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．(2分)如图所示的是小亮从家出发到医院要经过的街道，若用（0，4）表示家的位置，下列路径中，不能到达医院的是（） A．（0，4）→（0，3）→（0，0）→（4，0） B．（0，4）→（0，1）→（4，1）→（4，0） C．（0，4）→（2，1）→（3，1）→（4，1） D．（0，4）→（0，2）→（4，2）→（4，0） 3．(2分)将△ABC的三个顶点的纵坐标乘以-1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．原图形向x轴负方向平移1个单位 D．原图形向y轴负方向平移1个单位 4．(2分)若点P（m，2）与点Q（3，n）关于y轴对称，则m、n的值分别为（）A． -3，2 B． 3，-2 C．-3，-2 D．3，2 5．(2分)如图，下列各点在阴影区域内的是（） A．（3．3）B．（-1，2）C．（3．5）D．（-3，-2）
6．(2分)点M在y轴的左侧，到x轴、y轴的距离分别是3和5，则点M的坐标是（）A．（一5，3）B．（-5，-3） C．（5，3）或（-5，3）D．（-5，3）或（-5，-3） 7．(2分)在A（3，3 -）四个点 -），B（22，-2），C（-22，2）， D（2，3 中，在第四象限的点的个数为（） A．1个B．2个C．3个D．4个 8．(2分)右图是方格纸上画出的小旗图案，如果用（0，0）表示A点，（0，4）表示B 点，那么C点的位置可表示为（） A．（0，3）B．（2，3）C．（3，2）D．（3，0） 9．(2分)一个人从A点出发向北偏东60°方向走到B点，再从B点出发向南偏西15°方向走到C点，那么∠ABC等于（） A．135°B．l05°C．75°D．45° 10．(2分)小明家的坐标为（1，2），小丽家的坐标为（一2，一l），则小明家在小丽家的（） A．东南方向B．东北方向C．西南方向D．西北方向 评卷人得分 二、填空题 11．(2分)a是数据l，2，3，4，5的中位数，b是数据2，3，3，4的方差，则点P（a，b）关于x轴的对称点的坐标为 . 12．(2分)如图，在△AOM中，∠AMO=90°，0A=5，AM=4．则点A的坐标为 .
中考数学第一轮复习专题训练 (十六) （图形与坐标） 一、填空题：（每题3分，共36分） １、点A （3，－2）关于 x 轴对称的点是＿＿＿＿＿。 ２、P （2，3）关于原点对称的点是＿＿＿＿＿。 ３、P （－2，3）到 轴的距离是＿＿＿＿＿。 ４、小红坐在第 5 排 24 号用（5，24）表示，则（6，27）表示小红坐在第＿＿排＿＿号。 ５、以坐标平面内点A （2，4），B （1，0），C （－2，0）为顶点的三角形的面积是＿＿。 ６、如图１，△AOB 的顶点A 的坐标为＿＿＿＿＿。 ７、如图１，△AOB 沿x 轴向右平移1个单位后，得到△A'O'B'，则点A'的坐标为＿＿＿。 ８、如图２，矩形ABOC 的长OB ＝3，宽AB ＝2，则点A 的坐标为＿＿＿＿。 ９、如图３，正方形的边为2，则顶点Ｃ的坐标为＿＿＿＿＿。 10、如图４，△AOB 和它缩小后得到的△COD 。则△AOB 和△COD 的相似比为＿＿＿。 11、小东要在电话中告诉同学如图５的图形，他应当怎样描述。 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 12、如图６，一个机器人从O 点出以，向正东方走3米到达A 点，再向正北方走6米到达A 2点，再向正西方向走9米到达A 3点，再向正南方向走12米到达A 4点，再向正东走15米到达A 5点，按如此规律走下去，当机器人走到A 6点时，离Ｏ点的距离是＿＿＿＿＿米。 二、选择题：（每题 4 分，共 24 分） １、若点A （m ，n ）在第三象限，则点B （－m ，n)，在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三名象限 D 、第四象限 ２、若P （m ，2）与点Q （3，n ）关于 轴的对称，则m 、n 的值是（ ） A 、－3，2 B 、3，－2 C 、－3，－2 D 、3，2 ３、A 在B 的北偏东30°方向，则B 在A 的（ ） A 、北偏东30° B 、北偏东60° C 、南偏西30° D 、南偏西60° ４、下列说法正确的是（ ） A 、两个等腰三角形必是位似图形 B 、位似图形必是全等图形 C 、两个位似图形对应点连线可能无交点 D 、两个位似形对应点连线只有一个交点 ５、将△ABC 的三个顶点的纵坐标乘以－1，横坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（ ） A 、关于 x 轴对称 B 、关于 轴对称 C 、关于原点对称 D 、原图形向 轴负方向平移1个单位 ６、如图，每个小正方形的边长为1个单位，对于A 、B 的位置，下列说法错误的是（ ） A 、 B 向左平移 2 个单位再向下移 2 个单位与 A 重合 y y y y …………………………密……………………封……………………装……………………订………………… 学校：＿＿＿＿＿＿ 班级：＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿ 座号：＿＿＿＿ 1 2 3 4 A A' O 1 2 3 4 y x B B' （1） A C B O x y （2） A C O B y x （3） 北 东 南 西 A 1 A 5 A 3 A 2 A 4 （6） A B D y C 1 2 3 x （4） 1 2 3
第3章 图形与坐标 教学目标 知识与技能：让学生通过复习使学生能掌握用不同的方式确定物体的位置，综合运用图形与坐标的知识解决简单的实际问题。 过程与方法：1．参与本章知识梳理与体系构建的过程，培养归纳总结能力；2.领悟数形结合、分类讨论的思想方法，培养思维的灵活性。 情感态度与价值观：培养学生良好学习习惯，激发学习兴趣，激发学生对母校的热爱之情。 重点：特殊点的坐标特征及其在解题中的应用，数形结合的思想 难点：感受数形结合思想 教学过程： 1. 复习引入 知识结构图 知识点梳理 一、平面直角坐标系： 二、在平面内画两条________的数轴，组成平面直角坐标系,，水平的轴叫：____ ，竖直的轴叫：____ ，____ 是原点，通常规定向____ 或向____ 的方向为正方向。 二．平面直角坐标系中点的特点： 1. 已知点A(x,y).1)若xy =0，则点A 在____________；2)若xy >0，则点A 在_______；3)若xy <0，则点A 在________________. 2. 坐标轴上的点的特征：x 轴上的点______为0，y 轴上的点______为0。 3. 象限角平分线上的点的特征：一三象限角平分线上的点_________________；二四象限角平分线上的点____________。 4. 平行于坐标轴的点的特征：平行于x 轴的直线上的所有点的 ____坐标相同，平行于y 轴的直线上的所有点的______坐标相同。5. 点到坐标轴的距离：点P (),x y 到x 轴的距离为_______，到y 轴的距离为______，一对有序实数对 方位角 一 种 很 有 用 的 工 具
图形的相似 专题练习 1．已知△ABC ∽△DEF ，AB ＝1，BC ＝3，EF ＝5，则△ABC 与△DEF 的面积比是( ) A ．1∶9 B ．1∶25 C ．9∶25 D ．3∶5 2．如图，四边形ABCD 和A ′B ′C ′D ′是以点O 为位似中心的位似图形，若OB ∶OB ′＝2∶3，则四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′的面积比为( ) 图2 A ．4∶9 B ．2∶5 C ．2∶3 D ．2∶ 3 3．如果3A ＝2B (AB ≠0)，那么下列比例式中正确的是( ) A ．a b ＝32 B ．b a ＝23 C ．a 2＝b 3 D ．a 3＝b 2 4．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，且DE ∥B C ．若AD ＝5，BD ＝10，AE ＝3，则CE 的长为( ) 图4 A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 5．在下面的图形中，相似的一组是( ) ,A ) ,B ) ,C ) ,D ) 图5
6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是() ,A) ,B) ,C) ,D) 图6 7．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于() 图7 A．120 m B．67.5 m C．40 m D．30 m 8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是() ,A) ,B) ,C) ,D) 图8 9．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥B C．如果AD DB＝3 2， AC＝10，那么EC＝________．
用分类讨论思想解相似图形难题 所谓分类讨论思想就是根据问题可能存在的多种情况进行讨论，防止出现漏解的一种数学思想.它能使同学们的思维日趋严谨。它的应用大致可分为四个步骤：（1）确定分类对象；（2）合理进行分类；（3）逐步进行讨论；（4）归纳讨论结果，得出正确结论.下面举几例说明分类讨论思想在相似图形中的应用. 例 1 已知a 、b 、c 为非零实数，且满足k b c a c b a a c b =+=+=+,则一次函数)1(k kx y ++=的图象一定经过（ ）. A 第一、二、三象限 B 第二、四象限 C 第一象限 D 第二象限 分析：本题主要考察一次函数图象性质的灵活应用，但如果思维不周的话，就容易漏掉0=++c b a 的情形，因此可按0=++c b a 和0≠++c b a 两种情况讨论. 解：（1）当0=++c b a 时，1-=-=+= b b b c a k ,此时x y -=，图象过第二、四象限； （2）当0≠++c b a 时，应用等比性质可以得出： 2=+++++++=b c a b a b a c b k ,此时32+=x y 的图象过第一、二、三象限，结合两种情况，函数图象一定过第二象限，故选D. 例2 已知线段cm c cm b cm a 3,2,1===,若第四条线段与它们成比例式，则这样的线段有几条？ 分析：因为第四条线段大小不定，所以应用分类讨论思想，利用比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，把分类点定为让第四条线段分别与三条线段相乘，既可得到正确答案. 解：设第四条线段为d,让d 分别与1、2、3相乘，得 ,312,6,321?=?=?=?d cm d d ,213,5.1?=?=d cm d cm d 32= ,所以这样的线段有三条，分别为.3 2,5.1,6cm cm cm 例3 三角形一条高分这个三角形为两个相似三角形，那么这个三角形为（ ）. A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形
作品编号：GLK520321119875425963854145698357 学 校： 黄莺读市仙鹤镇喜鹊小学* 教 师： 悟性中* 班 级： 凤翔2班* 图形的相似 1． 比例线段的有关概念 ==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项， a c (a b c d )a d b c a c b d b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b = c ，那么b 叫做a 、 d 的比例中项． 2． 比例性质 ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()() ()?=?? ?=?=?? ?=???=?交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a b c d d c a c b a d b b d c a b d a c ②合比性质： ±±a b c d a b b c d d =?= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3． 黄金分割 在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果 AC BC AB AC = ，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中 AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：
l 1∥l 2∥l 3．则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型： C A B D C A B D E E D B A C DE ∥BC ∠B =∠AED ∠B =∠ACD A B C D O B A C O D C B A X 型 母子型 AC ∥BD ∠B =∠C AD 是Rt △ABC 斜边上的高 8． 射影定理 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________． 9． 中位线 1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中 点的线段的长是对应中线长的3 1 ． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段． A D B C